专题：椭圆的离心率解法大全

专题：椭圆的离心率

2

，利用定义求椭圆的离心率(e C 或e 2

1 b )

a

a

综上m 或3

3

3,已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是

X y

6,设椭圆 — 亍=1 (a > b >0)的右焦点为F 1，右准线为11,若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点

a

b 1 距离，则椭圆的离心率是 一。

2

，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率

1,在 Rt ABC 中，A 90 ,AB AC 1 ,

如果一个椭圆过 A B 两点, 它的一个焦点为 C,另一个焦点在

AB 上，求这个椭圆的离心率 2,如图所示,椭圆中心在原点 则椭圆的离心率为 ［解析］b ( b ) c 3,以椭圆的右焦点 ,F 是左焦点，直线 AB 1与BF 交于D,且

BDB 1

M

.5 1 2 2

a c ac e ----------- 2 F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于

1,已知椭圆的长轴长是短轴长的

2倍，则椭圆的离心率 e

2,椭圆

—1的离心率为-，则m m 2

［解析］当焦点在x 轴上时，

4 m -

2 2

m 3 ；当焦点在y 轴上时,

16 m -， 3

4，已知m,n,m+n 成等差数列,

m n , mn 成等比数列，则椭圆

2

—1的离心率为 ________________

n

2n 2m n

［解析］由

2

n

2

m n m 2

2 2

椭圆X

y

1的离心率为

2

n 4

m n

2

mn 0

1 5，已知一 2

1(m 0.n

0) 则当 2

x

mn 取得取小值时，椭圆 2

2 y_ 2

1的的离心率为」

m n

m

n

2

2 2

F 1到l 1的

MF 与圆相切，则椭圆的离心率是

,3 1

解：TI F 1F 2 I =2c I BF 1 I =c I BF 2 I = 3c c+

2 2

X y

变式(1):椭圆 君 + ~b^=1(a>b >0)的两焦点为 F 1、 寸3c=2a --e= a

F 2，点P 在椭圆上，使厶OPF 为正三角形，求椭圆离心率?

2

2

X y

相似题：椭圆 —+ —=1(a>b >0) , A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，/

a b 解：I AO I =a I OF I =c I BF I =a I AB | = a 2+b 2

点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案： 90°

引申：此类e^-^1的椭圆为优美椭圆。

性质：(1)/ ABF=90

(2)假设下端点为 B ,则ABFB 四点共圆。 (3 )焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。

变式(2): 2 2

椭圆x y

1(a >b >0)的四个顶点为 A 、B C 、D,若四边形 ABC 啲内切圆恰好过椭圆的焦点，则

a 2

b 2

椭圆

的离心率e =

提示：内切圆的圆心即原点， 半径等于c ,又等于直角三角形 AOB 斜边上的高，.••由面积得：

ab r

. a 2 b 2 ,

但r c

x 2 y 2

4,设椭圆—

2 (a b 0)的左、右焦点分别为 R 、F 2，如果椭圆上存在点 P ,使 F 1PF 2 90，求离心率

e

a b

的取值范围。 解：设 P x,y , F j

c,0 , F 2 c,0

法1:利用椭圆范围。

变式(1):以椭圆的一个焦点 F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心

I MFI = I MO ，则椭圆的离心率是

2 2

x y

4,椭圆 尹 + -^=1(a>b >0)的两焦点为 椭圆的离心率e ?

.3 1

F l 、F 2，以

F 1F 2为边作正三角

形，

O 并且与椭圆交于

M N 两点，如果

若椭圆恰好平分正三角形的两边，则

解：连接 PF 2 ,贝,OF I = I OF I = I OP| , / F 1PF 2 =90 2 2 x y 变式(2) 椭圆-ar~ + ~b 丁=1(a>b >0)的两焦点为F 1、 PF 2 // AB,求椭圆离心率？ b 2

PF 1 I = I F 2 F 1 I =2c I OB I =b I OA I =a a =适 e = 5

将上题中的条件“ PF 2 // AB ”变换为“ PO // 2 _ 2 ••• a =5c 变式(3):

图形如上图，e= 3-1

F 2 , AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且 PF 丄X 轴,

PF 2 // AB ••• [TF 1 = ~

I F 2 F 1 I a

又 ■/ b=\j a 2-c 2

AB (O 为坐标原点)”

a 2+

b 2+a 2

=(a+c) 2 =a 2+2ac+c 2 a 2-c 2-ac=0 两边同除以 a 2 2

+e-1=0 e=

-1+ 一 5 2

e= -1- ；5

(舍去) 2 2 X y

变式(1)：椭圆 f + —=1(a>b >0) a b 是左顶

点，

F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求/ ABF ? ABF=90，求 e?