图形表示与数据结构
八、基本数据结构（图形结构）
⼋、基本数据结构（图形结构）⼀、理解 “图”图（Graph）。
和树⽐起来，这是⼀种更加复杂的⾮线性表结构。
树中的元素称为节点，图中的元素叫作顶点（vertex）。
如下图所⽰，图中的⼀个顶点可以与任意其他顶点建⽴连接关系。
这种建⽴的关系叫作边（edge）。
举个例⼦微信：⽐如在微信中可以把每个⽤户看作⼀个顶点。
如果两个⽤户之间互加好友，那就在两者之间建⽴⼀条边。
所以，整个微信的好友关系就可以⽤⼀张图来表⽰。
其中，每个⽤户有多少个好友，对应到图中，就叫作顶点的度（degree），就是跟顶点相连接的边的条数。
微博：微博的社交关系跟微信有点不⼀样，或者说更加复杂⼀点。
微博允许单向关注，也就是说，⽤户 A 关注了⽤户 B，但⽤户 B 可以不关注⽤户 A。
可以把图结构稍微改造⼀下，引⼊边的“⽅向”的概念。
如果⽤户 A 关注了⽤户 B，就在图中画⼀条从 A 到 B 的带箭头的边，来表⽰边的⽅向。
如果⽤户 A 和⽤户 B 互相关注了，那就画⼀条从 A 指向 B 的边，再画⼀条从 B 指向 A 的边。
把这种边有⽅向的图叫作“有向图”。
以此类推，把边没有⽅向的图叫作“⽆向图”。
⽆向图中有“度”这个概念，表⽰⼀个顶点有多少条边。
在有向图中，把度分为⼊度（In-degree）和出度（Out-degree）。
顶点的⼊度，表⽰有多少条边指向这个顶点；顶点的出度，表⽰有多少条边是以这个顶点为起点指向其他顶点。
对应到微博的例⼦，⼊度就表⽰有多少粉丝，出度就表⽰关注了多少⼈。
QQ：QQ 中的社交关系要更复杂的⼀点。
QQ 不仅记录了⽤户之间的好友关系，还记录了两个⽤户之间的亲密度。
如果两个⽤户经常往来，那亲密度就⽐较⾼；如果不经常往来，亲密度就⽐较低。
要⽤到另⼀种图，带权图（weighted graph）。
在带权图中，每条边都有⼀个权重（weight），可以通过这个权重来表⽰ QQ 好友间的亲密度。
⼆、邻接矩阵存储⽅法图最直观的⼀种存储⽅法就是，邻接矩阵（Adjacency Matrix）。
图形学
基本概念——平面多面体与欧拉公式
欧拉公式证明简单多面体的顶点数V、边数E和面
数F满足如下关系：V-E+F=2。
非简单多面体需对欧拉公式加以扩展。令 H表示
多面体表面上孔的个数， G表示贯穿多面体的孔
的个数， C表示独立的、不相连接的多面体数，
则扩展后的欧拉公式为：V-E+F-H=2（C-G）。
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基本概念——实体
图4.2 带有悬挂边的立方体
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基本概念－实体
点的领域：如果P是点集S的一个元素，那么点P的以R
（R>0）为半径的领域指的是围绕点 P的半径为 R的小
球（二维情况下为小圆）。
开集的闭包：是指该开集与其所有边界点的集合并集，
本身是一个闭集。 正则集：由内部点构成的点集的闭包就是正则集，三维 空间的正则集就是正则形体。
的体素，然后，以体素的集合来表示图形对
象。
二维情况，常用二维数组存放。
三维情况下，常用三维数组 p[i][j][k] 来存
放。
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八叉树
八叉树（ octrees）又称为分层树结构，它对 空间进行自适应划分，采用具有层次结构的八 叉树来表示实体。
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八叉树——四叉树
象限1 象限2 1 2 3 4 B B B B E B F B E B B B 象限4 (a) 象限3 E E F E F F F F (b) E E F E F F F E E F E E ...... B F F B
图4.12 三角形带与四边形网格
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扫描表示（sweep representation）
扫描表示法（sweep representation）可以利用 简单的运动规则生成有效实体。 包含两个要素 一是作扫描运动的基本图形（截面）； 二是扫描运动的方式。
哈理工教学设计《计算机图形学》(一表)
电子信息工程专业《计算机图形学》教学设计卢迪王鹏张开玉哈尔滨理工大学电气与电子工程学院20XX年9月1 课程的基本描述课程名称：计算机图形学Computer Graphics课程性质：学科基础必修课适用专业：电子信息工程教材选用：陈传波，陆枫. 计算机图形学基础.北京：电子工业出版社，2002总学时：60 理论学时：48实验学时：12 课程设计：无学分： 3.5 开课学期：第六学期前导课程：高等数学、线性代数、C语言程序设计后续课程：数字图像处理2 教学定位2.1 能力培养目标本课程主要培养学生以下三个方面的能力：1. 认知和理解能力理解计算机图形学的基本概念、图形的表示与数据结构、曲线曲面的基本概念。
2. 逻辑思维能力理解基本图形的生成算法，并能对现有的算法进行改进，理解图形的变换和裁减算法。
3. 程序设计能力能够根据图形生成算法、裁剪算法设计相应的实现程序。
2.2 课程的主要特点计算机图形学是研究怎样利用计算机来显示、生成和处理图形的原理、方法和技术的一门学科。
是一门复杂的综合性的新兴学科，内容丰富，涵盖的知识面较广。
既有具体的图形软硬件，又有抽象的理论和算法。
为学生以后从事图形图像处理工作打下坚实的基础。
2.3 教学定位计算机图形学是一门应用广泛的新兴学科，主要介绍图形标准、图形硬件、图形的表示、基本图形的生成算法，以及图形的变换和观察等。
通过本课程的学习，学生可以了解图形系统的框架及其涉及的软件、硬件技术；了解图形学的基本问题，掌握图形学的基本概念、方法与算法；对于图形相关的应用及当前的研究热点有一个初步认识；具有一定实践体会和相关的编程能力。
3 知识点与学时分配3.1 计算机图形学及其相关概念计算机图形学及其相关概念、计算机图形系统（学时：0.5学时）计算机图形学、图形的要素、图形的表示方法（理解、核心）计算机图形学与相关学科间的关系（了解、推荐）计算机图形系统的功能（理解、核心）计算机图形系统的结构（了解、推荐）计算机图形学的发展、应用、研究动态（学时：1.5学时）计算机图形学的发展、计算机图形学的应用、计算机图形学的研究动态（了解、推荐）共2学时3.2 图形设备图形输入设备（学时：1.5学时）键盘、鼠标、光笔、触摸屏、图形扫描仪（理解、核心）操纵杆、跟踪球、数据手套、数字化仪、声频输入系统（了解、可选）图形显示设备（学时：2学时）阴极射线管、CRT图形显示器（理解、核心）平板显示器、三维观察设备（了解、可选）图形显示子系统（学时：2学时）显示子系统的结构（理解、核心）分辨率、像素与帧缓存、颜色查找表、显示长宽比（理解、核心）PC图形显示卡（了解、可选）图形绘制设备（学时：0.5学时）打印机、绘图仪（理解、推荐）共6学时3.3 图形的表示与数据结构基本图形元素与段（理解、推荐）几何信息与拓扑信息、坐标系、几何元素（理解、核心）实体、正则集合运算（了解、可选）共2学时3.4 图形的生成、变换和观察基本图形生成算法（学时：12学时）直线的扫描转换（数值微分法、中点Bresenham算法、改进的Bresenham算法）（运用、核心）圆的扫描转换（简单方程产生圆弧、中点Bresenham画圆）（运用、核心）椭圆的扫描转换（椭圆的中点Bresenham画圆）（运用、核心）多边形的扫描转换与区域填充（X扫描线算法、改进的有效边表算法、边缘填充算法、边界填充算法、泛填充算法）（运用、核心）字符处理、属性处理（了解、推荐）反走样（过取样、简单的区域取样、加权区域取样）（理解、核心）二维变换及二维观察（学时：10学时）基本概念（齐次坐标、几何变换、二维变换矩阵）（理解、核心）基本几何变换（平移变换、比例变换、旋转变换、对称变换、错切变换、二维图形几何变换的计算）（运用、核心）二维观察（基本概念、用户坐标系到观察坐标系的变换、窗口到视区的变换）（运用、核心）裁减（点的裁减、直线段的裁减、多边形的裁减、其他裁减）（运用、核心）三维变换及三维观察（学时：4学时）基本概念（三维齐次坐标变换矩阵、几何变换、平面几何投影、观察投影）（理解、核心）三维几何变换（三维基本几何变换、三维复合变换）（理解、核心）共26学时3.5 曲线和曲面基本概念（学时：2学时）曲线曲面数学描述的发展（了解、推荐）曲线曲面的表示、插值和逼近样条、样条描述（理解、核心）三次样条（学时：2学时）自然三次样条、三次Hermite样条（理解、核心）Bezier曲线曲面（学时：2学时）Bezier曲线定义和性质（理解、核心）Bezier曲线的生成（了解、可选）B样条曲线曲面（学时：2学时）定义、性质（理解、核心）B样条曲面（了解、可选）共8学时3.6 其它学时习题课(学时：4学时)实验(学时：12学时)3.7 课程覆盖的知识领域和知识单元汇总4 讲授提示及方法4.1计算机图形学及其相关概念重点：计算机图形学的定义、图形的要素、图形的表示方法、计算机图形系统的功能。
计算机图形学 形体的表示
Байду номын сангаас
• 边(Edge) 边是一维几何元素，是两个邻面（正则形体） 或多个邻面（非正则形体）的交界。
正则形体中，不允许存在孤立边。
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✓ 一对四式四叉树
每个结点有五个字段，其中四个字段用来 描述该结点的四个子结点的状态，另一个结点 存放指向子结点记录存放处的指针。这里要求 四个子结点对应的记录是依次连续存放的。
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一个记录和一个结点对应，记录中描述的是四个 子结点的状态，指针给出的是四个子结点所对应记录 的存放处，这里还隐含地假定了子结点记录存放的次 序。这样对某个不是最后一层的某子结点，即使它已 经是叶结点，因而是不必要的，却也必须占据位置使 不会错误地存取其它同辈结点的记录。这使得存贮空 间仍然可能有浪费。
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常用的三种表示四叉树的存储结构： ✓ 规则方式——规则四叉树 ✓ 线性方式——线性四叉树 ✓ 一对四方式——一对四式四叉树
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✓ 规则四叉树
用五个字段的记录表示树中的每个结点， 其中一个用来描述结点的特性，即是灰、黑、 白三类结点中的哪一种;其余四个用于存放指向 四个子结点的指针。这是最普遍使用的表示树 形数据的存储结构方式，在早期将四叉树用于 图形显示或处理时常被采用。 缺点:大量的存储空间被指针所占用。
要计算交点个数，只要明确求出有多少次良性相 交。对可能性相交，分别计算与其两子树的良性相交 次数，然后以其和为交点个数。这时可递归进行，可 能一直进行到树叶一层才结束。
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实践表明用带树方法表示曲线对提高计算 效率是有帮助的。另外两个带树对并、交等运 算是封闭的，与用象素阵列来表示图形的方法 比较节省空间需求。因此这种方法在许多领域 得到了广泛的应用。
空间数据结构的类型
空间数据结构的类型空间数据结构的类型一、点数据结构●单个点：表示一个位置或特定的实体坐标，常用于地理定位等应用。
●多个点：表示多个位置或实体坐标的集合，可以用于点云数据等应用。
●网格点：表示点在规则网格中的分布，常用于栅格数据结构。
二、线数据结构●线段：表示连接两个点的线段，常用于道路、河流等线状实体的表示。
●多段线：表示多个线段的集合，可以用于表示道路网络、管线等复杂线状实体。
●曲线：表示非直线的线段，常用于河流弯曲等需要弯曲路径的表示。
三、面数据结构●多边形：表示有限面积的几何形状，常用于地块、建筑物等实体的表示。
●公差多边形：表示有限面积的几何形状，并可容忍一定误差，用于拓扑匹配等应用。
●多面体：表示由平面构成的立体空间，常用于建筑、地下管线等实体的表示。
四、体数据结构●三维网格：表示立体空间中的网格，常用于体积模型重建、有限元分析等应用。
●八叉树：通过递归划分空间，将三维空间表示为树状结构，常用于空间索引和快速搜索。
●四叉树：将二维空间递归划分为四个象限，常用于地理信息系统等应用。
五、高级数据结构●栅格：将空间划分为规则的网格，用于栅格数据模型，常用于遥感影像、地理信息系统等。
●拓扑关系图：记录空间要素之间的拓扑关系，常用于空间网络分析、路径规划等应用。
●网状图：表示网络结构中连接关系的图形表示，常用于交通流动分析、网络优化等应用。
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法律名词及注释：⒈拓扑关系：空间要素之间的空间关系，例如邻接、相交、包含等关系。
⒉栅格数据模型：一种将空间分为规则网格的数据模型，适用于遥感影像等栅格数据的表示和处理。
⒊有限元分析：在工程结构分析中，使用有限元法对复杂结构进行数值计算和分析的方法。
计算机图形学知识要点
单元分解法优缺点
优点
表示简单 容易实现几何变换 基本体素可以按需选择，表示范围较广 可以精确表示物体 物体的表示不唯一 物体的有效性难以保证 空间位置枚举表示----同样大小立方体粘合在一起表示 物体 八叉树表示----不同大小的立方体粘合在一起表示物体 单元分解表示----多种体素粘合在一起表示物体
阴极射线管(CRT)：光栅扫描图形显示器； 平板显示器：液晶显示器、等离子体显示板等； 光点、像素、帧缓存（frame buffer）、位平面；三种 分辨率（屏幕、显示、存储）； 黑白、灰度、彩色图形的实现方法（直接存储颜色数据、 颜色查找表）； 光栅图形显示子系统的结构
基本概念
第四章 图形的表示与数据结构
2、规则三维形体的表示
形体表示的分类 线框模型
缺点 多边形表，拓扑信息： 显示和隐式表示
表面模型
显示表示：在数据结构中显式的存储拓扑结构。例如，翼边结构 表示（Winged Edges Structure） 隐式表示：即根据数据 之间的关系在运行时实
时的解算。 平面方程 多边形网格 分解表示、构造表示、边界表示
Bresenham算法绘制圆弧
基本原理 从（0，R）点，顺时针开始； 上一个确定像素点为p（x, y），则下一个像素点只 能是p1和p2中的一个；
P(x, y) P1(x＋1, y)
p2 (x＋1, y－1)
误差判据：像素点到圆心的距离平方与半径平方之 差； 一般关系式取值对应的几何意义，即和下一个像素 的对应关系；
3、椭圆的光栅化方法
数据结构-图及其存储结构
for (j=0;j<G.vexnum;+ +j ) adj Info G.arcs[i][j]={∞,NULL}; //Arccell的形式为: for (k=0;k<G.arcnum;+ +i ) { //二维数组存放各边上的信息 scanf(v1,v2,w); i=locatevex(G,v1); j=locatevex(G,v2); //求顶点v1,v2在图中的位置 G.arcs[i][j].adj=w; G.arcs[j][i].adj=w; //无向网的邻接矩阵是对称的 if (IncInfo) Input (*G.arcs[i][j].info); //将弧上的信息存储在指针info
case UDN: return CreateUDN(G);
default : return ERROR; }//CreateGraph
二、存储结构
2.数组表示法前提下图的输入
*以无向网为例,即当用户输入图的类型标志为UDN时,有：
Status CreateUDN(MGraph &G){ scanf(G.vexnum,G.arcnum,IncInfo); //IncInfo 为0时表示各弧
v2 6 5
v1 5 1 5 v3 3 6 4 2 v4
一个连通无向图的生成树是该图的一个连通分量，它 包含有该图的所有n个顶点以及连接这n个顶点的（n-1） 条边。 边或弧上带权值的图称为带权图或网（分为无向网和 有向网）。 一个无向图的所有生成树中，边上的权值之和最小的 生成树称为该图的最小生成树或最小代价生成树。
数据结构 逻辑结构 举例
数据结构逻辑结构举例数据结构是计算机科学中的一个重要概念，它描述了数据元素之间的关系以及这些关系的操作规则。
数据结构可以分为逻辑结构和物理结构两种形式。
逻辑结构是指数据元素之间的逻辑关系，例如线性结构、树形结构和图形结构等；而物理结构则是指数据元素在计算机内存中的存储方式，例如顺序存储结构和链式存储结构等。
下面将通过举例的方式来介绍数据结构中的逻辑结构和物理结构，以便更好地理解这些概念。
一、逻辑结构的例子：1. 线性结构：线性表是一种最简单的线性结构，它包含一系列按照某种顺序排列的元素。
例如，一个学生名单就可以用线性表来表示，每个元素代表一个学生，按照学号的顺序排列。
2. 树形结构：树是一种非线性结构，它由一组以层次方式连接的节点组成。
例如，公司的组织结构可以用树来表示，根节点代表公司，每个子节点代表一个部门，再往下每个子节点代表一个小组。
3. 图形结构：图是一种包含节点和边的数据结构，节点表示实体，边表示节点之间的关系。
例如，社交网络中的好友关系可以用图结构来表示，每个人是一个节点，好友关系是边。
4. 集合结构：集合是一种无序的数据结构，其中的元素不重复。
例如，一组学生的身份证号可以用集合结构来表示，每个身份证号是一个元素。
5. 堆结构：堆是一种特殊的树形结构，它满足堆属性，即父节点的值总是大于或小于它的子节点的值。
例如，操作系统中的进程调度可以用最小堆来实现，每个进程的优先级是一个节点的值。
二、物理结构的例子：1. 顺序存储结构：顺序存储结构是一种连续存储数据元素的方式，元素之间的物理地址是连续的。
例如，数组就是一种典型的顺序存储结构，可以用来表示线性表。
2. 链式存储结构：链式存储结构是一种通过指针将数据元素连接起来的方式，元素之间的物理地址不一定连续。
例如，链表就是一种典型的链式存储结构，可以用来表示树形结构和图形结构。
3. 索引存储结构：索引存储结构是一种通过索引表来加快数据检索速度的方式，索引表中的每个元素包含一个关键字和对应数据元素的物理地址。
计算机图形学 图形的表示与数据结构
计算机图形学图形的表示与数据结构在当今数字化的时代，计算机图形学扮演着至关重要的角色。
从我们日常使用的手机应用中的精美界面，到好莱坞大片中令人惊叹的特效场景，计算机图形学的应用无处不在。
而要实现这些精彩的图形效果，首先需要解决的就是图形的表示与数据结构问题。
什么是图形的表示呢？简单来说，就是如何用计算机能够理解和处理的方式来描述图形。
这就好比我们想要给别人介绍一个物体，需要用恰当的语言和方式来描述它的形状、颜色、大小等特征。
对于计算机来说，它需要一种精确、高效的方式来存储和处理图形信息。
常见的图形表示方法有两种：矢量图形和光栅图形。
矢量图形就像是用数学公式来描述图形。
比如说，一个圆形可以用圆心的坐标和半径来表示，一条直线可以用起点和终点的坐标来确定。
这种表示方法的优点是无论图形放大或缩小多少倍，都不会出现失真的情况，因为图形的形状是通过数学公式计算出来的。
常见的矢量图形格式有 SVG（可缩放矢量图形）、EPS（封装的 PostScript）等。
矢量图形常用于需要高质量输出的场合，比如标志设计、插图绘制等。
而光栅图形则是将图形分割成一个个的像素点，每个像素点都有自己的颜色和亮度值。
我们常见的图片格式如 JPEG、PNG 等都属于光栅图形。
光栅图形的优点是能够表示非常复杂的图像，比如照片。
但缺点是在放大时会出现锯齿状的边缘，也就是我们常说的“像素化”。
在计算机图形学中，选择合适的图形表示方法取决于具体的应用场景。
如果需要对图形进行频繁的缩放、旋转等操作，并且对图形的质量要求较高，那么矢量图形可能是更好的选择。
但如果要处理真实世界的图像，比如照片，那么光栅图形则更为合适。
接下来，让我们来谈谈图形的数据结构。
数据结构就像是图形在计算机中的“家”，它决定了图形信息如何被组织和存储，从而影响着图形处理的效率和效果。
在计算机图形学中，常见的数据结构有链表、数组、树等。
链表是一种灵活的数据结构，可以方便地添加或删除元素。
数据结构的可视化方法与工具
数据结构的可视化方法与工具随着信息技术的发展和计算机科学的进步，数据结构可视化变得越来越重要和必要。
数据结构是计算机科学中的核心概念之一，它用于组织和管理数据。
通过对数据结构的可视化，我们可以更好地理解和分析数据的组织方式，帮助我们更高效地设计和实现算法，提高程序的性能和可读性。
本文将介绍一些常用的数据结构可视化方法和工具。
一、平面和图形可视化平面和图形可视化是最常用的数据结构可视化方法之一。
它通过在平面上绘制各种图形来表达数据结构的组织方式和关系。
其中，各种线段、矩形、圆形等图形分别表示数据结构中的不同元素和其之间的关联关系。
举个例子，我们可以通过绘制一张有向图来表示一个图的数据结构。
图中的每个节点表示一个顶点，节点之间的有向边表示顶点之间的关系。
通过对这个图的绘制，我们可以清晰地看到各个节点之间的连接关系，从而更好地理解和分析图的结构特征。
此外，平面和图形可视化方法还可以用于展示其他常用的数据结构，比如树、堆、链表等。
通过绘制不同形状的图形来表示节点和边，我们能够直观地了解数据结构的层次结构、节点的位置关系和连接方式。
二、动画可视化动画可视化是一种将数据结构的操作和变化以动态的方式展示出来的方法。
它通过模拟数据结构的操作步骤，使得观察者能够逐步地了解数据结构的变化过程。
比如，当我们在一个动画中插入一个元素到一个排序链表中时，我们可以看到新节点的插入位置、节点的移动以及链表的重新排序等过程。
这种可视化方法不仅可以帮助我们更好地理解数据结构的操作和算法的实现细节，还可以帮助我们分析算法的时间和空间复杂度。
三、交互式可视化工具除了以上两种可视化方法，还有一种更高级和复杂的数据结构可视化工具，即交互式可视化工具。
这些工具通常以网页或软件应用程序的形式存在，提供了更加丰富和灵活的功能。
通过交互式可视化工具，我们可以自由地对数据结构进行增删改查等操作，观察数据结构的变化，并通过可视化界面动态展示。
此外，一些工具还提供了一些额外的功能，比如追踪代码执行路径、调试程序等。
数据结构----名词解释
数据结构----名词解释数据结构——名词解释1·数组（Array）：是一种连续存储数据元素的线性数据结构。
它可以通过索引来快速访问元素，但插入和删除元素的操作通常比较耗时。
2·链表（Linked List）：是一种非连续存储数据元素的线性数据结构。
每个节点包含一个数据元素和一个指向下一个节点的指针，通过指针可以遍历整个链表。
3·栈（Stack）：是一种先进后出（LIFO）的数据结构。
它只允许在栈顶进行插入和删除操作，并且只能访问栈顶的元素。
4·队列（Queue）：是一种先进先出（FIFO）的数据结构。
它在队尾进行插入操作，在队头进行删除操作，类似于排队的行为。
5·树（Tree）：是一种非线性的数据结构，由一组节点组成，其中一个节点为根节点，其余节点形成子树。
树结构常见的有二叉树、AVL树、红黑树等。
6·图（Graph）：是一种由节点和边组成的数据结构。
节点表示实体，边表示节点之间的关系，图中的节点可以是有向的或无向的。
7·哈希表（Hash Table）：是一种基于哈希函数来进行快速查找的数据结构。
它将关键字映射到哈希表中的位置，可以实现常数时间的查找、插入和删除操作。
8·堆（Heap）：是一种特殊的树形数据结构，满足堆性质。
堆分为最大堆和最小堆，最大堆中每个节点的值都大于等于其子节点的值，最小堆则相反。
9·图算法（Graph Algorithm）：是一种用于解决图相关问题的算法，如最短路径算法、最小树算法和图遍历算法等。
10·排序算法（Sorting Algorithm）：是一种将一组数据按照特定顺序进行排列的算法，如冒泡排序、插入排序、快速排序和归并排序等。
11·搜索算法（Searching Algorithm）：是一种在一组数据中查找特定元素或满足特定条件的元素的算法，如线性搜索、二分搜索和哈希搜索等。
计算机图形学-图形数据结构
（2）插入操作 顺序表的删除操作是指在长度为 n 的线性表的第 i-1个元素 和第 i 元素之间插入一个新的元素，就是要使长度为 n 的线性表
T =（t1，…，ti–1，ti，…，tn） 变成长度为 n +1 的线性表
(t1，…，ti–1，x，ti，…，tn)
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计算机图形学
数据元素 ti–1和 ti 之间的逻辑关系发生改变。为了在存储结 构上反映这个变化，除非 i = n +1，否则必须移动元素才能反映 这个逻辑关系的变化。具体的算法步骤如下：
t[1] t[2] … t[i-1] t[i] t[i+1] … t[n]
X
（3）顺序表的应用及不足
在图形程序中，可用顺序表对简单的图形（包括二维和三
维）进行建模：
顶点表（各顶点坐标）
边表（各顶点间的连边规则）
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14ห้องสมุดไป่ตู้
计算机图形学
但由于图形间的运算，使得两表不断改变，致使表中元素搬家 频繁。因此，线性表适用作静态表。图形间的运算，使得图形 的几何关系和拓扑关系经常发生变化（见图例）。
① 用一组地址连续的存储单元依次存储线性表的数据 元素，采用这种存储结构的线性表称为顺序表；
② 用一组任意的存储单元存储线性表的数据元素，采 用这种存储结构的线性表称为链表； 线性表的操作。线性表的基本操作有存取元素、删除和 插入元素操作等。
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计算机图形学
2.2 线性表的顺序表示和实现
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计算机图形学
3.2 二叉树
二叉树是最为重要的树形结构，与一般形态的树的区别在 于：
CAD中常用数据结构
CAD中常用数据结构在计算机辅助设计（CAD）领域，数据结构的选择和应用对于软件的性能、功能和用户体验都有着至关重要的影响。
CAD 系统需要处理大量的几何图形、属性信息以及各种操作命令，因此，合理的数据结构能够提高数据存储和处理的效率，从而使 CAD 软件更加高效和稳定。
接下来，让我们一起了解一下 CAD 中常用的数据结构。
链表是 CAD 中常见的数据结构之一。
链表由一系列节点组成，每个节点包含数据和指向下一个节点的指针。
在 CAD 中，链表可以用于动态地存储和管理对象的信息。
例如，当用户在绘图过程中不断添加或删除图形元素时，链表可以方便地进行插入和删除操作，而不需要像数组那样移动大量的数据。
此外，链表还可以用于实现一些复杂的数据结构，如双向链表和循环链表，以满足不同的应用需求。
数组也是 CAD 中常用的数据结构。
数组是一种线性的数据结构，它将相同类型的元素存储在连续的内存空间中。
在 CAD 中，数组可以用于存储固定大小的数据集，例如图形的顶点坐标、颜色值等。
由于数组可以通过索引直接访问元素，因此其访问速度非常快。
但是，数组的大小在创建时就已经确定，如果需要动态地改变数组的大小，就需要进行复杂的内存操作。
栈和队列在 CAD 中也有着重要的应用。
栈是一种先进后出的数据结构，而队列是一种先进先出的数据结构。
在 CAD 中，栈可以用于保存操作的历史记录，以便进行撤销和恢复操作。
当用户执行一系列操作后，如果想要撤销之前的操作，就可以从栈中弹出最近的操作并进行反向处理。
队列则可以用于处理图形元素的绘制顺序，例如按照先入先出的原则依次绘制图形，以保证图形的显示顺序正确。
树结构在 CAD 中也经常被使用。
二叉树是一种特殊的树结构，它的每个节点最多有两个子节点。
二叉树可以用于快速地查找、插入和删除数据。
在 CAD 中，二叉树可以用于组织图形对象的层次结构，例如将复杂的图形分解为多个子图形，并通过二叉树来管理它们之间的关系。
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递推算法在数值计算中是极为常见的。但是，对于数值型的递推算法必须要注意数值计算的稳定性问题。
4．递归
（1）基本思想
为了降低问题的复杂程度，将问题逐层分解，最后归结为一些最简单的问题，这种将问题逐层分解的过程，实际上并没有对问题进行求解，而只是当解决了最后那些最简单的问题后，再沿着原来分解的逆过程逐步进行综合。
表示家庭成员的各成员名：父亲、儿子、女儿
数据处理：对数据集合中的各元素以各种方式进行运算，包括插入、删除、查找、更改等运算，也包括对数据元素进行分析。
【注意】作为某种处理，其中的数据元素一般具有某种共同特征，一般情况下，在具有相同特征的数据元素集合中，各个数据元素之间存在有某种关系，这种关系反映了该集合中的数据元素所固有的一种结构。
【例4】一年四季的数据结构可以表示成
B＝（D，R）
D＝{春，夏，秋，冬}
R＝{（春，夏），（夏，秋），（秋，冬）}
2．数据的存储结构
定义：数据的逻辑结构在计算机存储空间中的存放形式。
【注意】
①各数据元素在计算机存储空间中的位置关系与它们的逻辑关系不一定是相同的，而且一般也不可能相同。
②在数据的存储结构中，不仅要存放各数据元素的信息，还需要存放各数据元素之间的前后件关系的信息。
（2）特点
在工程上，有些实际问题很难归纳出一组简单的递推公式或直观的求解步骤，并且也不能进行无限的列举。对于这类问题，一种有效的方法是“试”。
三、算法复杂度
主要包括时间复杂度和空间复杂度。
1．算法的时间复杂度
（1）定义
执行算法所需要的计算工作量。
（2）衡量标准
通常用算法在执行过程中所需基本运算的执行次数来度量算法的工作量。算法所执行的基本运算次数还与问题的规模有关。
计算机图形学第二版(陆枫)课后习题答案部分
计算机图形学第二版（陆枫）课后习题集第一章绪论概念：计算机图形学、图形、图像、点阵法、参数法、图形的几何要素、非几何要素、数字图像处理；计算机图形学和计算机视觉的概念及三者之间的关系；计算机图形系统的功能、计算机图形系统的总体结构。
第二章图形设备图形输入设备：有哪些。
图形显示设备：CRT的结构、原理和工作方式。
彩色CRT：结构、原理。
随机扫描和光栅扫描的图形显示器的结构和工作原理。
图形显示子系统：分辨率、像素与帧缓存、颜色查找表等基本概念，分辨率的计算第三章交互式技术什么是输入模式的问题，有哪几种输入模式。
第四章图形的表示与数据结构自学，建议至少阅读一遍第五章基本图形生成算法概念：点阵字符和矢量字符；直线和圆的扫描转换算法；多边形的扫描转换：有效边表算法；区域填充：4／8连通的边界／泛填充算法；内外测试：奇偶规则，非零环绕数规则；反走样：反走样和走样的概念，过取样和区域取样。
5.1.2 中点 Bresenham 算法（P109）5.1.2 改进 Bresenham 算法（P112）习题解答习题5（P144）5.3 试用中点Bresenham算法画直线段的原理推导斜率为负且大于1的直线段绘制过程（要求写清原理、误差函数、递推公式及最终画图过程）。
（P111）解： k<=-1 |△y|/|△x|>=1 y为最大位移方向故有构造判别式：推导d各种情况的方法(设理想直线与y=yi+1的交点为Q)：所以有： y Q-kx Q-b=0 且y M=y Qd=f(x M-kx M-b-(y Q-kx Q-b)=k(x Q-x M)所以，当k<0，d>0时，M点在Q点右侧（Q在M左），取左点 P l(x i-1,y i+1)。
d<0时，M点在Q点左侧（Q在M右），取右点 Pr(x i,y i+1)。
d=0时，M点与Q点重合（Q在M点），约定取右点 Pr(x i,y i+1) 。
所以有递推公式的推导：d2=f(x i-1.5,y i+2)当d>0时,d2=y i+2-k(x i-1.5)-b 增量为1+k=d1+1+k当d<0时,d2=y i+2-k(x i-0.5)-b 增量为1=d1+1当d=0时,5.7 利用中点 Bresenham 画圆算法的原理，推导第一象限y＝0到y＝x圆弧段的扫描转换算法（要求写清原理、误差函数、递推公式及最终画图过程）。
数据结构的可视化与可视化工具推荐
数据结构的可视化与可视化工具推荐数据结构是计算机科学中重要的基础概念之一，用于组织和存储数据。
对于初学者来说，理解和掌握各种数据结构的原理和操作可能是一项挑战。
在这篇文章中，我们将探讨数据结构的可视化方法，并推荐一些常用的可视化工具，以帮助读者更好地理解和学习数据结构。
一、数据结构的可视化方法1. 图表和图形表示图表和图形是将抽象的数据结构可视化的常用方法。
例如，树形结构可以用树状图或层次图来表示，图结构可以使用图表或权重图来表示。
通过直观的图表和图形，可以清晰地展示数据结构的层次、关联和操作。
2. 动画演示动画演示是数据结构可视化的一种有力工具。
通过动态演示数据结构的操作过程，比如插入、删除和搜索等，可以帮助用户更好地理解数据结构的工作原理和复杂性。
动画演示可以用来展示各种数据结构，比如链表、栈和队列等。
3. 交互式可视化通过交互式可视化，用户可以主动操作数据结构，并观察其实时变化。
交互式可视化可以让用户自己进行操作和实验，从而更好地理解数据结构的性质和特点。
例如，在一个可视化工具中，用户可以通过拖拽、点击和输入等方式来修改数据结构，并观察其变化。
二、可视化工具推荐1. VisuAlgoVisuAlgo是一个基于网页的交互式学习平台，专注于数据结构和算法的可视化。
它提供了多种数据结构的可视化演示，包括数组、链表、树、图等。
用户可以通过简单的操作来修改数据结构，并观察其变化。
VisuAlgo还提供了对应的文字解释和伪代码，使用户可以深入了解每个数据结构的实现和应用。
2. GourceGource是一个用于可视化代码仓库的工具。
虽然它并不专注于数据结构的可视化，但可以用来观察代码中数据结构的变化。
通过将代码仓库导入Gource，用户可以通过动态演示的方式观察代码中数据结构的创建和修改过程。
Gource可支持多种版本控制系统，并能生成美观的动态演示视频。
3. D3.jsD3.js是一个用于数据可视化的JavaScript库，被广泛应用于构建交互式数据可视化的网页应用。
2024版《数据结构图》ppt课件
良好的数据结构可以带来更高的运 行或存储效率，是算法设计的基础， 对程序设计的成败起到关键作用。
常见数据结构类型介绍
线性数据结构
如数组、链表、栈、队 列等，数据元素之间存
在一对一的关系。
树形数据结构
如二叉树、多叉树、森 林等，数据元素之间存
在一对多的关系。
图形数据结构
由顶点和边组成，数据 元素之间存在多对多的
队列定义、特点及应用场景
队列的特点 只能在队尾进行插入操作，队头进行删除操作。
队列是一种双端开口的线性结构。
队列定义、特点及应用场景
应用场景 操作系统的任务调度。 缓冲区的实现，如打印机缓冲区。
队列定义、特点及应用场景
广度优先搜索（BFS）。
消息队列和事件驱动模型。
串定义、基本操作及实现方法
最短路径问题 求解图中两个顶点之间的最短路径，即路径上边 的权值之和最小。
3
算法介绍 Prim算法、Kruskal算法、Dijkstra算法、Floyd 算法等。
拓扑排序和关键路径问题探讨
拓扑排序
对有向无环图（DAG）进行排序， 使得对每一条有向边(u,v)，均有
u在v之前。
关键路径问题
求解有向无环图中从源点到汇点 的最长路径，即关键路径，它决
遍历二叉树和线索二叉树
遍历二叉树
先序遍历、中序遍历和后序遍历。遍历算 法可以采用递归或非递归方式实现。
VS
线索二叉树
利用二叉链表中的空指针来存放其前驱结 点和后继结点的信息，使得在遍历二叉树 时可以利用这些线索得到前驱和后继结点， 从而方便地遍历二叉树。
树、森林与二叉树转换技巧
树转换为二叉树
加线、去线、层次调整。将树中的每个结点的所有孩子结点用线连接起来，再去掉与原结点相连的线，最后 将整棵树的层次进行调整，使得每个结点的左子树为其第一个孩子，右子树为其兄弟结点。
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(a)二维流形
(b)二维流形
图4.5 正则形体
16
(c)非二维流形
基本概念——实体
• 实体：对于一个占据有限空间的正则形体， 如果其表面是二维流形，则该正则形体为 实体。
17
基本概念——正则集合运算
有效实体的封闭性。 把能够产生正则形体的集合运算称为正则集
合运算。
18
基本概念——正则集合运算
A
基本概念——平面多面体与欧拉公式
欧拉公式证明简单多面体的顶点数V、边数E和面 数F满足如下关系：V-E+F=2。
非简单多面体需对欧拉公式加以扩展。令H表示 多面体表面上孔的个数，G表示贯穿多面体的孔 的个数，C表示独立的、不相连接的多面体数， 则扩展后的欧拉公式为：V-E+F-H=2（C-G）。
第四章 图形的表示与数据结构
• 如何在计算机中建立恰当的模型表示不同 图形对象。
• 如何组织图形对象的描述数据以使存储这 些数据所要的空间最省，检索、处理这些 数据的速度较快。
1
图形的表示与数据结构
• 基本概念 • 三维形体的表示 • 非规则对象的表示 • 层次建模
2
4.1 基本概念
• 造型技术 • 基本图形元素 • 几何信息与拓扑信息 • 坐标系 • 实体的定义 • 正则集合运算 • 欧拉公式
22
基本概念——平面多面体与欧拉公式
8-12+6=2
5-8+5=2
6-12+8=2
24－36＋15－3＝2×（1－1）
图4.9 平面多面体与欧拉公式
23
4.2 三维形体的表示
线框模型与实体模型（实体造型技术） 可以将实体模型的表示大致分为三类：
边 界 表 示 （ Boundary representation, Breps）
数描述的最基本的图形输出元素。 在二维图形系统中将基本图形元素称为图
素或图元，在三维图形系统中称为体素。
5
基本概念——几何信息与拓扑信息
图形对象的描述离不开大量的图形信息和非图形信息。
• 图形信息
包括图形对象，构成对象的
点、线、面的位置和几何尺寸，
– 几何信息：形体在以欧及氏它空们相间互中之的间位的置关和系等大小。
3
基本概念——造型技术
• 把研究如何在计算机中建立恰当的模型表示
不同图形对象的技术称为造型技术。
• 有两类图形对象： 规则对象：几何造型、几何模型。
能用欧氏几何加以描述的对象
不规则对象：过程式模拟。
不能用欧氏几何4 加以描述的对象
基本概念——基本图形元素
基本图形元素：图素或图元、体素。 图素是指可以用一定的几何参数和属性参
基本概念——实体
(a)带有孤立点和边 的二维点集A
(b)内点集合i·A (c)正则点集c·i·A
图4.3 实体的例子
14
基本概念——实体
图4.4 正则形体
15
基本概念——实体
• 二维流形指的是对于实体表面上的任意一 点，都可以找到一个围绕着它的任意小的 领域，该领域与平面上的一个圆盘是拓扑 等价的。
11
基本概念－实体
组成三维物体的点的集合可以分为两类： 内点为点集中的这样一些点，它们具有完全 包含于该点集的充分小的领域。 边本概念——实体
定义点集的正则运算r运算为：
rAciA
正则运算即为先对物体取内点再取闭包的运算。 r·A称为A的正则集。
13
8
基本概念——坐标系
• 建模坐标系（Modeling Coordinate System） • 用户坐标系 • 观察坐标系（Viewing Coordinate System） • 规格化设备坐标系（Normalized Device coordinate System） • 设备坐标系（Device Coordinate System）
B
(a)A与B C
A
B
(b) C*
(c)集合运算 C=A∩B
(d) 正则集合运算 C*=A∩*B
图4.6 集合运算与正则集合运算
19
基本概念——正则集合运算
PA PB
RA
RB
P
PA PB
RA RB R
图4.7 基于点的领域概念生成正则形体
20
b·B out A
b·A shared -
A
BA
BA
b·A in BB A
(b·B) B
b·B in A
-(b·B in A)
b·A out B
b·A shared b·B
b·A shared b·B b·A out B
A∪*B
A∩*B
A―*B
图4.8 正则集合运算A∪*B，A∩*B，A―*B的结果（实线表示结果形体的边界）
b(A *B ){b AouBtb,BouAtb,AshabreBd} b(A *B ){b AinBb,BinAb,AshabreBd} b(A -*B ){b AouBt-,(bBinAb),Asha-r(ebB d )
– 拓扑信息：形体各分量（点、边、面）的数目 及其相互间的连接关系。
• 非图形信息
图形的线性、颜色、亮度以 及供模拟和分析用的质量、比重、 体积等数据
6
f ff 面相邻性 f:{f}
f ff
顶点—面相邻性 v:{f}
f
f e
边-面相邻性 e:{f}
v
vf v
v 面-顶点包含性
f:{v} v
v
v
v 顶点相邻性 v:{v}
构造实体几何表示 空间分割（Space-partitioning）表示
24
三维形体的表示
多边形表面模型 扫描表示 构造实体几何法 空间位置枚举表示 八叉树 BSP树 OpenGL中的实体模型函数
v e v
边-顶点包含性 e:{v}
图4.1 拓扑信息
e
e
e
f e
面-边包含性 f:{e}
e ve e
顶点-边相邻性 v:{e}
ee e ee
边相邻性 e:{e:}
基本概念——几何信息与拓扑信息
• 刚体运动：不改变图形上任意两点间的距 离，也不改变图形的几何性质的运动。
• 拓扑运动：允许形体作弹性运动，即在拓 扑关系中，对图形可随意地伸张扭曲。但 图上各个点仍为不同的点，决不允许把不 同的点合并成一个点。
9
基本概念——实体
图4.2 带有悬挂边的立方体
10
基本概念－实体
• 点的领域：如果P是点集S的一个元素，那么点P的以R （R>0）为半径的领域指的是围绕点P的半径为R的小球 （二维情况下为小圆）。
• 开集的闭包：是指该开集与其所有边界点的集合并集， 本身是一个闭集。
• 正则集：由内部点构成的点集的闭包就是正则集，三维 空间的正则集就是正则形体。