基本不等式的证明

注意（1）不等式成立条件（2）等号成立条 件
四、数学理论
问题4： 你能给出基本不等式几何解释吗？
ab
a
b
“半径不小于半弦”
五、数学应用
例1．判断下列命题是否正确，若不正确，请说 明理由；若正确，请证明。
1 a, b R, a2
b2
2ab
(2)a
1 a
2
(3)ab 0, b a 2
ab
an
n 1,n N
八、作业
五、数学应用
例2、证明
(1)a 0,b 0, ab 2ab ab
(2)a R,b R, a2 b2 a b
2
2
五、数学应用
a,b R ,
a2 b2 a b
2
2
ab
1
2
1
ab
平方平均数 算术平均数 几何平均数 调和平均数
(4)a 1, a 1 3
a 1
六、回顾反思
1、今天这节课学了哪些主要知识？ 2、在解决问题时用了哪些方法？
七、拓展延伸
这个基本不等式可否推广到“n个非负数Biblioteka Baidu 的情形，有兴趣的同学可作进一步的研 究，也可查阅有关资料。
若ai 0i 1,2,L n，
则n
a1a2 L
an
a1 a2 L n
不等式证明的基本方法 比较法（比差、比商法） 分析法——执果索因 综合法——由因索果
如果 a,b 是正四数，、那数么学a理b 论a b
2
当且仅当a b时取" " 号
问题 3、当a 0,b 0时 ，这个不等式仍然成立吗？
把不等式 ab a b (a 0,b 0) 称为基本不等式。 2
一、创设问题情景：
❖ 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个 盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 a。如果天平制造得不精确，天平的两臂长略 有不同（其他因素不计），那么a并非物体的 实际质量。不过，我们可以作第二次测量：把 物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体 的质量为b。
问题1、如何合理的表示物体的质量？
二、学生活动
ab
两个正数a、b ，我们把
称为a、b
2
的算术平均数， ab 称为几何平均数。
问题2、两个正数a、b的算术平均数与几何平均数 之间具有怎样的大小关系呢？
二、学生活动
猜想：ab a b（a 0,b 0） 2
问题3：如何证明 ab a b（a 0,b 0） 2
三、建构数学