《材料力学》第2章 轴向拉压变形 习题解

第二章轴向拉(压)变形
[习题2-1] 试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。

（a ）
解：（1）求指定截面上的轴力 F
N =-11
F
F F N -=+-=-222（2）作轴力图
轴力图如图所示。

（b ）
解：（1）求指定截面上的轴力 F
N 211=-
2222=+-=-F F N （2）作轴力图
F
F F F N =+-=-2233 轴力图如图所示。

（c ）
解：（1）求指定截面上的轴力 F
N 211=-
F
F F N =+-=-222（2）作轴力图
F
F F F N 32233=+-=- 轴力图如图所示。

（d ）
解：（1）求指定截面上的轴力 F
N =-11
F F a a
F
F F qa F N 22222-=+⋅-
-=+--=-（2）作轴力图 中间段的轴力方程为： x a
F
F x N ⋅-
=)(]0,(a x ∈
轴力图如图所示。

[习题2-2] 试求图示等直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。

若横截面面积
，试求各横截面上的应力。

2400mm A =
解：（1）求指定截面上的轴力
kN
N 2011-=- )
(10201022kN N -=-=-
)
(1020102033kN N =-+=-（2）作轴力图
轴力图如图所示。

（3）计算各截面上的应力
MPa mm N A N 504001*********-=⨯-==--σMPa mm N A N 2540010102
3222
2-=⨯-==--σ
MPa
mm N A N 2540010102
3333
3=⨯==--σ[习题2-3] 试求图示阶梯状直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。

若横截面面积
，，，并求各横截面上的应力。

21200mm A =22300mm A =23400mm A =解：（1）求指定截面上的轴力
kN
N 2011-=-
)(10201022kN N -=-=-
)
(1020102033kN N =-+=-（2）作轴力图
轴力图如图所示。

（3）计算各截面上的应力
MPa mm N A N 1002001020231111
1-=⨯-==--σMPa mm
N A N 3.3330010102
32222
2-=⨯-==--σ
MPa mm
N A N 2540010102
3333
3=⨯==--σ
[习题2-4] 图示一混合屋架结构的计算简图。

屋架的上弦用钢筋混凝土制成。

下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个的等边角钢。

已知屋面承受集度为mm mm 875⨯m kN q /20=的竖直均布荷载。

试求拉杆AE 和EC 横截面上的应力。

解：（1）求支座反力 由结构的对称性可知：
)(4.177)937.42(205.02
1
kN ql R R B A =+⨯⨯⨯==
= （2）求AE 和EG 杆的轴力 ① 用假想的垂直截面把C 铰和EG 杆同时切断，取左部分为研究对象，其受力图如图所示。

由平衡条件可知： 0
)(=∑F M
C
087.84.1772
87
.8)5.437.4(20)2.11(=⨯-⨯+⨯++⋅EG N )(62.357]87.84.1772
87.8)5.437.4(20[2.21kN N EG
=⨯+⨯+⨯-⨯= ② 以C 节点为研究对象，其受力图如图所示。

由平平衡条件可得：
=∑X
0cos =-αEA EG N N
)
(86.366137.437.462.357cos 2
2kN N N EG
EA =+==
α
（3）求拉杆AE 和EG 横截面上的应力
查型钢表得单个等边角钢的面积为：
mm mm 875⨯2
213.1150503.11mm cm A ==
MPa mm N A N EA AE 5.1593.115021086.36623=⨯⨯==σ
MPa mm
N A N EG EG
5.1553.115021062.3572
3=⨯⨯==σ[习题2-5] 石砌桥墩的墩身高，其横截面面尺寸如图所示。

荷载，材料的密度
m l 10=kN F 1000=，试求墩身底部横截面上的压应力。

3/35.2m kg =ρ解：墩身底面的轴力为：
g
Al F G F N ρ--=+-=)()
(942.31048.935.210)114.323(10002kN -=⨯⨯⨯⨯+⨯--
=
8.935.210)114.323(10002⨯⨯⨯⨯+⨯--=)
(942.3104kN -=墩身底面积：)
(14.9)114.323(2
2
m A =⨯+⨯=因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。

MPa kPa m
kN A N 34.071.33914.9942.31042-≈-=-==
σ[习题2-6] 图示拉杆承受轴向拉力，杆的横截面面积。

如以表示斜截面kN F 10=2
100mm A =α与横截面的夹角，试求当时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其o
o
o
o
o
90,60,45,30,0=α方向。

解：斜截面上的正应力与切应力的公式为：
ασσα20cos =α
στα2sin 20
=
式中，，把的数值代入以上二式得：MPa mm
N A N 1001001000020===
σα轴向拉/压杆斜截面上的应力计算
题目编号100001000100100.0 0.0 100001003010075.0 43.3 100001004510050.0 50.0 100001006010025.0 43.3 习题2-6
10000
100
90
100
0.0
0.0
[习题
2-7]
一根等直杆受力如图所示。

已知杆的横截面面积A 和材料的弹性模量E 。

试作轴力图，并求杆端点D 的位移。

解：（1）作轴力图
F N CD = F
F F N BC -=+-=2 F
F F F N AB =+-=22
AD 杆的轴力图如图所示。

（2）求D 点的位移
)(0MPa σ)(MPa ασ)
(MPa ατ)
(o α)
(N N )(2mm A
EA
l N EA l N EA l N l CD
CD BC BC AB AB AD D ++=
∆=∆EA Nl EA Fl EA Fl 3/3/3/+-+=
（→）EA
Fl 3=[习题2-8] 一木桩受力如图所示。

柱的横。

截面为边长200mm 的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量。

如不计柱的自重，试求：
GPa E 10=（1）作轴力图；
（2）各段柱横截面上的应力； （3）各段柱的纵向线应变；（4）柱的总变形。

解：（1）作轴力图
kN
N AC 100-=)
(260160100kN N CB -=--=轴力图如图所示。

（2）计算各段上的应力 。

MPa mm N A N AC AC
5.22002001010023-=⨯⨯-==σ，MPa mm
N A N CB CB
5.6200200102602
3-=⨯⨯-==σ（3）计算各段柱的纵向线应变 4
310
5.210105.2-⨯-=⨯-=
=
MPa
MPa E
AC
AC σε4
310
5.610105.6-⨯-=⨯-=
=
MPa
MPa E
CB
CB σε（4）计算柱的总变形
)
(35.110)15005.615005.2(4mm l l l CB CB AC AC AC =⨯⨯-⨯-=⋅+⋅=∆-εε[习题2-9] 一根直径、长的圆截面杆，承受轴向拉力，其伸长为mm d 16=m l 3=kN F 30=。

试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量。

mm l 2.2=∆E 解：（1）求杆件横截面上的应力
MPa
mm N A N 3.1491614.34
1
1030223=⨯⨯⨯==σ（2）求弹性模量
因为：，EA Nl l =
∆所以：。

GPa MPa l l l A l N E 6.203)(9.2035902
.23000
3.149==⨯=∆⋅=∆⋅⋅=
σ[习题2-10] （1）试证明受轴向拉伸（压缩）的圆截面杆横截面沿圆周方向的线应变等于直径方s ε向的线应变。

d ε（2）一根直径为的圆截面杆，在轴向力F 作用下，直径减小了0.0025mm 。

如材料
mm d 10=的弹性模量，泊松比，试求该轴向拉力F 。

GPa E 210=3.0=ν（3）空心圆截面杆，外直径，内直径，材料的泊松比。

当其mm D 120=mm d 60=3.0=ν轴向拉伸时，已知纵向线应变，试求其变形后的壁厚。

001.0=解：（1）证明d
s εε=在圆形截面上取一点A ，连结圆心O 与A 点，则OA 即代表直径方向。

过A 点作一条直线AC 垂直于OA ，则AC 方向代表圆周方向。

（泊松比的定义式）
，同理，νεεε-==AC s νε
εε-==OA d
故有：。

d s εε= （2）求轴向力F
mm d 0025.0-=∆ 4'105.210
0025
.0-⨯-=-=∆=
d d ε
νε
ε-=' 4
4'103253.0105.2-⨯=⨯--=-=νεε ε
σE = εE A
F
=
kN N AE F 74.13)(5.13737103
25
102101014.325.0432==⨯⨯
⨯⨯⨯⨯==-ε（3）求变形后的壁厚
4
'103001.03.0-⨯-=⨯-=-=νεε
4
'103)
(-⨯-==--∆εr
R r R mm r R 009.0)3060()103()(4
-=-⨯⨯-=-∆- 变形厚的壁厚：
)
(991.29009.030|)(|)(mm r R r R =-=-∆--=∆[习题2-11] 受轴向拉力F 作用的箱形薄壁杆如图所示。

已知该材料的弹性常数为，试求C 与D ν,E
两点间的距离改变量。

CD ∆解：EA
F
E A
F νν
νεε-=-=-=/' 式中，，故：
δδδa a a A 4)()(2
2
=--+= δ
ν
εEa F 4'-
= δ
νεEa F a a 4'-==∆
δν
E F a a a 4'-
=-=∆δ
ν
E F a a 4'-
=a a a CD 12145
)()(24
3
232=+='12
145
)'()'(243
232''a a a D C =
+=δ
ν
δνE F E F a a CD D C CD 4003.1412145)(12145)('''⋅-=⋅-=-=
-=∆[习题2-12] 图示结构中，AB 为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量
，已知，，，。

试求C 点的水
GPa E 210=m l 1=221100mm A A ==23150mm A =kN F 20=平位移和铅垂位移。

解：（1）求各杆的轴力
以AB 杆为研究对象，其受力图如图所示。

因为AB 平衡，所以
=∑X
45cos 3=o N
3=N 由对称性可知，
∆CH )
(10205.05.021kN F N N =⨯===（2）求C 点的水平位移与铅垂位移。

A 点的铅垂位移：mm mm mm N mm
N EA l N l 476.0100/2100001000100002
2111=⨯⨯==
∆ B 点的铅垂位移： mm mm
mm N mm
N EA l N l 476.0100/2100001000100002
2222=⨯⨯==
∆1、2、3杆的变形协（谐）调的情况如图所示。

由1、2、3杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到AB 为刚性杆，可以得到： C 点的水平位移：)(476.045tan 1mm l o
BH AH CH =⋅∆=∆=∆=∆
C 点的铅垂位移：)
(476.01mm l C =∆=∆[习题2-13] 图示实心圆杆AB 和AC 在A 点以铰相连接，在A 点作用有铅垂向下的力。

kN F 35=已知杆AB 和AC 的直径分别为和，钢的弹性模量。

试求A mm d 121=mm d 152=GPa E 210=点在铅垂方向的位移。

解：（1）求AB 、AC 杆的轴力 以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。

由平衡条件得出：
：0=∑X 0
45sin 30sin =-o AB o AC
N N ………………………(a)
AB AC N N 2=
：0=∑Y 0
3545cos 30cos =-+o AB o AC
N N
………………(b)
7023=+AB AC N N (a)(b)联立解得：
；
kN N N AB 117.181==kN
N N AC 621.252==
（2）由变形能原理求A 点的铅垂方向的位移
2
22
211212221
EA l N EA l N F A +=∆
)
(12
222
1121EA l N EA l N F A +=∆
式中，；)(141445sin /10001mm l o ==)
(160030sin /8002mm l o
==
；2211131214.325.0mm A =⨯⨯=2
221771514.325.0mm A =⨯⨯=
故：)
(366.1177
2100001600
25621113210000141418117(35000122mm A =⨯⨯+⨯⨯=∆[习题2-14] 图示A 和B 两点之间原有水平方向的一根直径的钢丝，在钢丝的中点C 加一
mm d 1=竖向荷载F 。

已知钢丝产生的线应变为，其材料的弹性模量，0035.0=εGPa E 210=钢丝的自重不计。

试求：
（1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）；（2）钢丝在C 点下降的距离；∆（3）荷载F 的值。

解：（1）求钢丝横截面上的应力
)
(7350035.0210000MPa E =⨯==εσ （2）求钢丝在C 点下降的距离∆ 。

其中，AC 和BC 各。

)(72100002000735mm E l EA Nl l =⨯=⋅==
∆σmm 5.3
996512207
.05
.10031000
cos ==α
o 7867339.4)5.10031000
arccos(==α
)
(7.837867339.4tan 1000mm o ==∆（3）求荷载F 的值
以C 结点为研究对象，由其平稀衡条件可得：
：0=∑Y 0
sin 2=-P a N α
σsin 2sin 2A a N P ==)
(239.96787.4sin 114.325.0735202N =⨯⨯⨯⨯⨯=[习题2-15] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。

解：取长度为截离体（微元体）。

则微元体的伸长量为：
dx
)
()(x EA Fdx
l d =
∆⎰⎰
==∆l l
x A dx
E F dx x EA F l 00
)
()(
l x
r r r r =--1212
2112112d
x l d d r x l r r r +-=+⋅-=
2
2
11
222)(u d x l
d d x A ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ππdx l
d d du d x l d d d 2)22(
1
2112-==+-du
d d l
dx 1
22-=
)()(22)(221212u
du d d l du u d d l x A dx -⋅-=⋅-=ππ因此，
)()(2)()(2
02100
u du
d d E Fl x A dx E F dx x EA F l l l l
⎰⎰⎰
--===∆πl
l
d x l d d d d E Fl u d d E Fl 0112
21021221)(21)(2⎥⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡+--=⎦⎤
⎢⎣⎡-=ππ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-+
--=21221)(2111
221d d l l d d d d E Fl π⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡--=
12
2122)(2d d d d E Fl π2
14d Ed Fl π=
[习题2-16] 有一长度为300mm 的等截面钢杆承受轴向拉力。

已知杆的横截面面积
kN F 30=，材料的弹性模量。

试求杆中所积蓄的应变能。

22500mm A =GPa E 210=解：)(257.02500/21000023.03000022
2222m N mm
mm N m
N EA l N U ⋅=⨯⨯⨯=
=
[习题2-17] 两根杆A 1B 1和A 2B 2的材料相同，其长度和横截面面积相同。

杆A 1B 1承受作用在端点的集中荷载F ；杆A 2B 2承受沿杆长均匀分布的荷载，其集度。

试比较这两根杆内积蓄的应变l
F f =
能。

解：（1）求（a ）图的应变能EA
l F U a 22=（2）求（b ）图的应变能 EA
dx x N dU b 2)(2= dx fx EA EA dx x N U l l b 200
2)(212)(⎰⎰==EA
l F EA l l F EA l f dx x EA f l 66)/(6223232022=⋅===⎰ (3) 以上两种情形下的应变能比较
，即：。

36222==EA
l
F EA l
F U U b a b a U U 3=[习题2-18] 图示一钢筋混凝土平面闸门，其最大启门力为。

如提升闸门的钢质丝杠内径kN F 140=，钢的许用应力，试校核丝杠的强度。

mm d 40=MPa 170][=σ解：（1）计算最大工作应力
2max max 25.0d F A N πσ== )(465.11140
14.325.01400002MPa N =⨯⨯=（2）强度校核
因为 ，MPa 170][=σMPa
465.111max =σ即：]
[max σσ<所以丝杠符合强度条件，即不会破坏。

[习题2-19] 简易起重设备的计算简图如图所示。

已知斜杆AB 用两根不等mm mm mm 44063⨯⨯边角钢组成，钢的许用应力。

试问在起重量的重物时，斜杆AB 是否满足
MPa 170][=σkN P 15
=
强度条件？
解：（1）计算AB 杆的工作应力
以A 结点为研究对象，其受力图如图所示。

由其平衡条件可得：
∑=0
Y
30sin 0=--P F N AB 0
230sin 0=-P N AB )
(601544kN P N AB =⨯==查型钢表得：单个不等边角钢
mm mm mm 44063⨯⨯的面积为： 。

两个角钢的总
2
28.405058.4mm cm =面积为)
(6.8118.40522mm =⨯故AB 杆的工作应力为： MPa mm N 746.811600002
max ==σ （2）强度校核
因为 ，MPa 170][=σMPa
74max =σ即：]
[max σσ<所以AB 杆符合强度条件，即不会破坏。

[习题2-20] 一块厚、宽的旧钢板，其截面被直径的圆孔所削弱，圆孔的mm 10mm 200mm d 20=排列对称于杆的轴线，如图所示。

钢板承受轴向拉力。

材料的许用应力
kN F 200=，若不考虑应力集中的影响，试校
MPa 170][=σ
核钢板的强度。

解：（1）判断危险截面
垂直于轴线，且同时过两个孔的截面是危
险截面。

不考虑应力集中时，可认为应力在这截面
上均匀分布。

（2）计算工作应力
危险截面上的工作应力为：指示 dt bt F A N 2max -==σMPa mm
N 12510)202200(2000002=⨯⨯-=（3）强度校核
因为 ，MPa 170][=σMPa
125max =σ
即：]
[max σσ<所以AB 杆符合强度条件，即不会破坏。

[习题2-21] 一结构受力如图所示，杆件AB ，AD 均由两根等边角钢组成。

已知材料的许用应力
，试选择AB ，AD 的角钢型号。

MPa 170][=σ
解：（1）求AB 、AD 杆的轴力由对称性可知：
)(300)2300(2
1kN N AD =⨯⨯=取节点A 为研究对象，由其平衡条件可得：
∑=0
Y 0
30sin 0=-AD AB N N )
(6002kN N N AD AB ==（2）计算AB 、AD 杆的工作应力，并选定角钢。

][σσ≤=AD
AD AD A N 2
2265.177.1764/170300000][cm mm mm
N N N A AD AD ===≥σ查型钢表，AD 杆可选用两根角钢号数为8的、（单根面积）的等边
mm mm 680⨯2397.9cm 角钢。

][σσ≤=AB
AB AB A N 222
291.351.3529/170600000][cm mm mm N N N A AB AB ===≥σ查型钢表，AB 杆可选用两根角钢号数为10的、（单根面积）的
mm mm 10100⨯2261.19cm 等边角钢。

[习题2-22] 一桁架如图所示。

各杆都由
两个等边角钢组成。

已知材料的许用应力
，试选择AC 和CD 的角钢
MPa 170][=σ型号。

解：（1）求支座反力
由对称性可知，
)
(220↑==kN R R B A （2）求AC 杆和CD 杆的轴力
以A 节点为研究对象，由其平
衡条件得：
0=∑Y 0
cos =-αAC A N R )(667.3665/3220sin kN R N A AC ===α
以C 节点为研究对象，由其平衡条件得：
0=∑X
0cos =-αAC CD N N )(333.2935/45
/3220cos kN N N AC CD =⨯==α （3）由强度条件确定AC 、CD 杆的角钢型号
AC 杆： 2
22569.2186.2156/170366667][cm mm mm
N N N A AC AC ===≥σ
选用2∟（面积）。

780⨯272.2186.102cm =⨯
CD 杆： 222
255.17488.1725/170293333][cm mm mm N N N A CD CD ===≥σ 选用2∟（面积）。

675⨯2594.17797.82cm =⨯[习题2-23] 一结构受力如图所示，杆件AB 、CD 、EF 、GH 都由两根不等边角钢组成。

已知材料的许用应力，材料的弹性模量，杆AC 及EG 可视为刚性的。

试选MPa 170][=σGPa E 210=择各杆的角钢型号，并分别求点D 、C 、A 处的铅垂位移、、。

D ∆C ∆A ∆
解：（1）求各杆的轴力
)(24030042.3kN N AB =⨯=
)(6030048.0kN N CD =⨯= 0
=∑F M
2.1605.13003=⨯-⨯-⨯GH N )(174)72450(3
1kN N GH =+=0
=∑Y 0
30060174=--+EF N )
(186kN N EF =（2）由强度条件确定AC 、CD 杆的角钢型号
AB 杆： 222
12.14765.1411/170240000][cm mm mm N N N A AB AB ===≥σ
选用2∟（面积）。

55690⨯⨯2424.14212.72cm =⨯
CD 杆： 222
529.3941.352/17060000][cm mm mm N N N A CD CD ===≥σ 选用2∟（面积）。

32540⨯⨯278.389.12cm =⨯EF 杆： 222
412.10118.1094/170186000][cm mm mm N N N A EF EF ===≥σ
选用2∟（面积）。

54570⨯⨯2218.11609.52cm =⨯
GH 杆： 222
353.10529.1023/170174000][cm mm mm N N N A GH GH ===≥σ
选用2∟（面积）。

54570⨯⨯2218.11609.52cm =⨯ （3）求点D 、C 、A 处的铅垂位移、、D ∆C ∆A
∆ )(7.2694.24
.14422100003400240000mm EA l N l AB AB AB AB ≈=⨯⨯==∆ )(907.0378210000120060000mm EA l N l CD CD CD CD =⨯⨯==
∆
)(580.18
.11212100002000186000mm EA l N l EF EF EF EF =⨯⨯==∆)(477.18.11212100002000174000mm EA l N l GH GH GH GH =⨯⨯==
∆EG 杆的变形协调图如图所示。

3
8.1=--∆GH EF GH D l l l 3
8.1477.1580.1477.1=--∆D )
(54.1mm D =∆)
(45.2907.054.1mm l CD D C =+=+∆=∆)
(7.2mm l AB A ==∆[习题2-24] 已知混凝土的密度，许用压应力。

试按强度条件3
3/1025.2cm kg ⨯=ρMPa 2][=σ确定图示混凝土柱所需的横截面面积和。

若混凝土的弹性模量，试求柱顶A 的位1A 2A GPa E 20=移。

解：（1）确定和1A 2
A 混凝土的重度（重力密度）：)
/(05.228.91025.233m kN g =⨯⨯==ργ上段（1杆）：
1杆的重量：)
(6.264100005.2212100011kN A A +=⨯⨯+]
[||max 1σσ≤kPa kPa A A 2000][6.26410001
1=≤+σ1
120006.2641000A A ≤+1000
4.17351≥A )
(576.021m A ≥下段（2杆）
2杆的重量：)
(6.26441.115205.221205.2212576.0100022kN A A +=⨯⨯+⨯⨯+]
[||max 2σσ≤kPa
kPa A A 2000][6.26441.11522
2
=≤+σ2
220006.26441.1152A A ≤+41
.11524.17352≥A )
(664.022m A ≥（2）计算A 点的位移
1杆的轴力： （以为单位）)
)(10007.12()05.22576.01000()(kN x x x N +-=⨯+-=x m 2杆的轴力：)
05.22664.005.2212576.01000()(⨯+⨯⨯+-=y y N )
)(41.115264.14()(kN y y N +-=dx
m m kN kN
x l ⎰⨯⨯+-=∆1202261576.0/1020)10007.12(⎰+-=-12
06)10007.12(52.1110dx
x
[]12
026
100035.652.1110x x +-=-
[]1210001235.652.111026
⨯+⨯-=-
)(1011216m -⨯-= （负号表示压缩量）
)(121.1mm -=dy
m m kN kN
y l ⎰⨯⨯+-=∆1202262664.0/1020)41.
115264.14(⎰+-=-12
06)41.115264.14(28.1310dy
y
[]12
026
41.115232.728.1310y y +-=-
[]
1241.11521232.728.131026
⨯+⨯-=-
)(1011216mm -⨯-= （负号表示压缩量）
)(121.1mm -=（↓）
)(242.2121.1121.121mm l l A -=--=∆+∆=∆[习题2-25] （1）刚性梁AB 用两根钢杆AC 、BD 悬挂着，其受力如图所示。

已知钢杆AC 和BD 的直径分别为和，钢的许用应力，弹性模量mm d 251=mm d 182=MPa 170][=σGPa E 210=。

试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形、及A 、B 两点的竖向位移、。

AC l ∆BD l ∆A ∆B ∆解：（1）校核钢杆的强度
① 求轴力 )(667.661005.43kN N AC =⨯=
)(333.331005.45.1kN N BC
=⨯=
② 计算工作应力 2
22514.325.066667mm N A N AC AC AC ⨯⨯==σ MPa 882.135=221814.325.033333mm N A N BD BD BD ⨯⨯==
σ
MPa 057.131=
③ 因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力170MPa ，即；，][σσ≤AC ][σσ≤BD
所以AC 及BD 杆的强度足够，不会发生破坏。

（2）计算、AC l ∆BD
l ∆ )(618.1625
.490210000250066667mm EA l N l AC AC AC AC =⨯⨯==∆ )(560.134.254210000250033333mm EA l N l BD BD BD BD =⨯⨯==
∆ （3）计算A 、B 两点的竖向位移、A ∆B
∆ )
(618.1mm l AC A =∆=∆。

)(560.1mm l BD B =∆=∆[习题2-26] 图示三铰屋架的拉杆用16锰钢杆制成。

已知材料的许用应力，弹性模MPa 210][=σ量。

试按强度条件选择钢杆的直径，并计算钢杆的伸长。

GPa E 210=
解：（1）求支座反力
由对称性可知：
B
A R R =（↑）
)(565.1497.179.165.0kN =⨯⨯= （2）求拉杆AB 的轴力
0=∑C M
085.8565.149425.485.89.1614.3=⨯-⨯⨯+⨯AB N )
(772.210kN N AB =（3）按强度条件选择钢杆的直径 22
6876.1003/210210772][mm mm N N N A AB AB ==≥σ 2
26876.100314.325.0mm d ≥⨯2
2563.1278mm d ≥mm
d 76.35≥（4）计算钢杆的伸长 )(7.176876
.100321000017700210772mm EA l N l AB AB AB AB =⨯⨯==∆[习题2-27] 简单桁架及其受力如图所示，水平杆BC 的长度保持不变，斜杆AB 的长度可随夹角l θ的变化而改变。

两杆由同一种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。

要求两杆内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求：
（1）两杆的夹角；
（2）两杆横截面面积的比值。

解：（1）求轴力
取节点B 为研究对象，由其平衡条件得：
∑=0Y
0sin =-F N AB θ θ
sin F
N AB =
∑=0X
0cos =--BC AB N N θ
θθθ
θcot cos sin cos F F N N AB BC =⋅=-= （2）求工作应力 θσsin AB AB AB AB A F A N ==
BC BC BC BC A F A N θσcot == （3）求杆系的总重量。

γ是重力密度（简称重度，单位：）。

)(BC BC AB AB l A l A V W +=⋅=γγ3/m kN )cos (l A l A BC AB
+=θγ)cos 1(BC AB A A l +⋅=θγ （4）代入题设条件求两杆的夹角
条件①： ，][sin σθσ===AB AB AB AB A F A N θ
σsin ][F A AB = ， ][cot σθσ===
BC BC BC BC A F A N ][cot σθF A BC =条件⑵：的总重量为最小。

W )cos 1(BC AB
A A l W +⋅=θ
γ )cos 1(BC AB A A l +⋅=θγ )]
[cot cos 1sin ][(σθθθσγF F l +⋅⋅= )sin cos cos sin 1(][θ
θθθσγ+=Fl []⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=θθθσγcos sin cos 12Fl []⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=θθσγ2sin cos 122Fl
从的表达式可知，是角的一元函数。

当的一阶导数等于零时，取得最小值。

W W θW W []02sin 22cos )cos 1(2sin sin cos 2222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+-⋅-=θθθθθθσγθ
Fl d dW 022cos 2
2cos 32sin 2=⋅⋅+--θθθ0
2cos 2cos 32sin 22=---θθθ
12cos 3-=θ3333
.02cos -=θo
47.109)3333.0arccos(2=-=θ'
445474.54o o ==θ
（5）求两杆横截面面积的比值 θ
σsin ][F
A A
B = ][cot σθ
F A BC = θ
θθσθθσcos 1cot sin 1]
[cot sin ][===F F A A BC AB
因为： 12cos 3-=θ
311cos 22-=-θ 31cos 2=
θ
31
cos =θ 3cos 1=θ
所以： 3=BC
AB A A [习题2-28] 一内径为，厚度为（），宽度为的薄r δ10
r ≤δb
壁圆环。

在圆环的内表面承受均匀分布的压力（如图），试
p 求：
（1）由内压力引起的圆环径向截面上应力；
（2）由内压力引起的圆环半径的伸长。

解：（1）求圆环径向截面上应力
如图，过水平直径作一水平面（即为径向截面），取上半部分作为研究对象，其受力图如图所示。

由平衡条件得：
∑=0
Y 0
22=-σδb rbp δ
σrp
=（2）求由内压力引起的圆环半径的伸长
应用变形能原理：。

U W =
)2(2)2(21
2
b r E uV p rb r δπσπ⋅==∆⋅⋅δδδσδE pr pr Ep Ep r 222)(=⋅==∆。