第八章 材料力学习题解

σα = (
30 + 10 + 20sin 90 o )MPa = 40.0MPa 2 30 − 10 τα = ( sin 90 o )MPa = 10.0MPa 2
(b)解：由题图所示应力状态可知，
1
σ x = −30MPa，σ y = 10MPa，τ x = 20MPa，α = 22.5 o
第八章 应力、应变状态分析
题号 页码 8-2 .........................................................................................................................................................1 8-3 .........................................................................................................................................................2 8-6 .........................................................................................................................................................2 8-7 .........................................................................................................................................................3 8-9 .........................................................................................................................................................4 8-12 .......................................................................................................................................................5 8-15 .......................................................................................................................................................6 8-16 .......................................................................................................................................................7 8-20 .......................................................................................................................................................8 8-21 .......................................................................................................................................................8 8-23 .......................................................................................................................................................9 8-24 .......................................................................................................................................................9
由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为
σα = (
− 30 + 10 − 30 − 10 + cos45 o − 20sin45 o )MPa = −38.3MPa 2 2 − 30 − 10 τα = ( sin45 o + 20cos45o )MPa = 0 2 σ x = 10MPa，σ y = −20MPa，τ x = 15MPa，α = −60 o
题 8-15 图 解：依据平面应变状态任意方位的正应变公式，有
ε 0o = ε 90o = ε 45o =
εx + ε y 2 εx + ε y 2 εx + ε y 2
+ − −
εx − ε y 2 εx − ε y 2 γ xy 2
= ε x = 450 × 10 −6 = ε y = 100 × 10 −6
极值应力为
4
σ max σ B 30.2 σ 2 MPa ± ( B )2 + τ B = [15.0 ± 15.0 2 + 2.25 2 ] MPa = = σ min 2 2 − 0.1678
由此可知，主应力各为
σ 1 = 30.2 MPa，σ 2 = 0，σ 3 = −0.1678 MPa
由此可知，主应力各为
σ1 = 60.0MPa, σ 2 = σ 3 = 0
σ 1 的方位角为
α0 = 0o
对于应力图(b),其正应力和切应力分别为
σB = τB =
| M | | y B | 12 × 20 × 10 3 × 0.050 N = = 3.00 × 10 7 Pa = 30.0MPa 3 2 Iz 0.050 × 0.200 m Fs S z (ω) 12 × 20 × 10 3 × 0.050 × 0.050 × 0.075 N = 2.25 × 10 6 Pa = 2.25MPa = I zb 0.050 × 0.200 3 × 0.050m 2
(c)解：由题图所示应力状态可知，
由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为
σα = [
10 − 20 10 + 20 + cos(−120 o ) − 15sin(−120 o )]MPa = 0.490MPa 2 2 10 + 20 τα = [ sin(−120 o ) + 15cos(−120 o )]MPa = −20.5MPa 2
5
σx − σy 2 σ max σ x + σ y 2 ± ( ) + τx = σ min 2 2 =[ 84.7 60 + 20 60 − 20 2 ± ( ) + 40 2 ] MPa = MPa 2 2 − 4.72
将此二极值应力与 σ z 一同排序，得三个主应力依次为
(也可通过左侧题号书签直接查找题目与解)
8-2
已知应力状态如图所示（应力单位为 MPa） ，试用解析法计算图中指定截面的正
应力与切应力。
题 8-2 图 (a)解：由题图所示应力状态可知，
σ x = 30MPa，σ y = 10MPa，τ x = −20MPa，α = 45 o
将上列数据代入平面应力状态斜截面应力公式，得指定斜截面上的正应力和切应力分别为
由此得各主应力依次为
σ 1 的方位角为
α 0 = −45 o
8-12
已知应力状态如图所示，试求主应力的大小。
题 8-12 图 解：由题图可知，
σ x = 60 MPa，σ y = 20 MPa，τ x = 40 MPa，σ z = 20 MPa
由应力作用线均平行于 x − y 平面的三个应力分量可得
(a) (b) (c)
= 350 × 10 −6
将式(a)和(b)的结果代入式(c)，得
γ xy = (550 − 700) × 10 −6 = −150 × 10 −6
(d)
将以上所得结果(a),(b)和(d)代入平面应变状态任意方位的正应变公式，计算 ε135o 应有的 测量值，
ε135o =
1 1 (450 + 100) × 10 −6 + (450 − 100) × 10 −6 cos270 o 2 2 1 − × (−150 × 10 −6 )sin270 o = 200 × 10 −6 2
8-6
图示双向拉伸应力状态，应力 σ x = σ y = σ 。试证明任意斜截面上的正应力均等于
σ ，而切应力则为零。
2
题 8-6 图 证明：由题设条件可知， σ x = σ y = σ，τ x = 0 。 将上述已知数据代入平面应力状态斜截面应力公式，则有
σα =
σ +σ σ −σ + cos2α − 0 = σ 2 2 σ −σ τα = sin 2α + 0 = 0 2
应力的大小及方位。
题 8-9 图 解：由题图可知，指定截面的剪力、弯矩分别为
| M | = Fa = 20 ×1kN ⋅ m = 20kN ⋅ m Fs = F = 20kN，
微体 A,B,C 的应力图依次示如图 8-9 (a),(b)和(c)。
图 8-9 对于应力图(a)，其正应力为
|M | 6 × 20 × 10 3 N σA = = = 6.00 × 10 7 Pa = 60.0MPa 2 2 Wz 0.050 × 0.200 m
σ 1 = 84.7 MPa，σ 2 = 20.0 MPa，σ 3 = −4.72 MPa
8-15
在构件表面某点 O 处，沿 00，450，900 与 1350 方位粘贴四个应变片，并测得相
0 0 0 0
应正应变依次为ε = 450×10-6，ε45 = 350×10-6，ε = 100×10-6 与ε = 100×10-6 ，试判断 0 90 135 上述测试结果是否可靠。
试用图解法（应力圆）解题 8-1。
8-3
解：题 8-1 图所示应力状态的应力圆示如图 8-3。
图 8-3 由图(a)可以量得指定截面上的正应力和切应力分别为
σ α = σ 45o ＝10.0MPa，τ α = τ 45o = 15.0MPa
由图(b)可以量得指定截面上的正应力和切应力分别为
σ α = σ −30o＝47.3MPa，τ α = τ −30o = −7.3MPa
由于式中 α 为任意值，故原命题得证。
8-7
已知某点 A 处截面 AB 与 AC 的应力如图所示 （应力单位为 MPa） ， 试用图解法求
主应力的大小及所在截面的方位。
题 8-7 图 解：根据题图所给的已知应力，可画出应力圆来，如图 8-7 所示。
图 8-7 从所画的应力圆上可以量得两个主应力，它们是：
由
tanα 0 = −
得 σ 1 的方位角为
τx 2.25 =− = −0.07458 σ x − σ min 30.0 + 0.1678
来自百度文库
α 0 = −4.27 o
对于应力图(c)，其切应力为
τC =
3Fs 3 × 20 × 10 3 N = = 3.00 × 10 6 Pa = 3.00MPa 2 2 A 2 × 0.050 × 0.200m σ 1 = 3.00MPa，σ 2 = 0，σ 3 = −3.00MPa
σ 1 = 69.7MPa，σ 2 = 9.9MPa
由于是平面应力状态，故知
3
σ3 = 0
从该应力圆上还可以量得 σ1 的方位角为
α 0 = −23.7 o
式中负号表示从 AB 面的外法线沿顺时针方向旋转。
8-9
图示悬臂梁，承受载荷 F = 20kN 作用，试绘微体 A，B 与 C 的应力图，并确定主