巴特沃斯低通滤波器的设计

巴特沃斯低通滤波器的设计

1、巴特沃斯滤波器的介绍

巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为

2221

|()|1N

H j C λλ=

+

其中C 为一常数参数，N 为滤波器阶数，λ为归一化低通截止频率,

/p λ=ΩΩ。

式中N 为整数，是滤波器的阶次。

巴特沃斯低通滤波器在通带内具有最大平坦的振幅特性，这就是说，N 阶低

通滤波器在0Ω=处幅度平方函数的前2N-1阶导数等于零，在阻带内的逼近是单调变化的。巴特沃斯低通滤波器的振幅特性如图a 所示。

滤波器的特性完全由其阶数N 决定。当N 增加时，滤波器的特性曲线变得更陡峭，这时虽然由a 式决定了在p Ω=Ω处的幅度

函数总是衰减3dB ，但是它们将在通带的更大范围内接近于1，在阻带内更迅速的接近于零，因而振幅特性更接近于理想的矩形

频率特性。滤波器的振幅特性对参数N 的依赖关系如图a 所示。

设归一化巴特沃斯低通滤波器的归一化频率为λ，归一化传递函数为()H p ，其中p j λ=，则可得：

2

221

()

1(1)N N

p j

H j C p

λλ=

=

+- 由于

221

()()()

1()

a a js

N

c

H s H s A s j Ω=--=Ω=

+Ω

所以巴特沃斯滤波器属于全极点滤波器。

2、常用设计巴特沃斯低通滤波器指标

p λ：通带截止频率； p α：通带衰减，单位：dB ；

p 图a 巴特沃斯低通滤波器的振幅特性

s λ：阻带起始频率；

s α：阻带衰减，单位：dB 。

说明：

（1）衰减在这里以分贝（dB ）为单位；即

222

110lg

10lg 1()

N

C H j αλλ⎡⎤==+⎣⎦

（2）当3dB α=时p C Ω=Ω为通常意义上的截止频率。 （3）在滤波器设计中常选用归一化的频率/C λ=ΩΩ，即

1,

p s

p s p

p

λλΩΩ=

==

ΩΩ

图b 为巴特沃斯低通滤波器指标

3、设计巴特沃斯低通滤波器的方法如下：

（1）计算归一化频率1p p p

λΩ=

=Ω，s

s p

λΩ=

Ω。 （2） 根据设计要求按照2

10

10

1p

C α=-和lg lg s

a

N λ=

其中a =特沃斯滤波器的参数C 和阶次N ；注意当3p dB α=时 C=1。

（3）利用N 查表获得归一化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数()H p ； （4）令()H p 中的p

s

p =

Ω得到截止频率为p Ω

的巴特沃斯低通滤波器的系统

函数。

4、例题设计

试设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求截止频率5000p f Hz =，通带最大衰减3p dB α=，阻带起始频率10000s f Hz =，阻带最小衰减30s dB α=。

解：已知225000p p f ππΩ==⨯，3p dB α=，2210000s s f ππΩ==⨯，30s dB α= （1）计算归一化频率1p p p

λΩ=

=Ω，2s

s p

λΩ=

=Ω。 （2）计算出巴特沃斯滤波器的阶次N 及C

20.3101011011p

C α=-=-=

31.637

a =

==则 lg lg 31.637

4.982lg lg 2s a N λ===

选择N=5。

（3）利用N 查表获得归一化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数()H p ；

54321

() 3.2361 5.2361 5.2361 3.23611

H p p p p p p =

+++++

（4）去掉归一化影响

205

5

448231232164205

()()103.23610 5.23610 5.23610 3.2361010p

s

p H s H p s s s s s ππππππ=

Ω==+⨯+⨯+⨯+⨯+

5、程序设计代码如下

wp=2*pi*5000;ws=2*pi*12000;Rp=2;As=30; [N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s'); [B,A]=butter(N,wc,'s');

k=0:511;fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk; Hk=freqs(B,A,wk);

subplot(2,2,1);

plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk)));grid on xlabel('ƵÂÊ£¨kHz£©');ylabel('·ù¶È£¨dB£©') axis([0, 14, -40, 5]) 运行结果如下：

6、实验结论

通过设计巴特沃斯低通滤波器，让我对巴特沃斯低通滤波器有了更深的理解，也让我产生了兴趣，其实，巴特沃斯低通滤波器主要是根据设计指标要求p λ，

p α，s λ，s α确定归一化巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数中的待定系数C 及滤波器的阶数N ；然后再根据幅度平方函数确定巴特沃斯低通滤波器的传递函数H(s)。