2010年考研高数一真题(附答案)

2010考研数学（一）真题及参考答案
一、选择题
（1）、极限（C）
A、1
B、
C、
D、
（2）、设函数，由方程确定，其中F为可微函数，且，则
（B）
A、B、C、D
（3）、设施正整数，则反常积分的收敛性( C)
A、仅与的取值有关
B、仅与有关
C、与都有关
D、都无关
（4）、( D )
A、B、
C、D、
（5）、设A为型矩阵，B为型矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则（A）
A、秩r(A)=m, 秩r(B)=m
B、秩r(A)=m, 秩r(B)=n
C、秩r(A)=n, 秩r(B)=m
D、秩r(A)=n, 秩r(B)=n
(6) 设A为4阶实对称矩阵，且，若A的秩为3，则A相似于（D）
A． B.
C. D.
(7) 设随机变量的分布函数，则 {x=1}= （C）
A．0 Ｂ. C. D.
(8) 设为标准正态分布的概率密度，为上的均匀分布的概率密度，若
为概率密度，则应满足：（A ）
A、B、C、D、
二、填空题
（9）、设求
（10）、
（11）、已知曲线的方程为起点是终点是则曲线积分
（12）、设则的形心坐标
（13）设若由形成的向量空间维数是2，则 6
（14）设随机变量概率分布为，则 2
三、解答题
（15）、求微分方程的通解
解答：
（16）、求函数的单调区间与极值
解答：单调递减区间
单调递增区间
极大值，极小值
（17）、（Ⅰ）比较与的大小，说明理由（Ⅱ）设，求极限
解答：
（18）、求幂级数的收敛域及和函数
解答：收敛域，和函数
（19）设为椭球面上的动点，若在点处的切平面为面
垂直，求点的轨迹，并计算曲面积分，其中是椭球面位于曲线上方的部分
解答：（1）（2）
（20）、设
已知线性方程组存在2个不同的解，
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）求方程组的通解。

解答：（Ⅰ）
（Ⅱ）的通解为（其中k为任意常数）
（21）已知二次型在正交变换下的标准形为，且的第3列为
（Ⅰ）求矩阵；
（Ⅱ）证明为正定矩阵，其中为3阶单位矩阵。

答案：（Ⅰ）
（Ⅱ）证明：
为实对称矩阵
又的特征值为1，1，0
的特征值为2，2，1，都大于0
为正定矩阵。

（22）、设二维随机变量的概率密度为，求常数A及条件概率密度
解答：
（23）（本题满分11分）
设总体的概率分布为
1 2 3
其中参数未知，以表示来自总体的简单随机样本（样本容量为n）中等于i
的个数。

试求常数，使为的无偏估计量，并求的方差。

参考解答：依题设的联合分布律为
从而，
故。

由于是的无偏估计量，因此
解之得
（答案仅供参考，最终以教育部标准答案为准）。