2.6函数的单调性与周期性

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【§2.6函数的单调性与周期性】 班级 姓名 学号

例1．已知奇函数f(x)在区间[a 、b] （0

是减函数，证明你的结论. 例2．（1）证明函数21)(x x x f y +=

=在（－1，1）上是增函数.

（2）试讨论函数2

1)(x

kx x f +=在（－1，1）上的单调性.

例3．已知奇函数f(x)在)4,2[上单调递减，试比较)8(log 2

1f a =与)4

3tan

(π

πf b =的大小. 例4．求函数f(x)=x 3－x 的单调区间.

例5．已知函数f(x)定义在自然数集上，且对任意x ∈N *都有f(x)=f(x －1)+f(x+1)，若f(1)=1999， 求f(1999)的值. 【基础训练】

1．一次函数y=kx+b ，当k_________时，函数为增函数，当k________时，函数是减函数.

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2．函数y=x 3+1在区间________上是增函数，函数f(x)=－x 2－2x 的递增区间为___________，函

数g(x)=)34(log 22

1-+-x x 的递减区间为_______________.

3．若函数f(x)=x 2+2(a －1)x+2在区间（－∞，4）上是减函数，那么实数a 的取值范围是________.

4．已知y=log a (2－ax)在[0，1]上是关于x 的减函数，则a 的取值范围是

（ ）

A ．（0，1）

B ．（1，2）

C ．（0，2）

D ．),2[+∞

5．如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，那么在区间[－7，－3]上是（ ）

A ．增函数且最小值为－5

B ．增函数且最大值为－5

C ．减函数且最小值为－5

D ．减函数且最大值为－5

6．设f(x) （x ∈R ）是以3为周期的奇函数，且f(1)>1,f(2)=a ，则

（ ）

A ．a>2

B ．a<－2

C ．A>1

D ．A<－1

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【拓展练习】

1．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，它在),0[+∞上递减，那么一定有

（ ）

A ．)1()43(2+->-a a f f

B ．)1()43(2+-≥-a a f f

C ．)1()4

3(2+-<-a a f f D ．)1()4

3(2+-≤-a a f f

2．已知y=f(x)是偶函数，且在),0[+∞上是减函数，则f(1－x 2)是增函数的区间是 （ ）

A ．),0[+∞

B ．]0,(-∞

C ．),1()0,1[+∞⋃-

D ．]1,0(]1,(⋃-∞

3．函数y=log a |x+1|在(－1,0)上单调递减，则y 在（－∞，－1）上是

（ ）

A ．由负到正单调递增

B ．由正到负单调递减

C ．单调递减且恒为正数

D ．时增时减

4．求下列函数的单调减区间

（1）y=lg(x 2+4x+2)____________.

（2）3

1-=

x y .

5．若y=(a 2－1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是__________________.

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6．函数y=f(x) (x ≠0)是奇函数，且当x ∈R +时是增函数，若f(1)=0，则不等式

0)]2

1

)[<-x x f 的解

集为_____________.

7．已知f(x)=8+2x －x 2,g(x)=f(2－x 2)，试求g(x)的单调区间.

8．设定义在R 上的函数f(x)的最小正周期是2，且在区间]5,3(内单调递减，试比较 )(),4(),2log (2

1π---f f f 的大上.

9．已知函数f(x)对一切实数x 都有f(2+x)=f(2－x),f(3+x)=f(3－x)，试判断函数的周期性和奇偶性.

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10．已知函数y=f(x)的奇函数，在（0，+∞）内是减函数，且f(x)<0，试问：F(x)=

)

(1

x f 在

（－∞，0）内增减性如何？并证明之.

11．设f(x)是定义在区间（－∞，+∞）上以2为周期的函数，对k ∈Z ，用I k 表示区间（2k －1,2k+1]，

已知x ∈I 0时，f(x)=x 2，求f(x)在I k 上的解析式.

12．已知f(x)=x 2+C ，且f[f(x)]=f(x 2+1)

（1）设g(x)=f[(x)]，求g(x)的解析式；

（2）设ϑ(x)=g(x)－λf(x)，试问是否存在实数λ，使ϑ(x)在（－∞，－1）

上是减函

数，并且在（－1，0）上是增函数?