图形表示与数据结构
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基本概念——实体
图4.2 带有悬挂边的立方体
10
基本概念－实体
• 点的领域：如果P是点集S的一个元素，那么点P的以R （R>0）为半径的领域指的是围绕点P的半径为R的小球 （二维情况下为小圆）。
• 开集的闭包：是指该开集与其所有边界点的集合并集， 本身是一个闭集。
• 正则集：由内部点构成的点集的闭包就是正则集，三维 空间的正则集就是正则形体。
(a)二维流形
(b)二维流形
图4.5 正则形体
16
(c)非二维流形
基本概念——实体
• 实体：对于一个占据有限空间的正则形体， 如果其表面是二维流形，则该正则形体为 实体。
17
基本概念——正则集合运算
有效实体的封闭性。 把能够产生正则形体的集合运算称为正则集
合运算。
18
基本概念——正则集合运算
A
(b·B) B
b·B in A
-(b·B in A)
b·A out B
b·A shared b·B
b·A shared b·B b·A out B
A∪*B
A∩*B
A―*B
图4.8 正则集合运算A∪*B，A∩*B，A―*B的结果（实线表示结果形体的边界）
b(A *B ){b AouBtb,BouAtb,AshabreBd} b(A *B ){b AinBb,BinAb,AshabreBd} b(A -*B ){b AouBt-,(bBinAb),Asha-r(ebB d )
基本概念——实体
(a)带有孤立点和边 的二维点集A
(b)内点集合i·A (c)正则点集c·i·A
图4.3 实体的例子
14
基本概念——实体
图4.4 正则形体
15
基本概念——实体
• 二维流形指的是对于实体表面上的任意一 点，都可以找到一个围绕着它的任意小的 领域，该领域与平面上的一个圆盘是拓扑 等价的。
构造实体几何表示 空间分割（Space-partitioning）表示
24
三维形体的表示
多边形表面模型 扫描表示 构造实体几何法 空间位置枚举表示 八叉树 BSP树 OpenGL中的实体模型函数
11
基本概念－实体
组成三维物体的点的集合可以分为两类： 内点为点集中的这样一些点，它们具有完全 包含于该点集的充分小的领域。 边界点：不具备此性质的点集中的点。
12
基本概念——实体
定义点集的正则运算r运算为：
rAciA
正则运算即为先对物体取内点再取闭包的运算。 r·A称为A的正则集。
13
22
基本概念——平面多面体与欧拉公式
8-12+6=2
5-8+5=2
6-12+8=2
24－36＋15－3＝2×（1－1）
图4.9 平面多面体与欧拉公式
23
4.2 三维形体的表示
线框模型与实体模型（实体造型技术） 可以将实体模型的表示大致分为三类：
边 界 表 示 （ Boundary representation, Breps）
v e v
边-顶点包含性 e:{v}
图4.1 拓扑信息
e
e
e
f e
面-边包含性 f:{e}
e ve e
顶点-边相邻性 v:{e}
ee e ee
边相邻性 e:{e:}
基本概念——几何信息与拓扑信息
• 刚体运动：不改变图形上任意两点间的距 离，也不改变图形的几何性质的运动。
• 拓扑运动：允许形体作弹性运动，即在拓 扑关系中，对图形可随意地伸张扭曲。但 图上各个点仍为不同的点，决不允许把不 同的点合并成一个点。
B
(a)A与B C
A
B
(b) C*
(c)集合运算 C=A∩B
(d) 正则集合运算 C*=A∩*B
图4.6 集合运算与正则集合运算
19
基本概念——正则集合运算
PA PB
RA
RB
P
PA PB
RA RB R
图4.7 基于点的领域概念生成正则形体
20
b·B out A
b·A shared -
A
BA
BA
b·A in BB A
基本概念——平面多面体与欧拉公式
欧拉公式证明简单多面体的顶点数V、边数E和面 数F满足如下关系：V-E+F=2。
非简单多面体需对欧拉公式加以扩展。令H表示 多面体表面上孔的个数，G表示贯穿多面体的孔 的个数，C表示独立的、不相连接的多面体数， 则扩展后的欧拉公式为：V-E+F-H=2（C-G）。
第四章 图形的表示与数据结构
• 如何在计算机中建立恰当的模型表示不同 图形对象。
• 如何组织图形对象的描述数据以使存储这 些数据所要的空间最省，检索、处理这些 数据的速度较快。
1
图形的表示与数据结构
• 基本概念 • 三维形体的表示 • 非规则对象的表示 • 层次建模
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4.1 基本概念
• 造型技术 • 基本图形元素 • 几何信息与拓扑信息 • 坐标系 • 实体的定义 • 正则集合运算 • 欧拉公式
– 拓扑信息：形体各分量（点、边、面）的数目 及其相互间的连接关系。
• 非图形信息
图形的线性、颜色、亮度以 及供模拟和分析用的质量、比重、 体积等数据
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f ff 面相邻性 f:{f}
f ff
顶点—面相邻性 v:{f}
f
f e
边-面相邻性 e:{f}
v
vf v
v 面-顶点包含性
f:{v} v
v
v
v 顶点相邻性 v:{v}
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基本概念——造型技术
• 把研究如何在计算机中建立恰当的模型表示
不同图形对象的技术称为造型技术。Leabharlann Baidu
• 有两类图形对象： 规则对象：几何造型、几何模型。
能用欧氏几何加以描述的对象
不规则对象：过程式模拟。
不能用欧氏几何4 加以描述的对象
基本概念——基本图形元素
基本图形元素：图素或图元、体素。 图素是指可以用一定的几何参数和属性参
8
基本概念——坐标系
• 建模坐标系（Modeling Coordinate System） • 用户坐标系 • 观察坐标系（Viewing Coordinate System） • 规格化设备坐标系（Normalized Device coordinate System） • 设备坐标系（Device Coordinate System）
数描述的最基本的图形输出元素。 在二维图形系统中将基本图形元素称为图
素或图元，在三维图形系统中称为体素。
5
基本概念——几何信息与拓扑信息
图形对象的描述离不开大量的图形信息和非图形信息。
• 图形信息
包括图形对象，构成对象的
点、线、面的位置和几何尺寸，
– 几何信息：形体在以欧及氏它空们相间互中之的间位的置关和系等大小。
基本概念——实体
图4.2 带有悬挂边的立方体
10
基本概念－实体
• 点的领域：如果P是点集S的一个元素，那么点P的以R （R>0）为半径的领域指的是围绕点P的半径为R的小球 （二维情况下为小圆）。
• 开集的闭包：是指该开集与其所有边界点的集合并集， 本身是一个闭集。
• 正则集：由内部点构成的点集的闭包就是正则集，三维 空间的正则集就是正则形体。
(a)二维流形
(b)二维流形
图4.5 正则形体
16
(c)非二维流形
基本概念——实体
• 实体：对于一个占据有限空间的正则形体， 如果其表面是二维流形，则该正则形体为 实体。
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基本概念——正则集合运算
有效实体的封闭性。 把能够产生正则形体的集合运算称为正则集
合运算。
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基本概念——正则集合运算
A
(b·B) B
b·B in A
-(b·B in A)
b·A out B
b·A shared b·B
b·A shared b·B b·A out B
A∪*B
A∩*B
A―*B
图4.8 正则集合运算A∪*B，A∩*B，A―*B的结果（实线表示结果形体的边界）
b(A *B ){b AouBtb,BouAtb,AshabreBd} b(A *B ){b AinBb,BinAb,AshabreBd} b(A -*B ){b AouBt-,(bBinAb),Asha-r(ebB d )
基本概念——实体
(a)带有孤立点和边 的二维点集A
(b)内点集合i·A (c)正则点集c·i·A
图4.3 实体的例子
14
基本概念——实体
图4.4 正则形体
15
基本概念——实体
• 二维流形指的是对于实体表面上的任意一 点，都可以找到一个围绕着它的任意小的 领域，该领域与平面上的一个圆盘是拓扑 等价的。
构造实体几何表示 空间分割（Space-partitioning）表示
24
三维形体的表示
多边形表面模型 扫描表示 构造实体几何法 空间位置枚举表示 八叉树 BSP树 OpenGL中的实体模型函数
11
基本概念－实体
组成三维物体的点的集合可以分为两类： 内点为点集中的这样一些点，它们具有完全 包含于该点集的充分小的领域。 边界点：不具备此性质的点集中的点。
12
基本概念——实体
定义点集的正则运算r运算为：
rAciA
正则运算即为先对物体取内点再取闭包的运算。 r·A称为A的正则集。
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22
基本概念——平面多面体与欧拉公式
8-12+6=2
5-8+5=2
6-12+8=2
24－36＋15－3＝2×（1－1）
图4.9 平面多面体与欧拉公式
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4.2 三维形体的表示
线框模型与实体模型（实体造型技术） 可以将实体模型的表示大致分为三类：
边 界 表 示 （ Boundary representation, Breps）
v e v
边-顶点包含性 e:{v}
图4.1 拓扑信息
e
e
e
f e
面-边包含性 f:{e}
e ve e
顶点-边相邻性 v:{e}
ee e ee
边相邻性 e:{e:}
基本概念——几何信息与拓扑信息
• 刚体运动：不改变图形上任意两点间的距 离，也不改变图形的几何性质的运动。
• 拓扑运动：允许形体作弹性运动，即在拓 扑关系中，对图形可随意地伸张扭曲。但 图上各个点仍为不同的点，决不允许把不 同的点合并成一个点。
B
(a)A与B C
A
B
(b) C*
(c)集合运算 C=A∩B
(d) 正则集合运算 C*=A∩*B
图4.6 集合运算与正则集合运算
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基本概念——正则集合运算
PA PB
RA
RB
P
PA PB
RA RB R
图4.7 基于点的领域概念生成正则形体
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b·B out A
b·A shared -
A
BA
BA
b·A in BB A
基本概念——平面多面体与欧拉公式
欧拉公式证明简单多面体的顶点数V、边数E和面 数F满足如下关系：V-E+F=2。
非简单多面体需对欧拉公式加以扩展。令H表示 多面体表面上孔的个数，G表示贯穿多面体的孔 的个数，C表示独立的、不相连接的多面体数， 则扩展后的欧拉公式为：V-E+F-H=2（C-G）。
第四章 图形的表示与数据结构
• 如何在计算机中建立恰当的模型表示不同 图形对象。
• 如何组织图形对象的描述数据以使存储这 些数据所要的空间最省，检索、处理这些 数据的速度较快。
1
图形的表示与数据结构
• 基本概念 • 三维形体的表示 • 非规则对象的表示 • 层次建模
2
4.1 基本概念
• 造型技术 • 基本图形元素 • 几何信息与拓扑信息 • 坐标系 • 实体的定义 • 正则集合运算 • 欧拉公式
– 拓扑信息：形体各分量（点、边、面）的数目 及其相互间的连接关系。
• 非图形信息
图形的线性、颜色、亮度以 及供模拟和分析用的质量、比重、 体积等数据
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f ff 面相邻性 f:{f}
f ff
顶点—面相邻性 v:{f}
f
f e
边-面相邻性 e:{f}
v
vf v
v 面-顶点包含性
f:{v} v
v
v
v 顶点相邻性 v:{v}
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基本概念——造型技术
• 把研究如何在计算机中建立恰当的模型表示
不同图形对象的技术称为造型技术。Leabharlann Baidu
• 有两类图形对象： 规则对象：几何造型、几何模型。
能用欧氏几何加以描述的对象
不规则对象：过程式模拟。
不能用欧氏几何4 加以描述的对象
基本概念——基本图形元素
基本图形元素：图素或图元、体素。 图素是指可以用一定的几何参数和属性参
8
基本概念——坐标系
• 建模坐标系（Modeling Coordinate System） • 用户坐标系 • 观察坐标系（Viewing Coordinate System） • 规格化设备坐标系（Normalized Device coordinate System） • 设备坐标系（Device Coordinate System）
数描述的最基本的图形输出元素。 在二维图形系统中将基本图形元素称为图
素或图元，在三维图形系统中称为体素。
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基本概念——几何信息与拓扑信息
图形对象的描述离不开大量的图形信息和非图形信息。
• 图形信息
包括图形对象，构成对象的
点、线、面的位置和几何尺寸，
– 几何信息：形体在以欧及氏它空们相间互中之的间位的置关和系等大小。