人教版高中数学必修四第一章单元测试(一)及参考答案

2018-2019学年必修四第一章训练卷三角函数(一)注意事项：1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)( )A. B.23C. D.21 2.已知点33sin ,cos 44P ⎛⎫ππ ⎪⎝⎭落在角θ的终边上,且[)0,2θ∈π,则θ的值为( )A.4πB.43π C.45π D.47π 3.已知3tan 4α=,3,2α⎛⎫∈ππ ⎪⎝⎭,则cos α的值是( ) A.45±B.45 C.45-D.354.已知sin 24()5απ-=,32α⎛⎫∈π,2π ⎪⎝⎭,则sin cos sin cos αααα+-等于( ) A.17 B.17-C.7-D.75.已知函数()(2)sin f x x ϕ+=的图象关于直线8x π=对称,则ϕ可能取值是( ) A.2π B.4π-C.4π D.43π 6.若点sin cos ,t ()an P ααα-在第一象限,则在[)0,2π内α的取值范围是( ) A.35,,244πππ⎛⎫⎛⎫π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.5,,424πππ⎛⎫⎛⎫π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.353,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.3,,244ππ3π⎛⎫⎛⎫π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7.已知a 是实数,则函数()1sin f x a ax +=的图象不可能是( )8.为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,可以将函数cos 2y x =的图象( )A.向右平移6π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度 D.向左平移3π个单位长度 9.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数()sin 0,0,02I A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图象如右图所示,则当1100t =秒时,电流强度是( ) 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号座位号A.5A -B.5AC.D.10A10.已知函数())2sin 0(y x ωθθ=+<<π为偶函数,其图象与直线2y =的某两个交点横坐标为1x 、2x ,若21x x -的最小值为π,则( ) A.2ω=,2θπ= B.12ω=,2θπ= C.12ω=,4θπ=D.2ω=,4θπ=11.设0ω>,函数sin 23y x ωπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移34π个单位后与原图象重合,则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D.312.如果函数(3cos 2)y x ϕ=+的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,那么ϕ的最小值为( ) A.6πB.4π C.3π D.2π二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知一扇形的弧所对的圆心角为54︒,半径20 cm r =,则扇形的周长为_______.14.方程1sin 4x x π=的解的个数是________.15.已知函数()2sin()f x x ωϕ+=的图象如图所示,则712f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________.16.已知函数sin 3xy π=在区间[]0,t 上至少取得2次最大值,则正整数t 的最小值是________.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)求函数234sin 4cos y x x =--的最大值和最小值,并写出函数取最值时对应的x 的值.18.(12分)已知函数cos 233y a x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大值为4,求实数a 的值.19.(12分)如右图所示,函数()2cos 0,02y x x ωθωθπ⎛⎫=+∈>≤≤ ⎪⎝⎭R,的图象与y 轴交于点(,且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点,02A π⎛⎫⎪⎝⎭,点P 是该函数图象上一点,点00(,)Q x y 是PA 的中点,当0y =0,2x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时,求0x 的值.20.(12分)已知α是第三象限角,()()()()()()sin cos 2tan tan sin f ααααααπ-⋅π-⋅--π=-⋅-π-.(1)化简()f α；(2)若31cos 25α⎛⎫-π= ⎪⎝⎭,求()f α的值；(3)若1860α=-︒,求()f α的值.21.(12分)在已知函数()sin()f x A x ωϕ+=,x ∈R 0,002A ωϕπ⎛⎫>><< ⎪⎝⎭其中，的图象与x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为2π,且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的解析式；(2)当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的值域.22.(12分)已知函数()sin()f x A x ωϕ+=0002A ϕωπ⎛⎫>><< ⎪⎝⎭且，的部分图象,如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若方程()=f x a 在50,3π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不同的实根,试求a 的取值范围.2018-2019学年必修四第一章训练卷三角函数(一)答案一、选择题1.【答案】Bsin120=︒=故选B.2.【答案】D【解析】点33sin,cos44P⎛⎫ππ⎪⎝⎭即P⎝⎭；它落在角θ的终边上,且[)0,2θ∈π,∴4θ=7π,故选D.3.【答案】C【解析】∵3tan4α=,3,2α⎛⎫∈ππ⎪⎝⎭,∴cos45α=-,故选C.4.【答案】A【解析】4sin2sin()5αα=-π-=,∴sin45α=-.又32α⎛⎫∈π,2π⎪⎝⎭,∴cos35α=.∴sin cos1sin cos7αααα+=-,故选A.5.【答案】C【解析】检验sin84fϕππ⎛⎫=⎪⎝+⎭⎛⎫⎪⎝⎭是否取到最值即可.故选C.6.【答案】B【解析】sin cos0αα->且tan0α>,∴,42αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或5,4απ⎛⎫∈π⎪⎝⎭.故选B.7.【答案】D【解析】当0a=时()1f x=,C符合,当01a<<时2T>π,且最小值为正数,A符合,当1a>时2T<π,B符合.排除A、B、C,故选D.8.【答案】B【解析】sin2cos2cos2cos2cos2626333y x x x x xπ⎡ππ⎤2π2ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选B.9.【答案】A【解析】由图象知10A=,4112300300100T=-=,∴150T=,∴2100Tωπ==π.∴()10sinI tϕ=100π+.∵1,10300⎛⎫⎪⎝⎭为五点中的第二个点,∴11003002ϕππ⨯+=.∴6ϕπ=.∴10sin6I tπ⎛⎫=100π+⎪⎝⎭,当1100t=秒时, 5 AI=-,故选A.10.【答案】A【解析】∵()2siny xωθ=+为偶函数,∴2θπ=.∵图象与直线2y=的某两个交点横坐标为1x、2x,21minx x-=π,即minT=π,∴2ωπ=π,2ω=,故选A.11.【答案】C【解析】由函数向右平移34π个单位后与原图象重合,得34π是此函数周期的整数倍.又0ω>,∴243kωπ⋅=π,∴()32k kω=∈Z,∴min32ω=.故选C.12.【答案】A【解析】∵(3cos2)y xϕ=+的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,即43cos 203ϕπ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭,∴,32k k ϕ8ππ+=+π∈Z . ∴136k ϕπ=-+π,∴当2k =时,ϕ有最小值6π.故选A .二、填空题13.【答案】640cm () π+ 【解析】∵圆心角35410απ=︒=,∴6l r α=⋅=π. ∴周长为640cm () π+. 14.【答案】7【解析】在同一坐标系中作出sin y x =π与14y x =的图象, 观察易知两函数图象有7个交点,所以方程有7个解. 15.【答案】0【解析】方法一,由图可知,54432T ππ=-=π,即3T 2π=, ∴3T ω2π==.∴(32sin )y x ϕ+=,将,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入上式sin 04ϕ3π⎛⎫⎪⎝⎭=+. ∴4k ϕ3π+=π,k ∈Z ,则4k ϕ3π=π-. ∴2sin 447012f k 7π3ππ⎛⎛⎫== ⎫+π- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.方法二,由图可知,54432T ππ=-=π,即3T 2π=, 又由正弦图象性质可知, 若()0002T f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭＝＋,∴7012434f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 16.【答案】8 【解析】6T =,则54T t ≤,∴152t ≥,∴min 8t =.三、解答题 17.【答案】见解析.【解析】222134sin 4cos 4sin 4sin 14sin 22y x x x x x ⎛⎫=--=--=-- ⎪⎝⎭,令sin t x =,则11t -≤≤, ∴()2142112y t t ⎛⎫=---≤≤ ⎪⎝⎭.∴当12t =,即26x k π=+π或()26x k k 5π=+π∈Z 时,min 2y =-；当1t =-,即()22x k k 3π=+π∈Z 时,max 7y =. 18.【答案】2或1-.【解析】∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,∴11cos 232x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.当0a >,1cos 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,y 取得最大值132a +,∴1342a +=,∴2a =. 当0a <,cos 213x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时,y 取得最大值3a -+,∴34a -+=,∴1a =-,综上可知,实数a 的值为2或1-. 19.【答案】(1)6π,2；(2)023x π=或43π.因为02θπ≤≤,所以6θπ=. 由已知T =π,且0ω>,得222T ωππ===π. (2)因为点,02A π⎛⎫⎪⎝⎭,00(,)Q x y 是PA 的中点,0y =所以点P 的坐标为022x π⎛- ⎝. 又因为点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上,且02x π≤≤π,所以056c 4os x ⎛⎫ ⎪⎝⎭π-=,且056646x 7ππ19π-≤≤, 从而得05664x π11π-=,或05664x π13π-=,即023x π=,或04x 3π=. 20.【答案】(1)cos α；(2)；(3)12. 【解析】(1)()()()()()()sin cos 2tan sin cos tan cos tan sin tan sin f ααααααααααααπ-⋅π-⋅--π-⋅⋅===-⋅-π--⋅.(2)∵33cos cos sin 22ααα⎛⎫⎛⎫-π=π-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又31cos 25α⎛⎫-π= ⎪⎝⎭,∴1sin 5α=-.又α是第三象限角, ∴cos α==, ∴()f α=. (3)()()()11860cos 1860cos1860cos 536060cos60()2f f α︒︒=︒=⨯︒+=︒=-︒==-. 21.【答案】(1)()sin 226f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；(2)[]1,2-.由x 轴上相邻两个交点之间的距离为2π,得T 2＝π2,即T ＝π, ∴222T ωππ===π. 由点2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭在图象上得3sin 2222ϕπ⎛⎫⎝+⨯=-⎪⎭, 即sin 13ϕ4π⎛⎫=- ⎪⎝⎭+,故()223k k ϕπ+=π-4π∈Z ,∴()1126k k ϕπ=π-∈Z . 又0,2ϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴6ϕπ=,故()sin 226f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭.(2)∵,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴,2636x ππ7π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2； 当626x π7π+=,即2x π=时,()f x 取得最小值1-, 故()f x 的值域为[]1,2-.22.【答案】(1)()sin 3f x x π+=⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)() 1,0a ⎫∈-⎪⎪⎝⎭.【解析】(1)由图象易知函数()f x 的周期为724263T ππ⎛⎫=⨯-=π ⎪⎝⎭,1A =, 所以1ω=.方法一,由图可知此函数的图象是由sin y x =的图象向左平移3π个单位得到的, 故3ϕπ=,所以函数解析式为()sin 3f x x π+=⎛⎫ ⎪⎝⎭.方法二,由图象知()f x 过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭,则sin 03ϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,∴3k ϕπ-+=π,k ∈Z .∴3k ϕπ=π+,k ∈Z , 又∵0,2ϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴3ϕπ=,∴()sin 3f x x π+=⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)方程()=f x a 在50,3π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不同的实根等价于()y f x =与y a =的图象在50,3π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个交点,在图中作y a =的图象, 如图为函数()sin 3f x x π+=⎛⎫ ⎪⎝⎭在50,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图象,当0x =时,()f x =当53x π=时,()0f x =, 由图中可以看出有两个交点时,() 1,0a ⎫∈-⎪⎪⎝⎭.。