基本不等式(第二课时)
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2.2 基本不等式(第二课时)高一数学课件(人教A版2019必修第一册)
解: ∵ ＞-1，∴ + >0.
当且仅当2（ + ） =
即= −
+
∴ 函数 f(x) 的最小值是 −
取“=”号.
概念讲解
例2. 若 < <
，求函数 = ( − ) 的最大值.
分析: + ( − ) 不是 常数.而 + ( − ) = 为常数
人教A版2019必修第一册
第 2 章 一元二次函数（第二课时）
教学目标
1.熟练掌握基本不等式的应用条件，能够利用基本不等式求最值.
2.掌握常见的利用基本不等式求最值的题型
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
01
温故知新
情景导入
1．基本不等式的两种常用变形形式
2
02
类型一：配凑法
概念讲解
例1. 求函数() = +
+
(x＞ -1) 的最小值.
解: ∵ ＞-1，∴ + >0.
当且仅当 + =
即=0
+
取“=”号.
∴当 =0 时， 函数 f(x) 的最小值是 1
概念讲解
练习. 求函数() = +
+
(x＞ -1) 的最小值.
解: ∵ < <
配凑系数
，∴ − > .
∴ = ( − ) =
=
当且仅当 = ( − )，即 =
时，取“=”号.
∴ = ( − ) 的最大值为
3.4基本不等式(第二课时)
8 2 法二：由 2x＋8y－xy＝0 及 x>0，y>0，得 ＋ ＝1. x y 8 2 8y 2x ∴x＋y＝(x＋y)( ＋ )＝ ＋ ＋10 x y x y 8y 2x ≥2 · ＋10＝18. x y 8y 2x 当且仅当 ＝ ，即 x＝2y＝12 时等号成立． x y ∴x＋y 的最小值是 18.
的最小值．
解析： u
1 x 1 y x 2y x x 2y y 3 2y x
2 1, y 1
x y
32
2
当且仅当
x 2y y 时，即 x x x 2 y 1
2 2
时取到等号
.
“1”的代换
x y
变式：(1)已知 x>0，y>0，且1＋9＝1，求 x＋y 的最小值；
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
注意:在使用“和为常数，积有最大值”
和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应 把握三点：“一正、二定、三相等”.当条件不 完全具备时，应创造条件.
一正：两项必须都是正数； 二定：求两项和的最小值，它们的积应为定值； 求两项积的最大值，它们的和应为定值。
三相等 ： 等号成立的条件必须存在.
(C)
y log 3 x log x 30 x 1
y sinx 4 sinx
(D)
0 x
已知a，b为正数，试
2 1 a 1 b
ab
ab 2
a b
2
2
2
调和 平均 数
几何 平均 数
算术平 均数
平方 平均 数
基本不等式的主要应用——求最值 1 例1：（1）已知x>1,求 x 的最小值； x 1 （2）已知0<x<1,求x(1-x)的最大值.
的最小值．
解析： u
1 x 1 y x 2y x x 2y y 3 2y x
2 1, y 1
x y
32
2
当且仅当
x 2y y 时，即 x x x 2 y 1
2 2
时取到等号
.
“1”的代换
x y
变式：(1)已知 x>0，y>0，且1＋9＝1，求 x＋y 的最小值；
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
注意:在使用“和为常数，积有最大值”
和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应 把握三点：“一正、二定、三相等”.当条件不 完全具备时，应创造条件.
一正：两项必须都是正数； 二定：求两项和的最小值，它们的积应为定值； 求两项积的最大值，它们的和应为定值。
三相等 ： 等号成立的条件必须存在.
(C)
y log 3 x log x 30 x 1
y sinx 4 sinx
(D)
0 x
已知a，b为正数，试
2 1 a 1 b
ab
ab 2
a b
2
2
2
调和 平均 数
几何 平均 数
算术平 均数
平方 平均 数
基本不等式的主要应用——求最值 1 例1：（1）已知x>1,求 x 的最小值； x 1 （2）已知0<x<1,求x(1-x)的最大值.
2.2基本不等式(第二课时)课件(人教版)
x 3
x2 x 2
[变式2]若x 0, 则
的最小值是_______ .
x 1
2
x2 x 2
x ( x 1) 2
2
解:
x
x 1
x 1
x 1
( x 1)
2
1 2 2 1
x 1
2
,
x 1
即x 2 1时等号成立 .
当且仅当 x 1
2m
8n
2m
1
1
=8+ +
+ 1，当且仅当 =
，即 m = ， n = 时，等号成立，
m
n
m
n
2
4
4
n+2
所以 +
的最小值为17.
m
n
典型例题：常数代换法求最值
例6
若x, y 0且4 x y xy,
16
(1) xy的最小值是_______
9
(2) x y的最小值是______
.
析 : (1)4 x y 2 4 xy , 即xy 4 xy , xy 16.
证明 ∵ > ， > ， > ，且 + + = ，
∴ +
=+
+
=+
=
++
+
++
+ + + +
x2 x 2
[变式2]若x 0, 则
的最小值是_______ .
x 1
2
x2 x 2
x ( x 1) 2
2
解:
x
x 1
x 1
x 1
( x 1)
2
1 2 2 1
x 1
2
,
x 1
即x 2 1时等号成立 .
当且仅当 x 1
2m
8n
2m
1
1
=8+ +
+ 1，当且仅当 =
，即 m = ， n = 时，等号成立，
m
n
m
n
2
4
4
n+2
所以 +
的最小值为17.
m
n
典型例题：常数代换法求最值
例6
若x, y 0且4 x y xy,
16
(1) xy的最小值是_______
9
(2) x y的最小值是______
.
析 : (1)4 x y 2 4 xy , 即xy 4 xy , xy 16.
证明 ∵ > ， > ， > ，且 + + = ，
∴ +
=+
+
=+
=
++
+
++
+ + + +
第1讲1第2课时基本不等式课件人教新课标
当且仅当a＝b＝c时取等号.
证明
反思与感悟 用基本不等式证明不等式时，应第一根据不等式两边式子 的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合 理地选择基本不等式进行证明.
跟踪训练1 (1)已知a，b，c，d∈R＋，求证：(ab＋cd)·(ac＋bd)≥4abcd； 证明 ∵a，b，c，d，∈R＋， ∴ab＋cd≥2 abcd，ac＋bd≥2 acbd， ∴(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd. 当且仅当a＝d且b＝c时取等号.
B.若 x＞0，则 cos x＋co1s x≥2
cos
1 x·cos
x＝2
C.若 x＜0，则 x＋4x≤2 x·4x＝4
√D.若 a，b∈R，且 ab＜0，则ba＋ab＝－－ba＋－ba≤－2 －ba－ab＝－2
12345
解析 答案
4.当 x＞1 时，函数 y＝x＋x－1 1的最小值是___3___. 解析 因为 x＞1， 所以 y＝x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 x－1·x－1 1＋1＝3， 当且仅当 x－1＝x－1 1， 且x＞1，即x＝2时等号成立.故函数的最小值为3.
解答
达标检测
1.下列不等式中，正确的个数是 ①若 a，b∈R，则a＋2 b≥ ab； ②若 x∈R，则 x2＋2＋x2＋1 2＞2；
③若 x∈R，则 x2＋1＋x2＋1 1≥2；
a＋ b ④若 a，b∈R＋，则 2 ≥ ab.
A.0
√ B.1 C.2 D.3
12345
解析 答案
2.已知 a＞0，b＞0，a，b 的等差中项是12，且 α＝a＋1a，β＝b＋1b，则 α
12345
解析 答案
5.已知 a＞0，b＞0，且 a＋b＝1.求证：a2＋b2≥12. 证明 ∵a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1， ∴a2＋b2≥12， 当且仅当 a＝b＝12时，等号成立.
证明
反思与感悟 用基本不等式证明不等式时，应第一根据不等式两边式子 的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合 理地选择基本不等式进行证明.
跟踪训练1 (1)已知a，b，c，d∈R＋，求证：(ab＋cd)·(ac＋bd)≥4abcd； 证明 ∵a，b，c，d，∈R＋， ∴ab＋cd≥2 abcd，ac＋bd≥2 acbd， ∴(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd. 当且仅当a＝d且b＝c时取等号.
B.若 x＞0，则 cos x＋co1s x≥2
cos
1 x·cos
x＝2
C.若 x＜0，则 x＋4x≤2 x·4x＝4
√D.若 a，b∈R，且 ab＜0，则ba＋ab＝－－ba＋－ba≤－2 －ba－ab＝－2
12345
解析 答案
4.当 x＞1 时，函数 y＝x＋x－1 1的最小值是___3___. 解析 因为 x＞1， 所以 y＝x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 x－1·x－1 1＋1＝3， 当且仅当 x－1＝x－1 1， 且x＞1，即x＝2时等号成立.故函数的最小值为3.
解答
达标检测
1.下列不等式中，正确的个数是 ①若 a，b∈R，则a＋2 b≥ ab； ②若 x∈R，则 x2＋2＋x2＋1 2＞2；
③若 x∈R，则 x2＋1＋x2＋1 1≥2；
a＋ b ④若 a，b∈R＋，则 2 ≥ ab.
A.0
√ B.1 C.2 D.3
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解析 答案
2.已知 a＞0，b＞0，a，b 的等差中项是12，且 α＝a＋1a，β＝b＋1b，则 α
12345
解析 答案
5.已知 a＞0，b＞0，且 a＋b＝1.求证：a2＋b2≥12. 证明 ∵a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1， ∴a2＋b2≥12， 当且仅当 a＝b＝12时，等号成立.
基本不等式第二课时课件
则篱笆长为
100 （ x + 2 ) x
B
x
C
若x、y皆为正数， 2 x ⋅ 100 皆为正数， 、 100 ) ≥ 2 × 2( x + 皆为正数 =40 x x 则当xy的值是常数 的值是常数P时 则当 的值是常数 时， 100 此时x=10. 此时 当且仅当 x = 时， 等号成 时，等号成 当且仅当x=y时 当且仅当 x 立 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆 因此，这个矩形的长、宽都为 时 x+y有最小值 2 P 有最小值_______. 有最小值 最短，最短的篱笆是40m. 最短，最短的篱笆是
利用基本不等式求最值时， 利用基本不等式求最值时，要注意
①各项皆为正数； 各项皆为正数； 正数 和或积为定值 即积定和最小； 定值； ②和或积为定值；即积定和最小；和定积最大 注意等号成立的条件. 等号成立的条件 ③注意等号成立的条件 一“正” 二“定” 相等” 三“相等”
练习1 1 已知函数 y = x + ， 求证（1）当x>0时，函数的最小值； x （2）当x<0时，函数的最大值.
x + y≥2 xy = 2 P
如图， 例1：(2)如图，用一段长为 ： 如图 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形 的篱笆围成一个矩形 菜园， 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时， 菜园 ， 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时 ， 菜园的面 积最大，最大面积是多少？ 积最大，最大面积是多少？ A D 解：如图，设BC=x ，CD=y ， 如图， 则 2(x + y)= 36 , x + y =18
2. 若 0<x< 1 , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值 - 的最大值. 2 分析: =1为 常数. 分析 2 x+(1-2x) 不是 常数 为 1 解: ∵0<x< 2 , ∴1-2x>0. 1 ∴y=x(1-2x)= 2 ·2x·(1-2x) 1 ·[2x+(1-2x) ]2 1 = 8. 2 2 1 当且仅当 2x=(1-2x), 即 x= 4 时, 取“=”号. 号 1 ∴当 x = 1 时, 函数 y=x(1-2x) 的最大值是 8 . 4
2.2基本不等式(第二课时)教学设计
2.2基本不等式（第二课时）教学设计一、教材分析本节课是人教A版数学必修第一册第二章第二节《基本不等式》，共2课时，本节为第二课时。
本节课是在上一节学习了基本不等式的定义、几何解释、证明方法以及简单的应用基础上进行的，进一步学习基本不等式的应用，包括数学中的应用与实际中的应用，利用基本不等式解决简单的最值问题。
二、学情分析本章内容属于高中数学课程的预备知识部分，将帮助学生完成初高中数学学习的过渡，为学生整个高中阶段的数学学习提供学习心理、学习方式、知识技能等方面的准备。
学生在上一节学习了基本不等式的定义、几何解释、证明方法以及简单应用，本节课是上一节内容的延伸，利用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，运用基本不等式解决生活中的应用问题，本节知识渗透了数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养，有利于培养学生良好的思维品质。
三、教学目标1. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题2. 能够运用基本不等式解决生活中的应用问题四、教学重点、难点重点：用基本不等式解决简单的最大(小)值问题难点：运用基本不等式解决生活中的应用问题五、教法与学法分析1.教法分析本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的变式教学方法。
课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，加强引导学生通过自己的观察、思考等活动自主构建知识，引导学生自己归纳出本节课的核心：求和的最小值，要构造积为定值，积定和最小；求积的最大值，要构造和为定值，和定积最大。
同时通过例题引导学生归纳出利用基本不等式解决实际问题的步骤。
以问题引导学生的思维活动，使学生在问题带动下进行更加主动的思考，倡导合作学习与独立思考相结合，有效地调动学生思维。
2.学法指导启发学生学会配凑项、配凑系数、“1”的代换等等价变形，构造和是定值或者积是定值，利用不等式求最值，体会转化化归的数学思想，体会利用基本不等式求最值体现的是和积互化的过程。
六、课型课时、教学准备1.课型：新授课2.课时：1课时3.教学准备：多媒体、实物投影、展台、话筒等七、教学流程图引出课题（复习导入）知识链接（知识储备）探究一（例1（1）（2））探究二（例2（1）（2）、例3）当堂检测（变式、拓展提升）反思小结（课堂小结）3分钟5分钟10分15分7分钟5分钟八、教学内容及过程（一）引出课题多媒体动态展示思维导图：上一节课我们学习了基本不等式的定义、几何解释、证明方法以及简单的应用，这一节课我们进一步学习基本不等式的应用，基本不等式的应用包括数学中的应用与实际中的应用，这两种应用都是利用基本不等式解决简单的最值问题。
基本不等式(第2课时)(教学课件)-高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第一册)
当且仅当6x＝ x ，即x＝50时，“＝”成立，此时x＝50.y＝60，
(2)S＝3 030－6x－
Smax＝2 430.即设计x＝50 m，y＝60 m时，运动场地面积最大，最大值为2
430 m2．
【巩固练习5】
某商品进货价为每件 50 元，据市场调查，当销售价格为每件
105
x(50≤x≤80)元时，每天销售的件数为
3 000
则y＝ x (6<x<500)，
y－6
S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)· 2 ＝(x－5)(y－6)＝3 030－6x
15 000
－ x (6<x<500)．
15 000
15 000
≤3
030－2
6x·
x
x ＝3 030－2×300＝2 430．
15 000
故当矩形的长为15 m，宽为7.5 m时，
菜园的面积最大，最大面积为112.5 m2．
3
2 做一个体积为32 m ，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长取什么
值时，用纸最少？
解：设底面的长为a，宽为b，
则由题意得2ab＝32，即ab＝16．
所以用纸面积为S＝2ab＋4a＋4b＝32＋4（a＋b）≥32＋8 ab ＝64 ，
下面这些结论是否正确？错误的说明理由.
(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.
(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2 2.
正确
错误，因为a，b不是正数
1
1
(3)当x>1时，函数y＝x＋−1≥2
1
(4)若x∈R，则 2 ＋2＋ 2+2≥2.
(2)S＝3 030－6x－
Smax＝2 430.即设计x＝50 m，y＝60 m时，运动场地面积最大，最大值为2
430 m2．
【巩固练习5】
某商品进货价为每件 50 元，据市场调查，当销售价格为每件
105
x(50≤x≤80)元时，每天销售的件数为
3 000
则y＝ x (6<x<500)，
y－6
S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)· 2 ＝(x－5)(y－6)＝3 030－6x
15 000
－ x (6<x<500)．
15 000
15 000
≤3
030－2
6x·
x
x ＝3 030－2×300＝2 430．
15 000
故当矩形的长为15 m，宽为7.5 m时，
菜园的面积最大，最大面积为112.5 m2．
3
2 做一个体积为32 m ，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长取什么
值时，用纸最少？
解：设底面的长为a，宽为b，
则由题意得2ab＝32，即ab＝16．
所以用纸面积为S＝2ab＋4a＋4b＝32＋4（a＋b）≥32＋8 ab ＝64 ，
下面这些结论是否正确？错误的说明理由.
(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.
(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2 2.
正确
错误，因为a，b不是正数
1
1
(3)当x>1时，函数y＝x＋−1≥2
1
(4)若x∈R，则 2 ＋2＋ 2+2≥2.
2.2基本不等式(第二课时)
a b 2 ab
2
ab
ab
2
一正，二定，三相等
（2）已知x、y都是正数，若积xy等于定值P，那么当x=y时，和x＋y有最小
值 2p
．积定和最小
（3）已知x、y都是正数，若和x＋y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大
s2
值4
．和定积最大
【探究一】
例 1（1）已知x
2,求x
x
4 的最小值 2
【反思小结】
配凑项
配凑系数
“1”的代换 等价变形
利用基本不等式解 决实际问题的步骤
转化化归 和或积为定值
利用基本不等式求最值 和积互化
审题
建模
求解
作答
22x y 16 x y 8
xy x y 4 xy 16，当且仅当x y 4等号成立 2
因此，当矩形菜园是边长为4m的正方形时，面积最大，最大面积是16m2
【探究二】
例3 我们学校要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为48m3，深为3m，如果池底每平方米的造价 为100元，池壁每平方米的造价为50元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为
z元，根据题意，z 100 48 5023x 23y 1600 300x y，
3 由容积为48m3，可得3xy 48, xy 16， z 1600 300 2 xy 4000 当且仅当x y 4时，等号成立，此时z取最小值4000 所以，将贮水池的池底设计成边长为4m的正方形时总造价最低，最低总造价是4000元
【当堂检测】
拓展提升 3.已知x 0，y 0，9x y xy，求x y的最小值
高一上学期数学人教A版必修第一册2.2基本不等式(第二课时)课件
W 150• x • y 120(2•3x 2•3y) 索 引
W 150• x • y 120(2•3x 2•3y)
240000 720(x y)
240000 720 2 xy
240000 720 2 40
297600
当且仅当xyx16y00
x y
4400时,Wmin
297600
当水池的底面是边长为40m的正方形时,
索 引
1、x>0，y>0，xy=16，求 x+2y 的最小值，
并说明此时x，y的值。
解： x 0, y 0 x 2y 2 2xy 2 32 8 2
一正 二定
当且仅当xxy21y6
x y
4 2
2时，等号成立 2
三相等
x 2y min 8 2
索
引
2、x>0，y>0，2x+3y=2，求 xy 的最大值，
值的变量定为函数.
(2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值
或最小值问题.
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.
索
引
课堂练习：
1、x>0，y>0，xy=16，求 x+2y 的最小值， 并说明此时x，y的值。 2、x>0，y>0，2x+3y=2，求 xy 的最大值， 并说明此时x，y的值。
索 引
4.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是__2__1_0___.
解析 a＋b≥2 ab＝2 10，当且仅当 a＝b＝ 10时等号成立.
索 引
5.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是__5_0_____.
W 150• x • y 120(2•3x 2•3y)
240000 720(x y)
240000 720 2 xy
240000 720 2 40
297600
当且仅当xyx16y00
x y
4400时,Wmin
297600
当水池的底面是边长为40m的正方形时,
索 引
1、x>0，y>0，xy=16，求 x+2y 的最小值，
并说明此时x，y的值。
解： x 0, y 0 x 2y 2 2xy 2 32 8 2
一正 二定
当且仅当xxy21y6
x y
4 2
2时，等号成立 2
三相等
x 2y min 8 2
索
引
2、x>0，y>0，2x+3y=2，求 xy 的最大值，
值的变量定为函数.
(2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值
或最小值问题.
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.
索
引
课堂练习：
1、x>0，y>0，xy=16，求 x+2y 的最小值， 并说明此时x，y的值。 2、x>0，y>0，2x+3y=2，求 xy 的最大值， 并说明此时x，y的值。
索 引
4.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是__2__1_0___.
解析 a＋b≥2 ab＝2 10，当且仅当 a＝b＝ 10时等号成立.
索 引
5.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是__5_0_____.
高中数学 基本不等式--第二课时课件
2ab a＋b ab－2ab ∵ ab－1 1＝ ab－ ＝ a＋b a＋b ＋ a b
aba＋b－2 ab ab a－ b2 ＝ ＝ ≥0， a＋b a＋b
研一研·问题探究、课堂更高效
§3.4（二）
∴ ab ≥1 1，即1 1≤ ab. a＋b a＋b
∵
2
2
a ＋b 2
∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
研一研·问题探究、课堂更高效
【跟踪测试】 x2－4x＋5 5 1 已知 x≥ ，则 f(x)＝ 有 2 2x－4 5 5 A．最大值 B．最小值 2 4 C．最大值 1 D．最小值 1
§3.4（二）
(D
)
本 讲 栏 目 开 关
1 x2－4x＋5 x－22＋1 1 解析 f(x)＝ ＝ ＝2x－2＋x－2 ≥1. 2x－4 2x－2
8 1 x 16y ∴x＋2y＝ x＋y (x＋2y)＝10＋y＋ x
本 讲 栏 目 开 关
≥10＋2
x 16y · ＝18， y x
x＝12 即 y＝3
8 1 x＋y ＝1， 当且仅当 x＝16y， x y
时，等号成立，
故当 x＝12，y＝3 时，(x＋2y)min＝18.
基本不等式的拓展 问题 a＋b 当 a>0，b>0 时， ≤ ab≤ ≤ 1 1 2 ＋ a b 2
§3.4（二）
a2＋b2 这是 2
本 讲 栏 目 开 关
一条重要的基本不等式链，请你给出证明． a＋b 证明 由于 ab≤ 成立， 2
只须证明 ab≥1 1和 ＋ a b
2
2
a2＋b2 a＋b 2 ≥ 2 成立即可．
本 讲 栏 目 开 关
2.2基本不等式(第2课时)课件(人教版)
大
x＝y
小
知识回顾
一
ห้องสมุดไป่ตู้
知识回顾
一
知识回顾
一
必明易错1．使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．
二
2.（多选题）下列说法中正确的是( ).A. 成立的条件是 ， B. 成立的条件是 ， C. 成立的条件是 ， D. 成立的条件是
BC
典例2 通过常数带换法求最值
三
典例2 通过常数带换法求最值
三
典例2 通过常数带换法求最值
三
3. 已知 ，b 为正实数，且 .求： .
典例4 利用基本不等式证明简单的不等式
五
作业
教材P49 4，5，6.
知识回顾
一
典例1
二
典例1 利用基本不等式求最值
小区有一个面积为8的直角三角形花坛.
问题1：.上述情境中，能否求出两条直角边的边长之和的最小值？
[答案] 设两条直角边的边长分别为 ， ，已知 ，所以 ，当且仅当 时，两条直角边的边长之和最小，最小值为8.
典例1 利用基本不等式求最值
新高考人教版(2019)必修第一册
§2.2 基本不等式（第2课时）
2、利用基本不等式求最值时，要注意
一正二定三相等
实际情境，提出问题，建立模型，求解模型，检验结果，实际结果
知识回顾
3、数学建模需注意的问题
一
a＝b
a＝b
知识回顾
一
x＝y
小
x＝y
小
知识回顾
一
ห้องสมุดไป่ตู้
知识回顾
一
知识回顾
一
必明易错1．使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．
二
2.（多选题）下列说法中正确的是( ).A. 成立的条件是 ， B. 成立的条件是 ， C. 成立的条件是 ， D. 成立的条件是
BC
典例2 通过常数带换法求最值
三
典例2 通过常数带换法求最值
三
典例2 通过常数带换法求最值
三
3. 已知 ，b 为正实数，且 .求： .
典例4 利用基本不等式证明简单的不等式
五
作业
教材P49 4，5，6.
知识回顾
一
典例1
二
典例1 利用基本不等式求最值
小区有一个面积为8的直角三角形花坛.
问题1：.上述情境中，能否求出两条直角边的边长之和的最小值？
[答案] 设两条直角边的边长分别为 ， ，已知 ，所以 ，当且仅当 时，两条直角边的边长之和最小，最小值为8.
典例1 利用基本不等式求最值
新高考人教版(2019)必修第一册
§2.2 基本不等式（第2课时）
2、利用基本不等式求最值时，要注意
一正二定三相等
实际情境，提出问题，建立模型，求解模型，检验结果，实际结果
知识回顾
3、数学建模需注意的问题
一
a＝b
a＝b
知识回顾
一
x＝y
小
【课件】基本不等式(第二课时)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
注意到 1=2x y, 故可以采用对目标函数 f (x) 1 1
xy
乘“1”构造使用基本不等式的条件.
正确解答:
解 : f (x) 1 1 2x y 2x y
xy x
y
3 y 2x 3 2 2, xy
当且仅当
y x
2x y
,
即 y 2 x 时取“=”号.
而
y
2x,
x
4. 求函数 y＝ 2xx＋＋52的最大值．
[解析] 设 t＝ x＋2≥0， 则 x＝t2－2. 于是 y＝2t2＋t 1(t≥0)． 当 t＝0 时，y＝0.
当且仅当 2t＝1t， 即 t＝ 22时，y 有最大值为 42.
1 当 t>0 时，y＝2t＋1≤2
1 2t·1＝
2. 4
t
t
二、定值条件，即和是定值或积是定值；
三、相等条件，即a＝b时取等号；
简称“一正，二定，三等”. 忽略了任何一个条件，都会导致解题失败，若出现问题， 又怎样另辟蹊径，寻求新方法来求最值呢？
基本不等式在求最大、最小值中的应用
1.化正型
例1 求f (x) 2x 1 1(x 0)的最大值. x
分析： x 0,2x 0, 1 0,不符合基本不等式 x
3
32
12
当且仅当3x 13x，即
x1 6
1 时，ymax 12 .
合理地拆分转化，构造和为定值或积为定值，并利用基本 不等式的条件来求解，是解决此类问题的关键.
3.整体代换型 例4 已知x>0,y>0,且2x+y=1,求 1 1 的最小值.
xy
解： 1 2x y 2 2xy,
这个解法正确吗？
xy 1 ,即 1 2 2.
基本不等式第二课时基本不等式的应用 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
目录
应用探究
例 4.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容 积为 4800 m3，深为 3m.如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，那么怎样设 计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
解
设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为 xm，ym， 水池的总造价为 z 元，
用基本不等式求最 值的两个基本模型
当两个正数变量的 积(或和)为定值时， 它们的和有最小值 (或积有最大值)
目录
概念理解
要牢固掌握基本不等式，更要灵活应用基本不 等式解决问题
当 x<0 时，能用基本不等式求1x6＋x 的最值吗？ 提示： 能. 1x6＋x＝－－16x＋（－x）≤－2×4＝－8， 当且仅当 x＝－4 时，1x6＋x 取到最大值－8.
目录
应用探究
例 3 (2)用一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园,
当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大?最
大面积是多少?
x
y 分析（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问
题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.
实际问题 数学模型 和是定值求积最大值
解 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 xm，ym，则篱笆
当这个矩形的边长为多少时,所用篱笆最短?最短
篱笆的长度是多少?
x
分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问
y
题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短，
实际问题 数学模型 积是定值求和最小值
解 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 xm，ym，则篱笆
的长度为 2(x+y)m.
(1)由已知，得 xy=100 根据基本不等式x＋2 y≥ xy
应用探究
例 4.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容 积为 4800 m3，深为 3m.如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，那么怎样设 计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
解
设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为 xm，ym， 水池的总造价为 z 元，
用基本不等式求最 值的两个基本模型
当两个正数变量的 积(或和)为定值时， 它们的和有最小值 (或积有最大值)
目录
概念理解
要牢固掌握基本不等式，更要灵活应用基本不 等式解决问题
当 x<0 时，能用基本不等式求1x6＋x 的最值吗？ 提示： 能. 1x6＋x＝－－16x＋（－x）≤－2×4＝－8， 当且仅当 x＝－4 时，1x6＋x 取到最大值－8.
目录
应用探究
例 3 (2)用一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园,
当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大?最
大面积是多少?
x
y 分析（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问
题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.
实际问题 数学模型 和是定值求积最大值
解 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 xm，ym，则篱笆
当这个矩形的边长为多少时,所用篱笆最短?最短
篱笆的长度是多少?
x
分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问
y
题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短，
实际问题 数学模型 积是定值求和最小值
解 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 xm，ym，则篱笆
的长度为 2(x+y)m.
(1)由已知，得 xy=100 根据基本不等式x＋2 y≥ xy
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复习引入
a2 b2 ? 2ab(当且仅当a b时
取“ =”号) ; (2) 如果a,b 纬R+, 那么 a +b
2
ab(当且仅当a = b时
取“ =”号) ;
(1) f (x) = 2 - 3x - 4 最 _大__ 值是2_-__4__3_(x > 0). x
(2) sin x + 1 最 _大__ 值是-___2_(-p < x < 0). 2sin x
(3)已知2a +b = 2,求f (x) = 4a + 2b的最值及
此时的a和b.
若 a > b >1，P = lg a?lg b，Q 1 (lg a +lg b), 2
R = lg a +b ,比较P、Q、R的大小. 2
，当且仅当a＝b时等号成立
4
2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即
若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2 P
，当且仅当a＝b 时等号成立.
复习引入
1．基本不等式：
(1) 如果a,b ? R,那么a2 b2 ? 2ab(当且仅当a b时
取“ =”号) ; (2) 如果a,b 纬R+, 那么 a +b
2 取“ =”号) ;
ab(当且仅当a = b时
1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即 若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤ M 2 成立.
，当且仅当a＝b时等号成立
4
2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即
若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2 P
，当且仅当a＝b 时等号成立.
练习. (1) 已知a、b ? R+,且a 2b =1, y = 1 + 1 ，
ab 求y的最小值 (2) 已知a、b、c ? R+,且a b +c =1,
求证 : 1 + 1 + 1 ? 9 abc
(3) 已知a、b、c ? R+,且a b +c =1,
求证 : ( 1 - 1)(1 - 1)(1 - 1) ? 8 abc
复习引入
1．基本不等式：
(1) 如果a,b ? R,那么a2 b2 ? 2ab(当且仅当a b时
取“ =”号) ; (2) 如果a,b 纬R+, 那么 a +b
2 取“ =”号) ;
ab(当且仅当a = b时
1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即 若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤ M 2 成立.
不等式（二）
复习引入
1．基本不等式： (1) 如果a,b ? R,那么a2 b2 ? 2ab(当且仅
当a = b时取“ =”号) ; (2) 如果a,b 纬R+,那么 a +b
2
算术平均数
仅当a = b时取“ =”号) ;
几何平均数
ab (当且
前者只要求a, b都是实数，而后者要 求a, b都是正数.
例 1 (1)若 x>0，求函数 y＝x＋4x的最小值，并求此时 x 的值； (2)设 0<x<32，求函数 y＝4x(3－2x)的最大值； (3)已知 x>2，求 x＋ 4 的最小值； x－2 (4)已知 x>0，y>0，且 1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值.
练习：设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值.