二轮复习圆锥曲线的性质学案(全国通用)

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2019届二轮复习圆锥曲线学案 (全国通用)

第九讲圆锥曲线一、知识方法拓展： 1、直线系方程若直线1111:0l a x b y c ++=与直线2222:0l a x b y c ++=相交于P ，则它们的线性组合()()1112220a x b y c a x b y c λμ+++++=（,R λμ∈，且不全为0）（*）表示过P 点的直线系。

当参数,λμ为一组确定的值时，（*）表示一条过P 点的直线。

特别地，当0λ=时，（*）式即2220a x b y c ++=；当0μ=时，（*）式即1110a x b y c ++=。

对于12,l l 以外的直线，我们往往只在（*）式中保留一个参数，而使另一个为1. 又若1l 与2l 平行，这时（*）式表示所有与1l 平行的直线。

2、圆锥曲线的第二定义（离心率、准线方程等）圆锥曲线的统一定义为：平面内到一定点F 与到一条定直线l (点F 不在直线l 上）的距离之比为常数e 的点的轨迹: 当01e <<时, 点的轨迹是椭圆，当 1e >时, 点的轨迹是双曲线，当 1e =时, 点的轨迹是抛物线，其中e 是圆锥曲线的离心率ce a=，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线，焦点在X 轴上的曲线的准线方程为2a x c=±。

3、圆锥曲线和直线的参数方程圆222x y r +=的参数方程是cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，其中θ是参数。

椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩，其中θ是参数，称为离心角。

双曲线22221x y a b -=的参数方程是sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩，其中θ是参数。

抛物线22y px =的参数方程是222x pt y pt⎧=⎨=⎩，其中t 是参数。

过定点()00,x y ，倾斜角为α的直线参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩，t 为参数。

2021-2022年高考数学二轮复习专题1.6圆锥曲线教学案

2021年高考数学二轮复习专题1.6圆锥曲线教学案一．考场传真1. 【xx 课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A2．【xx 课标II ，理9】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A ．2B ．C ．D ．【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线为：，圆心到渐近线距离为：，不妨考查点到直线的距离：222023b a b d ca b +⨯===+，整理可得：,双曲线的离心率.故选A. 3．【xx 课标3，理10】已知椭圆C ：，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A．B．C．D．【答案】A4．【xx课标1，理】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A 与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.【答案】【解析】如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐近线上的点，且，，而，所以，点到直线的距离221APba=+，在中，，代入计算得，即，由得，所以.5．【xx课标II，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则 .【答案】66．【xx 课标3，理5】已知双曲线C ： (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C 的方程为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】双曲线C ： (a ＞0,b ＞0)的渐近线方程为，椭圆中：2222212,3,9,c 3a b c a b ==∴=-== ，椭圆，即双曲线的焦点为，据此可得双曲线中的方程组：222523b a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，解得：，则双曲线的方程为 .故选B .7．【xx 课标3，理20】已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点，求直线l 与圆M 的方程.(2)由(1)可得()21212122,424y y m x x m y y m +=+=++=+ .故圆心的坐标为，圆的半径 .由于圆过点，因此，故()()()()121244220x x y y --+++= ，即()()1212121242200x x x x y y y y ++++++= .由(1)可得 .所以，解得或 .当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为 .当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为 .8．【xx 课标1，理20】已知椭圆C ：（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，），P 4（1，）中恰有三点在椭圆C 上.（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.【解析】（1）由于，两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过，两点.又由知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得.故C 的方程为. （2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知，且，可得A ，B 的坐标分别为（t ，），（t ，）.则221242421t t k k ---++==-，得，不符合题设.从而可设l ：（）.将代入得222(41)8440k x kmx m +++-=由题设可知.，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=，x 1x 2=.而.由题设，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m km k m k k --+⋅+-⋅=++.解得.当且仅当时，，欲使l ：，即，所以l 过定点（2，）9．【xx 课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足.(1) 求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线上，且.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .二．高考研究【考纲解读】1.考纲要求(1)直线方程：①在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.②能根据两条直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④掌握正确直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.⑤能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.(2)圆与方程：①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.②能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.④初步了解用代数方法处理几何问题的思想.(３)圆锥曲线：①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.知道它的简单几何性质.④了解圆锥曲线的简单应用.⑤理解数形结合的思想(2)曲线与方程：了解方程的曲线与与曲线方程的对应关系.2.命题规律：1、题量稳定：解析几何与立体几何相似，在高考试卷中试题所占分值比例较大.一般地，解析几何在高考试卷中试题大约出现3个题目左右，其中选择题、填空题占两道，解答题占一道；其所占平均分值为22分左右，所占平均分值比例约为14%.2、整体平衡，重点突出：重点内容重点考，重点内容年年考.三大圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既注意全面，更注意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度.直线与圆的方程，圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是支撑解析几何的基石，也是高考命题的基本元素．高考十分注重对这些基础知识的考查，有的是考查定义的理解和应用，有的是求圆锥曲线的标准方程，有的是直接考查圆锥曲线的离心率，有的是考查直线与圆和圆锥曲线的位置关系等．数学高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：①求曲线方程（类型确定，甚至给出曲线方程）；②直线、圆和圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）；③与圆锥曲线定义有关的问题（涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理等）④与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）；⑤与曲线有关的几何证明(圆线相切、四点共圆、对称性或求对称曲线、平行、垂直等)；⑥探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征(很少)；3、题型稳定，中规中矩，不偏不怪，内容及位置也很稳定.解析几何试题的难度都不算太大，选择题、填空题大多属中等题，圆一般不单独考查，总是与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题.高考一般不给出图形，以考查学生的想象能力、分析问题的能力，从而体现解析几何的基本思想和方法，解答题加大与相关知识的联系（如向量、函数与导数、方程、不等式等），难度不是太大，所有问题均很直接，都不具备探索性.特别是近几年的解答题，计算量减少，但思考量增大，对于用代数方法研究有关直线与椭圆、抛物线位置关系问题，体现在解法上，不仅仅只是利用根与系数关系研究，而是在方法的选择上更加灵活，如联立方程求交点或向量的运算等，思维层次的要求并没有降低. 若再按以前的“解几套路”解题显然难以成功. 3．学法导航1.求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况．对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．2. 解决与圆有关的问题一般有两种方法：几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．3讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．4.准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．5．明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．6．解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．7．解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明确化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．一．基础知识整合基础知识：1. 直线的方程：点斜式：；截距式：；两点式：；截距式：；一般式：，其中A 、B 不同时为0.2．两条直线的位置关系：两条直线，有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.两直线平行两直线的斜率相等或两直线斜率都不存在；两直线垂直两直线的斜率之积为或一直线斜率不存在，另一直线斜率为零；与已知直线0(0,0)Ax By C A B ++=≠≠平行的直线系方程为；若给定的方程是一般式，即l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有下列结论：l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.两平行直线间距离公式：10(0,0)Ax By C A B ++=≠≠与2120(0,0,)Ax By C A B C C ++=≠≠≠的距离3．圆的有关问题：圆的标准方程：（r ＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为．圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （＞0）称为圆的一般方程，其圆心坐标为（，），半径为.当=0时，方程表示一个点（，）；当＜0时，方程不表示任何图形.圆的参数方程：圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：（θ为参数）（θ为参数）直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系的判断：【方法一】几何法：根据圆心与直线的距离与半径的大小关系进行判断；设圆心到直线的距离为，圆的半径为，则（1）直线与圆相交直线与圆有两个公共点；（2）直线与圆相离直线与圆无公共点；（3）直线与圆相切直线与圆有且只有一个公共点；【方法二】代数法：把直线的方程圆的方程联立方程组，消去其中一个未知数得到关于另外一个数的未知数的一元二次方程，则（1）直线与圆相交直线与圆有两个公共点；（2）直线与圆相离直线与圆无公共点；（3）直线与圆相切直线与圆有且只有一个公共点；若直线与圆相交，设弦长为，弦心距为，半径为，则4．椭圆及其标准方程：椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于||这个条件不可忽视.若这个距离之和小于||，则这样的点不存在；若距离之和等于||，则动点的轨迹是线段.椭圆的标准方程：（＞＞0），（＞＞0）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.如果已知椭圆过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为221(0,0)Ax By A B +=>>或；椭圆的参数方程：椭圆（＞＞0）的参数方程为（θ为参数）.说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：；⑵ 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.5．椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质：设椭圆方程为（＞＞0）.范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里.对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.顶点：有四个（-a ，0）、（a ，0）（0，-b ）、（0，b ）. 线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆.椭圆的第二定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.准线：根据椭圆的对称性，（＞＞0）的准线有两条，它们的方程为.对于椭圆（＞＞0）的准线方程，只要把x 换成y 就可以了，即.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设（-c ，0），（c ，0）分别为椭圆（＞＞0）的左、右两焦点，M （x ，y ）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，，椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点，另一个顶点在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则三角形的周长为定值等于，面积等于，其中是短半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为2b 2a6．双曲线及其标准方程：双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a （小于||）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜||，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=||，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞||，则无轨迹.若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.双曲线的标准方程：和（a ＞0，b ＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，不一定大于，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.如果已知双曲线过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为或7．双曲线的简单几何性质双曲线的实轴长为，虚轴长为，离心率＞1，离心率e 越大，双曲线的开口越大.双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：，其中k 是一个不为零的常数.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是和.在双曲线中，如果一个三角形的两个顶点是焦点，另一个顶点在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则面积等于212tan 2b F PF ，其中是虚半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为 8．抛物线的标准方程和几何性质抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线.这个定点F 叫抛物线的焦点，这条定直线l 叫抛物线的准线.需强调的是，点F 不在直线l 上，否则轨迹是过点F 且与l 垂直的直线，而不是抛物线.抛物线的方程有四种类型：、、、.对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的负方向.抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px 为例（1）范围：x ≥0；（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；（3）顶点：O （0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；（4）离心率：e=1，由于e 是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p 决定的；（5）准线方程；（6）焦半径公式：抛物线上一点，F 为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p ＞0）：22112:;2:22p p y px PF x y px PF x ==+=-=-+ 22112:;2:22p p x py PF y x py PF y ==+=-=-+ （7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式.设过抛物线y2=2px （p ＞O ）的焦点F 的弦为AB ，A ，B ，AB 的倾斜角为，则有或，以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求.在抛物线中，以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物的对应准线相切；9．直线与圆锥曲线的位置关系：①直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决． ②直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行．③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．直线被圆锥曲线所截得弦为，则长为||||A B A B AB x x y y =-=-，其中为直线的斜率必备方法：1.点差法（中点弦问题）利用“点差法”来解决中点弦问题，其基本思路是设点（即设出弦的端点坐标）——代入（即将端点代入曲线方程）——作差（即两式相减）——得出中点坐标与斜率的关系.2．联立消元法：韦达定理法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用韦达定理和中点坐标公式建立等式求解3．设而不求法4.判别式法5.求根公式法椭圆与双曲线的经典结论一．椭圆1．2．标准方程：3．4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．椭圆（a ＞b ＞o ）的两个顶点为,，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是.10．若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.11．若在椭圆外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是.12．AB 是椭圆的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则.13．若在椭圆内，则被Po 所平分的中点弦的方程是.14．若在椭圆内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是.15．若PQ 是椭圆（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b+=+==. 16．若椭圆（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为,则(1) ;(2) .17．给定椭圆：（a ＞b ＞0）, ：222222222()a b b x a y ab a b -+=+,则(i )对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M (.(ii )对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点.18．设为椭圆（或圆）C : (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦P 0P 1, P 0P 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点的充要条件是.19．过椭圆 (a ＞0, b ＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B ,C 两点，则直线BC 有定向且（常数）.20．椭圆 (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为，2tan )2b Pc γ . 21．若P 为椭圆（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, , ，则.22．椭圆（a ＞b ＞0）的焦半径公式：,( , ).23．若椭圆（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e ≤时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.24．P 为椭圆（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当三点共线时，等号成立.25．椭圆（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线：对称的充要条件是.26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P 是椭圆（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是.29．设A ,B 为椭圆上两点，其直线AB 与椭圆相交于,则.30．在椭圆中，定长为2m （o ＜m ≤a ）的弦中点轨迹方程为2222222221()cos sin x y a b m a bαα-+=+,其中,当时, . 31．设S 为椭圆（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A ,B 在椭圆上移动，记|AB |=，是AB 中点，则当时，有,);当时，有,.32．椭圆与直线有公共点的充要条件是.33．椭圆与直线有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.34．设椭圆（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记, ,，则有.35．经过椭圆（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则.36．已知椭圆（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP |2+|OQ |2的最大值为;（3）的最小值是.37．MN 是经过椭圆（a ＞b ＞0）过焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则.38．MN 是经过椭圆（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦，则2222111||||a MN OP a b +=+. 39．设椭圆（a ＞b ＞0）,M (m ,o ) 或(o , m )为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q (A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线：(或)上.40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF .41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q , A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF .42．设椭圆方程,则斜率为k (k ≠0)的平行弦的中点必在直线：的共轭直线上,而且.43．设A 、B 、C 、D 为椭圆上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为，直线AB 与CD 相交于P ,且P 不在椭圆上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅+=⋅+. 44．已知椭圆（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，的外（内）角平分线为，作F 1、F 2分别垂直于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是(2222222{[()()]}()[()]b y a ce x c x y cx ce x c +-+⋅++=+).45．设△ABC 内接于椭圆，且AB 为的直径，为AB 的共轭直径所在的直线，分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为上一点，则CD 与椭圆相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过椭圆（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M ,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则.47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 分别是A 到椭圆两焦点的距离，则.48．已知椭圆（ a ＞b ＞0）和（），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB │=|CD │.49．已知椭圆（ a ＞b ＞0）,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点, 则.50．设P点是椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .51．设过椭圆的长轴上一点B（m,o）作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN：于M，N两点,则.52．L是经过椭圆（a＞b＞0）长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率,点，若，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.53．L是椭圆（a＞b＞0）的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点，e是离心率，，H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.54．L是椭圆（a＞b＞0）的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点，,离心率为e，半焦距为c，则为锐角且或（当且仅当时取等号）.55．已知椭圆（a＞b＞0），直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点F1连结起来，则2222112(2)||||a bb F A F Ba-≤⋅≤（当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号）.56．设A、B是椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .57．设A、B是椭圆（a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且、的横坐标，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则；（2）若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则. 58．设A、B是椭圆（a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，（若B P交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称），且，则点A、B的横坐标、满足；（2）若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且,则点A、B的横坐标满足.59．设是椭圆的长轴的两个端点，是与垂直的弦，则直线与的交点P的轨迹是双曲线.60．过椭圆（a＞b＞0）的左焦点作互相垂直的两条弦AB、CD则2222282()||||ab a bAB CDa b a+≤+≤+.61．到椭圆（a＞b＞0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.62．到椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.63．到椭圆（a＞b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆（e为离心率）.64．已知P是椭圆（a＞b＞0）上一个动点，是它长轴的两个端点,且,，则Q点的轨迹方程是.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.。

高考数学二轮复习(15)圆锥曲线方程教案

【解析】由题意可知过焦点的直线方程为，
联立有，根据，得
2.与圆锥曲线有关的轨迹类问题
解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质．求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题过程．
15．圆锥曲线与方程
【专题要点】
1．考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等知识及基本技能、基本方法，常以选择题与填空题的形式出现.
2．直线与二次曲线的位置关系、圆锥曲线的综合问题:常以压轴题的形式出现，这类问题视角新颖，常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景，以考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度.
【解析】考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程
直线的方程为：；
直线的方程为：。二者联立解得：，
则在椭圆上，
，
解得：
例3.（2009辽宁，16）。以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为
【答案】9
【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),
将①②两式的两边分别相加，得，
即 ③
移项再两边分别平方得：
④
两边再平方得：，
整理得，
所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆。
（法二）由解法一可得方程，

2009级高三数学第二轮复习学案圆锥曲线

2009 级高三数学第二轮复习学案---圆锥曲线
★★★高考在考什么【考题回放】
x2 y2 1 的离心率是方程 6 x 2 13x 5 0 的一个根，则该双曲线的渐近线方 1.(2007 年) 已知双曲线 9 k
程为（ A. y ）。
4 x 3
B. y
5 x 3
边上，则△ABC 的周长是( ) （A）2 3 （B）6 （C）4 3 （D）12 2 2．抛物线 y=4x 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是( )
15 7 ( C ) ( D ) 0 16 8 3 3.已知双曲线的渐近线方程是 y x ，两顶点间的距离为 6，则双曲线的方程为_______________. 2 4．已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（－2 3 ，0），且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程
x2 y 2 1(a b 0) 的两个焦点是 F1 ( 3,0), F2 ( 3,0) ，过点 F2 且垂直于 x 轴的直 a 2 b2
线与椭圆交于 P, Q 两点，∠ PF 1Q 60 则椭圆的标准方程是________________.
x2 y2 2 2 2 变式训练：已知双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的右焦点 F2 的坐标是(4,0)，过 F2 引圆 x y a 的两 a b
C. y
16 x 9
D. y
3 x 4
）。
2.(2008 年) M 是抛物线 y 2 ax 上任意一点，若点 M 到焦点和到 y 轴的距离之差是 1，则 a 的值是（ A.2 B. 2 C.4 D. 4
3.(2011 年) 已知抛物线 y 2 4 x ，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A, B 两点，则 AB 等于（ A.6 B.8 C.10 D.12 4.(2011 年) 若双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，虚轴长是实轴长的 2 倍，则其渐近线方程是（ A. y

高考数学二轮复习精品教学案专题09-圆锥曲线(教师版)

例1、过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.椭圆与x 轴交于两点A (a,0)、B (－a,0)．过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； (2)当点P 异于点B 时，求证：OP ·OQ 为定值．所以D 点坐标为(837，－17)．故|CD |＝837－2＋－17－2＝167.【变式探究】若椭圆x2a2＋y2b2＝1的焦点在x轴上，过点(1，12)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．例2、已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为()A.x236－y2108＝1 B.x29－y227＝1C.x2108－y236＝1 D.x227－y29＝1【变式探究】设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3例3、如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．【变式探究】已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B ．1 C.54D.74解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为： 12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54. 答案：C难点一圆锥曲线的定义与标准方程例1、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 【变式探究】(1)已知点P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则λ的值为( )A.58B.45C.43D.34(2)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________________．【答案】(1)B (2)x 216＋y 28＝1【解析】 (1)根据三角形面积公式把S △IPF1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2转化为焦点三角形边之间的关系．根据S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2，得|PF 1|＝|PF 2|＋λ|F 1F 2|，即2a ＝2λc ，则λ＝a c ＝45.注意内心是三角形内切圆的圆心，到三角形各边的距离相等．(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．因为离心率为22，所以22＝1－b 2a2，解得b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又△ABF 2的周长为||AB ＋||AF 2＋||BF 2＝||AF 1＋||BF 1＋||BF 2＋||AF 2＝(||AF 1＋||AF 2)＋(||BF 1＋||BF 2)＝2a ＋2a ＝4a ，所以4a ＝16，a ＝4，所以b ＝22，所以椭圆方程为x 216＋y 28＝1.难点二圆锥曲线的几何性质例2、已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132 B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2【变式探究】已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．【答案】y ＝±2x【解析】根据已知|PF 1|＝2·b 2a 且|PF 2|＝b 2a ，故2·b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，ba ＝ 2.难点三直线与圆锥曲线的位置关系例3、设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为A (0,2)，右焦点F 与点B (2，2)的距离为2.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在经过点(0，－2)的直线l ，使直线l 与椭圆相交于不同的两点M ，N 满足|AM →|＝|AN →|？若存在，求直线l 的倾斜角α；若不存在，请说明理由．(2)由题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2(k ≠0)，由|AM |＝|AN |知点A 在线段MN 的垂直平分线上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 212＋y 24＝1消去y 得x 2＋3(kx －2)2＝12，即可得方程(1＋3k 2)x 2－12kx ＝0，()由k ≠0得方程()的Δ＝(－12k )2＝144k 2>0，即方程()有两个不相等的实数根．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点P (x 0，y 0)，则x 1，x 2是方程()的两个不等的实根，故有x 1＋x 2＝12k1＋3k 2.从而有x 0＝x 1＋x 22＝6k1＋3k 2，y 0＝kx 0－2＝6k 2－＋3k 21＋3k 2＝－21＋3k 2. 于是，可得线段MN 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 1＋3k 2，－21＋3k 2.又由于k ≠0，因此直线AP 的斜率为k 1＝－21＋3k 2－26k 1＋3k 2＝－2－＋3k 26k .由AP ⊥MN ，得－2－＋3k 26k×k ＝－1，即2＋2＋6k 2＝6，解得k ＝±33，即tan α＝±33.又0≤α<π，故α＝π6或α＝5π6.综上可知存在直线l 满足题意，其倾斜角为α＝π6或α＝5π6.【点评】本题属于圆锥曲线与方程的经典类试题，首先求出圆锥曲线方程，然后再研究直线与圆锥曲线的位置关系．在直线与圆锥曲线位置关系的问题中，等价转化和设而不求是解决问题的一个重要指导思想，本题解答中使用的是等价转化的方法，实际上也可以根据两点间距离公式得到点M ，N 的坐标满足的关系式，即x 21＋(y 1－2)2＝x 22＋(y 2－2)2，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2－4)(y 1－y 2)＝0，由于点M ，N 在直线上，y 1＝kx 1－2，y 2＝kx 2－2，代入(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2－4)(y 1－y 2)＝0，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(kx 1＋kx 2－8)(kx 1－kx 2)＝0，直线斜率存在，则x 1≠x 2，所以(x 1＋x 2)＋k [k (x 1＋x 2)－8]＝0，然后根据韦达定理整体代入即可求出k 值．【变式探究】如图所示，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．【规律技巧】1．离心率的范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到关于a ，c 的不等式，由这个不等式确定a ，c 的关系．2．抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .同样可得抛物线y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py 类似的性质．3．解决直线与圆锥曲线相交时的弦长问题方法是：设而不求，根据韦达定理，进行整体代入．即当直线与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|，而|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2等，根据将直线方程与圆锥曲线方程联立消元后的一元二次方程，利用韦达定理进行整体代入．【历届高考真题】【2012年高考试题】1.【2012高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.BD. 【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b y a x b x cb y 得点Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=0,b y a x b x cb y 得点P ),(ac bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222b ca xbc b c y --=-，令0=y ，得)1(22b ac x +=，所以c ba c 3)1(22=+，所以2222222a cb a -==，即2223c a =，所以26=e 。

高中数学高考二轮复习专题教案圆锥曲线方程

2013年高考数学二轮复习专题教案圆锥曲线方程【考纲考情分析】一、圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质。

③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质。

④理解数形结合的思想。

⑤了解圆锥曲线的简单应用。

【专题知识网络】圆锥曲线的定义圆锥曲线的内容：椭圆、双曲线、抛物线（定义、性质、方程）直线与圆锥曲线的位置关系圆锥曲线综合问题（弦长、中点、最值、参数问题）【剖析高考真题】（2012年高考陕西卷）右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米.（2012年高考安徽卷）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若||3AF =，则||BF =______。

【答案】32【解析】设(0)AFx θθπ∠=<<及BF m =；则点A 到准线:1l x =-的距离为3，得：1323cos cos 3θθ=+⇔=又232cos()1cos 2m m m πθθ=+-⇔==+。

（2012年高考天津卷）已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线，且1C 的右焦点为F ,则a = b =【答案】1，2【解析】双曲线的116422=-y x 渐近线为x y 2±=，而12222=-b y a x 的渐近线为x a b y ±=，所以有2=a b，a b 2=，又双曲线12222=-b y a x 的右焦点为)0,5(，所以5=c ，又222b a c +=，即222545a a a =+=，所以2,1,12===b a a 。

（2012年高考新课标卷）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（） A ．12 B. 23C ．34D ．45（2012年高考广东卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上. （1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：24y x =相切，求直线l 的方程. 【解析】（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -，所以1c =，点(0,1)P 代入椭圆22221x y a b+=，得211b =，即1b =，所以2222a b c =+=，所以椭圆1C 的方程为2212x y +=.弦长问题抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，而且被直线2x －y ＋1＝0所截得的弦长等于15，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－12x 或y 2＝4x B ．y 2＝－4x 或y 2＝12x C ．y 2＝－10x 或y 2＝4x D ．y 2＝－6x 或y 2＝10x 【解析】设所求抛物线方程为y 2＝ax (a ∈R 且a ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax ，2x －y ＋1＝0，得2y 2－ay ＋a ＝0. 若弦两端点纵坐标分别为y 1和y 2，则|y 1－y 2|＝12a 2－8a ，于是弦长54a 2－8a ＝15，解得a ＝12或a ＝－4.由2112222px 2px y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得211221()()()y y y y k x x -+=-，得21k m ⋅= 所以直线的方程为1()2y m x m m-=-，即2220x my m m -+-=. 由22220x my m m y x⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩，整理得22220y my m m -+-=，所以244m m =- ，122y y m +=，2122y y m m =-.从而得12AB y y =-=。

2019届高考数学二轮复习第12讲圆锥曲线的定义、方程、几何性质学案(无答案)文

A. －＝1B．－＝1
C. －y2＝1D．x2－＝1
★(3)(2016·通化一模)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4 ，则|QF|＝()
A. B．3 C. D．2
【我会做】
(1)(2016·郑州相切的双曲线的标准方程为()
②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝＝ .
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝± x；焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)；
②双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝± x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c)．
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
★2.(2017·合肥二模)已知椭圆 + ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为e.P是椭圆上一点，满足PF2⊥F1F2，点Q在线段PF1上，且＝2 .若 · ＝0，则e2＝()
A. －1B．2－
C．2－ D. －2
3.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，倾斜角为的直线l过F2且与双曲线交
A. －＝1B. －y2＝1
C. －＝1D. －＝1
★★(2)(2017·衡水模拟)已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为()
A. ＋＝1B. －＝1
C. －＝1D. ＋＝1
【目标分解二】圆锥曲线的几何性质
A. B. C. D.
★★2．(2017·上饶一模)设F1，F2为椭圆C1：＋＝1(a1＞b1＞0)与双曲线C2：－＝1(a2＞0，b2＞0)的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2＝90°，若椭圆的离心率e1＝，则双曲线C2的离心率e2为()

二轮专题复习圆锥曲线教学案

专题复习：圆锥曲线【知识梳理】1、椭圆、双曲线、抛物线的概念。

2、标准方程所表示曲线的几何性质。

3、直线与圆锥曲线的位置关系。

4、体会设而不求思想及坐标法解题。

通过对近几年的高考试卷的分析，可以发现选择题、填空题与解答题均可涉及本章的知识，分值20分左右。

主要呈现以下几个特点：1．考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等知识及基本技能、基本方法，常以选择题与填空题的形式出现。

2．直线与圆锥曲线的位置关系，常以压轴题的形式出现，这类问题视角新颖，常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景，以考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度。

3．在考查基础知识的基础上，注意对数学思想与方法的考查，注重对数学能力的考查，强调探究性、综合性、应用性，注重试题的层次性，坚持多角度、多层次的考查，合理调控综合程度；4．轨迹问题、对称问题、参变量的范围问题、定点、定值及最值问题也是本章的几个热点问题，难度有所降低，有逐步趋向稳定的趋势。

【自测回扣】1、已知椭圆x 24＋y 23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，满足∠F 1PF 2＝30°，则△F 1PF 2的面积为(A) 3(2＋3) (B) 3(2－3) (C)2＋ 3 (D) 2－ 3答案：(B)2、设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）3 答案：(B)3、椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为120︒的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为____________.答案：24、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝2x 2上一点M ，点M 的横坐标是2，则M 到抛物线焦点的距离是________．答案：658.【典型例题】例1、已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是(1,0)F ，且离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过点F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围.（Ⅰ）解：设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得 1c =. 因为椭圆C 的离心率为12，所以22a c ==，2223b a c =-=.故椭圆C 的方程为 22143x y +=. （Ⅱ）解：当MN x ⊥轴时，显然00y =.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠.由 22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得 0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k . 设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为33(,)Q x y ，则 2122834k x x k +=+.所以 212324234x x k x k +==+，3323(1)34ky k x k -=-=+. 线段MN 的垂直平分线方程为)434(1433222kk x k k k y +--=++. 在上述方程中令0=x ，得k kk k y 4314320+=+=.当0k <时，34k k +≤-0k >时，34k k+≥.所以00y ≤<，或00y <≤.综上，0y 的取值范围是[. 思想方法规律总结：垂直平分问题要充分抓住垂直和平分两个条件：垂直用好斜率为负倒数的条件，平分用好中点在对称轴上的条件；求0y 的范围，要把0y 表示为k 的函数. 变式训练1、在周长为定值的ABC ∆中，已知||AB =，动点C 的运动轨迹为曲线G ,且当动点C 运动时，C cos 有最小值12-. (1)以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，求曲线G 的方程. (2)过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交曲线G 于M ，N 两点．将线段MN 的长|MN |表示为m的函数，并求|MN |的最大值．解：(1)设 ||||2CA CB a += (a >为定值，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，所以焦距2||c AB ==因为 22(||||)2||||1226cos 12||||||||CA CB CA CB a C CA CB CA CB +---===-又 22)22(||||a a CB CA =≤⋅，所以 26cos 1C a ≥-，由题意得 22611,42a a -=-=. 所以C 点轨迹G 的方程为 221(0)4x y y +=≠ (2) 由题意知，|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点M ，N 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫1，32，⎝⎛⎭⎫1，－32，此时|MN |＝ 3.当m ＝－1时，同理可知|MN |＝ 3. 当|m |＞1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0. 设M ，N 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2，又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1，所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 2(1＋4k 2)2－4(4k 2m 2－4)1＋4k 2＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|MN |＝ 3. 所以|MN |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1 ]∪[1，＋∞)．因为|MN |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2，且当m ＝±3时，|MN |＝2. 所以|MN |的最大值为2.例2、已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.（I ）证明: OM OP ⋅为定值;（II ）若△POM 的面积为25，求向量与的夹角；(Ⅲ) 证明直线PQ 恒过一个定点.解：（I ）设点P y y P y y M ),,4(),,4(222121、M 、A 三点共线， ,4414,222121211y y y y y y k k DM AM --=+=∴即4,142121211=∴+=+y y y y y y 即.544212221=+⋅=⋅∴y y y y OP OM(II)设∠POM =α，则.5cos ||||=⋅⋅αOP OM .5sin ||||,25=⋅⋅∴=∆αOM S ROM 由此可得tan α =1, 又.45,45),,0(︒︒=∴∈的夹角为与故向量απα(Ⅲ)设点M y y Q ),,4(323、B 、Q 三点共线，,Q M BQ k k =∴ 313222331,1444y y y y y y -=+-即3231311,4y y y y +=-+ 23133(1)()4,y y y y ∴++=-即131340y y y y +++=,0444,4,432322121=+++⋅∴==y y y y y y y y 即即.(*)04)(43232=+++y y y y,44432232232y y y y y y k PQ +=--=)4(422322y x y y y y PQ -+=-∴的方程是直线即.4)(,4))((323222322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y 由此可知直线PQ 过定点)4,1(-E .思想方法规律总结：定值问题注意联系韦达定理；定点问题注意要把直线表示成y-0y =k(x-0x ). 变式训练2、已知 F 1、F 2是椭圆14222=+y x 的两焦点，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且满足21PF ⋅=1.过点P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点.（1）求P 点坐标;（2）求证：直线AB 的斜率为定值; （3）求△PAB 面积的最大值.解：（1）由题可得F 1(0, 2), F 2(0, －2), 设P(x 0, y 0)(x 0>0, y 0>0) 则)2,(),2,(001001y x PF y x PF ---=--=,1)2(202021=--=⋅∴y x PF PF),(00y x P 在曲线上，则21)2(24:24,1420202020202020==----=∴=+y y y y x y x 得从而则点P 的坐标为（1，2）（2）由题意知，两直线PA 、PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为k(k>0) 则BP 的直线方程为：y －2=k(x －1)222222222222212)2(2,2)2(21),,(04)2()2(2)2(142)1(2k k k k k k x k k k x y x B k x k k x k y x x k y B B B B +--=-+-=+-=+=--+-++⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-则设得由222222k k k x A +-+=同理可得 2228)1()1(,224k kx k x k y y k k x x BA B A B A +=----=-+=-则 ∴AB 的斜率2=--=BA BA AB x x y y k 为定值（3）设AB 的直线方程：m x y +=204224:14222222=-++⎪⎩⎪⎨⎧=++=m m x x y x m x y 得 22220)4(16)22(22<<->--=∆m m m 得由3||m d AB P =的距离为到 3)214(||2⋅-=⋅m AB2)28(81)8(813||3)214(21||21222222=+-≤+-=⋅⋅-=⋅=∆m m m m m m d AB S PAB 则当且仅当m=±2∈（－22，22）取等号 ∴三角形PAB 面积的最大值为2【总结提高】高考命题要求掌握圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等知识及基本技能、基本方法，直线与圆锥曲线的位置关系，注意数学思想与方法的应用，注重对数学能力的培养，加强探究性、综合性、应用性,体会设而不求思想及坐标法解题。

高考数学二轮复习圆锥曲线综合学案(全国通用)

培优点十九圆锥曲线综合1．直线过定点例1：已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C，过左焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于P ，Q两点，且PQ = （1）求C 的方程；（2）若直线l 是圆228x y +=上的点()2,2处的切线，点M 是直线l 上任一点，过点M 作椭圆C 的切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，设切线的斜率都存在．求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）22184x y +=；（2）证明见解析，()2,1．【解析】（1）由已知，设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，因为PQ =，不妨设点(P c -，代入椭圆方程得22221c a b+=，又因为c e a ==，所以21212b+=，b c =，所以24b =，2228a b ==，所以C 的方程为22184x y +=．（2）依题设，得直线l 的方程为()22y x -=--，即40x y +-=，设()00,M x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由切线MA 的斜率存在，设其方程为()11y y k x x -=-，联立()1122184y y k x x x y -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩得，()()()2221111214280k x k y kx x y kx ++-+--=，由相切得()()()222211111682140Δk y kx k y kx ⎡⎤=--+--=⎣⎦，化简得()221184y kx k -=+，即()22211118240x k x y k y --+-=，因为方程只有一解，所以1111122111822x y x y x k x y y ===---，所以切线MA 的方程为()11112x y y x x y -=--，即1128x x y y +=，同理，切线MB 的方程为2228x x y y +=，又因为两切线都经过点()00,M x y ，所以101020202828x x y y x x y y +=+=⎧⎨⎩，所以直线AB 的方程为0028x x y y +=，又004x y +=，所以直线AB 的方程可化为()00248x x x y +-=，即()02880x x y y -+-=，令20880x y y -=-=⎧⎨⎩，得21x y ==⎧⎨⎩，所以直线AB 恒过定点()2,1．2．面积问题例2：已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为4，直线1:bl y xc=与椭圆相交于A 、B 两点，2F 关于直线1l 的对称点E 在椭圆上．斜率为1-的直线2l 与线段AB 相交于点P ，与椭圆相交于C 、D 两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形ACBD 面积的取值范围．【答案】（1）22184x y +=；（2）3232,93⎛⎤⎥⎝⎦．【解析】（1）由椭圆焦距为4，设()12,0F -，()22,0F ，连结1EF ，设12EF F α∠=，则tan b c α=，又222a b c =+，得sin b a α=，cos c aα=， ()12122sin 9012||sin sin 90F F c a c e b c a EF EF b c aa aαα︒∴======++︒-++，解得222a bc c b c =+⇒==，28a =，所以椭圆方程为22184x y +=．（2）设直线2l 方程：+y x m =-，()11,C x y 、()22,D x y ，由22184x y y x m+==-+⎧⎪⎨⎪⎩，得2234280x mx m -+-=，所以1221243283x x m m x x +=-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，由（1）知直线1l ：y x =，代入椭圆得A ⎛ ⎝，B，得AB =，由直线2l 与线段AB 相交于点P，得m ⎛∈ ⎝，2CD x =-===而21l k =-与11l k =，知21l l ⊥，12ACBD S AB CD ∴=⨯=由m ⎛∈ ⎝，得232,03m ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦3232,93⎛⎤⎥⎝⎦， ∴四边形ACBD 面积的取值范围3232,93⎛⎤⎥⎝⎦．3．参数的值与范围例3：已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ，点()1,2A 在抛物线C 上，过焦点F 的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点．（1）求抛物线C 的方程以及AF 的值；（2）记抛物线C 的准线与x 轴交于点B ，若MF FN λ=u u u u r u u u r ，2240BM BN +=，求λ的值．【答案】（1）24y x =，2AF =；（2）2λ=±．【解析】（1）Q 抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ， 12p∴=，则24p =，抛物线方程为24y x =； Q 点()1,2A 在抛物线C 上，122pAF ∴=+=．（2）依题意，()1,0F ，设:1l x my =+，设()11,M x y 、()22,N x y ，联立方程241y xx my ==+⎧⎨⎩，消去x ，得2440y my -=-．所以121244y y m y y +==-⎧⎨⎩ ①，且112211x my x my =+=+⎧⎨⎩，又MF FN λ=u u u u r u u u r，则()()11221,1,x y x y λ--=-，即12y y λ=-，代入①得()222414y y mλλ⎧-=--=⎪⎨⎪⎩，消去2y 得2142m λλ=+-，()1,0B -，则()111,BM x y =+u u u u r ，()221,BN x y =+u u u r，则()()222222221122||11BM BN BM BN x y x y +=+=+++++u u u u r u u u r u u u u r u u u r()222212121222x x x x y y =++++++()2222121212(1)(1)222my my my my y y =+++++++++()()()2221212148m y y m y y =+++++()()22421168448164016m m m m m m =+++⋅+=++，当4216401640m m ++=，解得212m =，故2λ=±．4．弦长类问题例4：已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的左右顶点是双曲线222:13x C y -=的顶点，且椭圆1C 的上顶点到双曲线2C．（1）求椭圆1C 的方程；（2）若直线l 与1C 相交于1M ，2M 两点，与2C 相交于1Q ，2Q 两点，且125OQ OQ ⋅=-u u u u ru u u u r ，求12M M 的取值范围．【答案】（1）2213x y +=；（2）(．【解析】（1）由题意可知：23a =，又椭圆1C 的上顶点为()0,b ，双曲线2C的渐近线为：0y x x =⇔=，1b =，∴椭圆方程2213x y +=．（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为y kx m =+，代入2213x y -=，消去y 并整理得：()222136330k xkmx m ----=，要与2C 相交于两点，则应有：()()22222222130130 3641333013k k k m k m m k -≠⎧-≠⎪⇒⎨----->+>⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎩，设()111,Q x y ，()222,Q x y ，则有：122613kmx x k +=-，21223313m x x k --⋅=-．又()()()()22121212121212121OQ OQ x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++u u u u u u u r u r．又：125OQ OQ ⋅=-u u u u ru u u u r ，所以有：()()()22222221133613513k m k m m k k⎡⎤+--++-=-⎣⎦-， 2219m k ⇒=-，②将y kx m =+，代入2213x y +=，消去y 并整理得：()222136330k x kmx m +++-=，要有两交点，则()()2222223641333031Δk m k m k m =-+->⇒+>．③ 由①②③有2109k <≤．设()133,M x y 、()244,M x y ．有342613kmx x k -+=+，23423313m x x k -⋅=+，12M M==将2219mk =-代入有1212M M M M =⇒=12M M ⇒=，令2t k =，10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()()()()()2311'1313t t tf t f t t t +-=⇒=++，10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．所以()'0f t >在10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦内恒成立，故函数()f t 在10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦内单调递增，故()(1250,72f t M M ⎛⎤∈⇒∈ ⎥⎝⎦．5．存在性问题例5：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，点A ⎛ ⎝在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线53y =上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM NQ =u u u u r u u u r ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）不存在，见解析．【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，则1c =，∵A ⎛ ⎝在椭圆C 上，∴122a AF AF =+==∴a =，2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）假设这样的直线存在，设直线l 的方程为2y x t =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，353,P x ⎛⎫⎪⎝⎭，()44,Q x y ，MN 的中点为()00,D x y ，由22222y x t x y =++=⎧⎨⎩，消去x ，得229280y ty t -+-=， ∴1229ty y +=，且()2243680Δt t =-->，故12029y y t y +==且33t -<<，由PM NQ =u u u u r u u u r，知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此D 为线段PQ 的中点， ∴405329y t y +==，得42159t y -=，又33t -<<，可得4713y -<<-，∴点Q 不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l ．一、解答题1．已知动圆P 过点()22,0F 并且与圆()221:24F x y ++=相外切，动圆圆心P 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）过点()22,0F 的直线1l 与轨迹C 交于A 、B 两点，设直线1:2l x =，设点()1,0D -，直线AD 交l 于M ，求证：直线BM 经过定点．【答案】（1）()22103y x x -=>；（2）见解析．【解析】（1）由已知12| | 2PF PF =+，12| | 2PF PF -=， P 轨迹C 为双曲线的右支，22a =，1a =，12| 24F F c ==，2c = ∴曲线C 标准方程()22103y x x -=>．（2）由对称性可知，直线BM 必过x 轴的定点，当直线1l 的斜率不存在时，()2,3A ，()2,3B -，13,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，知直线BM 经过点()1,0P ，当直线1l 的斜率存在时，不妨设直线()1:2l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，直线()11:11y AD y x x =++，当12x =时，()11321M y y x =+，()1131,221y M x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭，对点增分集训()22233y k x x y =--=⎧⎪⎨⎪⎩得()()222234430k x k x k -+-+=，212243k x x k -+=-，2122433k x x k +=-，下面证明直线BM 经过点()1,0P ，即证PM PB k k =，即1212311y yx x -=+-，即12112233y x y x y y -+=+，由112y kx k =-，222y kx k =-，整理得，()12124540x x x x -++=，即()22222243434450333k k k k k k -+⋅-⋅+=--- 即证BM 经过点()1,0P ，直线BM 过定点()1,0．2．已知点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上，设A ，B 分别为椭圆的左顶点、下顶点，原点O 到直线AB（1）求椭圆E 的方程；（2）设P 为椭圆E 在第一象限内一点，直线PA ，PB 分别交y 轴、x 轴于D ，C 两点，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）22143x y +=；（2）．【解析】（1）因为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，有229141a b +=，由等面积法，可得原点O 到直线AB=联立两方程解得2a =，b =，所以椭圆E 的方程为22:143x y E +=．（2）设点()()00000,,0P x y x y >>，则2200143x y +=，即2203412x y +=．直线()00:22y PA y x x =++，令0x =，得0022D yy x =+．从而有0022y BD x =+=+，同理，可得AC =．所以四边形的面积为1122AC BD ⋅=1122====．所以四边形ABCD的面积为．3．已知点C 为圆()2218x y ++=的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点()1,0A 和AP 上的点M ，满足0MQ AP ⋅=u u u r u u r u u ，2AP AM =u u u u r u u u r ．（1）当点P 在圆上运动时，判断Q 点的轨迹是什么？并求出其方程；（2）若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切，与（1）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F ，H ，且3445OF OF ≤⋅≤u u ur u u u r （其中O 是坐标原点），求k 的取值范围．【答案】（1）是以点C ，A 为焦点，焦距为2，长轴长为2212x y +=；（2）⎡⎢⎣U ．【解析】（1）由题意MQ 是线段AP 的垂直平分线，所以2CP QC QP QC QA CA =+=+=>=，所以点Q 的轨迹是以点C ，A 为焦点，焦距为2，长轴长为∴a =，1c =，1b ==，故点Q 的轨迹方程是2212x y +=．（2）设直线l ：y kx b =+，()11,F x y ，()22,H x y ，直线l 与圆221x y +=1=，即221b k =+，联立2212x y y kx b +==+⎧⎪⎨⎪⎩，消去y 得：()222124220k x kbx b +++-=，()()()2222222164122182180Δk b k b k b k =-+-=-+=>，得0k ≠，122412kbx x k +=-+，21222212b x x k -=+， ∴()()()()()222221212121222122411212k b kb OF OH x x y y k x x kb x x b kb b k k +--⋅=+=++++=++++u ur u u u u u r()()222222222124111121212k kk k k k k k k +++=-++=+++，所以223144125k k +≤≤+，得21132k ≤≤，k ≤≤，解得k ≤≤k ≤≤故所求范围为⎡⎢⎣U ． 4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的焦距为2c ，离心率为12，圆222:O x y c +=，1A ，2A 是椭圆的左右顶点，AB 是圆O 的任意一条直径，1A AB △面积的最大值为2．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）若l 为圆O 的任意一条切线，l 与椭圆E 交于两点P ，Q ，求PQ 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=，221x y +=；（2）⎡⎢⎣．【解析】（1）设B 点到x 轴距离为h ，则1111222A AB A OB S S A O h a h ==⋅⋅⋅=⋅△△，易知当线段AB在y 轴时，max h BO c ==，12A AB S a c ∴=⋅=△， 12c e a ==Q ，2a c ∴=，2a ∴=，1c =，b =，所以椭圆方程为22143x y +=，圆的方程为221x y +=．（2）当直线L 的斜率不存在时，直线L 的方程为1x =±，此时223b PQ a==；设直线L 方程为：y kx m =+，直线为圆的切线，1d ∴==，221m k ∴=+，直线与椭圆联立，22143y kx m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得()2224384120k x kmx m +++-=，判别式()248320Δk =+>，由韦达定理得：122212284341243km x xk m x x k -+=+-⋅=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所以弦长22212243132143k k PQ k x x k ⋅+⋅+=+-=+，令2433t k =+≥，所以21246333,3PQ t t ⎛⎤⎛⎫=⋅-++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝；综上，463,3PQ ⎡⎤∈⎢⎥⎣，5．如图，己知1F 、2F 是椭圆()2222:10x y G a b a b+=>>的左、右焦点，直线():1l y k x =+经过左焦点1F ，且与椭圆G 交A ，B 两点，2ABF △的周长为43．（1）求椭圆G 的标准方程；（2）是否存在直线I ，使得2ABF △为等腰直角三角形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22132x y+=；（2）不存在，见解析．【解析】（1）设椭圆G 的半焦距为c ，因为直线l 与x 轴的交点为()1,0-，故1c =．又2ABF △的周长为43，即22443AB AF BF a ++==3a =222312b a c =-=-=．因此，椭圆G 的标准方程为22132x y +=．（2）不存在．理由如下：先用反证法证明AB 不可能为底边，即22AF BF ≠．由题意知()21,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，假设22AF BF =，则=又2211132x y +=，2222132x y +=，代入上式，消去21y ，22y 得：()()121260x x x x -+-=．因为直线l 斜率存在，所以直线l 不垂直于x 轴，所以12x x ≠，故126x x +=．(与1x ≤2x≤126x x +≤<矛盾）联立方程()221321x y y k x +==+⎧⎪⎨⎪⎩，得：()2222326360k x k x k +++-=，所以21226632k x x k +=-=+矛盾．故22AF BF ≠．再证明AB 不可能为等腰直角三角形的直角腰．假设2ABF △为等腰直角三角形，不妨设A 为直角顶点．设1AF m =，则2AF m =-，在12AFF △中，由勾股定理得：()224m m +-=，此方程无解．故不存在这样的等腰直角三角形．。

吉林省东北师范大学附属中学高考数学第二轮复习第17讲圆锥曲线的方程和性质导学案

第17讲圆锥曲线的方程和性质一、复习目标1、能根据条件熟练地求出曲线的方程。

2、进一步掌握圆和三种圆锥曲线的定义、方程和简单的几何性质。

3、理解圆和椭圆的参数方程。

二、课前热身1．若R ∈α，则方程1sin 422=+αy x 所表示的曲线必定不是（）（A ）直线（B ）圆（C ）双曲线（D ）抛物线2．以椭圆1162522=+y x 的中心为焦点，右准线为准线的抛物线与椭圆的左准线交于A 、B 两点，则AB 的值是（）（A ）665 （B ）350 （C ）3350 （D ）33253．动点P 在椭圆)10()1(22<<=-+a a y a x 上运动，线段OP 长度的最大值是（）（A ）1 （B ）2 （C ）a 2 （D ）21a +4．已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点MN 的中点的横坐标为32-，则此双曲线方程是 5．点A 的坐标为)1,2(，F 为抛物线x y 22=的焦点，P 在抛物线上移动，若PFPA +取最小值，则点P 的坐标为三、例题探究例1．已知A 、B 是椭圆12592222=+a y ax 上的点，2F 是右焦点且a BF AF 5822=+，AB的中点N 到左准线的距离等于23，求此椭圆的方程。

例２．已知双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的右准线2L 与一条渐近线L 交于点P ，F 是双曲线的右焦点：（1）求证：L PF ⊥；（2）若3=PF 且双曲线的离心率45=e ，求双曲线的方程；（3）延长FP 交双曲线左准线1L 和左支分别为M 、N ，若M 为PN 的中点，求双曲线的离心率例３(选讲)．抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出。

今有抛物线Px y 22=（0>P ），一光源在点M （4,441）处，由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴方向射向抛物线上的点P ，反射后又射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行于抛物线的对称轴的方向射出，途中遇到直线L ：01742=--y x 上的点N ，再反射后又射回到点M（1）设P 、Q 两点的坐标分别为),(11y x ，),(22y x ，证明：221P y y -=；（2）求抛物线的方程；（3）试判断在抛物线上是否存在一点R 使该点与点M 关于PN 所在直线对称？若存在请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由。

2019届二轮复习圆锥曲线综合应用学案 (全国通用)

一、考纲要求：1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．二、概念掌握和解题上注意点：1.判断直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线与圆锥曲线方程联立，消去x 或y ，判断该方程组解的个数，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个交点.但应注意两点：）.消元后需要讨论含x2或y2项的系数是否为0.）.重视“判别式Δ”起的限制作用.2.对于选择题、填空题，要充分利用几何条件，借助数形结合的思想方法直观求解，优化解题过程.3.处理中点弦问题的常用方法）.点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.）.根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程，将其转化为一元二次方程后由根与系数的关系求解. 三、高考考题题例分析例1.(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率，(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【答案】(1)1；(2) y ＝x ＋7.(2)由 y ＝x 24，得y ′＝x2.例2. (2017浙江高考)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．【答案】(1) (－1,1)；(2)2716【解析】(1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎨⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1).因为|P A |＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3，因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝⎛⎭⎫－1，12上单调递增，⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减，因此当k ＝12时， |P A |·|PQ |取得最大值2716.学例3.(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( ) A ． 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 3【答案】C∵点M 在x 轴的上方， ∴M (3,23)． ∵MN ⊥l ， ∴N (－1,23)． ∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4，|MF |＝|MN |＝(3＋1)2＋(23－23)2＝4.∴△MNF 是边长为4的等边三角形． ∴点M 到直线NF 的距离为2 3. 故选C ．例4．(2016全国卷Ⅱ)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．【答案】(1)14449；(2) (32，2)．【解析】设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.(2)由题意t ＞3，k ＞0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0. 由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t (1＋k 2)3＋tk2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋t )，故同理可得|AN |＝6kt (1＋k 2)3k 2＋t.由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k 3k 2＋t，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k (2k －1)k 3－2.t ＞3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝(k －2)(k 2＋1)k 3－2＜0，即k －2k 3－2＜0.由此得⎩⎪⎨⎪⎧ k －2＞0，k 3－2＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2＜0，k 3－2＞0，解得32＜k ＜2.因此k 的取值范围是(32，2)．例5.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．【答案】见解析(2)证明：BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m2，y －12＝x 2⎝⎛⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92. 故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝⎛⎭⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值圆锥曲线综合应用练习题一、选择题1．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是 ( )A ．⎝⎛⎭⎫0，23 B ．⎝⎛⎭⎫－23，0 C ．⎝⎛⎭⎫－23，23 D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 【答案】C【解析】双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝⎛⎭⎫－23，23. 2．已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M (－1，m )，若MA →·MB →＝0，则m ＝ ( )A ． 2B ．22 C ．12D ．03．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为 ( )A ．1B ．1或3C ．0D ．1或0【答案】D【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0，若k ＝0，则y ＝2，符合题意．若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，所以直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个共公点时，k ＝0或1.4．方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是 ( )A ．双曲线的一部分B ．椭圆的一部分C ．圆的一部分D ．直线的一部分【答案】B 【解析】x ＝1－4y 2两边平方，可变为x 2＋4y 2＝1(x ≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．5．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是 ( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0【答案】D【解析】由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.6．已知动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，则动圆圆心Q 的轨迹C 的方程为 ( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．x 2＝2yD ．x 2＝4y【答案】B7．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为 ( )A ．4x 221－4y 225＝1B ．4x 221＋4y 225＝1C ．4x 225－4y 221＝1D ．4x 225＋4y 221＝1【答案】D【解析】因为M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，所以椭圆的方程为4x 225＋4y 221＝1. 学8．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是 ( )A ．32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)B ．32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)【答案】A9．已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有 ( )①y ＝2x －3；②y ＝2x ＋1；③y ＝－2x －3；④y ＝－2x ＋3. A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】C【解析】直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，故有3条直线被椭圆C 截得的弦长一定为7. 10．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 ( )A ．x 218＋y 29＝1B ．x 227＋y 218＝1C ．x 236＋y 227＝1D ．x 245＋y 236＝1【答案】A【解析】因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2.又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a＝32，所以E 的方程为x 218＋y 29＝1.11．已知两定点A (0，－2)，B (0,2)，点P 在椭圆x 212＋y 216＝1上，且满足|AP →|－|BP →|＝2，则AP →·BP→为 ( )A ．－12B ．12C ．－9D ．9【答案】D12.抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为 ( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2xC ．x 2＝2yD ．y 2＝－2x【答案】B【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p＝y 1－y 2x 1－x 2·(y 1＋y 2)＝k AB ·2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x . 二、填空题13．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为．【答案】16【解析】直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.14．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是．【答案】x ＋2y －8＝015．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF的面积的最大值为 . 【答案】2【解析】不妨设点F 的坐标为(4－b 2，0)，而|AB |＝2b ，∴S △ABF ＝12×2b ×4－b 2＝b4－b 2＝b 2(4－b 2)≤b 2＋4－b 22＝2(当且仅当b 2＝4－b 2，即b 2＝2时取等号)，故△ABF 面积的最大值为2.16．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为．【答案】2＋3【解析】如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为ba ，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝ba(x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y 2b 2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)．故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝ba(2a －c )，化简可得离心率e ＝ca ＝2＋ 3.学三、解答题17．已知椭圆与抛物线y 2＝42x 有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为22. (1)求椭圆的标准方程；(2)过点P (0,1)的直线与该椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若AP →＝2PB →，求△AOB 的面积．【答案】(1) x 24＋y 22＝1；(2) 126818.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；(2)当p ＝1时，若抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q .求线段PQ 的中点M 的坐标．【答案】(1) y 2＝8x ；(2) (1，－1)．【解析】 (1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0. 由点⎝⎛⎭⎫p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p2－0－2＝0，即p ＝4. 所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .19．已知定点F (0,1)，定直线l ：y ＝－1，动圆M 过点F ，且与直线l 相切． (1)求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作曲线C 的切线l 1，l 2两条切线相交于点P ，求△P AB 外接圆面积的最小值. 【答案】(1) x 2＝4y ；(2) 4π.【解析】 (1)法一：设圆心M 到直线l 的距离为d ，由题意|MF |＝d . 设圆心M (x ，y )，则有x 2＋(y －1)2＝|y ＋1|.化简得x 2＝4y .所以点M 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .法二：设圆心M 到直线l 的距离为d ，由题意|MF |＝d .根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹为抛物线，焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1. 所以点M 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .法二：设l AB ：y ＝kx ＋1，代入x 2＝4y 中，得x 2－4kx －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝4(k 2＋1)．因为曲线C ：x 2＝4y ，即y ＝x 24，所以y ′＝x2.所以直线l 1的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214.①同理可得直线l 2的方程为y ＝x 22x －x 224.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x22，y ＝x 1x 24，即P (2k ，－1)．因为P A →·PB →＝(x 1－2k ，y 1＋1)·(x 2－2k ，y 2＋1) ＝x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝0，所以P A ⊥PB ，即△P AB 为直角三角形．所以△P AB 的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是外接圆的直径．因为|AB |＝4(k 2＋1)，所以当k ＝0时，线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.因为AB 的中点M 的坐标为(2k,2k 2＋1)，所以AB 的中垂线方程为y －(2k 2＋1)＝－1k (x －2k )，因为P A 的中垂线方程为y －(k 2－kk 2＋1)＝(k ＋k 2＋1)[x －(2k －k 2＋1)]，联立上述两个方程，解得其交点坐标为N (2k,2k 2＋1)．因为点M ，N 的坐标相同，所以AB 的中点M 为△P AB 的外接圆的圆心．所以△P AB 是直角三角形，且P A ⊥PB ，所以线段AB 是△P AB 外接圆的直径．学因为|AB |＝4(k 2＋1)，所以当k ＝0时，线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞0)，过椭圆C 的右顶点和上顶点的直线与圆x 2＋y 2＝23相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 是椭圆C 的上顶点，过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆C 于A ，B 两点，设这两条直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，证明：直线AB 过定点．【答案】(1) x 22＋y 2＝1；(2)见解析由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1y ＝kx ＋m ⇒(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，得x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－21＋2k 2，由k 1＋k 2＝2⇒y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝2⇒(kx 2＋m －1)x 1＋(kx 1＋m －1)x 2x 1x 2＝2，即(2－2k )x 1x 2＝(m －1)(x 1＋x 2)⇒(2－2k )(2m 2－2)＝(m －1)(－4km )，即(1－k )(m 2－1)＝－km (m －1)，由m ≠1，得(1－k )(m ＋1)＝－km ⇒k ＝m ＋1，即y ＝kx ＋m ＝(m ＋1)x ＋m ⇒m (x ＋1)＝y －x ，故直线AB 过定点(－1，－1)．综上，直线AB 过定点(－1，－1)．21．已知点A ，B 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点，F 为左焦点，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点．直线AP 与过点B 且垂直于x 轴的直线l 交于点M ，直线MN ⊥BP 于点N .(1)求证：直线AP 与直线BP 的斜率之积为定值； (2)若直线MN 过焦点F ，AF →＝λFB →(λ∈R )，求实数λ的值. 【答案】(1)见解析；(2) λ＝13.(2)设直线AP 与BP 的斜率分别为k 1，k 2，由已知F (－c,0)，直线AP 的方程为y ＝k 1(x ＋a )，直线l 的方程为x ＝a ，则M (a,2ak 1)． ∵MN ⊥BP ，∴k MN ·k 2＝－1. 由(1)知k 1·k 2＝－b 2a 2，∴k MN ＝a 2b 2·k 1.又F ，N ，M 三点共线，得k MF ＝k MN ，即2ak 1a ＋c ＝a 2b 2k 1，得2b 2＝a (a ＋c )．∵b 2＝a 2－c 2，∴2(a 2－c 2)＝a 2＋ac ，化简整理得2c 2＋ac －a 2＝0，即2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＝0，解得c a ＝12或ca ＝－1(舍去)．∴a ＝2c .由AF →＝λFB →，得(a －c,0)＝λ(a ＋c,0)，将a ＝2c 代入，得(c,0)＝λ(3c,0)，即c ＝3λc ， ∴λ＝13.22．已知抛物线C 1的方程为y 2＝4x ，椭圆C 2与抛物线C 1有公共的焦点，且C 2的中心在坐标原点，过点M (4,0)的直线l 与抛物线C 1分别交于A ，B 两点．(1)若AM →＝12MB →，求直线l 的方程；(2)若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线C 1上，直线l 与椭圆C 2有公共点，求椭圆C 2的长轴长的最小值.【答案】(1) y ＝2x －42或y ＝－2x ＋42；(2) 34(2)设P (m ，n )，则OP 的中点为⎝⎛⎭⎫m 2，n 2. 因为O ，P 两点关于直线y ＝k (x －4)对称，所以⎩⎨⎧n 2＝k ⎝⎛⎭⎫m2－4，nm ·k ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝8k 21＋k2，n ＝－8k1＋k2.将其代入抛物线方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋k 22＝4·8k 21＋k 2. 所以k 2＝1.。

高考数学二轮复习圆锥曲线的几何性质学案(全国通用)

【答案】
【解析】由题意，切线方程为，
直线与轴分别相交于点，，，，，
，，，当且仅当时，
（为坐标原点）的面积最小，
设，，
由余弦定理可得，，
，，
，，，
的内角平分线长度为，，
，，
，故答案为．
三、解答题
17．设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点．
6．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道绕月飞行．已知椭圆轨道和的中心与F在同一直线上，设椭圆轨道和的长半轴长分别为，，半焦距分别为，，则有（）
2．设点，是双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，若，则的面积等于（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】据题意，，且，解得，．
又，在中由余弦定理，得．
从而，所以，故选B．
3．经过椭圆的一个焦点作倾斜角为的直线l，交椭圆于，两点，设为坐标原点，则等于（）
18．与椭圆相交于、两点，关于直线的对称点交于、两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由椭圆焦距为4，设，，连结，设，
则，又，得，，
，
解得，，所以椭圆方程为．
培优点十七圆锥曲线的几何性质

高考数学二轮复习第1篇专题7 解析几何第2讲小题考法——圆锥曲线的性质学案-人教版高三全册数

第2讲小题考法——圆锥曲线的性质一、主干知识要记牢圆锥曲线的定义、标准方程和性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2＝2px (p >0)图形几何性质轴长轴长2a ，短轴长2b实轴长2a ，虚轴长2b离心率e ＝c a ＝ 1－b 2a 2 (0<e <1) e ＝c a ＝ 1＋b 2a2(e >1)e ＝1渐近线y ＝±b ax二、二级结论要用好1．椭圆焦点三角形的3个规律设椭圆方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c,0)，F 2(c ，0)，点P 是椭圆上一点且点P的坐标是(x 0，y 0)．(1)三角形的三个边长是|PF 1|＝a ＋ex 0，|PF 2|＝a －ex 0，|F 1F 2|＝2c ，e 为椭圆的离心率． (2)如果△PF 1F 2中∠F 1PF 2＝α，则这个三角形的面积S △PF 1F 2＝c |y 0|＝b 2tan α2．(3)椭圆的离心率e ＝sin ∠F 1PF 2sin ∠F 1F 2P ＋sin ∠F 2F 1P ．2．双曲线焦点三角形的2个结论P (x 0，y 0)为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的点，△PF 1F 2为焦点三角形．(1)面积公式S ＝c |y 0|＝12r 1r 2sin θ＝b 2tanθ2(其中|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)．(2)焦半径若P 在右支上，|PF 1|＝ex 0＋a ，|PF 2|＝ex 0－a ；若P 在左支上，|PF 1|＝－ex 0－a ，|PF 2|＝－ex 0＋a ．3．抛物线y 2＝2px (p >0)焦点弦AB 的4个结论 (1)x A ·x B ＝p 24；(2)y A ·y B ＝－p 2； (3)|AB |＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角)； (4)|AB |＝x A ＋x B ＋p ． 4．圆锥曲线的通径 (1)椭圆通径长为2b2a；(2)双曲线通径长为2b2a；(3)抛物线通径长为2p ． 5．圆锥曲线中的最值(1)椭圆上两点间的最大距离为2a (长轴长)． (2)双曲线上两点间的最小距离为2a (实轴长)．(3)椭圆焦半径的取值范围为[a －c ，a ＋c ]，a －c 与a ＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离．(4)抛物线上的点中顶点到抛物线准线的距离最短．三、易错易混要明了1．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a ＜|F 1F 2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．2．解决椭圆、双曲线、抛物线问题时，要注意其焦点的位置．3．直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在解决交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行．考点一圆锥曲线的定义与标准方程求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，即指定类型，也就是确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝ax 或x 2＝ay (a ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．1．(2018·邵阳模拟)设点P 是双曲线y 2－x 23＝1上一点，A (0，－2)，B (0,2)，|PA |＋|PB |＝8，|PA |＞4，则|PB |＝( C )A ．2B ．32C ．3D ．72解析由于|PA |＞4, 所以|PB |＜4, 故|PA |－|PB |＝2a ＝2，由于|PA |＋|PB |＝8, 解得|PB |＝3, 故选C ．2．(2018·珠海模拟)已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，其焦点F (±c,0)(c ＞0)，右顶点A (a,0)到双曲线M 的一条渐近线距离为125，以点A 为圆心，c 为半径的圆在y 轴所截弦长为8，则双曲线M 的方程为( A )A ．x 29－y 216＝1B ．x 216－y 29＝1 C ．x 2－y 2＝9D ．x 2－y 2＝16解析因为右顶点A (a ，0)到双曲线M 的一条渐近线距离为125，所以|ab |a 2＋b 2＝125.圆的方程为(x －a )2＋y 2＝c 2，令x ＝0得，y ＝±b ，∴2b ＝8.∴b ＝4.又因为a 2＋b 2＝c 2，∴c ＝5，a ＝3，故选A ．3．(2018·衡水中学押题卷)已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是__2__．解析由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以|PF 1|＝3，|PF 2|＝1．又|F 1F 2|＝2c ＝22，所以有|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 1为直角，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||PF 2|＝12×22×1＝2．考点二圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b的值；②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．1．(2018·齐鲁名校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的上、下顶点分别为B 1、B 2，左顶点为A ，左焦点为F ，若直线AB 1与直线B 2F 互相垂直，则椭圆的离心率为( C )A ．2－12B ．3－12C ．5－12D ．5－22解析依题意，直线AB 1与直线B 2F 互相垂直，kAB 1·kB 2F ＝b a ·b －c＝－1，∴b 2＝ac ，a 2－c 2＝ac ，∴e 2＋e －1＝0，e ＝5－12，故选C ． 2．(2018·三湘教育联盟联考)已知P (3，6)为双曲线C ：x 2－y 2b2＝1上一点，则点P到双曲线C 的渐近线的距离为( B )A ．3＋62B ．3＋62或3－62C ．3－62D ．3＋62或6－32解析由题意知，3－6b2＝1解得b 2＝3，则双曲线C 的渐近线方程为3x ±y ＝0，所以P (3，6)到3x ±y ＝0的距离为|3×3＋6|32＋1或|3×3－6|32＋1，即3＋62或3－62，故选B ．3．(2018·郴州二模)已知双曲线y 2m －x 29＝－1的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( B )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x解析根据题意，双曲线的方程为x 29－y 2m＝1，则其焦点在x 轴上，直线x ＋y ＝5与x轴交点的坐标为(5,0)，则双曲线的焦点坐标为(5,0)，则有9＋m ＝25，解可得，m ＝16，则双曲线的方程为x 29－y 216＝1，其渐近线方程为y ＝±43x ，故选B ．4．(2018·株洲二检)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点为F ，其中一条渐近线与圆(x－c )2＋y 2＝a 2(c 2＝a 2＋b 2，c ＞0)交于A ，B 两点，△ABF 为锐角三角形，则双曲线C 的离心率的取值范围是( D )A ．⎝⎛⎭⎪⎫62，＋∞ B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．⎝⎛⎭⎪⎫62，2 解析双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点为F (c,0)，一条渐近线方程为bx －ay ＝0，圆(x－c )2＋y 2＝a 2(c 2＝a 2＋b 2，c ＞0)的圆心(c,0)，半径为a ，渐近线与圆交于A ，B 两点，△ABF 为锐角三角形，可得：a ＞|bc |a 2＋b2＞22a ，可得a 2＞b 2＞12a 2，又c 2＝a 2＋b 2，b 2＞12a 2，可得c 2＞32a 2可得e ＞62，由a 2＞b 2可得e ＜ 2.所以双曲线C 的离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2.故选D ．考点三直线与圆锥曲线的位置关系及简单应用处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点(1)注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等．(2)注意圆与特殊线的位置关系，如圆的直径与椭圆长轴(短轴)，与双曲线的实轴(虚轴)的关系；圆与过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系等．1．(2018·河南联考)已知直线y ＝kx ＋t 与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切且与抛物线C ：x 2＝4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是( A )A ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C ．(－3,0)D ．(－2,0)解析因为直线与圆相切，所以|t ＋1|1＋k2＝1，即k 2＝t 2＋2t .将直线方程代入抛物线方程并整理得x 2－4kx －4t ＝0，于是Δ＝16k 2＋16t ＝16(t 2＋2t )＋16t >0，解得t >0或t <－3.故选A ．2．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( B )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴OA →·OB →＝－13，同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.故OA →·OB →的值为－13．3．(2018·湖北联考)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝x 与该抛物线交于O 、A 两点(O 为坐标原点)，与抛物线的准线交于B 点，直线AF 与抛物线的另一交点为C ，则cos ∠ABC ＝__22__．解析 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝4x⇒A (4,4)，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＝－1⇒B (－1，－1)，AF ：y ＝4－04－1(x －1)，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x －1，y 2＝4x⇒C ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1∴∠ABC ＝π4，cos ∠ABC ＝22．4．(2018·唐山一模)已知P 为抛物线y 2＝x 上异于原点O 的点，PQ ⊥x 轴，垂足为Q ，过PQ 的中点作x 轴的平行线交抛物线于点M ，直线QM 交y 轴于点N ，则|PQ ||NO |＝__32__．解析如图，设P (t 2，t )，则Q (t 2,0)，PQ 中点H ⎝⎛⎭⎪⎫t 2， t 2.M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t 2，∴直线MQ 的方程为： y ＝t2－0t24－t2(x －t 2)，令x ＝0，可得y N ＝2t 3，∴则|PQ ||NO |＝t 2t 3＝32．。

2020届高三理科数学第二轮复习《圆锥曲线的方程与性质》学案

圆锥曲线的方程与性质回归教材1. (选修2－1P37习题2.1B 组第1题改编)过点P (3,4)的动直线与两坐标轴的交点分别为A ，B ，过A ，B 分别作两坐标轴的垂线交于点M ，则动点M 的轨迹方程为________________．2. (选修2－1P37习题2.1P41例2改编)如图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹方程是___________．3. (选修2－1P37习题2.1P47例6改编)若点M (x ，y )与定点F (4,0)的距离和它到直线l ：x ＝254的距离的比是常数45，则点M 的轨迹方程是____________． 4. (选修2－1P62习题2.3B 组第1题改编)与椭圆x 249＋y 224＝1有公共焦点，且离心率 e ＝54的双曲线的方程是____________． 5. (选修2－1P69例4改编)若斜率为1的直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为________．举题固法目标1 椭圆①椭圆问题的核心是定义、标准方程和简单的几何性质，要特别注意定义的应用，注意离心率的求解方法；②焦点三角形中注意应用定义、正、余弦定理．例1：(1) (2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则椭圆C 的方程为( )A. x 22＋y 2＝1B. x 23＋y 22＝1 C. x 24＋y 23＝1 D. x 25＋y 24＝1 (2) (2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则点M 的坐标为_____________．变式：(1) 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线l 过焦点且倾斜角为π4，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为( )A. 23B. 33C. 53D. 63(2) 过椭圆x 225＋y 216＝1的中心任作一直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PFQ 的周长的最小值为( )A. 12B. 14C. 16D. 18目标2 双曲线①双曲线的核心是定义、标准方程和简单几何性质，在使用定义时注意曲线上点的位置；②双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 2＝1＋⎝⎛⎭⎫±b a 2＝1＋k 2，其中k 为该双曲线渐近线的斜率．例2：(1) (2019·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A. 324B. 322C. 2 2D. 3 2(2) (2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C. 2D. 5(3) (2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．变式：(1) (2019·西安三检)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为A ，O 为坐标原点，若|OA |＝12|OF |，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3C. 2D. 5(2) (2019·深圳外国语学校)已知双曲线x 24－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且与x 轴垂直的直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，|AB |＝35，M (4,1)，动点P (x ，y )在双曲线上，则|PM |＋|PF 2|的最小值为________．目标3 抛物线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为α的直线与该抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p24，y1y2＝－p2，|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α，1|AF|＋1|BF|＝2p.例3：(1) (2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p等于() A. 2 B. 3C. 4D. 8(2) (2019·濮阳模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5，则直线l的斜率为()A. ±62 B. ±63C. ±22 D. ±1(3) 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A，B 两点，直线l2与抛物线C交于M，N两点，若直线l1与l2的斜率的乘积为－1，则|AB|＋|MN|的最小值为()A. 14B. 16C. 18D. 20变式：(1) (2019·湖师附中)已知抛物线x2＝4y上有一条长为8的动弦AB，则弦AB的中点到x轴的最短距离为()A. 2B. 3C. 4D. 5(2) (2019·烟台适应性练习)已知过抛物线C：y2＝4x焦点的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆x2＋y2－2x＝0于M，N两点，其中P，M位于第一象限，则1|PM|＋4|QN|的值不可能为() A. 3 B. 4C. 5D. 6。

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微专题67 圆锥曲线的性质一、基础知识（一）椭圆： 1、定义和标准方程：（1）平面上到两个定点12,F F 的距离和为定值（定值大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆，其中12,F F 称为椭圆的焦点，12F F 称为椭圆的焦距（2）标准方程：①焦点在x 轴上的椭圆：设椭圆上一点(),P x y ，()()12,0,,0F c F c -，设距离和122PF PF a +=，则椭圆的标准方程为：22221x y a b+=，其中()2220,a b b a c >>=-②焦点在y 轴上的椭圆：设椭圆上一点(),P x y ，()()120,,0,F c F c -，设距离和122PF PF a +=，则椭圆的标准方程为：22221y x a b+=，其中()2220,a b b a c >>=-焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大2、椭圆的性质：以焦点在x 轴的椭圆为例：()222210x y a b a b+=>>（1）a ：与长轴的顶点有关：()()12,0,,0A a A a -，122A A a =称为长轴长 b ：与短轴的顶点有关：()()120,,0,B b B b -，122B B b =称为短轴长 c ：与焦点有关：()()12,0,,0F c F c -，122F F c =称为焦距（2）对称性：椭圆关于x 轴，y 轴对称，且关于原点中心对称（3）椭圆上点的坐标范围：设()00,P x y ，则00,a x a b y b -≤≤-≤≤ （4）通径：焦点弦长的最小值 ① 焦点弦：椭圆中过焦点的弦② 过焦点且与长轴垂直的弦22b PQ a=说明：假设PQ 过()1,0F c -，且与长轴垂直，则()()00,,,P c y Q c y ---，所以2242002221c y b y a b a +=⇒=，可得20b y a =。

则22b PQ a= （5）离心率：ce a=，因为c a <，所以()0,1e ∈ （6）焦半径公式：称P 到焦点的距离为椭圆的焦半径① 设椭圆上一点()00,P x y ，则1020,PF a ex PF a ex =+=-（可记为“左加右减”） ② 焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为a c +，最小值为a c - （7）焦点三角形面积：122tan 2PF F S b θ=V （其中12PF F θ=∠）证明：1212121sin 2PF F S PF PF F PF =⋅V 且222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-()()212121221cos PF PF PF PF F PF =+-+()2212124421cos c a PF PF F PF ∴=-+ 2221212122221cos 1cos a c b PF PF F PF F PF -∴==++ 12212121212112sin sin 221cos PF F b S PF PF F PF F PF PF F =⋅=⋅+V 22121212sin tan 1cos 2F PF F PFb b F PF =⋅=+因为1200122PF F S c y c y =⋅⋅=⋅V ，所以2120tan 2F PFb c y =⋅，由此得到的推论： ① 12F PF ∠的大小与0y 之间可相互求出② 12F PF ∠的最大值：12F PF 最大⇔12PF F S V 最大⇔0y 最大⇔P 为短轴顶点（二）双曲线：1、定义：平面上到两个定点12,F F 距离差的绝对值为一个常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线，其中12,F F 称为椭圆的焦点，12F F 称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点12,F F 距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支2、标准方程：① 焦点在x 轴：设双曲线上一点(),P x y ，()()12,0,,0F c F c -，设距离差的绝对值122PF PF a -=，则双曲线标准方程为：22221x y a b-=，其中()2220,0,a b b c a >>=-② 焦点在y 轴：设双曲线上一点(),P x y ，()()120,,0,F c F c -，设距离差的绝对值122PF PF a -=，则双曲线标准方程为：22221y x a b-=，其中()2220,0,a b b c a >>=-焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数2、双曲线的性质：以焦点在x 轴的双曲线为例：()222210,0x y a b a b-=>>（1）a ：与实轴的顶点有关：()()12,0,,0A a A a -，122A A a =称为实轴长 b ：与虚轴的顶点有关：()()120,,0,B b B b -，122B B b =称为虚轴长 c ：与焦点有关：()()12,0,,0F c F c -，122F F c =称为焦距（2）对称性：双曲线关于x 轴，y 轴对称，且关于原点中心对称（3）双曲线上点坐标的范围：设()00,P x y ，则有0x a ≤-或0x a ≥，0y R ∈ （4）离心率：ce a=，因为c a > ，所以()1,e ∈+∞ （5）渐近线：当x →+∞或x →-∞时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线。

① 双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的1变为0，再解出y关于x 的直线即可。

例如在()222210,0x y a b a b -=>>中，求渐近线即解：22220x y a b-=，变形为b y x a =±，所以by x a=±即为双曲线的渐近线 ② 渐近线的几何特点：直线,,,x a x a y b y b ==-==-所围成的矩形，其对角线即为双曲线的渐近线③ 渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现,,a b c 的关系。

（6）通径：① 内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦PQ x ⊥轴，22b PQ a=（7）焦半径公式：设双曲线上一点()00,P x y ，左右焦点分别为12,F F ，则 ① 1020,PF a ex PF a ex =+=-（可记为“左加右减”） ② 由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为c a - （8）焦点三角形面积：设双曲线上一点()00,P x y ，则122cot2PF F S b θ=V （其中12PF F θ=∠）（三）抛物线：1、定义：平面内到一定点的距离等于到一条定直线（定点不在定直线上）的距离的点的轨迹为抛物线2、抛物线的标准方程及焦点位置：（1）焦点在x 轴正半轴：()220y px p =>，焦点坐标,02p ⎛⎫⎪⎝⎭ （2）焦点在x 轴负半轴：()220y px p =->，焦点坐标,02p ⎛⎫-⎪⎝⎭ （3）焦点在y 轴正半轴：()220x py p =>，焦点坐标0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （4）焦点在y 轴负半轴：()220x py p =->，焦点坐标0,2p ⎛⎫-⎪⎝⎭小结：通过方程即可判断出焦点的位置与坐标：那个字母是一次项，则焦点在哪条轴上；其坐标为一次项系数除以4，例如：24x y =，则焦点在y 轴上，且坐标为()0,13、焦半径公式：设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，(),A x y ，则2pAF x =+u u u r4、焦点弦长：设过抛物线()220y px p =>焦点的直线与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y ，则12AB x x p =++（AB AF BF =+，再由焦半径公式即可得到）二、典型例题：例1：已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）A.B.C. 3D. 5思路：先从常系数方程入手，抛物线212y x =的焦点为()3,0，即双曲线中的3c =，所以2225b c a =-=，从而双曲线方程为：22145x y -=，其渐近线方程：2y x =±，由对称性可得焦点到两渐近线的距离相等，不妨选择:20l y -=，右焦点()23,0F ，所以2F l d -==答案：A小炼有话说：（1）一道题含多个圆锥曲线方程，往往以某些特殊点（焦点，顶点）为桥梁联接这些方程，在处理时通常以其中一个曲线方程（不含参）为入手点，确定特殊点的坐标，进而解出其他圆锥曲线的要素答案：A例2：已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的实轴长为，虚轴的一个端点与抛物线()220x py p =>的焦点重合，直线1y kx =-与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p =（）A. 4B. 3C. 2D. 1思路：本题涉及圆锥曲线和字母较多，所以首先要确定核心变量，从所求出发可尝试以p 作为核心变量，抛物线22x py =的焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以可得2pb =，因为2a a =⇒=，所以双曲线方程为222418x y p-=，可求得渐近线方程为y =，不妨设1y kx =-与y x =平行，则有k =从相切可想到与抛物线联立消元后的方程0∆=：2221202y x x p x py⎧=-⎪⇒--=⎨⎪=⎩，所以28022p ⎛∆=--= ⎪⎝⎭解得4p =答案：A例3：如图，12,F F 是椭圆()22122:10x y C m n m n +=>>与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>的公共焦点，将12,C C 的离心率分别记为12,e e ，点A 是12,C C 在第一象限的公共点，若2C 的一条渐近线是线段1AF 的中垂线，则221211e e +=（） A. 2 B.52 C. 72D. 4 思路：椭圆与双曲线共焦点，所以有22222c m n a b =-=+，所求表达式2222222221211m a m a e e c c c ++=+=，本题与焦半径相关，所以考虑12122,2AF AF m AF AF a +=-=。

结合1AF 的中点与12F F 的中点可得双曲线的渐近线与2AF 平行，从而12AF AF ⊥，所以有222212124AF AF F F c +==，联系上面条件可得：()()222222212121214222c AF AF AF AF AFAF m a ⎡⎤=+=++-=+⎣⎦，所以2222212112m a e e c++== 答案：A例4：已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（） A. 2132a =B. 213a =C. 212b = D. 22b = 思路：因为12,C C 有公共焦点，所以通过2C 可得()()125,0,5,0F F -，从而5c =，圆的直径为2a ，所以AB 截椭圆的弦长为23a。

二轮复习 圆锥曲线的性质 学案(全国通用)

2019届二轮复习 圆锥曲线 学案 (全国通用)