第五章 马尔可夫过程-2
《马尔可夫过程 》课件
马尔可夫过程的应用实例
隐马尔可夫模型
隐马尔可夫模型是一种概率模型，常用于语音 识别、手写识别和自然语言处理等领域。
马尔可夫链蒙特卡罗法
马尔可夫链蒙特卡罗法是一种随机模拟方法， 用于估计复杂概率分布的数值解。
马尔可夫决策过程
马尔可夫决策过程是一种用来模拟决策问题的 数学框架，常应用于人工智能和运筹学领域。
马尔可夫过程的应用
自然语言处理
马尔可夫过程在自 然语言处理中被广 泛应用于语言模型 和信息检索等领域。
机器学习
马尔可夫过程是许 多机器学习算法中 的核心概念，如隐 马尔可夫模型和马 尔可夫决策过程。
金融市场分析
马尔可夫过程被用 于预测金融市场的 变化趋势和风险评 估。
生态学模型
马尔可夫过程能够 模拟生态系统中的 物种迁移和数量变 化，帮助研究者理 解生态系统的动态。
1 唯一性
2 可逆性
马尔可夫链的过渡概率是唯一确定的，无 论起始状态如何。
某些马尔可夫链具有可逆性，可以在时间 上逆转而保持同样的概率性质。
3 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ态分布
4 马尔可夫链收敛于定态分布
马尔可夫链能够收敛于某个稳定的定态分 布。
随着时间的推移，马尔可夫链的状态会趋 向于定态分布，并在该分布上进行随机转 移。
PageRank算法
PageRank算法是根据网页之间的链接关系进行 排名的算法，被Google用于搜索引擎的搜索结 果排序。
结论
马尔可夫过程是一种强大的概率工具，它在不同的领域有着广泛的应用。深 入研究马尔可夫过程可能会带来更多的应用和发现。
参考文献
• [1] 马尔可夫过程 - 维基百科 • [2] 黄永宏《马尔可夫过程与随机游动》 • [3] 李航《统计学习方法》第10章
《马尔可夫过程》课件
2 未来发展趋势
展望马尔可夫过程在未来的发展趋势，以及可能的研究方向。
深入研究马尔可夫过程在生物 科学建模中的应用，如蛋白质 折叠和基因组分析。
马尔可夫过程在机器学习中的应用
1 马尔可夫决策过程
介绍马尔可夫决策过程（MDP），一种经典的强化学习框架。
2 隐式马尔可夫模型
探究隐式马尔可夫模型（HMM），在语音识别和自然语言处理等领域中的重要性。
总结
1 马尔可夫过程的优缺点
《马尔可夫过程》PPT课 件
欢迎您来到本次的《马尔可夫过程》PPT课件。在这个课件中，我们将深入探 讨马尔可夫过程的概念、应用以及它在机器学习和其他领域的重要性。
马尔可夫过程的介绍马尔可夫过程念了解马尔可夫过程的定义和基本特征，以及其 在实际问题中的应用。
马尔可夫过程的应用
探索马尔可夫过程在自然语言处理、经济金融 建模和生物科学建模等领域中的实际应用。
遍历性
介绍马尔可夫过程的遍历性， 说明从任意状态出发都能够回 到该状态的概率。
马尔可夫模型的实际应用
自然语言处理中的应 用
探索马尔可夫过程在自然语言 处理任务中的应用，如文本生 成和语言模型。
经济金融建模中的应 用
了解马尔可夫过程在经济金融 建模中的重要性，如股市预测 和经济风险分析。
生物科学建模中的应 用
马尔可夫过程的基础概念
马尔可夫链的定义
学习马尔可夫链的概念，了解 它是如何描述具有马尔可夫属 性的随机过程。
状态空间和状态转移 矩阵
聚焦于状态空间和状态转移矩 阵的重要性，以及它们在马尔 可夫过程中的作用。
随机游走模型
深入研究随机游走模型，理解 它是如何模拟具有马尔可夫属 性的随机运动。
《马尔可夫过程 》课件
PART
06
结论与展望
重要性和应用前景：马尔可夫过程是概率论和随机过程的一个重要分支，它在理论和应用方面都具有重要的意义。在理论方面，马尔可夫过程为随机现象提供了数学模型，有助于深入理解随机现象的本质和规律。在应用方面，马尔可夫过程被广泛应用于金融、经济、生物信息学、计算机科学等领域，为解决实际问题提供了有效的工具。
详细描述
VS
马尔可夫链蒙特卡洛方法在统计物理中广泛应用于求解复杂的数学问题，如高维积分、复杂系统模拟等。
详细描述
在统计物理中，许多问题都需要求解复杂的数学表达式，如高维积分、复杂系统模拟等。马尔可夫链蒙特卡洛方法提供了一种有效的解决方案，通过构造合适的马尔可夫链，可以高效地求解这些数学问题，得到精确的结果。
未来研究方向
随着科技的发展和实际需求的不断变化，马尔可夫过程的研究方向也在不断拓展和深化。未来，马尔可夫过程的研究将更加注重跨学科的应用和创新，如与人工智能、机器学习等领域的交叉融合，以解决更加复杂和实际的问题。同时，随着大数据时代的到来，如何利用马尔可夫过程处理和分析大规模数据也是未来的一定义和作用。
要点一
要点二
详细描述
策略是指导决策者如何在给定状态下选择行动的规则。值函数是评估特定策略的性能的度量，它衡量了从开始到最终状态的总回报。在马尔可夫决策过程中，值函数和策略是紧密相关的，它们一起决定了在给定状态下采取的行动和最终的累积回报。
总结词
描述贝尔曼方程的定义和作用。
描述马尔可夫决策过程的定义。
总结词
马尔可夫决策过程（MDP）是一种数学模型，用于描述在不确定环境中做决策的问题。它由以下四个基本组成部分组成：状态集合、行动集合、状态转移概率和回报函数。在每个时刻，决策者根据当前状态选择一个行动，然后环境根据所选行动转移到一个新的状态，并给予决策者一个回报。
第五章 马尔可夫过程-2
5.2.4 马尔可夫链的状态分类_状态的基本属性
二、到达时间和到达概率
首达概率定义：对于任意的i, j∈E， m时刻从状态i出发，经 过n步首次到达状态j的概率，
fij (n) P Tij n | X (m) i P X (m n) j , X (m k ) j ,1 k n | X (m) i
n
fij
1 m
fij (m) 0
则至少存在一个正整数n≥1,使得fij(n)﹥0。由上定理，
pij (n) fij (m) p jj (n m) f ij (n) p jj (0) f ij (n) 0
m 1
因此， i→j。
（4）定理：对于任意的i, j∈E，
P
到达状态
j
X (m) i
P X ( m n) j
n 1
N
X (m) i pij (n) 0
n 1
N
两个吸收壁1,5
概率q
概率p
i=1
2
3
4
5
5.2.4 马尔可夫链的状态分类_状态的基本属性
一、可达与相通
相通的定义：给定的两个状态i和j，如果从状态i可到达状态j， 即i→j；而且从状态j也可到达状态i ，即j → i ，则称状态i与 状态j 相通，记为i←→j。 定理：可达和相通都具有传递性。即若 i→k， k→j，则i→j； 若i←→k， k←→j，则i←→j。 [证] 若i→k， k→j，则由定义存在m≥1和n≥1，使pik(m)﹥0, pkj(n)﹥0, 根据切普曼－柯尔莫哥洛夫方程，
5.2.4 马尔可夫链的状态分类_状态的基本属性 四、周期状态和非周期状态
马尔可夫过程ppt课件
例1 以图1所示模型为例，求解稳态概率。
故障（p）
S（η1）
1-p
F（η2）
1-q
修复（q）
图1 马尔可夫过程的状态转移图 18
设系统处于正常状态的稳态概率为η1和处于故障状 态的稳态概率为η2，则有
12
(1 (1
p)1 q)2
q2 p1
1 2 1
显然，前两个方程是线性相关的，可以删掉一个。解 方程组得：
系统在各状态的稳定概率通常有以下两种解法： 已知瞬态概率，求极限
Ai
lim
t
P{Si (t)}
式中 Si（t）--系统i状态的瞬态概率； Ai--i状态的稳态概率。
16
通常，稳态概率空间的表达式不易求出，该解 法适合于解决一些比较简单系统的稳态状态概率问 题。 同构法
当系统达到稳定状态以后，各种状态将持续转 移，但是每种状态出现的概率基本不变，从而形成 一个稳定的状态空间。求解状态空间方程组，就可 得到系统在各种状态的稳态概率。
马尔可夫过程
神和尧
1
2
马尔可夫过程简介
一类随机过程（数学基础是随机过程理论）。 原始模型马尔可夫链，由俄国数学家A.A.马尔可夫 于1907年提出。 该过程具有如下特性：在已知目前状态 （现在） 的条件下，它未来的演变 （将来）不依赖于它以往 的演变 ( 过去 ) 。 ④例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过 程 。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程， 如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人 数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。
参数集T=[0, ∞],状态空间E={整数}
（3）时间离散、状态连续的马尔可夫过程——马尔可夫序列。 参数集T= {0,1,2,…},状态空间E= (-∞, +∞)
随机过程-第五章-连续时间的马尔可夫链
第五章 连续时间的马尔可夫链5.1连续时间的马尔可夫链考虑取非负整数值的连续时间随机过程}.0),({≥t t X定义5.1 设随机过程}.0),({≥t t X ,状态空间}0,{≥=n i I n ,若对任意121...0+<<<≤n t t t 及I i i i n ∈+121,...,,有})(,...)(,)()({221111n n n n i t X i t X i t X i t X P ====++=})()({11n n n n i t X i t X P ==++ (5.1) 则称}.0),({≥t t X 为连续时间马尔可夫链.由定义知,连续时间马尔可夫链是具有马尔可夫性的随机过程,即过程在已知现在时刻n t 及一切过去时刻所处状态的条件下,将来时刻1+n t 的状态只依赖于现在状态而与过去无关.记(5.1)式条件概率一般形式为),(})()({t s p i s X j t s X P ij ===+ (5.2) 它表示系统在s 时刻处于状态i,经过时间t 后转移到状态j 的转移概率.定义5.2 若(5.2)式的转移概率与s 无关,则称连续时间马尔可夫链具有平稳的或齐次的转移概率,此时转移概率简记为 ),(),(t p t s p ij ij =其转移概率矩阵简记为).0,,()),(()(≥∈=t I j i t p t P ij以下的讨论均假定我们所考虑的连续时间马尔可夫链都具有齐次转移概率.简称为齐次马尔可夫过程.假设在某时刻,比如说时刻0,马尔可夫链进入状态i,而且接下来的s 个单位时间单位中过程未离开状态i,(即未发生转移),问随后的t 个单位时间中过程仍不离开状态i 的概率是多少呢?由马尔可夫我们知道,过程在时刻s 处于状态i 条件下,在区间[s,s+t]中仍然处于i 的概率正是它处于i 至少t 个单位的无条件概率..若记i h 为记过程在转移到另一个状态之前停留在状态i 的时间,则对一切s,t 0≥有},{}{t h P s h t s h P i i i >=>+>可见,随机变量i h 具有无记忆性,因此i h 服从指数分布.由此可见,一个连续时间马尔可夫链,每当它进入状态i,具有如下性质: (1) 在转移到另一状态之前处于状态i 的时间服从参数为i v 的指数分布;(2) 当过程离开状态i 时,接着以概率ij p 进行状态j,1=∑≠ij ij p .上述性质也是我们构造连续时间马尔可夫链的一种方法.当∞=i v 时,称状态i 为瞬时状态,因为过程一旦进入此状态立即就离开.0=i v 时,称状态i 为吸收状态,因为过程一旦进入状态就永远不再离开了.尽管瞬时状态在理论上是可能的,但以后假设对一切i, ∞<≤i v 0.因此,实际上一个连续时间的马尔可夫链是一个这样的随机过程,它按照一个离散时间的马尔可夫链从一个状态转移到另一个状态,但在转移到下一个状态之前,它在各个状态停留的时间服从指数分布.此外在状态i 过程停留的时间与下一个到达的状态必须是相互独立的随机变量.因此下一个到达的状态依赖于i h ,那么过程处于状态i 已有多久的信息与一个状态的预报有关,这与马尔可夫性的假定相矛盾.定理5.1 齐次马尔可夫过程的转移概率具有下列性质:;0)1(≥ij p (2);1=∑∈ij Ij p(3) ∑∈=+Ik kj ik ij s p t p s t p )()()(.其中(3)式即为连续时间齐次马尔可夫链的切普曼—柯尔哥洛夫方程. 证明 只证(3).由全概率公式及马尔可夫性可得 ===+=+)})0()({)(i X j s t X P s t p ij =∑∈===+Ik i X k t X j s t X P })0()(,)({=})()({})0()({k t X j s t X P i X k t X P Ik ==+==∑∈∑∈=Ik kj ik s p t p )()(.对于转移概率)(t p ij ,一般还假定它满足:⎩⎨⎧≠==→.,0,1)(lim 0j i ji t p ij t(5.3)称(5.3)式为正则条件.正则条件说明,过程刚进入某状态不可能立即又跳跃到另一状态.这正好说明一个物理系统要在有限时间内发生限多次跳跃,从而消耗无穷多的能量这是不可能的.定义5.3 对于任 一0≥t 记 },)({)(j t X P t p j ==,},)0({)0(I j j X P p p j j ∈===分别称}{},),({,I j p I j t p j j ∈∈ 齐次马尔可夫过程的绝对概率分布和初始概率分布.定理5.2齐次马尔可夫过程的绝对概率及有限维概率分布具有下列性质: (1) ,0)(≥t p j (2),1)(=∑∈t p j Ij(3) )()(t p p t p ij Ii i j ∑∈=;(4) );()()(h p t p h t p ij Ii i j ∑∈=+(5)).()...(})(,...,)({112111211-∈--====-∑n n i i i i ii Ii i n n t t p t t p p p i t X i t X p n n例5.1试证明泊松过程}0),({≥t t X 为连续时间齐次马尔可夫链. 证明 先证泊松过程具有马尔可夫性,再证明齐次性.由泊松过程的定义 它是独立增量过程,且X(0)=0.11,...0+<<<n n t t t ,有})(,...,)()({1111n n n n i t X i t X i t X P ===++= ,.)0()()()({1111i X t X i i t X t X P n n n n =--==-++ =,111212)()(,...)()(---=--=-n n n n i i t X t X i i t X t X } = })()({11n n n n i i t X t X P -=-++ . 另一方面,因为})()({11n n n n i t X i t X P ==++=})0()()()({11n n n n n n i X t X i i t X t X P =--=-++ =})()({11n n n n i i t X t X P -=-++所以})(,...,)()({1111n n n n i t X i t X i t X P ===++=})()({11n n n n i t X i t X P ==++. 即泊松过程是一个连续时间马尔可夫过程.以下证明齐次性. 当i j ≥ 时,由泊松过程的定义})()({i s X j t s X P ==+= })()({i j s X t s X P -=-+=)!()(i j t eij t---λλ j<i.时,由于过程的增量只取非负整数,故,0),(=t s p ij 所以⎪⎩⎪⎨⎧<≥-==--i j ij i j t e t p t s p i j t ij ij ,0,)!()()(),(λλ, 即转移概率只与t 有关,泊松过程具有齐次性.5.2柯尔莫哥洛夫微分方程对于连续时间齐次马尔可夫链转移概率)(t p ij 的求解一般比较复杂.下面首先讨论)(t p ij 的可微性及)(t p ij 满足的柯尔莫哥洛夫微分程.引理5.1 设齐次马尔可夫过程满足正则性条件(5.3),则对于任意固定的)(,,t p I j i ij ∈是t 的一致连续函数.证明 设h>0,由定理5.1得)()()()()(t p t p h p t p h t p ij rj Ir ir ij ij -=-+∑∈)()()()()(t p t p h p t p h p ij ij ii rj ir ir -+=∑≠=)()](1[)()(t p h p t p h p ij ii rj ir ir --=∑≠故有)],(1[)()](1[)()(h p t p h p t p h t p ii ij ii ij ij --≥--=-+ ),(1)()()()()(h p h p t p h p t p h t p ii ir ir rj ir ir ij ij -=≤≤-+∑∑≠≠因此).(1)()(h p t p h t p ii ij ij -≤-+对于h<0,同样有).(1)()(h p t p h t p ii ij ij --≤-+ 综上所述得到).(1)()(h p t p h t p ii ij ij -≤-+ 由正则性条件知,0)()(lim 0=-+→t p h t p ij ij h 即)(t p ij 关于t 是一致连续的.以下我们恒设齐次马尔可夫过程满足正则性条件(5.3)式.定理5.3 设)(t p ij 是齐次马尔可夫过程的转移概率,则下列极限存在 (1);)(1lim 0∞≤==∆∆-→∆ii i ii t q v t t p (2).,)(lim 0j i q tt p ij ij t ≠∞<=∆∆→∆我们称ij q 为齐次马尔可夫过程从状态i 到状态j 的转移概率或跳跃强度.定理中的极限的概率意义为:在长为t ∆的时间区间内,过程从状态i 转移到另一其他状态的转移概率为)(1t p ii ∆-等于t q ii ∆加一个比t ∆高阶的无穷小量,而过程从状态i 转移到状态j 的转移概率为)(t p ij ∆等于t q ij ∆加一个比t ∆高阶的无穷小量. 推论 对有限齐次马尔可夫过程,有 ∞<=∑≠ij ij ii q q证明 由定理5.1 ,有)()(1,1)(t p t p t pij ij ii Ij ij∆=∆-=∆∑∑≠∈由于求和是在有限集中进行,故有.)(lim )(1lim 00∑∑≠≠→∆→∆=∆∆=∆∆-=ij ij ij i j t ii t ii q t t p t t p q (5.4)对于状态空间无限的齐次马尔可夫过程,一般只有 ∑≠≥ij ij ii q q .若连续时间齐次马尔可夫是具有有限状态空间I={0,1,2,…,n},则其转移速率构成以下形式的矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=nn n n n n q q q q q qq q q Q .....................11111000100 (5.5) 由(5.4)式知,Q 矩阵的每一行元素之和为0,对角线元素为负或0,其余.0,≥ij q 利用Q 矩阵可以推出任意时间间隔t 的转移概率所满足的方法组,从而可以求解转移概率.由切普曼---柯尔莫哥洛夫方程有 ),()()(t p h p h t p Ik kj ik ij ∑∈=+或等价地)()](1[)()()()(t p h p t p h p t p h t p ij ii kj ik ik ij ij --=-+∑≠两边除以h 后令0→h 取极限,应用定理5.3得到 )()()(lim )()(lim 00t p q t p hh p ht p h t p ij ii kj ik ik h ij ij h -=-+∑≠→→ (5.6) 假定在(5.6)式的右边可交换极限与求和,再运用定理5.3,于是得到以下结论: 定理5.4 (柯尔莫哥洛夫向后方程)假设,ii ik ik q q =∑≠则对一切i,j 及0≥t ,有,)()(ij ii ik kj ik ijp q t p q t p -='∑≠ (5.7) 证明 只要证明(5.6)式右边极限与求和可交换次序.现在对于任意固定的N,有≥∑≠→)()(inflim 0t p hh p kj ik ik h )()()(inf lim ,,0t p q t p h h p kj Nk i k ik kj Nk i k ik h ∑∑<≠<≠→= 因为上式对一切N 成立,所以)()()(inflim ,,0t p q t p h h p kj i k ik kj i k ik h ∑∑≠≠→≥ (5.8) 为了倒转不等式,注意对于N>i,由于,1)(≤t p kj 所以 ≤∑≠→)()(sup lim ,0t p hh p kj i k ik h ≤+≤∑∑≥<≠→])()()(sup[lim ,0Nk ik kj Nk i k ik h h h p t p h h p ≤--+≤∑∑<≠<≠→])()(1)()(sup[lim ,,0Nk i k ik ii kj Nk i k ik h h h p h h p t p h h p ,)(,,∑∑<≠<≠-+≤Nk i k ikii kj Nk i k ikqq t p q令∞→N ,由定理5.3和条件得)()()(sup lim ,,0t p q t p h h p kj i k ik kj i k ik h ∑∑≠≠→≤. 上式连同(5.8)可得 )()()(lim ,,0t p q t p h h p kj i k ik kj i k ik h ∑∑≠≠→=.定理5.4中)(t p ij 满足的微分方程组以柯尔莫可洛夫向后方程著称.称它们为向后方程,是因为在计算时刻t+h 的状态的概率分布时我们对退后到时刻h 的状态取条件,即我们从)()(})0()({..})(,)0()({)(h p t p i X k h X P k h X i X j h t X P h t p ik Ik kj Ik ij ∑∑∈∈======+=+开始计算.对时刻t 的状态取条件,我们可以导出另一组方程,称为柯尔莫哥洛夫向前方程.可得),()()(h p t p h t p kj Ik ik ij ∑∈=+)()()()()(t p h p t p t p h t p ij kj Ik ik ij ij -=-+∑∈=)()](1[)()(t p h p h p t p ij jj kj jk ik --=∑≠,所以 )}.()(1)()({lim )()(lim 00t p h h p h h p t p ht p h t p ij jj kj jk ik h ij ij h --=-+∑≠→→假定我们能交换极限与求和,则由定理5.3便得到),()()(t p q q t p t p ij ii jk kj ik ij-='∑≠ 令人遗憾的是上述极限与求和的交换不是恒成立,所以上式并非总是成立.然而在大多数模型中----包括全部生灭过程与全部有限状态的模型,它们是成立的. 定理5.5(柯尔莫哥洛夫向前方程) 在适当的正则条件下,,)()()(jj ij kj ik ik ijq t p q t p t p -='∑≠ (5.9) 利用方程组(5.7)或(5.9)及初始条件 .,0)0(,1)0(j i p p ij ii ≠==我们可以解得)(t p ij .柯尔莫哥洛夫向后和向前方程虽然形式不同,但是可以证明它们所求得的解)(t p ij 是相同的.在实际应用中,当固定最后所处状态j,研究)(t p ij 时(i=0,1,2,…,n),采用向后方程比较方便;当固定状态i,研究)(t p ij 时(j=0,1,2,…,),则采用向前方程较方便.向后方程和向前方程可以写成矩阵形式),()(t QP t P =' (5.10) ,)()(Q t P t P =' (5.11) 其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---= (222120121110)020100q q q q q qq q q Q ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=............ (222120121110)020100p p p p p pp p p P 这样,连续时间马尔可夫链的转移概率的求解问题就是矩阵微分方程的求解问题,其转移概率由其转移速率矩阵Q 决定.特别地,若Q 是一个有限维矩阵,则(5.10)和(5.11)的解为 .!)()(0∑∞===j jQtj Qt et P定理5.6 .齐次马尔可夫过程在t 时刻处于状态I j ∈的绝对概率)(t p j 满足下列方程:.)()()(kj jk k jj j j q t p q t p t p ∑≠+-=' (5.12)证明 由定理5.2,有)()(t p p t p ij Ii i j ∑∈=t将向前方程(5.9)式两边乘以,i p 并对i 求和得.)())(()(kj jk ikiIi jj ijiIi ijIi iq t pp q t pp t p p ∑∑∑∑≠∈∈∈+-='故 .)()()(kj jk k jj j j q t p q t p t p ∑≠+-=' .与离散马尔可夫链类似,我们讨论转移概率 )(t p ij 当 ∞→t 时的极限分布与平稳分布的有限性质.定义5.4 设)(t p ij 为连续时间马尔可夫链的转移概率,若存在时刻 21,t t ,使得 ,0)(1>t p ij ,0)(2>t p ij则称状态i 和j 是互通的.若所有状态都是互通的,则称此马尔可夫链为不可约的.定理5.7 设连续时间的马尔可夫是不可约的,则有下列性质:(1) 若它是正常返的,则极限)(lim t p ij t ∞→存在且等于.,0I j j ∈>π这里.,0I j j ∈>π是方程组1,==∑∑∈≠Ij j kj jk k jj j q q πππ (5.13)的唯一非负解.此时称.,0{I j j ∈>π是该过程的平稳分布,并且有 .)(lim j j t t p π=∞→ (2) 若它是零常返的或非常返的,则.,,0)(lim )(lim I j i t p t p j t ij t ∈==∞→∞→在实际问题中,有些问题可以用柯尔莫哥洛夫方程直接求解,有些问题虽然不能求解但是可以用方程(5.13)求解.例5.2 考虑两个状态的连续时间马尔可夫链,在转移到状态1之前链在状态0停留的时间是参数为λ的指数变量,而在回到状态0之前它停留在状态1的时间是参数为μ的指数变量,显然该链是一个齐次马尔可夫过程,其状态转移概率为 ),()(01h o h h p +=λ),()(10h o h h p +=μ由定理5.3知由柯尔莫哥洛夫向前方程得到)()()(000100t p t p t p λμ-='=,)()(00μμλ++-t p 其中最后一个等式来自).(1)(0001t p t p -=因为,1)0(00=p 由常数变易法得 ,)()(00t e t p μλμλλμλμ+-+++=若记,,00μλμμμλλλ+=+=则,)()(0000t e t p μλλμ+-+=类似地由向前方程)()()(010001t p t p t p μλ-=' ,)()(lim )(1lim 1001010011011q h p dhdhh p h h p q h h h ====-==→→μ,)()(lim )(1lim 0100101000000q h p dhdhh p h h p q h h h ====-==→→λ可解得 ,)()(0001t e t p μλλλ+--= 由对称性知,)()(0011t e t p μλμλ+-+= ,)()(0010t e t p μλμμ+--= 转移概率的极限为),(lim )(lim 10000t p t p t t ∞→∞→==μ),(lim )(lim 11001t p t p t t ∞→∞→==λ 由此可见,当∞→t 时, )(t p ij 的极限存在且与i 无关.定理5.6知,平稳分布为 0100,λπμπ== 若取初始分布为平稳分布,即,}0)0({00μ===p X P ,}1)0({01λ===p X P 则过程在时刻t 的绝对概率分布为 )()()(1010000t p p t p p t p +==0)(000)(00]1[][μμλμλμμλμλ=-+++-+-t t e e=0)(000)(00][]1[λμλλλμμλμλ=++-+-+-t t e e .例5.3 机器维修问题.设例5.2中状态0代表某机器正常工作状态1代表机器出故障.状态转移概率与例5.2相同,即在h 时间内,机器从正常工作变为出故障的概率为),()(01h o h h p +=λ在h 时间内,机器从有故障变为经修复后正常工作的概率为),()(10h o h h p +=μ试求在t=0时正常工作的机器,在t=5时为正常工作的概率. 解 由例5.2已求得该过程的Q 矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=μμλλQ .根据题意,要求机器最后所处的状态为正常工作,只需计算)(00t p 即可. 由例5.2知,)()(0000t e t p μλλμ+-+=,,00μλμμμλλλ+=+=故 ,)5(5)(0000μλλμ+-+=e p 因为P{X(0)=0}=1=,0p 所以)()()(1010101t p p t p p t p +=====)5()5(}0)5({0000p p p X P .)5(5)(0000μλλμ+-+=e p5.3 生灭过程连续时间马尔可夫链的一类重要特殊情形是生灭过程,它的特征是在很短的时间内,系统的状态只能从状态i 转移到状态i-1或i+1或保持不变,确切定义如下. 定义5.5 设齐次马尔可夫过程}0),({≥t t X 的状态空间为I={0,1,2,…},转移概率为)(t p ij ,如果,0),()(1,>+=+i i i i h o h h p λλ,0,0),()(01,=>+=-μμμi i i i h o h h p),()(1)(,h o h h p i i i i ++-=μλ则称 }0),({≥t t X 为生灭过程,i λ为出生率, i μ为死亡率.若,λλi i =μλμμ,(,i i =是正常数),则称}0),({≥t t X 为线性生灭过程. 若0≡i μ,则称}0),({≥t t X 为纯生过程. 若0≡i λ,则称}0),({≥t t X 为纯灭过程. 生灭过程可作如下概率解释:若以X(t)表示一个生物群体在t 时刻的大小,则在很短的时间h 内(不计高阶无穷小),群体变化有三种可能,状态由i 变到i+1,即增加一个个体,其概率为h i λ;.状态由i 变到i-1,即减少一个个体,.其概率为h i μ;群体大小保持不变,其概率为.)(1h i i μλ+-由定理5.3得到,0,)()(,0≥+=-==i h p dhd t q i i h ii ii μλ ⎩⎨⎧≥-=≥+====,1,1,,0,1,)()(0i i j i i j h p dh d t q ii h ij ij μλ ,2,0≥-=j i q ij故柯尔莫哥洛夫向前方程为.,),()()()()(1,11,1I j i t p t p t p t p j i j ij j j j i j ij∈++-='++--μμλλ 故柯尔莫哥洛夫向后方程为.,),()()()()(,11,I j i t p t p t p t p j i i ij j j j i i ij∈++-='+-λμλμ 因为上述方程组的求解较为困难,我们讨论其平稳分布.由(5.13)式,有 ,2),()(,≥-=j i h o h p j i,1100πμπλ=.1,)(1111≥+=+++--j j j j j j j j πμπλπμλ逐步递推得,0101πμλπ=…, ,11--=j jj j πμλπ 再利用11=∑∞=j j π,得平稳分布,11211100)......1(-∞=-∑+=j j j μμμλλλπ, 112111021110)......1(......-∞=--∑+=j jj j j j μμμλλλμμμλλλπ 例5.4 生灭过程例子M/M/S 排队系统.假设顾客按照参数为λ的泊松过程来到一个有s 个服务员的服务站,即相继来到之间的时间是均值为λ1的独立指数随机变量,每一个顾客一来到,如果有服务员空闲,则直接进行服务,否则此顾客加入排队系列.当一个服务员结束对一位顾客的服务时顾客就离开服务系统,排队中的下一顾客进入服务. 假定相继的服务时间是独立的指数随机变量,均值为μ1.如果我们以X(t)记时刻t 系统中的人数,则}0),({≥t t X 是生灭过程⎩⎨⎧>≤≤=,,,1,s n s s n n n μμμ .0,≥=n n λλM/M/s 排队系统中M 表示马尔可夫过程,s 代表s 个服务员.特别在M/M/1排队系统中,μμλλ==n n ,,若1<μλ,则由(5.14)可得 .0),1()()(1)(1≥-=+=∑∞=n n n nnn μλμλμλμλπ。
第五章 连续时间马尔可夫链-随机过程
二、连续时间马尔可夫链的状态逗留时间和转移速率 命题 以 i 记过程在转移到另一状态之前停留在状态 i 的时 间，则对一切 s，t0 有 P{ i t s | i s} P{ i t } ，因此， 随机变量 i 是无记忆的必有指数分布，其参数设为 v i
证明： P{ i t s | i s}
P{T1 t } 1 e t
P{T1 T2 t } P{T1 T2 t | T1 x } e t dx
0 t
= (1 e 2 ( t x ) ) e x dx (1 e t )2
0
t
P{T1 T2 T3 t } P{T1 T2 T3 t | T1 T2 x }dFT1 T2 ( x )
i 1 n
其中 f 是密度函数(5.3.2)
e (t x) ,0 x t f ( x) 1 et 0, 其它
但因为(5.3.1)是 n 个密度为 f 的随机变量的子样 Y1,Y2,, Yn 的顺序统计量 Y(1),Y(2),, Y(n)的联合密度函数。于是得 命题 5.3.1 一个尤尔过程，其 X(0)=1，则给定 X(t)=n+1 时，出生时刻 S1,S2,, Sn 的分布如同取自密度为(5.3.2)的母体的容量为 n 的子 样 Y1,Y2,, Yn 的顺序统计量 Y(1),Y(2),, Y(n)的分布。
0 1 2 3
…Байду номын сангаас
n
n
2
3
… (n 1)
若对一切 n， n 0 (即若死亡是不可能的)，则生灭过程称为纯 生过程，i 个个体开始的纯生过程，生长率为 n , n i 。
5随机过程第五章马尔可夫过程
例2： 多级数字信号传输（级联） 传送两种信号0，1 每级正确传送概率为p，错误为1-p 单位时间传送一级， X 0 是第一级的输入，X n 是第n级的输入 1 为状态空间的齐次马氏链， ，则 { X n , n 0} 是以 S 0， 一步转移概率矩阵为
p q P q p
0.7 0.3 P 0.4 0.6
由C－K方程，两步转移矩阵为
P 2
四步转移矩阵为
P
4
0.61 0.39 P2 0.52 0.48
0.5748 0.4251 P4 0.5668 0.4332
如今日为时刻0，则今日有雨且第四日仍有雨的概率为
P
k
n P k -1 n P(1) n k 1 P k -1 n P n k 1
P 2 n P n P n 1
P k 1 (n) P n P n 1 P n k , n, k 0
一步转移概率矩阵
P n pij n , i, j S
(4) 0步转移概率 k=0 连续性条件 则
P
0
1, i j pij n ij 0, i j
0
n I
单位矩阵
1,2,3，系统在n时刻的k步转移概率矩阵为 例 状态空间 S
5、1 马尔可夫过程定义
2）时间离散 状态连续
3）时间连续 状态离散 泊松过程 更新过程
马尔可夫序列
纯不连续马尔可夫过程 生灭过程 排队服务系统
4）时间状态连续
维纳过程
5、2 马尔可夫链的转移概率及概率分布
设Markov链 X n , n 0 状态空间为S 1．转移概率 (1) 定义： n时刻 X n i k步转移
第5章 (15)教材配套课件
第5章 马尔可夫过程
对于 T = { 0 ， 1 ， 2 ，…}的马氏链 X = { X ( 0 )， X ( 1 )， X ( 2 )，…}，我们常将它记为 X ={X n ， n ≥0 }。对 此，容易证明，马氏性( 5.1.6 )式等价于对任一 n ≥0 ， i 0 ， i 1 ，…， i n +1 ∈S 均有
第5章 马尔可夫过程 对于 X 的 k 步转移概率矩阵 P (k ) (n )，由概率的定义易
知 p( k )ij(n ) ≥0 ，进而，由完全可加性可得
因此 P (k ) (n )均是随机矩阵。
第5章 马尔可夫过程
从马氏链的定义(5.1.6 )式出发，我们在( 5.2.1 )式中引 入了 X 的 k 步转移概率，而由马氏链的等价定义(5.1.7 )式 知，我们似乎只需要引入 X 的一步转移概率即可。由于定 义(5.1.6 )式和( 5.1.7 )式是等价的，因此易于猜测 k 步转移 概率与一步转移概率之间应是等价的，即可以互相表示。为 此，我们先来证明以下称之为 Chapman-Kolmogorov (简称 为 C－K )方程的一个公式。
容易验证，随机矩阵具有如下性质。
第5章 马尔可夫过程
性质 5.2.1 ( 1 )随机矩阵 P 的任意次幂 P m ( m ≥0 )均是 随机矩阵;
(2 )如果随机矩阵 P 的各行皆对应相等，即 pij= p j ，( ∀ i ， j )，则
为了描述马氏链 X ，由其定义( 5.1.6 )式，我们引入记号
第5章 马尔可夫过程
对齐次马氏链，由(5.2.4 )式易知， k 步转移概率 p( k ) ij(n )也与时间起点 n 无关，简记为p( k ) ij 。因此，在讨论转移概率时，我们就可假定时间起点为零， 即
第五章 随机过程中的马尔可夫过程
p(k m) ij
(n)
p(k il
)
(n)
p(m lj
)
(n
k
),
i, j S,
n, k, m 0
l
或
P(km) (n) P(k) (n)P(m) (n k)
证明
2006年9月
p(k ij
m)
(n)
P{X
nk
m
j|
Xn
i}
P{U( X nk l), X nkm j | X n i} l
i
P( X 0 i)P( Xt1 i1 | X 0 i)P( X t2 i2 | X 0 i, X t1 i1)L i
• P( X tn in | X 0 i, X t1 i1, X t2 i2 ,L , X tn1 in1)
P( X 0 i)P( X t1 i1 | X 0 i)P( X t2 i2 | X 0 i)P( X tn in | X tn1 in1)
i
qi0
pt1 ii1
(0)
pt2 i1i2
t1
(t1
)L
p (t ) tn tn1
in1in
n1
i
2006年9月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
3) 绝对分布
称q(jn) P(Xn j), n 0, j S为马尔可夫链{Xn，n 0}的绝对分布。
2006年9月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
一种最简单的形式:
P{X (t1) i1, X (t2 ) i2,L , X (tn1) in1, X (tn ) in} P{X (t1) i1}P{X (t2) i2}L P{X (tn ) in}
第五章马尔可夫过程
5.1 马尔可夫过程的概念
5.1.1 有关定义
高阶马尔可夫过程的定义：
如果马尔可夫过程在tn时刻的状态，只与tn时刻以前的tn-1, tn-2,… tn-k这k个时刻的状态有关，而与更前时刻的状态无关， 即
F(xn ; tn | xn-1, xn-2,…, xn-k , xn-k-1 ,…, x2 , x1 ;tn-1, tn-2,…, tn-k , tn-k-1 ,…, t2 , t1 )= F(xn ; tn | xn-1, xn-2,…, xn-k;tn-1, tn-2,…, tn-k) 或 f(xn ; tn | xn-1, xn-2,…, xn-k , xn-k-1 ,…, x2 , x1 ;tn-1, tn-2,…, tn-k , tn-k-1 ,…, t2 , t1 )= f(xn ; tn | xn-1, xn-2,…, xn-k;tn-1, tn-2,…, tn-k)
P{X(tn) < xn | X(t1) = x1, X(t2) = x2, …, X(tn-1) = xn-1}
= P{X(tn)- X(tn-1) < xn- xn-1 | X(t1) = x1, X(t2) = x2, …, X(tn-1) = xn-1}
= P{X(tn)- X(tn-1) < xn- xn-1 }= P{X(tn) < xn | X(tn-1) = xn-1}
转移概率分布函数和转移概率密度的定义：
把马尔可夫过程{X(t), t∊T}的条件概率分布函数，
F(x2 ; t2 | x1 ; t1}= P{X(t2) < x2 | X(t1) = x1}
称为马尔可夫过程的(状态）转移概率函数。
最新第5章马尔可夫过程ppt课件
显然，绝对分布与初始分布和n步转移概率有如下关系：
q ( jn )q i ( 0 )p i ( jn )( 0 ) , n 0 ,i,j S i
或
q(n) q(0)P(n)(0)
5.2 马尔可夫链的转移概率与概率分布
事实上
q(n) j
P( X n
j)
P(
( X 0 i), X n j)
i
一直推下去，有 P ( k 1 ) ( n ) P ( n ) P ( n 1 )P ( n k ) , n , k 0
其分量形式为
p i ( j k 1 ) ( n )
p i j 1 ( n ) p j 1 j 2 ( n 1 )p j k j ( n k ) ,n , k 0 ; i , j S
5.2 马尔可夫链的转移概率与概率分布
解 根据题设，这个问题可以看成以S={0,1,2,…,c}为状态 空间的随机游动{Xn, n≥0}，质点从a点出发到达0状态先 于到达c状态的概率就是甲先输光的概率.设0<j<c,uj 为质点从j出发到达0状态先于到达c状态的概率.由全概率 公式有
j 1j 2 j k
在上式中把 k+1换成 k，便可得如下结论 ：
定理5.2.2 马尔可夫链的k 步转移概率由一步转移概率所 完全确定.
5.2 马尔可夫链的转移概率与概率分布
3. 马尔可夫链的分布
def
1)
初始分布称
q(0) i
P(X0i),iS为马尔可夫链{Xn,
n≥0}的
初始分布；
称第i个分量为
P(Xt1 i1, Xt2 i2, , Xtn in)
P( (X0 i), Xt1 i1, Xt2 i2, , Xtn in)
第五章马尔可夫过程
= P{X(tn)- X(tn-1) < xn- xn-1 | X(t1) = x1, X(t2) = x2, …, X(tn-1) = xn-1}
= P{X(tn)- X(tn-1) < xn- xn-1 }= P{X(tn) < xn | X(tn-1) = xn-1}
k为转移步长。显然， 0≤ pij (m,k) ≤ 1 。
5.2 马尔可夫链
5.2.1 பைடு நூலகம்尔可夫链的概念
马尔可夫链的转移概率及其矩阵：
对于有限状态空间E={1,2,…,N},由马尔可夫链 {X(n), n=0,1,2,…}在时刻m的k步转移概率pij (m,k)形成的下列矩阵
p11(m, k)
P(m,
5 马尔可夫过程
马尔可夫过程的概念 离散参数马尔可夫链 连续参数马尔可夫链 生灭过程及应用
5 马尔可夫过程
有限维概率分布(簇) 转移概率 绝对概率 极限分布 平稳分布 状态空间的性质
5.1 马尔可夫过程的概念
5.1.1 有关定义
随机过程马尔可夫性：（物理描述）
当随机过程在时刻 ti 所处的状态为已知的条件下，过 程在时刻 t(>ti)所处的状态，与过程在ti时刻以前的状态无 关，而仅与在ti时刻的状态有关。这种已知“现在”状态的 条件下，“将来”状态与“过去”状态无关的性质，称为 马尔可夫性或无后效性。
或 F{xn | x1, x2, …, xn-1; t1, t2, …, tn-1}= F{xn; tn| xn-1 ; tn-1} 或 f{xn | x1, x2, …, xn-1; t1, t2, …, tn-1}= f{xn; tn| xn-1 ; tn-1}
随机过程_马尔可夫过程-2分析
马尔可夫过程的概念 离散参数马尔可夫链 连续参数马尔可夫链 生灭过程及应用
5 马尔可夫过程
有限维概率分布(簇)
转移概率
绝对概率
极限分布
平稳分布
√ 状态空间的ห้องสมุดไป่ตู้质
5.2.4 马尔可夫链的状态分类
一些基本状态类型、概率性质及其关系 状态空间的分解 极限特性与平稳分布
5.2.4 马尔可夫链的状态分类_状态的基本属性
一、可达与相通
可达的定义：对给定的两个状态i和j,若存在正整数n≥1,使得
pij(n)﹥0,则称从状态i 可到达状态j，记为i→j；否则，称从状
态i不可到达状态j，记为i→j。
若从状态i不可到达状态j时，一个齐次马尔可夫链对于一
切n (≥1), 总有pij(n)=0。
P 到达状态 j X (m) i
1n
1n
显然，
fij () P Tij } 1 P{Tij 1 fij
表示系统在从状态i出发，经过有限步转移后不可能到达状态j的概率。
fii表示从状态i出发迟早回到状态i的概率:
fii
fii (n) P{Tii }
1 n
5.2.4 马尔可夫链的状态分类_状态的基本属性 二、到达时间和到达概率
二、到达时间和到达概率
基本性质：
（1）对于任意的i, j∈E，0 fij (n) pij (n) fij 1
（2）定理：对于任意的i, j∈E及n，
n
pij (n) fij (m) p jj (n m) m1
该式表明，从状态i出发经过时间n后到达状态j的概率, 等于所有从 状态i出发经过一段时间m(<n)首次到达状态j后，再经过一段时间n-m又 返回到状态j的概率之和。
马尔可夫过程详解
平均正常工作时间为1/λ；
损坏后的修复时间： 典型地也是一个负指数分布的随机变量 平均修复时间为 1/μ；
问： 1) 一个系统正常启动后, 10小时以后正常工作的概率？
2) 系统平均无故障时间MTBF？平均修复时间MTTR？…
典型问题：排队论
N(t)
t
到达某个服务台的顾客流是一个强度为 λ 的泊松过程，单位 时间到达服务台的平均人数为λ； 服务台只有一个服务员，顾客所需服务时间是负指数分布的
w (t) w0 (t), w1 (t), ，wn (t)
例
例1：确定跳跃强度
λΔt+o(Δt) 1 μΔt+o(Δt) 2 3 4 5
1
x
在[1,5]上有个质点在整数点上作随机游动。
质点任何时刻都可能发生移动 若在时刻 t 质点位于2~4，则在(t+Δt)中以概率λΔt+o(Δt)
离散马尔可夫过程的无穷小转移率 或 跳跃强度。
性质：
q
j
ij
0
qi1 1+qii
qi2 i qi4
qi3
马尔可夫过程的数学描述：跳跃强度矩阵
跳跃强度(转移率)矩阵：
q00 Q q10 q n0 q01 q11 qn1 q0n q1n qnn
马尔可夫过程的数学描述：跳跃强度Q
定 对于一个很小的正的Δt 义 P ( Δt) P (0) q Δt o( Δt) δ q Δt o( Δt) ij ij ij ij ij
lim 其中： qij Δ to
Pij ( Δt) δi j Δt
称为参数连续状态
Ft
n 1 /t1 ,t2 tn
[讲解]马尔可夫过程及其应用
![[讲解]马尔可夫过程及其应用](https://img.taocdn.com/s3/m/796b22c732d4b14e852458fb770bf78a65293aa8.png)
马尔可夫过程马尔可夫过程（Markov Process）什么是马尔可夫过程1、马尔可夫性(无后效性)过程或（系统）在时刻t0所处的状态为已知的条件下，过程在时刻t > t0所处状态的条件分布，与过程在时刻t0之前年处的状态无关的特性称为马尔可夫性或无后效性。
即：过程“将来”的情况与“过去”的情况是无关的。
2、马尔可夫过程的定义具有马尔可夫性的随机过程称为马尔可夫过程。
用分布函数表述马尔可夫过程：设I：随机过程{X(t),t\in T}的状态空间，如果对时间t的任意n个数值:（注：X(t n)在条件X(t i) = x i下的条件分布函数）(注：X(t n))在条件X(t n− 1) = x n− 1下的条件分布函数）或写成：这时称过程具马尔可夫性或无后性，并称此过程为马尔可夫过程。
3、马尔可夫链的定义时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。
[编辑]马尔可夫过程的概率分布研究时间和状态都是离散的随机序列:,状态空间为1、用分布律描述马尔可夫性对任意的正整数n,r和，有：PX m + n = a j | X m = a i，其中。
2、转移概率称条件概率P ij(m,m + n) = PX m + n = a j | X m = a i为马氏链在时刻m处于状态a i条件下，在时刻m+n转移到状态a j的转移概率。
说明：转移概率具胡特点：。
由转移概率组成的矩阵称为马氏链的转移概率矩阵。
它是随机矩阵。
3、平稳性当转移概率P ij(m,m + n)只与i,j及时间间距n有关时，称转移概率具有平稳性。
同时也称些链是齐次的或时齐的。
此时，记P ij(m,m + n) = P ij(n),P ij(n) = PX m + n = a j | X m = a i(注：称为马氏链的n步转移概率)P(n) = (P ij(n))为n步转移概率矩阵。
特别的, 当k=1 时,一步转移概率：P ij = P ij(1) = PX m + 1 = a j | X m = a i。
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5.2.4 马尔可夫链的状态分类_状态的基本属性
三、常返态与非常返态
定义： 对于状态i ∈E，若迟早返回的概率fii=1，则称状态i是 常返态（返回态）；若fii<1，则称状态i是非常返态（滑过 态、瞬时态）。
对于常返态i ∈E，若平均返回时间i<+∞，则称状态i 是正常返态；若i=+∞，则称状态i是零常返态。
n 1 n 1
n 1
Y (n) P[Y (n) |X (0) j ] P[ X (n) j |X (0) j ] p jj (n)
n 1 n 1 n 1
5.2.4 马尔可夫链的状态分类_状态属性的判定
五、状态判别准则
定理:状态i是常返态的充要条件是下列三个条件之一成
5 马尔可夫过程
马尔可夫过程的概念
离散参数马尔可夫链
连续参数马尔可夫链
生灭过程及应用
5
马尔可夫过程
有限维概率分布(簇) 转移概率
绝对概率
极限分布 平稳分布 √ 状态空间的性质
5.2.4 马尔可夫链的状态分类
一些基本状态类型、概率性质及其关系 状态空间的分解 极限特性与平稳分布
5.2.4 马尔可夫链的状态分类_状态的基本属性
ii
(n)
5.2.4 马尔可夫链的状态分类_状态属性的判定 五、状态判别准则
定理: 若状态i是常返态,则: (1) i是正常返态的充要条件是 lim pii (n) 0 n (2) i是零常返态的充要条件是 lim pii (n) 0 n 1 (3) i是遍历的充要条件是 lim pii (n) n i (4) i是正常返态周期的充要条件是 lim pii (n) 不存在.
5.2.4 马尔可夫链的状态分类_状态的基本属性
非常返态 fii<1 零常返态 状态 i=+∞ 常返态 正常返态 有周期 fii=1 i<+∞ 非周期（遍历态）
5.2.4 马尔可夫链的状态分类_状态属性的判定
五、状态判别准则
平均返回次数：当状态i是常返态时，则平均返回i的次数 为无穷；若状态i是非常返态时，则平均返回i的次数应为 有限次。
一、可达与相通
可达的定义：对给定的两个状态i和j,若存在正整数n≥1,使得 pij(n)﹥0,则称从状态i 可到达状态j，记为i→j；否则，称从状 态i不可到达状态j，记为i→j。 若从状态i不可到达状态j时，一个齐次马尔可夫链对于一 切n (≥1), 总有pij(n)=0。
P
到达状态
j
X (m) i
m 1 n
fij (m) P{ X (n) j X (m) j}
m 1 n
fij (m) p jj (n m)
m 1
5.2.4 马尔可夫链的状态分类_状态的基本属性
二、到达时间和到达概率
基本性质： （3）定理：对于任意的i, j∈E， fij 0 i j [证] 充分性：若i→j ，根据定义则存在正整数n≥1,使得 pij(n)﹥0。由上定理，
5.2.4 马尔可夫链的状态分类
七、状态空间的分解
性质
（1）C是闭集
对于i∈C, j∈C,
p (n) 1
jC ij
pij(n)=0, n≥1,
（2）所有常返态构成一个闭集 。
（3）齐次马氏链不可约 任何两个状态均相通。 （4）在不可约马氏链中，所有状态具有相同的状态类型。 （5）不可约马氏链或没有非常返态或没有常返态。
p (n) 1 。
jC ij
5.2.4 马尔可夫链的状态分类 七、状态空间的分解
不可约定义
如果闭集C中不再含有任何非空的子闭集，则称C是不 可约的(不可分的)。 如果闭集C的状态是相通的，则C是不可约的。 当整个状态空间E这个闭集不可约时，称此马氏链为不 可约马氏链，否则称为可约马氏链。
5.2.4 马尔可夫链的状态分类_状态的基本属性 四、周期状态和非周期状态
定义
如果存在正整数d(＞1)，仅当n=d, 2d, 3d,…时， pii(n)>0, 而当n不能被d整除时， pii(n)=0, 则称状态i是 周期的，且周期为d；如果不存在上述的d时，则称状 态i是非周期的。（d=1）
若状态i为正常返态且为非周期的，则称状态i是遍 历状态。（d=1）
定理:
(1)如果状态i是常返的,且i可达j,则状态j也是常返的, 并且fji=1; (2)如果i和j相通,则i和j状态的常返性、非常返性、 正常返性、零常返性、周期性是相同的。
相通是一种等价关系,用之对状态进行分解.
5.2.4 马尔可夫链的状态分类
七、状态空间的分解
闭集定义 设C是状态空间E的一个子集，如果从C内任何一个状态i 不能到达C外的任何状态，则称C是一个闭集。即，对任意 的i∈C，j∈C，n≥1, 都有pij(n)=0. 显然，如果C是闭集，对于任意 i∈C，恒有 整个状态空间E是最大的闭集。 如果单个状态i构成的集{i}是闭集，则称状态i是吸收态。 任何一个吸收状态构成最小的单点闭集。
称为首达概率。显然，
f ij (1) pij P X (m 1) j X ( m) i
f ij () P X (m n) j , n 1 X (m) i
fii(n)表示从状态i出发经过n步首次回到状态i的概率。
5.2.4 马尔可夫链的状态分类_状态的基本属性
5.2.4 马尔可夫链的状态分类
七、状态空间的分解
状态空间分解 齐次马氏链的状态E可唯一地分解为有限多个或可列 多个互不相交的状态子集：
立: (1) (2) (3) fii=1
P{Tii } 1
p
n 1
ii
(n)
5.2.4 马尔可夫链的状态分类_状态属性的判定
五、状态判别准则
定理:状态i是非常返态的充要条件是下列三个条件之一 成立:
(1) fii<1
(2) P{Tii } 1
(3)
p
n 1
5.2.4 马尔可夫链的状态分类_状态属性的判定 五、状态判别准则
平均返回次数与转移概率的关系：
量 若X(0)=j,经过n步返回状态j，定义随机变 。
1, X (n) j Y (n) 0, X (n) j
那么， Y (n) 就表示返回j的次数。平均返回次数为 N
E[ N | X (0) j ] E[ Y (n) | X (0) j ] E[Y (n) |X (0) j ]
二、到达时间和到达概率
迟早到达概率定义：对于任意的i, j∈E，m时刻从状态i出发， 迟早到达状态j的概率定义为
fij
1n
fij (n)
1n
PT
ij
n | X (m) i P Tij
显然，
f ij () P Tij } 1 P{Tij 1 f ij
m 1 n
n
P{Tij m X (0) i}P{ X (n) j X (0) i, Tij m}
m 1 n
P{Tij m X (0) i}P{ X (n) j X (0) i, X (k ) j ,1 k m 1, X (m) j}
n
fij
1 m
fij (m) 0
则至少存在一个正整数n≥1,使得fij(n)﹥0。由上定理，
pij (n) fij (m) p jj (n m) f ij (n) p jj (0) f ij (n) 0
m 1
因此， i→j。
（4）定理：对于任意的i, j∈E，
5.2.4 马尔可夫链的状态分类_状态的基本属性
二、到达时间和到达概率
首达概率定义：对于任意的i, j∈E， m时刻从状态i出发，经 过n步首次到达状态j的概率，
fij (n) P Tij n | X (m) i P X (m n) j , X (m k ) j ,1 k n | X (m) i
基本性质： （1）对于任意的i, j∈E， 0 fij (n) pij (n) fij 1 （2）定理：对于任意的i, j∈E及n，
pij (n) fij (m) p jj (n m)
m 1 n
该式表明，从状态i出发经过时间n后到达状态j的概率, 等于所有从 状态i出发经过一段时间m(<n)首次到达状态j后，再经过一段时间n-m又 返回到状态j的概率之和。
P X ( m n) j
n 1
N
X (m) i pij (n) 0
n 1
N
两个吸收壁1,5
概率q
概率p
i=1
2
3
4
5
5.2.4 马尔可夫链的状态分类_状态的基本属性
一、可达与相通
相通的定义：给定的两个状态i和j，如果从状态i可到达状态j， 即i→j；而且从状态j也可到达状态i ，即j → i ，则称状态i与 状态j 相通，记为i←→j。 定理：可达和相通都具有传递性。即若 i→k， k→j，则i→j； 若i←→k， k←→j，则i←→j。 [证] 若i→k， k→j，则由定义存在m≥1和n≥1，使pik(m)﹥0, pkj(n)﹥0, 根据切普曼－柯尔莫哥洛夫方程，
n
5.2.4 马尔可夫链的状态分类_状态属性的判定
五、状态判别准则
定理: 若i, j ∈E , (1）如有正整数n，使得pii(n)>0, pii(n+1)>0, 则状态i是