概率论与数理统计(4.2 方差)
概率论与数理统计复习4-5章
∑ g ( x ) p 绝对收敛,则Y的期望为 ∞
k =1 k k
∑ g(x
k =1
k
) pk
(2) 设X是连续型随机变量,概率密度为 f ( x) , 如果积分 ∫−∞ g ( x) f ( x)dx 绝对收敛,则Y的期望为
E (Y ) = E[ g ( X )] = ∫ g ( x ) f ( x )dx
例 设X的概率分布律为
X −1
0 12
1
2
p 1 3 1 6 1 6 1 12 1 4
试求Y=－X+1及 Z = X 2 的期望和方差。 X －1 0 1/2 解 由于 P 1/3 1/6 1/6 Y =－X+1 2 1 1/2 Z = X2 1 0 1/4
1 1 1 1 1 1 2 E (Y ) = ( −1) ⋅ + 0 ⋅ + ⋅ + 1⋅ + 2 ⋅ = 4 12 2 6 6 3 3
2 2
D( Z ) = E ( Z 2 ) + [ E ( Z )]2 = 2.23264
1 + x − 1 < x < 0 例 设随机变量X的概率密度为 f ( x ) = 1 − x 0 ≤ x < 1 1)求D(X）, 2)求 D ( X 2 )
解 (1) E ( X ) = ∫ x(1 + x)dx + ∫ x(1 − x)dx
第四章 随机变量的数字特征
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 数学期望的性质及随机变量函数的期望 方差及其性质
4.1数学期望 数学期望
数学期望——描述随机变量取值的平均特征 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 一、离散型随机变量的数学期望 定义 设离散型随机变量X的概率分布为
概率与统计中的方差分析
概率与统计中的方差分析方差分析（Analysis of Variance，ANOVA）是统计学中常用的一种方法，用于比较两个或多个样本组之间的差异是否显著。
它可以帮助我们理解自变量对因变量的影响，并进一步研究因素之间的相互作用。
通过分析方差，我们可以得出结论，以便作出准确的决策。
方差分析的基本假设是因变量满足正态分布，并且各组之间的方差相等。
在进行方差分析之前，我们需要首先进行方差齐性检验。
如果方差齐性假设成立，我们可以继续进行方差分析；如果不成立，我们需要采用其他适当的非参数方法。
一元方差分析是最常见的一种方差分析方法，适用于只有一个自变量的情况。
其基本思想是通过分析组间变异与组内变异的比值来判断组间差异是否显著。
我们可以使用F检验来进行假设检验，确定是否存在显著性差异。
当我们拥有多个自变量时，可以使用多元方差分析（MANOVA）来分析不同自变量对因变量的影响。
多元方差分析考虑了多个自变量之间的相互作用，因此可以更全面地评估不同因素对因变量的影响。
方差分析还可以用于分析不同样本组之间的比较，例如不同处理组的均值是否显著不同。
在方差分析中，我们通常会计算方差之间的比率，即F值。
通过比较F值与临界值，我们可以判断组间差异是否显著。
方差分析不仅适用于实验研究，也可以用于观察性研究。
在观察性研究中，我们可以根据不同组别的特征，进行方差分析来比较各组之间的差异。
除了一元方差分析和多元方差分析，还有其他一些变种的方差分析方法，例如重复测量方差分析、混合设计方差分析等。
每种方法都有其特定的应用场景，我们可以根据具体情况选择合适的方差分析方法。
值得注意的是，方差分析只能判断差异是否显著，不能确定哪些组之间存在差异。
如果我们发现差异是显著的，我们可以进行进一步的事后多重比较来确定具体的差异。
总之，方差分析作为概率与统计中的重要方法，用于比较不同样本组之间的差异是否显著，并进一步了解自变量对因变量的影响。
无论是实验研究还是观察性研究，方差分析都可以提供有力的统计依据，帮助我们做出准确的决策。
概率论与数理统计习题解答 (5)
解：在检验水平 α = 0.01 下，检验假设 H 0 : µ = µ 0 = 3.25 当假设 H 0 为真时，取检验统计量
H 1 : µ ≠ µ 0 = 3.25
T=
X − 3.25 S/ 5
~ t ( 4)
由
⎫ ⎧ ⎪ ⎪ X − 3.25 P⎨ > t 0.01 (4)⎬ = 0.01 ⎪ ⎪ 2 ⎭ ⎩ S/ 5
H 1 : µ1 ≠ µ 2
当假设 H 0 为真时，取检验统计量
T= Sω
X −Y 1 1 + 11 9
~ t (11 + 9 − 2)
由
⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ X −Y ⎪ P⎨ > t 0.05 (18)⎬ = 0.05 1 1 ⎪S ⎪ 2 + ω ⎪ ⎪ 11 9 ⎩ ⎭
查表得： t 0.025 (18) = 2.1009 ，故接受域为 (−2.1009, 2.1009) . 代入样本值 x1 = 6,
概率论与数理统计
习题五解答
1. 正常人的脉搏平均为 72 次/分，现某医生测得 10 例慢性四乙基铅中毒者的脉搏 （次/分）如下： 54 67 68 78 70 66 67 70 65 69 问患者与正常人的脉搏有无显著差异（患者的脉搏可视为服从正态分布。 α = 0.05 ） 解：设患者的脉搏为 X , 计算其样本均值与样本方差分别为 x = 67.4, s = 5.93 在检验水平 α = 0.05 下，检验假设 H 0 : µ = µ 0 = 72 当假设 H 0 为真时，取检验统计量
H 1 : µ ≠ µ 0 = 72
T=
X − 72 S / 10
~ t (9)
由
⎧ ⎫ ⎪ X − 72 ⎪ P⎨ > t 0.05 (9)⎬ = 0.05 ⎪ ⎪ 2 ⎩ S / 10 ⎭
概率论与数理统计4-2 方差
X
,
为X的 标准化 变量
E ( X ), D( X )。 X 1 * ) E( X ) 0 解 E( X ) E( X 2 * * 2 * 2 E[( ) ] D( X ) E([ X ] ) [ E( X )] 1 1 2 D( X ) 1 E[( X ) ] 2
推论
若 X i (i 1, 2,...n)相互独立，则有： D( X 1 X 2 ... X n ) D( X 1 ) D( X 2 ) ... D( X n ) 进一步有：D( Ci X i ) [C D( X i )]
i 1 i 1 2 i n n
4. D(X)=0
P{X= C}=1 , 这里C=E(X)
下面我们的举例说明方差性质应用 .
例7 设X~B(n,p)，求E(X)和D(X). 解
X~B(n,p), 则X表示n重努里试验中的
“成功” 次数 .
1 如第i次试验成功 i=1,2，…，n 若设 X i 0 如第i次试验失败
则X
1 fZ ( z) e 3 2
( z 5)2 18
.
四、切比雪夫不等式
定理 设随机变量X具有数学期望 E ( X ) , 方差 D( X ) 2 , 则对于任意正数 ，有不等式
事件{|X-E(X)|< }的概率越大，即随机变量X 集
P{| X E ( X ) | } 2 2 或 P{| X E ( X ) | } 1 2 由切比雪夫不等式可以看出，若 2 越小，则
b 2
2
b a ab E( X ) , D( X ) 2 12
概率论与数理统计之正态分布
转化为标准正态分布
P(8100 Yn 10000)
标准化
P 2.5
Yn np np(1 p)
50
(50) (2.5) 1 0.9938 0.0062
37
例：某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8 各用户用电多少是相互独立的，求：
(1)同一时刻有8100户以上用电的概率； (2)若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以
1
z2
e 10 , z R
10
§4.4 二维正态分布
定义： 二维随机变量 (X ,Y )服从二维正态分布，记作
(
X
,Y
)
~
N(x
,
y
,
2 x
,
2 y
,
r)
其中 x, y ,x 0, y 0, r( r 1) 是参数.
26
§4.4 二维正态分布
定理1：设二维连续随机变量
(X
,Y
)
~
N(x
,
Q /100 8000 1.96
Q 807840
38
40
39
15-16，五. 设每个零件上的瑕疵点个数服从泊松分布P(1)，现 随机抽取100个零件，根据中心极限定理，求100个 零件上总瑕疵点个数不多于120个的概率.
正态分布的前世今生
一、邂逅，正态曲线的首次发现 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，4.5节
二、寻找随机误差分布的规律（正态分布的确立） 三、正态分布的各种推导 四、正态分布开疆扩土 五、正态魅影
正态分布性质，4.3节
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
定义：设随机变量 X 的概率密度为
概率论与数理统计答案 (6)
习题六1.设总体X ~N （60，152），从总体X 中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率. 【解】μ=60,σ2=152,n =100~(0,1)Z N =即 60~(0,1)15/10X Z N -=(|60|3)(||30/15)1(||2)P X P Z P Z ->=>=-<2[1(2)]2(10.9772)0.0456.=-Φ=-=2.从正态总体N （4.2，52）中抽取容量为n 的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2）内的概率不小于0.95，则样本容量n 至少取多大？ 【解】~(0,1)Z N =(2.2 6.2)P X P Z <<=<<210.95,=Φ-=则，故即n >24.01，所以n 至少应取253.设某厂生产的灯泡的使用寿命X ~N （1000，σ2）（单位：小时），随机抽取一容量为9的样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为S 2=1002，试求P （X ＞1062）. 【解】μ=1000,n =9，S 2=10021000~(8)100/3X t t -==10621000(1062)()( 1.86)0.05100/3P X P t P t ->=>=>=4.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差. 【解】~(0,1)Z N =，由P (|X -μ|>4)=0.02得P |Z |>4(σ/n )=0.02,故210.02⎡⎤-Φ=⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即0.99.Φ=⎝⎭ 查表得2.33,=所以5.43.σ== 5.设总体X ~N （μ，16），X 1，X 2，…，X 10是来自总体X 的一个容量为10的简单随机样本，S 2为其样本方差，且P （S 2＞a ）=0.1，求a 之值.【解】2222299~(9),()0.1.1616S a P S a P χχχ⎛⎫=>=>= ⎪⎝⎭查表得914.684,16a= 所以 14.6841626.105.9a ⨯== 6.设总体X 服从标准正态分布，X 1，X 2，…，X n 是来自总体X 的一个简单随机样本，试问统计量Y =∑∑==-ni ii i XX n 62512)15(，n ＞5服从何种分布？ 【解】2522222211~(5),~(5)i nii i i XX X n χχχ====-∑∑且12χ与22χ相互独立. 所以2122/5~(5,5)/5X Y F n X n =--7.求总体X ~N （20，3）的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于0.3的概率. 【解】令X 的容量为10的样本均值，Y 为容量为15的样本均值,则X ~N (20,310), Y ~N (20,315)，且X 与Y 相互独立. 则33~0,(0,0.5),1015X Y N N ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭那么~(0,1),Z N = 所以(||0.3)||2[1(0.424)]P X Y P Z Φ⎛->=>=- ⎝2(10.6628)0.6744.=-=8.设总体X ~N （0，σ2）,X 1,…,X 10,…,X 15为总体的一个样本.则Y =()15121121022212X X X X X X ++++++ 服从 分布,参数为 . 【解】~(0,1),iX N σi =1,2, (15)那么122210152222111~(10),~(5)i i i i X X χχχχσσ==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑且12χ与22χ相互独立,所以222110122211152/10~(10,5)2()/5X X X Y F X X X ++==++ 所以Y ~F 分布，参数为（10,5）.9.设总体X ~N （μ1,σ2）,总体Y ~N (μ2,σ2),X 1,X 2,…,1n X 和Y 1，Y 2，…，2n X 分别来自总体X 和Y 的简单随机样本，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==2)()(21121221n n Y Y X X E n j j n i i = . 【解】令 1222212111211(),(),11n n i i i j S X X S Y Y n n ===-=---∑∑ 则122222112211()(1),()(1),n n ij i j XX n S y y n S ==-=--=-∑∑又2222221122112222(1)(1)~(1),~(1),n S n S n n χχχχσσ--=-=-那么1222112222121212()()1()22n n i j i j X X Y Y E E n n n n σχσχ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑2221212221212[()()]2[(1)(1)]2E E n n n n n n σχχσσ=++-=-+-=+-10.设总体X ~N （μ,σ2），X 1，X 2，…，X 2n （n ≥2）是总体X 的一个样本，∑==ni i X n X 2121，令Y =∑=+-+ni i n iX X X12)2(，求EY .【解】令Z i =X i +X n +i , i =1,2,…,n .则Z i ~N (2μ,2σ2)(1≤i ≤n ),且Z 1,Z 2,…,Z n 相互独立.令 2211, ()/1,nni i i i Z Z S Z Z n n ====--∑∑则 21111,222nn i ii i X X Z Z nn =====∑∑ 故 2Z X = 那么22211(2)()(1),n ni n i i i i Y X X X Z Z n S +===+-=-=-∑∑所以22()(1)2(1).E Y n ES n σ=-=-11. 设总体X 的概率密度为f (x )=x-e 21 (-∞<x <+∞),X 1，X 2，…，X n 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为S 2，求E (S 2).解： 由题意，得1e , 0,2()1e ,0,2xx x f x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩于是 22222220()()()()1()()d e d 021()()d e d e d 2,2xxx E S D X E X E X E X xf x x x x E X x f x x x x x x +∞+∞--∞-∞+∞+∞+∞---∞-∞==-=======⎰⎰⎰⎰⎰所以2()2E S =.。
概率论与数理统计 第4章 随机变量的数字特征
解：
1 (5 0.5x)( 3 x2 x)dx
0
2
4.65(元)
2021/7/22
21
4.1.2 随机变量函数的数学期望
将定理4.1推广到二维随机变量的情形．
定理4.2 设Z是随机变量X，Y的函数Z = g(X，Y)， g是连续函数．
(1) 若(X，Y)是二维离散型随机变量，其分布律
为P{X xi ,Y yj } pij, i, j 1,2,, 则有
解：由于 P{ X k} k e ，k = 0，1，2，…，
k!
因而
E( X ) kP{ X k} k k e
k0
k0 k!
k e
k1 (k 1)!
e
k 1
k1 (k 1)!
e k ee k0 k!
2021/7/22
12
4.1.1 数学期望的概念
2. 连续型随机变量的数学期望
2021/7/22
18
4.1.2 随机变量函数的数学期望
定理4.1 设Y为随机变量X的函数:Y = g(X) (g是连续
函数).
(1) 设X是离散型随机变量，其分布律为
P{X xk } pk , k 1,2,
若级数 g( xk ) pk绝对收敛,则 E(Y ) E[g( X )] g( xk ) pk
f ( x) 25( x 4.2)， 4 x 4.2，
0，
其 它.
求pH值X的数学期望E(X).
解：
E( X ) xf ( x)dx
4
4.2
x 25( x 3.8)dx x (25)(x 4.2)dx
3.8
4
4
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15
概率论与数理统计4.2 方 差
k1 (k 1)![(n 1) (k 1)]!
n
np
(n 1)!
pk1(1 p)(n1)(k1)
k1 (k 1)![(n 1) (k 1)]!
np[ p (1 p)]n1
np.
第四章 随机变量的数字特征
E( X 2 ) E[X ( X 1) X ]
E[X ( X 1)] E( X )
D(CX ) C 2D( X ). 证明 D(CX ) E{[CX E(CX )]2}
C 2E{[X E( X )]2} C 2D( X ).
4.2 方 差
(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则 D( X Y ) D( X ) D(Y ).
证明 D( X Y ) E{[(X Y ) E( X Y )]2} E{[X E( X )] [Y E(Y )]}2 E[ X E( X )]2 E[Y E(Y )]2 2E{[X E( X )][Y E(Y )]} D( X ) D(Y ).
(2)设X ~ P(), 求 D( X ).
解 （1） E(X ) p, E(X 2) 02(1 p) 12 p p, D(X ) E(X 2) [E(X )]2 p p2 p(1 p).
（2） E( X ) , E( X 2 ) 2 , D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 .
1. 两点分布
已知随机变量 X 的分布律为
X1
0
p
p 1 p
则有 E( X ) 1 p 0 q p, D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 12 p 02 (1 p) p2 pq.
第四章 随机变量的数字特征
★ 2. 二项分布
设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为
概率论与数理统计ppt课件
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
*
例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从袋中不放回摸两球， 记A={恰是一红一黄}，求P(A)． 解：
（注：当L>m或L<0时，记 ）
例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件， 记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)． 解：
*
第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
*
第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验 第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归
解： 设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3 A={ 这人通过考核 }，
亦可：
*
例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。
利用乘法公式
与 不相容
（1）若为放回抽样：
（2）若为不放回抽样：
解： 设 Ai={第i次取到红牌}，i=1,2 B={取2张恰是一红一黑}
①
②
①
1 2 N
①
②
1 2 N
……
概率论与数理统计第四章测试题
第4章随机变量得数字特征一、选择题1.设两个相互独立得随机变量X与Y得方差分别为4与2,则随机变量3X-2Y得方差就是(A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 442.若随机变量与得协方差,则以下结论正确得就是( )(A) 与相互独立(B) D(X+Y)=DX+DY(C) D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY3.设随机变量与相互独立,且,则( )(A) (B)(C) (D)4.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量ξ=X+Y与η=X-Y不相关得充要条件为(A) EX=EY (B) E(X2)- (EX)2= E(Y2)- (EY)2(C) E(X2)= E(Y2) (D) E(X2)+(EX)2= E(Y2)+ (EY)25.设、就是两个相互独立得随机变量且都服从于,则得数学期望( ) (A) (B) 0 (C) (D)6.设、就是相互独立且在上服从于均匀分布得随机变量,则( )(A) (B) (C) (D)7.设随机变量与得方差存在且不等于0,则D(X+Y)=DX+DY就是X与Y( )(A) 不相关得充分条件,但不就是必要条件(B) 独立得充分条件,但不就是必要条件(C) 不相关得充分必要条件(D) 独立得充分必要条件8.若离散型随机变量得分布列为,则( )(A) 2 (B) 0 (C) ln2 (D) 不存在9.将一枚硬币重复掷n次,以X与Y分别表示正面向上与反面向上得次数,则X与Y得相关系数等于(A)－1 (B)0 (C) (D)110.设随机变量X与Y独立同分布,具有方差>0,则随机变量U=X+Y与V=X-Y(A)独立(B) 不独立(C) 相关(D) 不相关11.随机变量X得方差存在,且E(X)=μ,则对于任意常数C,必有。
(A)E(X-C)2=E(X2)-C2(B)E(X-C)2=E(X-μ)2(C)E(X-C)2< E(X-μ)2(D)E(X-C)2≥ E(X-μ)212.设X~U(a,b), E(X)=3, D(X)=, 则P(1<X<3) =( )(A)0 (B) (C) (D)二、填空题1.设表示10次独立重复射击命中目标得次数,每次命中目标得概率为0、4,则2.设一次试验成功得概率为,进行了100次独立重复试验,当时,成功得次数得标准差得值最大,其最大值为3.设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,随机变量,则得方差DY=4.,,,则,5.设随机变量服从于参数为得泊松分布,且已知,则6.设(X,Y)得概率分布为:则＝。
《概率论与数理统计》第三版_科学出版社_课后习题答案.所有章节
第二章 随机变量 2.12.2解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---e ae 。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=11220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++ =11[1()]1441314k k lim →∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--= 2.6解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.7 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e - （2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.8解：设应配备m 名设备维修人员。
概率论与数理统计第4章题库
第4章数字特征填空题1. 设随机变量X只取-1，0，1三个值，且相应的概率之比1：2：3，则()E X=_________.答案：1 3知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望参考页:P87学习目标:1难度系数: 1提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：填空题题解：123 {1},{0},{1}666 P X P X P X=-=====1231()(1)016663E X=-⋅+⋅+⋅=.2. 设随机变量X的分布律为下表，则DX=_______.答案：23 16知识点：4.10 方差的概念参考页:P87学习目标:1难度系数: 1提示一：4.10 离散型随机变量方差的定义提示二：无提示三：无提示四（同题解） 题型：填空题 题解：34EX =,2223()16DX EX EX =-=. 3．设X 表示2次独立重复射击命中目标的得次数，每次命中目标的概率为0.4，则EX =_____. 答案：0.8知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望 参考页: P88 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 二项分布的数学期望 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：()2,0.4X B ~，0.8EX = 4. 设随机变量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-p pX 110~，10<<p ，当____=p 时，)(X D 取得最大值. 答案：2316知识点：4.11 常见随机变量的方差 参考页: P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.11 两点分布的方差 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：()(1)D X p p =-，12p =时，)(X D 取得最大值.5．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，若每次命中目标的概率是0.4，则2()E X =_____.答案：18.4知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 二项分布的数学期望 提示二：4.11 二项分布的方差 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：由()10,0.4X B ~得()100.44E X np ==⨯=，()()1100.40.6 2.4D X np p =-=⨯⨯=，()()()22 2.41618.4E X D X E X =+=+=⎡⎤⎣⎦6. 设X 表示10次独立射击中命中目标的次数，每次击中目标的概率为0.4，则2(1)X +的期望为_________. 答案：27.4知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 二项分布的数学期望 提示二：4.11 二项分布的方差 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：~(10,0.4)X B ，22(1)(1)[(1)]E X D X E X +=+++22.4527.4=+=.7. 设随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，且12EX =，8DX =，则n =_____， p =_____.答案：36,13知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 二项分布的数学期望 提示二：4.11 二项分布的方差 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：()12E X np ==, ()()18D X np p =-=，解得13p =，36n = 8. 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2()P X E X == .答案：112e - 知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 泊松分布的数学期望 提示二：4.11 泊松分布的方差 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：~(1)X P ，22()()[()]2E X D X E X =+=，{}{}2()2P X E X P X ===112e -=. 9. 设随机变量X 的概率分布为{} (0,1,2,)!CP X k k k ===L , 则2()E X =_________. 答案：2知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1难度系数: 2提示一：2.1离散型随机变量的分布律的性质 提示二：4.2 泊松分布的数学期望 提示三：4.11 泊松分布的方差 提示四（同题解） 题型：填空题题解：001!!k k C C Ce k k ∞∞====∑∑，故1C e =.1{}!e P X k k -==，~(1)X P ， 22()()[()]112E X D X E X =+=+=.10. 设X 在[1,1]-上服从均匀分布，则E X = _________；12E X ⎛⎫=⎪+⎝⎭_________；12D X ⎛⎫= ⎪+⎝⎭_________.答案：12，1ln 32，3ln 41312- 知识点：4.6 连续型随机变量函数的数学期望 参考页: P91 学习目标: 3 难度系数: 2提示一：2.12 均匀分布的概率密度 提示二：4.6 连续型随机变量函数的数学期望 提示三：4.10 方差的概念 提示四（同题解） 题型：填空题题解：X 的概率密度为 111()2 0 x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他，，E X 111011()22x f x dx x dx xdx +∞-∞-====⎰⎰⎰，12E X ⎛⎫=⎪+⎝⎭11111111()l n (2)2222f x d x d x x x x +∞--∞-=⋅=+=++⎰⎰， 212E X ⎛⎫= ⎪+⎝⎭221111111111()222223f x dx dx x x x +∞--∞-⎛⎫⎛⎫=⋅=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎰⎰， 22111222D E E X X X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭3ln 41312-.11. 设X 服从参数为λ的指数分布，且22()9E X =，则λ=_________. 答案：3知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.5 指数分布的数学期望 提示二：4.11 指数分布的方差 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：由已知222222112()()()9E X D X E X λλλ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭由0λ>知3λ=.12. 随机变量X 与Y 独立，且~(1,2)X N ，~(2,5)Y N -，则234~X Y -+_______. 答案：(12,53)N知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.5 正态分布的数学期望 提示二：4.11 正态分布的方差 提示三：4.9数学期望的性质提示四：4.13方差的性质 题型：填空题题解： (234)2()3()412E X Y E X E Y -+=-+=，(234)4()9()53D X Y D X D Y -+=+=234~(12,53)X Y N -+13. 随机变量X 与Y 相互独立且都服从正态分布1(,)2N μ，如果1{1}2P X Y +≤=，则μ= .答案：12知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90, P99 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.5 正态分布的数学期望，方差 提示二： 4.9数学期望的性质 提示三： 4.13方差的性质提示四： 2.14 正态分布概率密度的性质 题型：填空题题解： ()()()2E X Y E X E Y μ+=+=，()()()1D X Y D X D Y +=+= 由1{1}2P X Y +≤=知21μ=，所以12μ= 14. 设随机变量X 的概率密度为221() ()xx f x x-+-=-∞<<+∞则()E X = _________ ，()D X =_________.答案：112， 知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90, P99 学习目标: 1 难度系数: 3提示一：2.14 正态分布概率密度提示二： 4.5 正态分布的数学期望 提示三： 4.11 正态分布的方差 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：22(1)122121()1x xx f x e--⋅-+-==，()1E X =，1()2D X =. 15．已知1,1,9,16,EX EY DX DY ====X 与Y 独立，则(32)E X Y += ，(32)D X Y -= ．答案：5, 145知识点：4.9数学期望的性质，4.13方差的性质 参考页: P94, P103 学习目标: 1 难度系数: 1提示一： 4.9数学期望的性质 提示二： 4.13方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：(32)3()2()5E X Y E X E Y +=+=，(32)9()4()145D X Y D X D Y -=+=16．已知(2)X P ~，[1 2]Y U ~，，且X 与Y 独立，则()E XY =____________， ()4E X Y -= ()12D X Y -=答案：3, 4, 14-知识点：4.9数学期望的性质，4.13方差的性质 参考页: P94, P103 学习目标: 1 难度系数: 2提示一： 4.9数学期望的性质提示二： 4.13方差的性质提示三： 4.2 泊松分布的数学期望，方差 提示四： 4.5 均匀分布的数学期望，方差 题型：填空题题解：3()()()232E XY E X E Y ==⋅=，()34()4()2442E X Y E X E Y -=-=-⋅=- ()112()144()21441412D X Y D X D Y -=+=+⋅=17. 若(,)X Y 的联合概率密度22253()321650251(,)32x xy y f x y eπ--+=，则(,)X Y 服从____________分布，且()E X =______，()E Y =______，()D X =______，()D Y =______，, X Y ρ=______. 答案：30, 0, 16, 25,5知识点：4.17 二维正态分布的协方差和相关系数 参考页: P107 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 3.11二维正态分布联合概率密度 提示二： 4.17 二维正态分布5个参数的含义 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：2213(2)545454251(,)42455x xy y f x y eπ--⋅+⋅⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=⋅⋅⋅,(,)X Y 服从二维正态分布()E X =()0E Y =, ()16D X =,()25D Y =,, 35X Y ρ=. 18. 设二维随机变量(,)X Y 服从22(,,,,0)N μμσσ，则2()E XY =________. 答案：22()μσμ+知识点：4.17 二维正态分布的协方差和相关系数 参考页: P107 学习目标: 4难度系数: 2提示一： 4.17 二维正态分布相关系数的含义 提示二： 4.9数学期望的性质提示三： 4.17 二维正态分布5个参数的含义 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：22222()()()()[()]()E XY E X E Y E X D Y E Y μσμ==+=+.19. 设(,)~(0,0,0.5,0.50)X Y N ，，Y X Z -=，则方差=)(Z D . 答案：21π-知识点：4.6 连续型随机变量函数的数学期望 4.17 二维正态分布的协方差和相关系数 参考页: P91, P107 学习目标: 3，4 难度系数: 3提示一： 4.17 二维正态分布5个参数的含义 提示二： 4.6 连续型随机变量函数的数学期望 提示三： 4.10 方差的概念 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：~(0,1)Z X Y N =-，()E Z =22z dz +∞--∞=⎰2202202z z dz +∞--+∞===⎰()()()22 D Z E Z E Z =-()22E Z π=-()222()1D Z E Z ππ=+-=-20. 随机变量(,)X Y 的联合概率分布为下表，则X 与Y 的协方差(,)Cov X Y 为_______.答案：9-知识点：4.14 协方差的概念 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 1提示一： 4.14 协方差的概念提示二： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题 题解：141016,,999EX EY EXY ===，124(,)9Cov X Y =- 21. 随机变量(,)X Y 的联合概率分布为下表，则X 与Y 的相关系数XY ρ为_______.答案：0知识点：4.16 相关系数的概念与性质 参考页: P106 学习目标: 4难度系数: 2提示一： 4.16 相关系数的概念提示二： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题 题解：()22222242,,33399EX EX DX EX EX ===-=-= 220,,3EY EY ==()2223DY EY EY =-=, 0EXY =所以，(,)0Cov X Y =，0XY ρ=22．设随机变量,X Y 有()1E X =，()2E Y =, (,)2Cov X Y =，则()E XY =______. 答案：4知识点：4.14 协方差的概念 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 1提示一： 4.14 协方差的概念 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：()(,)()()224E XY Cov X Y E X E Y =+=+= 23．设4,9,0.5XY DX DY ρ===，则(2)D X Y -=________.答案：13知识点：4.13 方差的性质 参考页: P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 4.13 方差的性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：(2)4()()4(,)D X Y D X D Y Cov X Y -=+-4()()4D X D Y ρ=+-16940.52313=+-⨯⨯⨯=24．设两个随机变量Y X ,，已知25.0,9,16===XY DY DX ρ，则)(Y X D += _. 答案：31知识点：4.13 方差的性质 参考页: P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 4.13 方差的性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++()()2ρ=++XY D X D Y 16920.254331=++⨯⨯⨯=25．设,X Y 为随机变量，且()7D X Y +=，4DX =, 1DY =，则XY ρ= . 答案：12知识点：4.13 方差的性质 参考页: P103 学习目标: 2难度系数: 2提示一： 4.13 方差的性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：7()()()2D X Y D X D Y ρ=+=++5227XY ρ+⨯=，解得12XY ρ=. 26．设两个随机变量,X Y ，已知16,9,()31DX DY D X Y ==+=，试计算：XY ρ=____________，()D X Y -=____________.答案：1, 194知识点：4.13 方差的性质 参考页: P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 4.13 方差的性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：31()()()2D X Y D X D Y ρ=+=++即2524331XY ρ+⨯⨯=，解得14XY ρ=()()()2D X Y D X D Y ρ-=+-125243194=-⨯⨯⨯=27.设随机变量X 与Y 的相关系数为0.9，若,4.0-=X Z ，则Z Y 与的相关系数为 . 答案：0.9知识点：4.16 相关系数的概念与性质 参考页: P106 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.16 相关系数的概念与性质 提示二： 4.15 协方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题 题解：,Y Z ρ===, 0.9X Y ρ==选择题1. 现有10张奖券，其中8张为2元券，2张为5元券，某人从中随机地无放回地抽取了3张，则此人得奖金额的数学期望为（ ）.（A ）6； （B ）12； （C ）7.8； （D ）9. 答案：（C ）知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 参考页: P87 学习目标: 1 难度系数: 1提示一： 4.1 离散型随机变量的数学期望 提示二： 无 提示三：无提示四： （同题解） 题型：选择题题解：X 为得奖金额，383107{6}15C P X C ===，21823107{9}15C C P X C ===， 12823101{12}15C C P X C ===，771()69127.8151515E X =⨯+⨯+⨯=，选（C ）.2. 设~(,)X B n p ，且() 2.4E X =， 1.44DX =（），则,n p 分别为（ ）. （A ）4,0.6n p ==； （B ）6,0.4n p ==； （C ）8,0.3n p ==； （D ）24,0.1n p ==. 答案：（B ）知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 二项分布的数学期望 提示二：4.11 二项分布的方差提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题题解：~(,)X B n p ,2.4=()E X np =,1.44=(1)D X np p =-（）,解得0.4, 6p n ==，选（B ）.3．设X 服从参数为2的泊松分布，即22{}k P X k e k -==！, 则X 的数学期望和方差分别为（ ） (A)12和12; (B) 2和4; (C) 12和14; (D) 2和2. 答案：（D ）知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 泊松分布的数学期望 提示二：4.11 泊松分布的方差 提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题题解：由X 服从参数为2的泊松分布知，()()2E X D X ==，选（D ）.4. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，若[(1)(2)]1E X X --=，则参数λ=（ ） （A ）3 ; (B) -1 ; (C) 1 ; (D) 2 . 答案：（C ）知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 泊松分布的数学期望 提示二：4.11 泊松分布的方差 提示三：4.9 数学期望的性质题型：选择题题解：221[(1)(2)]()3()2()()3()2E X X E X E X D X E X E X =--=-+=+-+2210λλ-+= λ=1，选（C ）.5. 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则()E X =( ) (A) 2; （B ）4; （C ）12; （D ）14. 答案：（C ）知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望 参考页: P90 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.5 指数分布的数学期望 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题题解：由X 服从参数为2的指数分布知1()2E X =，选（C ）. 6. 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，若2()72E X =，则参数λ=（ ）(A) 6 ; (B) 4 ; (C) 13 ; (D) 16. 答案：（D ）知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90，P99 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.5 指数分布的数学期望 提示二：4.11 指数分布的方差 提示三：无题型：选择题题解：~()X E λ 211(),()E X D X λλ==2272()()()E X D X E X ==+解得 16λ=，选（D ）. 7. 设随机变量X 的分布函数为21 0() 0 0x e x F x x -⎧-≥=⎨<⎩，，且μ=)(X Eσ=，则μ与σ的关系为（ ）.（A ）μ=σ； （B ）μ=2σ； （C ）2μ=σ； （D ）μ=1σ.答案：（A ）知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90，P99 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：2.10 连续型随机变量的概率密度与分布函数之间的关系 提示二：4.5 指数分布的数学期望 提示三：4.11 指数分布的方差 提示四（同题解） 题型：选择题题解：由已知X 的概率密度为22 0() 0 0x e x f x x -⎧≥=⎨<⎩，，，1()2E X =12=，选（A ）.8. 设随机变量,X Y 相互独立，其中X 在[1,7]上服从均匀分布，Y 服从参数为4的泊松分布，记2U X Y =-，则(),E U ()D U 等于（ ）.（A ）4,19-； （B ）4,13-； （C ）12,19； （D ）12,10. 答案：（A ）知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90，P99 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.5 均匀分布的数学期望与方差 提示二：4.2 泊松分布的数学期望与方差 提示三：4.9 数学期望的性质 提示四：4.13 方差的性质 题型：选择题题解：由X 在[1,7]上服从均匀分布知，()4E X =，()3D X = 由Y 服从参数为4的泊松分布知，()4E X =，()4D X =()()2()424E U E X E Y =-=-⨯=-，()()4()34419D U D X D Y =+=+⨯=，选（A ）.9．设X 服从正态分布)2,4(N ，则32Y X =+服从哪个分布（ ）(A) )18,12(N ; (B) )20,14(N ; (C) )18,14(N ; (D) )8,12(N . 答案：（C ）知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90，P99 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.5 正态分布的数学期望 提示二：4.11 正态分布的方差 提示三：4.9 数学期望的性质 提示四：4.13 方差的性质 题型：选择题题解：()3()214E Y E X =+=，()9()18D Y D X ==，~(14,18)Y N ，选（C ）. 10. 设随机变量X 和Y 相互独立，~(1,1)X N ，~(2,1)Y N -，则(2)D X Y -=（ ） （A ）3； （B ）5； （C ）4； （D ）1. 答案：（B ）知识点：4.13 方差的性质 参考页: P103学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 4.11 正态分布的方差 提示二： 4.13 方差的性质 提示三：无提示四： （同题解） 题型：选择题题解：(2)4()()5D X Y D X D Y -=+=，选（B ）.11. 对任意随机变量X ，若()E X 存在，则[()]E E EX 等于（ ）. （A ）0; （B ）X ; （C ） 3()EX ; （D ）()E X . 答案：（D ）知识点：4.9 数学期望的性质 参考页: P94 学习目标: 2 难度系数: 1提示一： 4.9 数学期望的性质 提示二： 无 提示三：无提示四： （同题解） 题型：选择题题解：由期望性质知[()]()E E EX E X =，选（D ）.12. 设随机变量X 与Y 相互独立，方差分别为4和2，则32X Y -的方差是( ). (A) 8; (B) 44; (C) 28; (D) 16. 答案：（B ）知识点：4.13 方差的性质 参考页: P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一：4.13 方差的性质 提示二：无 提示三：无提示四： （同题解） 题型：选择题题解：(32)9()4()44D X Y D X D Y -=+=，选（B ）.13.设()2,()1,()1,()2,E X D X E Y D Y ====且Y X ,相互独立，则32X Y +的数学期望与方差分别为（ ）(A) 8和7; (B)8和17; (C) 7和8; (D)17和7. 答案：（B ）知识点：4.9 数学期望的性质 4.13 方差的性质 参考页: P94, P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一：4.9 数学期望的性质 提示二：4.13 方差的性质 提示三：无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：(32)3()2()8E X Y E X E Y +=+=(32)9()4()17D X Y D X D Y +=+=，选（B ）.14．设X 为随机变量，,0)(≥X E 2)121(2=-X E ,21)121(=-X D ，则()E X =（ ） (A)22;(B) 1; (C) 0; (D) 2.答案：（D ）知识点：4.9 数学期望的性质 4.13 方差的性质 参考页: P94, P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一：4.9 数学期望的性质 提示二：4.13 方差的性质 提示三：无 提示四：（同题解） 题型：选择题 题解：由2)121(2=-X E 知，2()6E X =，由11(1)22D X -=知，()2D X =22()()()D X E X E X =-，即26()2E X -=，由()0E X ≥知，()2E X =. 选（D ）. 15. 随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（ ） （A ）{}211P Y X =--=;(B) {}211P Y X =-=;(C) {}211P Y X =-+=; (D) {}211P Y X =+=.答案：（D ）知识点：4.16 相关系数的概念与性质 参考页: P106 学习目标: 4 难度系数: 1提示一： 4.16 相关系数的性质 提示二： 4.5 正态分布的数学期望 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：(21)1EY E X =+=，选（D ）.16. 若二维随机变量(,)X Y 满足()()()E XY E X E Y =，则X 与Y （ ） （A ）相关； （B ）独立； （C ）不相关； （D ）不独立. 答案：（C ）知识点：4.15 协方差的性质 参考页: P105 学习目标: 4难度系数: 1提示一： 4.15 协方差的性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：由()()()E XY E X E Y =知，(,)0Cov X Y =，所以X 与Y 不相关，选（C ）. 17．对于任意两个随机变量X 和Y ，若()()()E XY E X E Y =，则（ ）（A ）()()()D XY D X D Y =⋅； （B ）()()()D X Y D X D Y +=+； （C ） X 与Y 相互独立； （D ）X 与Y 互斥. 答案：（B ）知识点：4.15 协方差的性质 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.15 协方差的性质 提示二： 4.13 方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：由()()()E XY E X E Y =知，(,)0Cov X Y =，()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++()()D X D Y =+，选（B ）.18．设随机变量X 与Y 的协方差(,)0,Cov X Y =则下列结论正确的是 ( ) (A) X 与Y 独立； （B ）()()()D X Y D X D Y +=+; （C ）()()()D X Y D X D Y -=-； (D) ()()()D XY D X D Y =. 答案：（B ）知识点：4.15 协方差的性质参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.15 协方差的性质 提示二： 4.13 方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++()()D X D Y =+，选（B ）. 19. 若随机变量,X Y 满足()()D X Y D X Y +=-，则必有（ ）（A ）X 与Y 相互独立；（B ）X 与Y 不相关; （C ）()0D X =； (D) ()()0D X D Y = 答案：（B ）知识点：4.15 协方差的性质 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.15 协方差的性质 提示二： 4.13 方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++，()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y -=+- 所以(,)0Cov X Y =，即X 与Y 不相关. 选（B ）. 20. 下列命题正确的是（ ）（A ）若Y X ,不相关，则()()()D X Y D X D Y +=+； （B ）若()E XY EX EY =⋅，则Y X ,相互独立； （C ）若()()()D X Y D X D Y +=+，则Y X ,相互独立；（D ）若Y X ,不相关，则Y X ,的联合概率密度(,)()()X Y f x y f x f y =⋅； 答案：（A ）知识点：4.15 协方差的性质 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.15 协方差的性质 提示二： 4.9 数学期望的性质 提示三： 4.13 方差的性质 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：若Y X ,不相关，则(,)0Cov X Y =.()()()2(,D X Y D X D Y C o v X Y +=++()()D X D Y =+，选（A ）.21．下列结论正确的是（ ）（A ）X 与Y 相互独立，则X 与Y 不相关； （B ）X 与Y 不独立，则X 与Y 相关； （C ）X 与Y 不相关，则X 与Y 相互独立； （D ）X 与Y 相关，则X 与Y 相互独立. 答案：（A ）知识点：4.15 协方差的性质 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 1提示一： 4.9 数学期望的性质 提示二： 4.15 协方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：X 与Y 相互独立，有()E XY EX EY =⋅，即(,)0C o v X Y =，所以X 与Y 不相关，选（A ）.22. 若两个随机变量X 和Y 相互独立，则以下结论不一定成立的是( ). (A) ()D XY DX DY =⋅; (B) ()D X Y DX DY +=+; (C) (,)0Cov X Y =; (D) ()E XY EX EY =⋅. 答案：（A ）知识点：4.15 协方差的性质 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.15 协方差的性质 提示二： 4.9 数学期望的性质 提示三： 4.13 方差的性质 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：X 与Y 相互独立，有()E XY EX EY =⋅，即(,)0Cov X Y =，()()()2(,D X Y DX D Y C o v X Y +=++()()D X D Y =+， 选项（B ）（C ）（D ）均成立，故选（A ）.23. 随机变量X 和Y 相互独立，则等式 ①()()()E X Y E X E Y -=-②()()()E XY E X E Y =g ③()D X Y DX DY -=- ④()()()D XY D X D Y =g 中成立的为（ ）（A ）①③； （B ）②④； （C ）①④； （D ）①②. 答案：（D ）知识点：4.9数学期望的性质，4.13方差的性质 参考页: P94, P103 学习目标: 1 难度系数: 1提示一： 4.9数学期望的性质 提示二： 4.13方差的性质 提示三： 无提示四：（同题解） 题型：选择题题解：由期望的性质()E X Y EX EY -=-，X 与Y 相互独立时，有()E XY EX EY =⋅，选（D ）. 24. 设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记max(,),U X Y =min(,)V X Y =，则()E UV 等于（ ）.(A) ()()E U E V ； (B) ()()E X E Y ； (C) ()()E U E Y ； (D) ()()E X E V . 答案：（B ）知识点：4.9数学期望的性质 参考页: P94 学习目标: 1 难度系数: 1提示一： 4.9数学期望的性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：()()()()E UV E XY E X E Y ==，选（B ）.25. 设连续型随机变量1X 与2X 相互独立，且方差均存在，1X 与2X 的概率密度分别为1()f x 与2()f x ，随机变量1Y 的概率密度1121()[()()]2Y f y f y f y =+，随机变量2121()2Y X X =+，则（ ）(A) 1212,EY EY DY DY >>； (B) 1212,EY EY DY DY ==； (C) 1212,EY EY DY DY =<； (D) 1212,EY EY DY DY =>. 答案：（D ）知识点：4.9 数学期望的性质，4.13方差的性质 参考页: P94, P103学习目标: 1 难度系数: 3提示一： 4.9数学期望的性质 提示二： 4.13方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：特值法，设12,X X 均服从标准正态分布()0,1N ，相互独立22212221()]2y y y Y f y e e e ---=，()1~0,1Y N ，2121()02E Y E X E X =+=, 21211()42DY DX DX =+=， 1212,EY EY DY DY =>，故选（D ）.26. 设随机变量X 的分布函数为1()0.3()0.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则()E X =（ ）. （A ）0；(B) 0.3；(C) 0.7；(D) 1.答案：（C ）知识点：4.4 连续型随机变量的数学期望 参考页: P90 学习目标: 1 难度系数: 3提示一：2.10 连续型随机变量概率密度与分布函数的关系 提示二： 4.4 连续型随机变量的数学期望的定义 提示三： 2.14 正态概率密度的性质 提示四：（同题解） 题型：选择题题解1： 11()()0.3()0.722x f x F x x ϕϕ-⎛⎫'==+⋅⎪⎝⎭1()()0.3()0.352x E X xf x dx x x dx x dx ϕϕ+∞+∞+∞-∞-∞-∞-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰120.352(21)()0.7()0.7x t t t dt t dt ϕϕ-=+∞+∞-∞-∞⋅+===⎰⎰，选（C ）.题解2：1()()0.3()0.352x E X xf x dx x x dx x dx ϕϕ+∞+∞+∞-∞-∞-∞-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2221()(1)22220.350.352x x dx x dx ---+∞+∞-⋅-∞-∞==⎰⎰2(1)220.70.7x x dx --+∞⋅-∞==⎰，选（C ）.27. 设二维随机变量()()221212,,,,,X Y N μμσσρ~，则下列结论错误的是（ ）.（A ）()()221122,,,X N Y N μσμσ~~； （B ） X 与Y 相互独立的充要条件是0ρ=；（C ）()12E X Y μμ+=+； （D ）()2212D X Y σσ+=+.答案：（D ）知识点： 4.17 二维正态分布的协方差和相关系数 参考页: P107 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.17 二维正态分布5个参数的含义 提示二： 4.9 数学期望的性质 提示三： 4.13 方差的性质 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：()()221212,,,,,X Y N μμσσρ~，则()()221122,,,X N Y N μσμσ~~()12E X Y μμ+=+，X 与Y 相互独立的充要条件是0ρ=()221212()()22XY XY D X Y D X D Y ρσσρσσ+=++=++，选（D ）28. 设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度，则在Y y =的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为（ ） (A) ()X f x . (B) ()Y f y . (C) ()()X Y f x f y . (D) ()()X Y f x f y . 答案：（A ）知识点： 4.17 二维正态分布的协方差和相关系数 参考页: P107 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.17 二维正态分布5个参数的含义 提示二： 3.10 连续型随机变量的条件概率密度 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：对于二维正态分布，X 与Y 不相关，则X Y 与相互独立(,)()()X Y f x y f x f y =，/(,)()()X Y Y f x y f x y f y =()X f x =，选（A ）.29. 将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面朝上和反面朝上的次数，则X 和Y 的相关系数等于（ ）（A ） 1-； (B) 0； (C) 12； (D) 1. 答案：（ A ）知识点： 4.16 相关系数的概念与性质 参考页: P106 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.16 相关系数的概念与性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：Y n X =-，11~(,),~(,)22X B n Y B n (,)()()C o v X n X D X D Y -=-=-，1XY ρ=-，选（A ）.计算题1. 设离散型随机变量X 的分布律如下表所示求()E X ，2()E X ，2(35)E X +. 答案：0.2, 2.8, 13.4-知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 参考页: P87，P89 学习目标: 1，3 难度系数: 1提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义 提示二：4.3 离散型随机变量函数的数学期望 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：()20.400.320.3E X =-⨯+⨯+⨯2.0-=，2222()(2)0.400.320.3E X =-⨯+⨯+⨯8.2=， 22(35)3()5E X E X +=+222(3(2)5)0.4(305)0.3(325)0.3=⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯4.13=.2. 某射手有3发子弹，射一次命中的概率为32，如果命中了就停止射出，否则一直独立射到子弹用尽. 求(),()E X D X .答案：139，3881知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 4.10 方差的概念 参考页: P87，P97 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义 提示二：4.10 方差的概念 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：123~2121133333X ⎛⎫⎪ ⎪⋅⎝⎭,9139********)(=⨯+⨯+⨯=X E 923913922321)(2222=⨯+⨯+⨯=X E ,8138)()()(22=-=X E X E X D .3．设一汽车在开往目的地的道路上需要经过三组信号灯，每组信号灯以12的概率允许或禁止汽车通过. 以X 表示汽车首次停下时它已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），求X 的数学期望和方差. 答案：78，7164知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 4.10 方差的概念 参考页: P87，P97 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义 提示二：4.10 方差的概念 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题 题解：1()234888E X =+⨯+⨯= 22211115()()(),()494888D X E X EX E X =-=+⨯+⨯=所以22215771()()()()8864D X E X EX =-=-= 4. 一盒中有4个球，球上分别标有号码0，1，1，2从盒中有放回的抽取2个球，设X 为被观察到的球上号码的乘积，求()E X . 答案：1知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 参考页: P87 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：分别用12X X ，表示第一次和第二次摸到的球的标号. X 表示两次摸球标号的乘积 则X 的所有可能取值有0，1，2，412{0}{(0)(0)}P X P X X ===+=1212{0}{0}{0,0}P X P X P X X ==+=-==11117444416=+-⋅= 12{1}{1,1}P X P X X ====111224=⋅= 1212{2}{1,2}{2,1}P X P X X P X X ====+==1111124424=⋅+⋅= 12{4}{2,2}P X P X X ====1114416⋅=1112414416EX =+⨯+⨯=.5. 对某一目标进行射击，直至击中目标为止. 如果每次击中目标的概率均为(01)p p <<, 求: (1) 射击次数为偶数的概率; (2) 射击次数的数学期望. 答案：（1）12p p -- （2）1p知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 参考页: P87 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义 提示二：2.1离散型随机变量取值的概率 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：记射击次数为X ，显然X 的分布律如下 1{}(1)k P X k p p -==-， k =1, 2, … （1）所求概率为2111{2}(1)k k k P X k p p +∞+∞-====-∑∑2)1(1)1(p p p ---=p p --=21. （2）1(){}k E X k P X k +∞==⋅=∑11(1)k k kp p +∞-==-∑p1=（ 注意：级数11(1)k k kx x +∞-=-∑x1=，)2,0(∈x ）. 6. 设随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，求kXY e =的数学期望.答案：((1))kne p p +-知识点： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 参考页: P89 学习目标: 3 难度系数: 2提示二： 2.3 二项分布的分布律 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：~(,)X B n p ， {}(1)l ln l n P X l C p p -==- , 0, 1, 2,,.l n =⋯故 ()()kXE Y E e =0(1)nk lllnln l e C p p -==-∑0()(1)nl k l n ln l C e p p -==-∑n k p p e ))1((-+=. 7. 设随机变量X 服从参数为0.5的泊松分布，求随机变量1=1Y X+的数学期望. 答案：0.52(1)e --知识点： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 参考页: P89 学习目标: 3 难度系数: 2提示一： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 提示二： 2.3 泊松分布的分布律 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解： 0.5=0110.5()=1+1!k k E Y E e Xk k ∞-⎛⎫=⋅⎪+⎝⎭∑0.51=00.5=0.5(1)!k k ek -+∞+∑ 0.50.50.50.5=00.5=21=2(1)2(1)!k k ee e e k ∞---⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦∑. 8. 设离散型随机变量X 的分布律如下表所示.求随机变量2XY =的数学期望和标准差. 答案：2.4, 1.41参考页: P89 学习目标: 3 难度系数: 1提示一： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 提示二： 4.10 方差的概念 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：()(2)X E Y E =423.021.022.022101⨯+⨯+⨯+⨯=-4.2=. 2()(4)X E Y E =443.041.042.042101⨯+⨯+⨯+⨯=-75.7=，22()()[()]D Y E Y E Y =-99.14.275.72=-=，1.41=≈.9．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作. 若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元；发生两次故障所获利润为0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元. 求一周内期望利润是多少？ 答案：5.209知识点： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 参考页: P89 学习目标: 3 难度系数: 2提示一： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 提示二： 2.3 二项分布的分布律 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：设Z 表示一周内发生故障次数（五天工作日，每天发生0或1次故障）~(5,0.2)Z B ，55{}0.20.8k k k P Z k C -== (k =0, 1, 2, 3, 4, 5)(())E C Z=10×0.3277+5×0.4096+0×0.2048-2 (0.0512+0.0064+0.00032)=3.277+2.048-0.11584=5.209(万元)10. 设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布，随机变量100010XY XX>⎧⎪==⎨⎪-<⎩，若，若，若求Y的方差.答案：8 9知识点：4.10 方差的概念参考页:P97学习目标:1难度系数:2提示一：4.3离散型随机变量函数的数学期望提示二：4.10 方差的概念提示三：2.12 均匀分布提示四（同题解）题型：计算题题解：由已知2{1}{0}3P Y P X==>=，1{1}{0}3P Y P X=-=<= Y的分布律为1()3E Y=，2()1E Y=，2218()()[()]199D YE Y E Y=-=-=.11. 设X 的概率密度为,01()2,120,x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 , 求)(X E ，()D X .答案：1，16知识点：4.4 连续型随机变量的数学期望 4.10 方差的概念 参考页: P90，P97 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.4 连续型随机变量的数学期望的定义 提示二：4.10 方差的概念 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题 题解：12201()()(2)E X xf x dx x dx x x dx +∞-∞==+-⎰⎰⎰122323101111141(81)13333x x x =+-=+---=12223201()()(2)E X x f x dx x dx x x dx +∞-∞==+-⎰⎰⎰122434101121434x x x =+-12177154346=+⋅-⋅= 22)]([)()(X E X E X D -=71166=-=. 12．设X 的概率密度为110()1010x x f x x x +-≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩，，，其他，求()E X ，()D X . 答案：0，16知识点：4.4 连续型随机变量的数学期望 4.10 方差的概念 参考页: P90，P97 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.4 连续型随机变量的数学期望的定义提示二：4.10 方差的概念 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题 题解：()()E X xf x dx +∞-∞=⎰011(1)(1)x x dx x x dx -=++-⎰⎰2030213111111102323x x x x --=++-=，22()()E X x f x dx +∞-∞=⎰01221(1)(1)x x dx x x dx -=++-⎰⎰34034111111()()3434x x x x -=++-16=， 从而221()()[()]6D XE X E X =-= .13. 设连续型随机变量X 的概率密度为1,02()0,kx x f x +≤≤⎧=⎨⎩其他 求 (1)系数k ; (2) X 的分布函数()F x ; (3)计算{1.5 2.5}P X << (4)求期望()E X ，方差()D X .答案：（1）12- （2）20, 01(), 0241, 2x F x x x x x <⎧⎪⎪=-+≤<⎨⎪≥⎪⎩ （3）0.0625 （4）2, 03知识点：4.4 连续型随机变量的数学期望 4.10 方差的概念 参考页: P90，P97 学习目标: 1 难度系数: 3提示一：2.10连续型随机变量的概率密度的性质提示二：2.10连续型随机变量的概率密度与分布函数的关系 提示三：4.4 连续型随机变量数学期望的定义 提示四：4.10 方差的概念 题型：计算题 题解：(1)2(1)1kx dx +=⎰，12k =-(2)(){}()xF x P X x f t dt -∞=≤=⎰，0x <时，()0F x =，2x ≥时，()1F x =.02x ≤<时，2011()(1)24xF x t dt x x =-+=-+⎰20, 01(), 0241, 2x F x x x x x <⎧⎪⎪=-+≤<⎨⎪≥⎪⎩(3){1.5 2.5}(2.5)(1.5)0.0625P X F F <<=-= (4) ()()E X xf x dx +∞-∞=⎰20(1)2x x dx =-+⎰32220011122323x x =-⋅+= 22()()E X x f x dx +∞-∞=⎰220(1)2x x dx =-+⎰42320011122433x x =-⋅+=， 从而22()()[()]0D X E X E X =-= .14. 设连续型随机变量X 的概率密度为：()0102a +bx ,<x <f x =,⎧⎨⎩其他，已知数学期望3()5E X =.求：（1）常数a,b 的值；（2）()XE e . 答案：（1）36, 55（2）935e -知识点：4.6 连续型随机变量函数的数学期望 参考页: P91 学习目标: 3 难度系数: 2提示一：2.10连续型随机变量的概率密度的性质 提示二：4.4 连续型随机变量数学期望的定义 提示三：4.6 连续型随机变量函数的数学期望 提示四（同题解） 题型：计算题题解：（1）10113+2-=f(x)dx =(a +bx )dx =a +b ∞∞⎰⎰33a b ⇒+= 2311()()524E X xf(x)dx x a bx dx a b +∞-∞==+=+⎰⎰10=解得：36,55a b ==.（2）9()()35X x E e e f x dx e +∞-∞==-⎰。
概率论与数理统计(协方差及相关系数、矩)
实验步骤： 实验步骤： (1) 整理数据如图 所示． 整理数据如图4-5所示 所示．
图4-5 整理数据
(2) 计算边缘概率 计算边缘概率P{X = xi}和P{Y = yj} 和 在单元格G2中输入公式 ： 在单元格 中输入公式： = SUM(B2:F2)， 并将 中输入公式 ， 其复制到单元格区域G3:G6 其复制到单元格区域 在单元格B7中输入公式： 在单元格 中输入公式：=SUM(B2:B6)，并将其 中输入公式 ， 复制到单元格区域C7:F7 复制到单元格区域 (3) 计算期望 计算期望E(XY) 首先在单元格B9中输入公式： 首先在单元格 中输入公式： 中输入公式 =MMULT(B1:F1,B2:F6)， ，
−
π
∫ πcos zdz = 0, ∫ πsin z cos zdz = 0
−
1 E ( XY ) = 2π
π
因而Cov(X，Y) = 0，ρXY = 0． ， 因而 ， ． 不相关， 相关系数ρXY = 0，说明随机变量 与Y不相关， ，说明随机变量X与 不相关 但是， 所以X与 不独立 不独立． 但是，由于 X 2 + Y 2 = 1 ，所以 与Y不独立．
Cov ( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) = 19 / 400,
所以
ρ XY =
Cov( X , Y ) 19 / 400 133 = = = 0.87 D( X ) D(Y ) 153 / 2800 153
4.3.2 相关系数 下面不加证明地给出相关系数的两条性质： 下面不加证明地给出相关系数的两条性质： (1) |ρXY | ≤ 1； ； 的充要条件是， (2) |ρXY | = 1的充要条件是，存在常数 ，b，使 的充要条件是 存在常数a， P{Y = aX + b} = 1． ． 定义4.6 若ρXY = 0，称X与Y不相关．0 < ρXY ≤ 1，称 定义 ， 与 不相关． ， 不相关 X与Y正相关，– 1 ≤ ρXY < 0，称X与Y负相关． 正相关， 负相关． 与 正相关 ， 与 负相关 事实上,相关系数 事实上 相关系数ρXY是X与Y线性关系强弱的一个 与 线性关系强弱的一个 度量,X与 的线性关系程度随着 的线性关系程度随着| 的减小而减弱, 度量 与Y的线性关系程度随着 ρXY|的减小而减弱 的减小而减弱 的线性关系最强， 时 与 的线性关系最强 当|ρXY| = 1时X与Y的线性关系最强， 的不存在线性关系， 当ρXY = 0时，意味 与Y的不存在线性关系，即X 时 意味X与 的不存在线性关系 不相关. 与Y不相关 不相关
概率论方差的计算公式
概率论方差的计算公式
方差是概率论中用来衡量随机变量离其数学期望的距离的重要指标。
在统计学和概率论中，方差被广泛应用于描述数据的离散程度和数据分布的集中程度。
本文将简要介绍方差的计算公式及其应用。
方差的计算公式如下：
方差（Variance）= 平均值与各个观测值之差的平方的平均值
方差的计算步骤如下：
1. 计算随机变量的数学期望（平均值）。
2. 分别计算每个观测值与平均值之差。
3. 将每个差值平方，并求其平均值。
4. 得到方差。
方差的计算公式充分考虑了每个观测值与平均值之间的差异，并将差值平方以消除正负抵消的影响。
方差较大表示数据分散程度大，而方差较小表示数据集中程度高。
方差在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在金融领域，投资者可以通过计算股票收益的方差来衡量投资风险。
方差较高的股票表示其收益波动性大，风险较高。
在质量控制中，方差可以用来评估产品的制造质量，方差较小表示产品质量较稳定。
方差还常常与标准差结合使用。
标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。
方差和标准差都是衡量数据变化的重要指标，能
够帮助我们更好地理解和分析数据。
方差作为概率论中重要的计算公式，能够帮助我们衡量数据的离散程度和集中程度。
通过方差的计算，我们可以更好地理解和分析数据，并在实际应用中进行风险评估、质量控制等决策。
方差的概念和计算公式对于我们理解和应用概率论具有重要的指导意义。
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k e
k!
k (k 1)
k 1
k
k!
e EX 2e
k 2
k 2
(k 2)!
EX
2
D( X ) E( X 2 ) [ E( X )]2 2 2
2013年5月1日星期三 10
x
2
2
2 0
x 2 sin x 2 2 2 x sin xdx x d sin x 0 0
2
4 2013年5月1日星期三
42
2 xd cos x
2 0
2
2 sin x
2 0
2
4
6
2 2 x cos x 0 2 2 cos xdx 0
2013年5月1日星期三 3
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推论
证明:
D(X)=E(X2)―[E(X)]2 D(X)=E[X―E(X)] 2 2 2 E{X 2 XE( X ) [ E( X )] }
E( X 2 ) 2E( X ) E( X ) [ E( X )]2
E( X ) [ E( X )]
91 7 35 D( X ) E ( X ) [ E ( X )] 6 2 12
2 2
2
4
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例：设X的概率密度为
1 x 1 x 0 f ( x) 1 x 0 x 1
求D(X), D(X2).
E 解： ( X ) 1 x(1 x)dx 0 x(1 x)dx 0
4 0 4 1 4
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1 cos x, 例：设X的概率密度为 p x 2 0, 求D(X), D(cosX). 1 2 解： E X x cos xdx 0 2 2 1 2 2 2 2 2 E X x cos xdx x cos xdx 0 2 2
k 0.1,...n
E(X) =np. D (X)= npq.
2013年5月1日星期三 8
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证明:
n
n! E( X ) k p k (1 p) nk k!(n k )! k 1
2 2
n
n kn! k nk (k 1 1)n! k p (1 p) p (1 p) n k (k 1)!(n k )! k 1 ( k 1)!( n k )!
第二节 方差
一、方差的定义及计算公式 二、离散型随机变量的方差
三、连续型随机变量的方差
四、方差的性质
2013年5月1日星期三
1
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一、方差的定义及计算公式
引例：设X，Y，Z的分布律分别为
P X 0 1
1 1 P Y 1 , P Y 1 2 2 1 1 P Z 100 , P Z 100 2 2
=0
推广到n个相互独立的随机变量时，有
D( X1 X 2 X n ) D( X1 ) D( X 2 ) D( X n )
2013年5月1日星期三 17
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4. D (X)=0的充分必要条件是X以概率1取常数E (X)。 即 P{ X = E(X) }=1
2
2
例：设X是掷一颗均匀的骰子所得的点数，求D(X)。 解：由上一节的内容，可知E(X)=7/2. 1 1 2 1 1 2 1 1 91 2 2 2 2 2 E( X ) 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 6 因此
ห้องสมุดไป่ตู้
2013年5月1日星期三
4
2
D X
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2
4 下页
2
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1 cos x, x 2 例：设X的概率密度为 p x 2 0, 求D(X), D(cosX). 1 2 续解：E cos X cos2 xdx 2 2 1 2 1 1 2 1 cos 2 x dx x sin 2 x 2 0 2 2 0 4 1 2 2 E cos X cos3 xdx 2 2 1 3 2 2 2 2 1 sin x d sin x sin x sin x 0 3 0 3 2 2 D cos X 上页 下页 7 3 16 目录 2013年5月1日星期三
证明之前，先介绍一个重要的不等式——切贝雪夫不等式
定理：设随机变量X 具有期望E(X)=μ， D (X)=σ2.
则对于任意正数ε,有
2 P X E( X ) 2
定理的证明略.
2013年5月1日星期三
18
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性质4的证明如下： 充分性：设 P{ X = E(X) }=1，则有P{ X2 = [E(X)]2}=1.
b2 ab a 2 a b 2 (b a)2 D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2 ( ) 3 2 12
2013年5月1日星期三 11
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2. 指数分布的方差
e x , x 0, f ( x) 其它. 0,
2013年5月1日星期三 9
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3. 泊松分布的数学期望
X ~ P{ X k}
k
k!
e , k 0, 1, 2, ...
E ( X ) , D( X）
证明: E ( X ) k
2 k 0
k 2
k!
e
[k (k 1) k ]
D( X ) Var ( X ) E X E( X )
2
称 D( X ) 为X的均方差或标准差。 记为 σ (X). 可见
2 [ xk E ( X )] P{ X xk }, 离散型情形 D( X ) k 1 [ x E ( X )]2 f ( x)dx, 连续型情形
证明: D(C ) E [C E (C )]2 0 2. D(CX)=C2D(X), D(X+C)=D(X), C为常数; 证明: D(CX ) E [CX E (CX )]2
C 2 E [ X E ( X )]2 C 2 D( X )
D( X C ) E [( X C ) E ( X C )]
常见分布及其期望和方差列表
分布名称 数学期望 E(X) 方差 D(X)
0-1分布
二项分布 泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布
2013年5月1日星期三
p np
pq npq
ab 2 1
14
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2 (b a ) 12 1 2
2
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四、方差的性质
1. D(C)=0, C为常数;
2
2
令
x
1 e 2π
( x )2 2 2
dx
t，则
D( X )
2π
2
t2 2 2
t e dt
2
2π
(te
t2 2
)
2π
2
e dt
t2 2
2
2013年5月1日星期三 13
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(k 1)n ! n! k n k p (1 p) p k (1 p)n k k 1 (k 1)!( n k )! k 1 (k 1)!( n k )!
n
n n! n! k nk p (1 p) p k (1 p)nk k 2 (k 2)!(n k )! k 1 (k 1)!(n k )!
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三、几种常见的连续型随机变量的方差
1. 均匀分布的方差
1 , a x b, f ( x) b a 0, 其它. ba E( X ) 2
E( X 2 )
x 2 f ( x)dx=
b
a
1 b 2 ab a 2 x2 dx ba 3
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特别地，当X和Y是相互独立时，有 D(X+Y)=D(X)+D(Y) 证明：当X和Y是相互独立时，有E(XY)=E(X)E(Y).
2 E [ X E ( X )] Y E (Y )
2E XY XE(Y ) YE( X ) E( X ) E(Y) 2E XY 2E( X ) E(Y ) 2E(Y ) E( X ) 2E( X )E(Y )
E( X ) 1
E( X )
2
x f ( x)dx=
2
0 0
0
x 2e xdx
x
2 2 1 2 1 2 2 D( X ) E ( X ) [ E ( X )] 2 ( ) 2
2013年5月1日星期三 12
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x e
2 x
2 xe
dx
2
3. 正态分布的方差
1 f ( x) e 2π ( x )2 2 2