y=a(x-h)平方+k图像性质和求解析式备课讲稿
人教版九上数学22.y=a(x-h)2k的图象和性质课件
2.与抛物线y=－4x 2形状相同， 顶点为（2，-3）的抛物线 解析式为_y_=__-_4_(_x_-2_)_2_-3_或__y_=__4_(_x_-2_)_2_-3
函数y= (x+1)2-9的图象
y 1
是 称轴是
，开口 ，对 ，顶点坐标是
10.如图所示的抛物线： 当x=_0_或__-2_时，y=0； 当x<－2或x>0时， y__<___0； 当x在－_2_<__x_<0范围内时，y>0； 当x=___-1__时，y有最大值___3__.
3
各种情势的二次函数的关系
左 y = a( x - h )2 + k 上
左
右
下
加
平 移
平 移
练习3
（1）抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0），则a=__________
（2）设抛物线的顶点为（1，-2），且经过点（2，3），
求它的解析式。
（3）抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移2个单位
得到的抛物线是
。
（4）抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是
。
练习4:
一条抛物线的形状与抛物线 y 3x2
右 减
y = ax2 + k
y = a(x - h )2 上
加
下Hale Waihona Puke 上下平移 y = ax2 左右平移
减
结论: 抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状 相同，位置不同。∣a∣越大开口越小。
小练习:
抛物线
y 1 x2 2
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(第二课时)》教案
《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质（第二课时）》教案二次函数2y ax k =+的图象与性质：第二步：描点， ，第三步：连线环节2：思考抛物线221(1)2y x =--与()23112y x =-+如何由抛物线2112y x =-得到？ 通过对应点位置的关系，猜想抛物线221(1)2y x =--与()23112y x =-+如何由抛物线2112y x =-得到，经过动画演示发现将抛物线2112y x =-向右平移一个单位长度与抛物线221(1)2y x =--完全重合，抛物线2112y x =-向左平移一个单位长度与抛物线()23112y x =-+完全重合.环节3：思考抛物线2112y x =-，221(1)2y x =--与()23112y x =-+有什么关系？ 通过观察二次函数2112y x =-，221(1)2y x =--与()23112y x =-+的图象，以及平移变换，可以发现这三个函数的图象开口方向、开口大小和顶点的纵坐标相同，但对称轴不同，或者说顶点的横坐标不同.环节4：总结二次函数2112y x =-，221(1)2y x =--与()23112y x =-+的性质.活动2：例题强化，通过例题补充0a >的情况.在同一直角坐标系中画出212y x =，()2222y x =-和()2222y x =+的图象，并说明2y ，3y 如何由1y 的图象得到.经过列表、描点、连线，得到这三个函数的图象。
经过平移，我们发现1y 的图象向右平移2个单位长度得到2y 的图象；1y 的图象向左平移2个单位长度得到3y 的图象；活动3：总结二次函数()2y a x h =-的图象与性质.思考：抛物线()2y a x h =-可以如何由抛物线2y ax =得到？0h >时，2y ax =的图象向右平移h 个单位长度得到()2y a x h =-的图象；0h <时，2y ax =的图象向下平移h 个单位长度得到()2y a x h =-的图象.知能演练提升一、能力提升(x-2)2的图象与y轴()1.二次函数y=-14A.没有交点B.有交点)C.交点为(1,0)D.交点为(0,142.如图,把抛物线y=x2沿直线y=x平移√2个单位长度后,其顶点在直线上的点A处,则平移后抛物线的解析式是()A.y=(x+1)2-1B.y=(x+1)2+1C.y=(x-1)2+1D.y=(x-1)2-13.已知二次函数y=a(x+1)2-b有最小值1,则a,b的大小关系为()A.a>bB.a<bC.a=bD.不能确定4.在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=a(x+c)2的图象大致为()5.已知二次函数y=(x-m)2-1,若当x≤1时,y随x的增大而减小,则实数m的取值范围是()A.m=1B.m>1C.m≥1D.m≤16.若二次函数y=a(x-h)2+k(a>0)的图象过点A(0,2),B(8,3),则h的值可以是()A.6B.5C.4D.37.关于二次函数y=(x-1)2+5,下列说法正确的是()A.函数图象的开口向下B.函数图象的顶点坐标是(-1,5)C.该函数有最大值,最大值是5D.当x>1时,y随x的增大而增大x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(-6,0)和原点8.如图,把抛物线y=12O (0,0),它的顶点为P ,它的对称轴与抛物线y=12x 2交于点Q ,则图中阴影部分的面积为 .9.已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在二次函数y=(x-1)2+1的图象上,若x 1>x 2>1,则y 1 y 2.10.下列关于二次函数y=-(x-m )2+m 2+1(m 为常数)的结论:①该函数的图象与函数y=-x 2的图象形状相同;②该函数的图象一定经过点(0,1);③当x>0时,y 随x 的增大而减小;④该函数的图象的顶点在函数y=x 2+1的图象上.其中所有正确结论的序号是 .11.已知y=a (x-t-1)2+t 2(a ,t 是常数,a ≠0,t ≠0)的图象的顶点是A ,y=(x-1)2的图象的顶点是B.(1)判断点A 是否在y=(x-1)2的图象上,并说明理由. (2)若y=a (x-t-1)2+t 2(a ≠0,t ≠0)的图象经过点B ,求a 的值.二、创新应用 ★12.阅读理解题.已知抛物线y=-(x-t )2+2t ,试探求不论t 为何值,其顶点都在某一条直线上. 解:因为y=-(x-t )2+2t 的图象的顶点坐标为(t ,2t ),即{x =t ,y =2t , 所以不论t 取何值,始终有y=2x.因此可得到,不论t 为何值,其顶点总在直线y=2x 上移动. 利用以上的解法,试探求解决下列题目:已知抛物线y=-(x-m )2+2m 2,试探求不论m 为何值时,其顶点总在某一个图象上移动.知能演练·提升 一、能力提升 1.B2.C 把抛物线y=x 2沿直线y=x 平移√2个单位长度,即是将此抛物线向上平移1个单位长度后,再向右平移1个单位长度,故平移后的抛物线的解析式为y=(x-1)2+1.3.A 因为二次函数有最小值,所以抛物线开口向上,则a>0;因为最小值为1,即-b=1,所以b=-1<0,a>b.4.B5.C6.D (方法一)开口向上且过点A (0,2),B (8,3)的抛物线大致如下图所示,作出点A 的对称点P ,显然点P 的横坐标一定小于8,故对称轴一定小于4.(方法二)把A (0,2),B (8,3)代入y=a (x-h )2+k (a>0),得ah 2+k=2,64a-16ah+ah 2+k=3,∴64a-16ah=1,即16a (4-h )=1.又a>0,∴4-h>0,h<4,因此,只有选项D 符合要求,故选D . 7.D y=(x-1)2+5中,x 2的系数为1,1>0,函数图象开口向上,A 错误;函数图象的顶点坐标是(1,5),B 错误; 函数图象开口向上,有最小值5,C 错误;函数图象的对称轴为直线x=1,当x<1时,y 随x 的增大而减小. 当x>1时,y 随x 的增大而增大,故D 正确.8.272过点P 作PM ⊥y 轴于点M ,设PQ 与x 轴的交点为N (如图),因为抛物线平移后经过原点O 和点A (-6,0),所以平移后的抛物线的对称轴为x=-3. 所以平移后的抛物线的解析式为y=12(x+3)2+h. 将点A (-6,0)的坐标代入,得0=12(-6+3)2+h ,解得h=-92. 所以点P 的坐标是(-3,-92).根据抛物线的对称性可知,阴影部分的面积等于矩形NPMO 的面积,则S=|-3|×|-92|=272. 9.> 由二次函数y=(x-1)2+1可知,其图象的对称轴为直线x=1. 因为x 1>x 2>1,所以两点均在对称轴的右侧. 因为此函数图象开口向上,所以在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大. 故y 1>y 2. 10.①②④11.解 (1)点A 在y=(x-1)2的图象上.理由:因为y=a (x-t-1)2+t 2的图象的顶点是A (t+1,t 2),且当x=t+1时,y=(x-1)2=(t+1-1)2=t 2,所以点A 在y=(x-1)2的图象上.(2)y=(x-1)2的图象的顶点为点B (1,0). 因为y=a (x-t-1)2+t 2的图象经过点B (1,0), 所以a (1-t-1)2+t 2=0. 所以(a+1)t 2=0. 又因为t ≠0, 所以a+1=0,即a=-1. 二、创新应用12.解 因为y=-(x-m )2+2m 2的图象的顶点坐标为(m ,2m 2), 即{x =m ,y =2m 2,所以不论m 取何值,都有y=2x 2.所以不论m 为何值时,其顶点总在y=2x 2的图象(抛物线)上移动.。
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质说课稿
第2课时二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质说课稿各位领导，各位老师：大家好，今天我说课的题目是二次函数y=a(x-h) 2+k的图像和性质第二课时y=a(x-h) 2。
下面我将围绕“教什么”，“怎么教”，“为什么这样教”三个问题，从教材分析，教法学法分析，教学过程分析，教学评价分析和板书设计这五个方面进行分析说明。
一、教材分析1. 教材的地位和作用本课时是学生在学习二次函数y＝ax2的图象和性质的基础上，通过对其图象左右平移进一步研究二次函数的图象和性质，体现了从特殊到一般的数学思想．二次函数y＝a(x－h)2是一条顶点为(h，0)，对称轴为直线x＝h的抛物线，其开口方向由a的正负决定．在研究二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质时，要注意运用数形结合思想，同时要注意h的符号不要出错．这样不仅符合学生的认知规律，而且还使学生进一步体会了数形结合的思想方法，培养了学生的创造性思维的能力和动手实践能力，突出体现了辩证唯物主义观点。
所以本课的教学起着承上启下的作用。
2.教学目标：①知识与技能：使学生掌握二次函数y=a(x-h) 2的图象的作法及性质，进一步了解二次函数y=a(x-h)2 (h≠0)与二次函数y=ax2（a≠0）图象的位置关系；②过程与方法：通过引导学生作图、观察、分析进一步理解二次函数图象与性质；③情感态度价值观：向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点；进一步培养学生数形结合的思想和动手操作能力。
3.重点和难点：教学重点：掌握二次函数y=a(x-h) 2(h≠0)图象的作法和性质；教学难点：二次函数y=ax2的图象向二次函数y=a(x-h) 2(h≠0)的图象的转化过程。
二、教法学法分析根据《新课程标准》，本节课设计时体现“问题情境创设—建立数学模型—解释、应用—回顾、延伸”的教学理念。
特别在探究时通过学生动手操作和教师课件演示，让学生经历了知识的形成、发展与应用的过程，在教学过程中，鼓励学生自主探究与合作交流，引导学生观察、猜想、验证、推理与交流等数学活动。
二次函数y=a(x-h)2 k的图象及其性质 PPT课件 5 人教版
（2）何时 y=3？
（3）根据图象回答：
当x
时，y>0。
3论( .二m)上次为函何数实y数=a,图(x象-m的)2+顶2m点,必无在活你用学答活对了
A)直线y=-2x上
B)x轴上 吗?
C)y轴上 y=2x上
D)直线
3.D 4. y3> y1 > y2
4.对于抛物线y=a(x-3)2+b其中
a>0,b 为常数,点( 3 ,y1) 点 ( 5 ,y2)点(8,y3)在该抛物线上, 试比较y1,y2,y3的大小
a<0 向下 x=h (h,k) x=h时, x<h时, y随x的增大而增 有最大 大; x>h时, y随x的增大而 值y=k 减小.
|a|越大开口越小.
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指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 开口 对称轴 顶点坐标
1y2x325 向上 直线x=3 (3,–5)
2 y 0.5x 12 向下 直线x= –1
4.如图所示的抛物线： 当x=_0_或__-2_时，y=0； 当x<－2或x>0时， y__<___0； 当x在－_2_<__x_<0范围内时，y>0； 当x=___-1__时，y有最大值___3__.
3
5、试分别说明将抛物线的图象通 过怎样的平移得到y=x2的图象：
(1) y=(x-3)2+2 ；
•
17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。
•
18、励志照亮人生，创业改变命运。
•
19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。
•
20、当你能飞的时候就不要放弃飞。
•
21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质优质课件
二次函数的应用
1 抛物线
二次函数图象可以用来描 述抛物线的运动轨迹和高 度。例如，在物体抛出时 的高度随时间的变化。
2 预测
二次函数可以用来预测数 据的趋势和未来的变化。 例如，在销售领域中，预 测产品销量的变化。
3 优化
二次函数可以用来优化问 题，找到使某个目标函数 最大或最小的变量值。
二次函数的性质总结和示例
二次函数的顶点和对称轴
1
顶点定义
顶点是曲线的最高点或最低点，表示二次函数的最值。
2
顶点坐标
顶点的坐标为 (h, k)，其中 h 是 x 坐标， k 是 y 坐标。
3
对称轴定义
对称轴是通过顶点的直线，使图象关于该直线对称。
二次函数的平移与缩放
平移
二次函数的平移可以通过调整 h 和 k 的值实现，改 变了它的位置和形状。
二次函数y=a(x-h)²+k的图 象和性质优质课件
探索二次函数的定义、图象特点和性质。了解顶点与对称轴、平移与缩放、 最值与零点，以及应用实例。
二次函数的定义
1 数学定义
二次函数可以表示为y=a(x-h)²+k，其中a、h和k是常数。
2 几何定义
二次函数的图象是一个平滑的曲线，呈现出弯曲向上或向下的特征。
3 重要特性
二次函数是一个连续的函数，定义域可以是负无穷到正无穷，而值域则由顶点决定。
二次函数图象的特点
开口方向
• 当二次函数的a值为正时， 图象开口朝上。
• 当a值为负时，图象开口 朝下。
奇性
二次函数是偶函数，具有对称 性，关于对称轴对称。
最值与零点
二次函数的最值与零点与顶点 有关，可以通过求解方程来计 算。
二次函数y=a(x-h)2 k图象和性质课件
C组
10. 对于二次函数y=
+1，有下列说法：
①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x=
－ ；③其图象的顶点坐标为
；④当x<
时，y随x的增大而减小.其中正确的说法有
（B ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
直线x=1 (1,2)
y轴
(0,0)
直线x=－2 (－2,－4)
9. 已知二次函数y=－3(x－3)2+2． （1）写出该函数图象的顶点坐标； （2）判断点(1,－12)是否在这个函数的图象上．
解：（1）∵二次函数的解析式为 y=－3(x－3)2+2， ∴顶点坐标是(3,2). （2）当x=1时，y=－3×4+2=－10≠-12． ∴点(1,－12)不在这个函数的图象上.
向上平移3个单位 y=-2x2+3 3.把y=-2x2的图像
向左平移2个单位 y=-2(x+2)2 4.请猜测一下，二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可 以由y=-2x2平移得到？你认为该如何平移呢？
y
y2x223 3
y
y2x223
3
-2 O
X
-2 O
X
y2x23
y 2 x2y 2x22
A. (－3,2)
B. (3,2)
C. (－3,－2)
D. (3,－2)
5. 将抛物线y=－x2向右平移1个单位，再向上平移2 个单位后，得到的抛物线的解析式为 _____y_=_－__(_x_－__1_)_2+_2________．
6. 将抛物线y=－ (x－5)2+3向左平移5个单位， 再向上平移3个单位后得到的抛物线的解析式为 _____y_=_－____x_2_+_6__________．
22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质说课稿
22.1.3 第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学设计【典型例题】例1对二次函数y＝－5(x＋2)2－6的说法错误的是(C)A.开口向下B．最大值为－6C.顶点(2，－6) D．x＜－2时，y随x的增大而增大例2如何平移二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象，可得到二次函数y＝4x2的图象？解：二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象向右平移3个单位长度，向上平移7个单位长度即可得到二次函数y＝4x2的图象.例3要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，如图所示，水管应多长？解：水管应长2.25 m.教师为学生理解问题、顺利解答问题，进行分层次设问：(1)分析该题的突破口是什么？(2)如何建立平面直角坐标系？(3)你能求出该抛物线的函数解析式吗？(4)根据解析式你能求出水管的长度吗？学生思考讨论，小组合作探究，教师进行点拨指导，进行板书过程. 【变式训练】1.抛物线y＝a(x＋k)2＋k(k≠0)，当k取不同的值时，抛物线的顶点恒在(B)A.直线y＝x上B．直线y＝－x上C．x轴上 D．y轴上2.对于抛物线y＝－(x＋2)2＋3，下列结论中正确的有(A)【课堂检测】1.二次函数y ＝2(x －2)2－1的图象大致是(A)A B C D2.在平面直角坐标系中，对于二次函数y ＝(x －2)2＋1，下列说法中错误的是(C) A.y 的最小值为1B.图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x ＝2C.当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而增大，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而减小D.当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而减小，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而增大3.把二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后，得到二次函数y ＝12(x ＋1)2－1的图象.(1)试确定a ，h ，k 的值.(2)指出二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.解：(1)a ＝12，h ＝1，k ＝－5.(2)开口向上，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－5). 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.。
《 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十二章二次函数二次函数的图像和性质教学设计第 3 课时二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，在初中的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，学生已经基本掌握了二次函数的图象及一些性质，只是研究函数的方法都是按照函数解析式---定义域----图象----性质的方法进行的，基于这种情况，我认为本节课的作用是让学生借助于熟悉的函数来进一步学习研究函数的更一般的方法，即：利用解析式分析性质来推断函数图象。
它可以进一步深化学生对函数概念与性质的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，站在新的高度研究函数的性质与图象。
因此，本节课的内容十分重要。
1.使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。
2.会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3.让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。
【教学重点】理解函数y=a(x－h)2＋k的性质以及图象与y=ax2的图象之间的关系。
【教学难点】正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质。
多媒体课件等。
◆教学目标◆教材分析◆教学重难点◆◆教学过程◆课前准备◆一、复习回顾。
1. 说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:1）y = ax22）y = ax2+c3）y = a（x - h）2我们已经学习了形如y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2的函数,知道了它们可以经过互相平移得到.二次函数y=a(x-h)2+k又是一条怎样的抛物线呢?它与这三条抛物线之间有什么关系?知识点一:y=a(x-h)2+k的图象和性质。
二、合作交流，探究新知。
1. 在同一坐标系内,画出二次函数y=2x²,y=2(x-1)²,y=2(x-1)²+1的图象。
二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质(第1课时) 课件
合作探究
归纳总结：二次函数y=ax2+k（a≠0）与y=ax2 的图象的关系：
二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到： 当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到. 上下平移规律：上加下减. 思考3：抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？ a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.
思考1：抛物线 y 2x2 1，y 2x2 1 的开口方向、对称轴、 顶点、最值和增减性各是什么？
二次函数 y 2x2 1 y 2x2 1
开口方向 向上
向上
顶点坐标 对称轴 最值
增减性
（0，1） y轴 （0，-1） y轴
最小值为1 当x＜0时，y随x
的增大而减小；
x＞0时，y随x的
最小值为-1 增大而增大
综合演练
6.已知抛物线y=kx2+b. （1）若抛物线y=kx2+b的形状与y=3x2相同，开口方向相反，且顶点 坐标为(0,−2)，则该抛物线的函数表达式是___y_=_−_3_x_2_−_2__; （2）若抛物线y=kx2+b向下平移2个单位后得到的抛物线的函数表 达式为y=−0.6x2−1，则k=_−_0_._6__,b=__1____. （3）若抛物线y=kx2+b的最小值为5，且经过点(1,6),则该抛物线的 函数表达式是___y_=_x_2_+_5____;将抛物线y=kx2+b向上平移3个单位， 得到的新的抛物线的函数表达式是__y_=_x_2_+_8__.
ห้องสมุดไป่ตู้
小组探究：通过上述例子，函数y=ax2+k(a＞0)的性质是什么？ （就以上5方面进行阐述）
2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质(教案)
5.二次函数在实际问题中的应用。
二、核心素养目标本节课的核心养目标如下：1.培养学生运用数学符号进行表达和交流的能力，通过二次函数y=a(x-h)²+k的学习，使学生在实际问题中抽象出数学模型。
2.培养学生的几何直观，能够通过观察、分析二次函数图象，理解其性质，提高空间观念和图形认知能力。
1.教学重点
-函数表达式y=a(x-h)²+k的理解与应用：重点讲解a、h、k的数学意义及其对函数图象的影响，使学生能够熟练掌握二次函数的标准形式。
-二次函数图象的性质：包括开口方向、对称轴、顶点坐标、最值等，并通过实例让学生直观感受这些性质。
-二次函数与坐标轴的交点：探讨二次函数与x轴、y轴的交点情况，理解其与函数解析式中系数的关系。
在学生小组讨论环节，我发现有的学生参与度不高，可能是由于他们对讨论主题不感兴趣或者不知道如何表达自己的观点。针对这个问题，我计划在下次的讨论中，提前给出一些引导性问题，帮助学生更好地展开讨论。同时，鼓励学生积极发表自己的看法，培养他们的表达能力和团队合作精神。
最后，我发现学生们在总结回顾环节，对于二次函数在实际生活中的应用这部分内容，掌握得不够扎实。这可能是因为在教学中，我没有给出足够的应用实例。在今后的教学中，我会增加一些实际应用案例，让学生更好地理解二次函数在现实生活中的重要性。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用抛物线模型来模拟物体抛投过程，观察和记录数据。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》课件
知识回顾 y＝ax2
图象
位置、开 口方向 对称性
顶点、 最值
增减性a>0yOx开口向上，在x轴上方.
a<0
y Ox
开口向下，在x轴下方.
a的绝对值越大，开口越小.
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0.
顶点坐标是（0，0）.
当x=0时，y最小值=0.
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
24
-2
-4
-6
y=−
12(x+1)
向左平移
2
1个单位长度
y=-12x2
向右平移 1个单位长度
y=-12(x-1) 2
二次函数 y=a(x±h)2(h>0) 的图象与 y=ax2 的图象的关系
y=ax2
向右平移 h 个单位长度时 向左平移 h 个单位长度时
y=a(x-h)2 y=a(x+h)2
左右平移规律：左加右减
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 ···
··· -4.5 -2
-1
2
0
-12 -2 -4.5 ···
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ···
-4.5 -2 ···
-12
0
-12
-2 -4.5 ···
在同一坐标系中画出函数 y=-12(x+1)2，y=-12(x-1) 2 的 图象,并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.
2.描点
3.连线
思考：y=2x2 +1， y=2x2 -1的图象与 y=2x2 的图象有什 么关系？
10 8 6 4 2
-4 -2 -2
第11讲二次函数y=a(x-h)^2 k的图像及性质-人教版暑假班九年级数学上册教学案(教育机构专用)
圆梦堂文化培训学校精品班教案第 11 讲要点1二次函数y＝ax2＋k的图象和性质1. 二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象是一条，其对称轴是轴，顶点坐标为 .2. 抛物线y＝ax2＋k，当a>0时，开口向，顶点是它的最点，在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴右侧，y随x的增大而；当a<0时，开口向，顶点是它的最点，在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴右侧，y随x的增大而.要点2二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2的图象之间的平移当k>0时，y＝ax2＋k是将y＝ax2的图象向上平移个单位得到的；当k<0时，y＝ax2＋k是将y ＝ax2的图象向平移|k|个单位得到的.要点3二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质1. 二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象是一条，其对称轴是，顶点坐标为.2. 抛物线y ＝a (x －h )2，当a >0时，开口向 ，顶点是它的最 点，在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ；当a <0时，开口向 ，顶点是它的最 点，在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 . 要点4 二次函数y ＝a (x －h )2与y ＝ax 2图象之间的平移当h >0时，y ＝a (x －h )2是将y ＝ax 2的图象向右平移 个单位得到的；当h <0时，y ＝a (x －h )2是将y ＝ax 2的图象向 平移|h |个单位得到的. 要点5 二次函数y ＝a (x －h )2+k 的图象和性质1. 二次函数y ＝a (x －h )2+k(a ≠0)的图象是一条 ，其对称轴是 ，顶点坐标为 .2. 抛物线y ＝a (x －h )2+k ，当a >0时，开口向 ，顶点是它的最 点，在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ；当a <0时，开口向 ，顶点是它的最 点，在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 . 要点6 二次函数y ＝a (x －h )2+k 与y ＝ax 2图象之间的平移y ＝a (x －h )2+k 是将y ＝ax 2的图象向右(左）平移 个单位再向上（下）平移 个单位得到的；左加右减自变量；上加下减函数值。
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(第1课时)》教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十二章 二次函数22.1二次函数的图象和性质 二次函数y =a (x -h )2+k 的图象和性质教学设计 第 1 课时一、教学目标1．使学生理解二次函数y =ax 2＋k 的图象与二次函数y =ax 2的图象之间的关系． 2．会确定二次函数y =ax 2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．二、教学重点及难点重点：理解二次函数y =ax 2＋k 的性质及其图象与y =ax 2的图象之间的关系． 难点：正确理解二次函数y =ax 2＋k 的图象与二次函数y =ax 2的图象之间的关系以及二次函数y =ax 2＋k 的性质．三、教学用具多媒体课件，三角板或直尺。
四、相关资源《二次函数y =ax 2图象与性质的复习》动画，《二次函数y =2x 2＋1和y =2x 2－1的图象画法》动画，《《二次函数y =2x 2＋1和y =2x 2－1的图象》图片，《函数2133y x =+，2123y x =-》动画）。
五、教学过程【复习提问】你能说出二次函数y =ax 2的性质吗？师生活动：教师提出问题，全班学生回顾，一起回答问题．小结：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a ＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线2y ax =，|a |越大，抛物线的开口越小，|a |越小，抛物线的开口越大．如果a ＞0，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大； 如果a ＜0，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．设计意图：让学生温习已学的知识，巩固上节课的内容，为本节课作铺垫． 【合作探究】1．在同一直角坐标系中，画出二次函数y =2x 2＋1，y =2x 2－1的图象．师生活动：师生一起完成列表，再由学生画出图象，交流成果，如图所示，教师投影订正．在学生画函数图象时，教师巡视指导．解：（1）列表：（2）描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．（3）连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到二次函数y =2x 2＋1和y =2x 2－1的图象．设计意图：通过学生动手画二次函数2y ax k =+的图象，给学生创设活动时间和空间，体现教师是主导，学生是主体的教学地位，让学生经历知识的发生、发展的过程，并通过观察、分析、探索出二次函数2y ax k =+的图象的有关性质，培养学生数形给合的思想．2．思考：（1）抛物线y =2x 2＋1，y =2x 2－1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？此图片是动画缩略图，此处插入交互动画《【知识探究】画二次函数平移的图象》，可以对y =ax 2图象上下平移得出y =ax 2±k 的图象,观察、分析函数y =ax 2±k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.师生活动：让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见．教师聆听，关注学生回答是否正确．小结：抛物线y =2x 2＋1，y =2x 2－1的开口都是向上，对称轴都是y 轴，顶点分别是（0，1）与（0，－1）．（2）抛物线y =2x 2＋1，y =2x 2－1与抛物线y =2x 2有什么关系？师生活动：让学生观察三个函数图象，说出把抛物线y =2x 2的图象向上平移1个单位长度，就得到抛物线y =2x 2＋1；把抛物线y =2x 2向下平移1个单位长度，就得到抛物线y =2x 2－1．（3）抛物线y =ax 2＋k 与y =ax 2有什么关系？师生活动：四人一小组，小组讨论、交流．教师巡查，关注学生是否认真讨论，能否讨论归纳得出结论．归纳：抛物线y =ax 2＋k 与y =ax 2形状相同，位置不同；当k ＞0时，抛物线y =ax 2向上平移|k |个单位长度可以得到抛物线y =ax 2＋k ； 当k ＜0时，抛物线y =ax 2向下平移|k |个单位长度可以得到抛物线y =ax 2＋k ．设计意图：通过分析、小组合作探究，引导学生完成对知识的归纳，符合学生的认知规律，同时也培养了学生分析问题和解决问题的能力，完成由实践上升到理论这一认知过程．【例题分析】例 分别在同一直角坐标系中，描点画出下列二次函数的图象，并写出对称轴和顶点：2133y x =+，2123y x =-。
《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》二次函数PPT优质教学课件
y 3x2
顶点 (0,0)
y 3x2 2
y 3x2 3
向下平移
向上平移
两个单位长度
5个单位长度
(0, -2)
(0, 3)
巩固练习
1.下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是( A )
A.y=x2+1 B.y=x2-1 C.y=(x+1)2 D.y=(x-1)2
解析:抛物线y= x2+1的顶点坐标是(0,1);抛 物线y= x2-1的顶点坐标是(0,-1);抛物线 y=(x+1)2的顶点坐标为(-1,0);抛物线y=(x-
x
新知探究
二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质
y=ax2+k 开口方向
对称轴 顶点坐标
最值
增减性
a＞0
a＜0
向上
向下
y轴（x=0）
y轴（x=0）
（0,k）
（0,k）
当x=0时，y最小值=k
当x＜0时，y随x的 增大而减小；x＞0 时，y随x的增大而
增大.
当x=0时，y最大值=k
当x＞0时，y随x的 增大而减小；x＜0 时，y随x的增大而
抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的开口方 向、对称轴和顶点各是什么？
2… 9… 7…
y y = 2x2+1
8 6 4 2
-4 -2 O 2 4 x -1
新知探究
三条抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？
开口方向
y = 2x2+1 上 y = 2x2 -1 上
对称轴
y轴 y轴
y y = 2x2+ห้องสมุดไป่ตู้ y = 2x2 -1
二次函数y=a(x-h)2 k的图象和性质ppt5 人教版
抛物线之间的平移规律：
抛物线
抛物线
பைடு நூலகம்
向上平移 抛物线 k(k>0)个单位 向下平移 2 抛物线 y=ax k(k>0)个单位
y=ax2
y=ax2+k y=ax2-k
运用所学，巩固练习
练习1：教材第33页练习
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
课堂小结，布置作业 1. 你对抛物线y=ax2+k有何新的认识？ 2.你能从静态的图象观点说明二次函数 y=ax2与y=ax2+k的性质的区别与联系吗？ 你还能从动态的平移观点说明它们的区 别与联系吗？
课堂小结，布置作业
教材第41页习题22.1第5（1）题.
谢谢 !
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标都加1(或减1)，得到新抛
物线y=2x2+1(或 y=2x2-1 ).
1 1
动手操作，体验画图
3.抛物线y=2x2+1，y=2x2-1和y=2x2有何关系？
（3）从图象看：┅
y 2 x2 1 y 2x2 y 2 x2 1
图象形状大小相同，抛
物线y=2x2向上（或向下）
平移1个单位就能得到抛物
12 12 12 y x , y x 2 , y x 2 . 2 2 2
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开 1 2 口方向、对称轴和顶点.你能说出抛物线 y x k 2 1 2 y x 的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线 2 有什么关系？
二次函数y=a(x-h)2 k的图象和性质 PPT课件 人教版
再向右平移1个单位，那么所得抛物线
是_y__ (x1)2_2_.
三、研学教材
归纳 一般地，抛物线 yaxh2 k
与 y ax2形状__相_同____，位置__不__同__.
把抛物线 y ax2向上（下）向左（右）
平移，可以得到抛物线 yaxh2 k
•
38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。
•
39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。
•
40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。
•
41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。
•
42、自信人生二百年，会当水击三千里。
•
43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。
(2)y3x122
开口向下，对称轴为：x 1 ，顶点为：(1, 2 )
(3)y4x327
开口向上，对称轴为：x 3 ，顶点为：( 3 , 7 )
(4)y5x226
开口向下，对称轴为：x 2 ，顶点为：(2, 6)
三、研学教材
知识点二 二次函数 yaxh2 k 应用
23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。
•
24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。
•
25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。
•
26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。
•
27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。
•
28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。
•
29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。
向下 (1,1) x 1 高
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y=a(x-h)平方+k图像性质和求解析式()k h x a y +-=2图像性质和求解析式 平移规律：1、将二次函数2x y =的图像向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的图像解析式为（ ）A.()312+-=x yB.()312++=x yC.()312--=x yD.()312-+=x y 2、把抛物线221x y -=向_____平移_____个单位，再向_____平移____个单位，就得到抛物线()11212-+-=x y 。
3、关于二次函数()214+-=x y 的说法正确的有（ ） ①顶点坐标为（1，3）；②对称轴为x=1-；③1-<x 时，y 随x 的增大而增大；④函数图像与y 轴的交点坐标为（0，3）。
A.1个B.2个C.3个D.4个4、在平面直角坐标系上将二次函数()2122---=x y 的图像向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（ ）A.（0，0）B.（1，2-）C.（0，1-）D.（2-，1）5、二次函数c bx x y ++=2的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数()212+-=x y ，求b ，c 的值。
变式：全品P32-12，在平面直角坐标系中，如果抛物线22x y =不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）A.()2222+-=x yB.()2222-+=x yC.()2222--=x yD.()2222++=x y 图像开口方向、顶点坐标、对称轴、最值、单调性1、二次函数()43212+-=x y 的图像的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ） A.向上，直线x=3，（3，4） B.向上，直线x=3-，（3-，4）C.向上，直线x=3，（3，4-）D.向下，直线x=3，（3，4）2、一般地，抛物线()k h x a y +-=2的图像的特点是（ ） A.a ＞0，开口向上；对称轴是直线x=h ；顶点坐标是（h ，k ）B.a ＜0，开口向下；对称轴是直线x=h ；顶点坐标是（h ，k ）C..a ＞0，开口向上；a ＜0，开口向下；对称轴是直线x=h ；顶点坐标是（h ，k ）D.a ＞0，开口向上；a ＜0，开口向下；对称轴是直线x=ah ；顶点坐标是（ah ，k ）3、抛物线()62312-+=x y 的开口向_____，顶点坐标为_____，对称轴是______，当2-<x 时，y 随x 的增大而减小；当_______时，y 有最____值，这个值是________。
4、《全如图是一个二次函数图象的一部分，下列说法不正确的是（ ）A ．该抛物线对称轴为x=2-B ．该抛物线开口向下C ．该抛物线与x 轴交点坐标只有（1，0）D ．该抛物线顶点横坐标为-25、拼》P31-4，关于二次函数()32312++=x y 的最值徐庶正确的是（ ）A.当x=2时，函数有最大值3B.当x=2时，函数有最小值3C.当x=2-时，函数有最大值3D.当x=2-时，函数有最小值36、对于抛物线()31212++-=x y ，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（1-，3）；④x ＞1,时，y 随x 的增大而减小，其中正确结论的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4变式：金牌P24-课后巩固2。
对于抛物线()3122+--=x y 的说法中错误的是（ ）A.开口向下B.顶点坐标是（1，3）C.对称轴是直线x=1D.当x ＞1，y 随x 的增大而增大7、金牌P24-课后巩固1，抛物线()n m x y ++=22（m ，n 是常数）的顶点坐标是（ ）A.（m ，n ）B.（m -，n ）C.（m ，n -）D.（m -，n -）8、求下列函数图像的对称轴、顶点坐标及与x 轴的交点坐标：（需要自己配方）①352442++=x x y ②181222-+-=x x y9、已知点A （π，1y ），B （2-，2y 2y ），C （2-，3y ）是抛物线()3122-+=x y 上的三个点，试比较1y 、2y 、3y 的大小：___________。
10、已知二次函数()2122+-=x y ()12≤≤-x ，则函数y 的最小值是______，最大值是______。
11、变式，金牌P32-课堂练习5.已知点（1-，1y ），（213-，2y ），（21，3y ）都在函数()2132-+=x y 的图像上，则1y 、2y 、3y 的大小关系为（ ）A.1y >2y >3yB..2y >1y >3yC.2y >3y >1yD.3y >1y >2y12、一小球被抛出后，距离地面的高度h （m ）和飞行时间t （s ）满足函数关系式()6152+--=t h ，则小球距离地面的最大高度是（ ） A.1m B.5m C.6m D.7m13、如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系不正确的是（ ）A.h=mB.k=nC.k ＞nD.h ＞0，k ＞0与一次函数图像关系：1、已知二次函数()c x a y --=21的图像如图所示，则一次函数c ax y +=的大致图像可能是（ ）A. B. C. D. 2、全品p32-13.已知二次函数()c x a y --=21的图像如图所示，则依次函数y=ax+c 的大致图像可能是图中的（ ）A. B. C. D.求函数解析式1、金牌P23-课堂练习3.将抛物线2ax y =向右平移2个单位，再向上平移3个单位， 移动后的抛物线胫骨哦（3，1-），那么移动后的抛物线的解析式为__________。
2、顶点坐标为（2-，3），开口方向和大小与抛物线221x y =相同的抛物线为（ ） A.()32212+-=x y B.()32212--=x y C.()32212++=x y D.()32212++-=x y 3、（和三角形面积结合）已知二次函数图像的顶点是P （1，1-），且经过点A （2，0）。
（1）求这个二次函数的解析式；（2）点Q 为第一象限的抛物线上一点，且OQ ⊥PO ，求POQ S ∆的值。
4、在平面直角坐标系内，二次函数图像的顶点为A(1，4-），且经过点B （3，0）。
（1）求该二次函数解析式；（2）求该二次函数图像与x 轴的另一个交点坐标。
5、全品P31-11，已知二次函数()k h x a y +-=2（a ≠0）的图像经过原点，当x=1时，函数有最小值为1-。
求这个二次函数的解析式，并画出图像。
6、已知二次函数()k m x y ++=2的顶点为（1，4-）。
（1）求二次函数的解析式及图像与x 轴交于A ，B 两点的坐标；（2）将二次函数的图像沿x 轴翻折，得到一个新的抛物线，求新抛物线的解析式。
7、（结合判别式）全品P32-15，已知二次函数图像的顶点坐标是（1-，2），且过点（0，23）。
（1）求二次函数的解析式，并在下图中画出它的图像。
（2）求证：对任意实数m ，点M （m ，2m -）都不在这个二次函数的图像上。
7、（结合待定系数、平移规律，与x 轴交点坐标解法，解一元二次方程）全品P32-16在平面直角坐标系内，二次函数图像的顶点为A(1，4-），且过点B （3，0）。
（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图像向右平移几个单位，可使平移后所得图像经过坐标原点？并直接写出平移后所得图像与x 轴的另一交点坐标。
（隐含顶点坐标）8、金牌P23-课堂练习6.二次函数()k h x a y +-=2的图像的对称轴为直线x=2-，函数有最小值为3-，且函数的图像与23x y -=的形状相同，开口方向相反。
（1）去你确定二次函数的解析式；（2）如果函数图像与x 轴交于A ，B ，与y 轴交于C ，你能求出△ABC 的面积吗？9、金牌=24课后巩固5.应用：1、金牌P24-课后巩固5，抛物线()6222--=x y 的顶点为C ，已知3+-=kx y 的图像经过点C 。
则这个一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形面积为________。
2、金牌P24-课后巩固7.完美公司今年推出了一种高效环保的洗涤用品，年初上市后公司经历了从亏损到盈利的过程，如图刻画了该公司年初以来累计利润y（万元）与销售时间x（月）之间的关系。
根据图像提供的信息，解答下列问题：（1）求出累计利润y与时间x之间的函数关系式；（2）截止到几个月末公司的累计利润是3万元？（3）第8个月公司所获得的利润是多少万元？3、如图，排球运动员站在点O处联系发球，将求从O点正上方2m的A处发出，把求看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式()h=2-6。
已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边ay+x界距O点的水平距离为18m。
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式；（2）当h=2.6时，球能否越过球网？求会不会出界？请说明理由。
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。
4、（需要配方求最值）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6m，地步宽度OM为12m。
现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系。
（1）直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB ，使C ，D 点在抛物线上，A ，B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总厂的最大值是多少？3、武汉欢乐谷要建一个圆形喷水池，如图所示，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圆喷水头，时喷出的水柱在离池中心4m 处达到最高，高度为6m ，另外还要再喷水池的中心设计一个装饰水坛，使各方向喷来的水柱在此汇合，已知装饰水坛的高度为310m ． 建立平面直角坐标系，使抛物线水柱最高坐标为（4，6），装饰水坛最高坐标为（0，310），求圆形喷水池的半径．4、如图，小区中央公园要修建一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA ，O 恰好在水面的中心，OA=1.25米．由柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计水流在离OA 距离为1米处达到距水面的最大高度2.25米．（1）建立适当的平面直角坐标系，使A 点的坐标为（0，1.25），水流的最高点的坐标为（1，2.25），求水流的抛物线路线在第一象限内对应的函数关系式（不要求写取值范围）；（2）若不计其他因素，则水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？（3）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流距水面的最大高度就达到多少米？（不知道顶点坐标）5、全品P32-17，如图，抛物线c x a y +-=2)1(与x 轴交于点A （31-，0）和点B ，将抛物线沿x 轴向上翻折，顶点P 落在点'P （1，3）处。