第七章假设检验

方差 2已知时，关于均值 的 Z 检验
Z检验
H0
0
检验统计量的观察值z x 0
n
H1
0
H
的拒绝域
0
z : z z 2
0 0
0 0
z : z z z : z z
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例1
某织物强力指标X的均值0=21公斤. 改
进工艺后生产一批织物，今从中取30件，测 得 X=21.55公斤. 假设强力指标服从正态分
在进行显著性检验时，由于犯第一类
错误的概率是可控的，即概率
P 拒绝H0 H0为真 可控，
这能保证当为H
0
真时，错误地拒绝
H
的可
0
能性很小. 这意味着H0是受到保护的.
因此，在作假设时，应选择 H0 , H1使
得两类错误中后果严重的错误成为第一类
错误.
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•关于假设
例如, 考虑某种药品是否为真时,可能犯两
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引例
生产流水线上罐装可乐不断地封装，然 后装箱外运. 怎么知道这批罐装可乐的容量 是否合格呢？
合格标准：罐装可乐的容量按标准应在350 毫升和360毫升之间.
方案一：把每一罐都打开倒入 量杯, 看看容量是否合于标准.
这样做显 然不行！
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通常的办法是进行抽样检查.
方案二：每隔一定时间，抽查若干罐 . 如每隔一小时，抽查n罐，得到n个容
假设检验 非参数假设检验 总体分布未知时的
假设检验问题
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第七章 假设检验
❖假设检验 ❖一个正态总体均值与方差的假设检验 ❖两个正态总体均值或方差的比较 ❖置信区间与假设检验
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小概率事件原理
小概率事件在一次试验中基本上不会发生 设有两个盒子，各装有100个球.
…99个
99个红白球 一个白红球
另一一盒盒中中的的白白球球和和红红球球数数
代入 =1.2, n=30，
并由样本值计算得统计
{U u0.01}是
一小概率事件
量U的实测值
U=2.51>2.33
落入拒绝域
故拒绝原假设H0 .
这认时为可新能生犯产第织一物类比错过误去，的犯织错物误强的力概 率是不有超所过提0高.01..
40
作业
P178 2
41
正态总体均值的假设检验
X1, X2,L , Xn : N , 2 ,
4
小概率事件原理
小概率事件在一次试验中基本上不会发生
现从两盒中随机取出一个盒子，问这个 盒子里是白球99个还是红球99个？
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小概率事件原理
小概率事件在一次试验中基本上不会发生
不妨假设：这个盒子里有99个白球. 现在从中随机摸出一个球，发现是 此时如何判断这个假设是否成立呢？
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小概率事件原理
小概率事件在一次试验中基本上不会发生
假设检验 —概述
关于总体分布函数的形式或关于总体 参数值的陈述叫做统计假设.
在一个问题中，提出一对相互对立的 统计假设，其中一个叫做原假设；另一个 叫做备择假设.
根据样本的信息检验关于总体的某个 假设是否正确这一类问题称作假设检验问 题.
1
假设检验 —概述
总体分布类型已知，
参数假设检验 检验关于其未知参 数的某个假设
布N(, 2), 且已知 =1.2公斤， 问在显著性 水平 =0.01下，新生产织物比过去的织物
强力是否有提高?
解 提出假设:
H0 : 21, H1 : 21.
38
取统计量 U X 21 ~ N (0,1)
n
确定k，使得
P
X
21 n
k
,
k z
o k z x
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拒绝域为 W : U u0.01 =2.33
| t |=2.997<4.0322
没有落入
故不能拒绝H0 .
拒绝域
这并不意味着H0一定对，只是差异
还不够显著, 不足以否定H0 .
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•假设检验的两类错误
假设检验会不会犯错误呢？ 由于作出结论的依据是 不是一定不发生
小概率原理 小概率事件在一次试验中基本上不会发生
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•假设检验的两类错误
如果H0成立，但统计量的实测值落入 否定域，从而作出否定H0的结论，那就犯 了“弃真”的错误 .
度是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X
假定服从正态分布N , 2 , 2未知，现从
该厂生产的一批产品中抽取6件, 得尺寸数 据如下:
32.56, 29.66, 31.64 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
…
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分析：这批产品(螺钉长度)的全体组成问题的 总体X. 现在要检验E(X)是否为32.5.
如何处理这两者的关系？假设检验面 对的就是这种矛盾.ຫໍສະໝຸດ Baidu
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下面，就来讨论这个问题.
在正常生产条件下，由于种种随机因素的 影响，每罐可乐的容量应在355毫升上下波动. 这些因素中没有哪一个占有特殊重要的地位. 因此，根据中心极限定理，假定每罐容量服从 正态分布是合理的.
这样，可以认为X1 ,L
,
X
是取自正态总
还是系统误差. 为给出两者 界限，找一检验统计量T， 在H0成立下其分布已知.）
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求解参数假设检验问题的步骤
1、根据实际问题的要求，提出原假设 H0 及备选假设.H1
2、给出显著水平 ，选择合适的统计量，
确定拒绝域. 3、根据样本值，求出检验统计量的值. 4、作出决策.
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假设检验的分类
按照检验所用的统计量的分布, 分为
种错误. (1)将假药误作真药，则冒着伤害病人的健 康甚至生命的风险. (2)将真药误作假药，则冒着造成经济损失 的风险.
显然，犯错误(1)比犯错误(2)的后果 很严重. 所以选取
H0:药品为假，H1 : 药品为真
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•关于假设
如果在两类错误中，没有那一类错误 的后果更严重而需要避免时，常常取H0为 维持现状，即取H0为“无效益”、“无改 进”、“无价值”等等. 例如：
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不否定H0并不是肯定H0一定对，而只 是说差异还不够显著，还没有达到足以否 定H0的程度 . 所以假设检验又叫 “显著性检验”
如果显著性水平取得很小，则拒绝
域也会比较小. 其产生的后果是: H0难于
被拒绝. 如果在α很小的情况下H0仍被拒
绝了，则说明实际情况很可能与之有显著 差异.
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例1
某工厂生产的一种螺钉，标准要求长
量的值X1, X2 ,L , Xn ,根据这些值来判断生 产是否正常.
如发现不正常，就应停产，找出原因， 排除故障，然后再生产；如没有问题，就继 续按规定时间再抽样，以此监督生产，保证 质量.
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很明显，不能由n 罐容量的数据，在 把握不大的情况下就判断生产不正常，因 为停产的损失是很大的.
当然也不能总认为正常，有了问题不 能及时发现，这也要造成损失.
k
,
n
也就是说,事件“|
U
|
z
”2
2
2
是一个小概率事件.
由标准正态分布的上分位点的定义知:
k z 2 ,
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故可以取拒绝域为 W： | U | z 2
如果由样本值算得该统计量的实测值落
入区域W，则拒绝H0 ；否则，不能拒绝H0 .
这是因为，如果H0 是对的，那么衡量差 异大小的某个统计量落入区域 W(拒绝域) 是 个小概率事件. 如果该统计量的实测值落入 W，也就是说， H0 成立下的小概率事件发生 了, 那么就认为H0不可信而否定它. 否则就不 能否定H0 （只好接受它）.
称为检验统计量. 显著水平
控制 P (拒绝H0 | H0为真 ) 中的 称为检验的显著水平.
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•假设检验 —基本概念
拒绝域 使原假设H0被拒绝的样本观测值所
组成的区域称为检验的拒绝域. 接受域
保留原假设H0的样本观测值所组成 的区域称为检验的接受域.
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•假设检验 —基本概念
显著性检验 只对犯第一类错误的概率加以控制，
t 2(5) t0.005(5) 4.0322,
使
P{| t | t 2(5)} 2
2
即“ | t | t 2(5)”
是一个小概率事件 .
x
o k t 2 n 1
小概率事件在
得拒绝域 W: |t |>4.0322 一次试验中基
本上不会发生
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拒绝域 W: |t |>4.0322
第四步 将样本值代入算出统计量 t 的 实测值,
已知 X~ N (, 2 ), 2 未知.
第一步 提出原假设和备择假设
H0 : 32.5 H1 : 32.5
第二步 取一检验统计量，在H0成立下 求出它的分布
能衡量差
异大小且 分布已知
t X X 32.5 ~ t(5)
Sn S6
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第三步 对给定的显著性水平 =0.01,查
表确定临界值.
如果H0不成立，但统计量的实测值未 落入否定域，从而没有作出否定H0的结论, 即接受了错误的H0，那就犯了“取伪”的 错误 .
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•假设检验的两类错误
假设检验的两类错误
实际情况
决定
拒绝H0 接受H0
H0为真 第一类错误
正确
H0不真 正确
第二类错误
犯两类错误的概率
P{第一类错误}= P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{第二类错误}= P{接受H0|H0不真}= .
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•假设检验的两类错误
显著性水平 为犯第一类错误的概率.
两类错误是互相关联的， 当样本容量 固定时，一类错误概率的减少导致另一类 错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率, ，或 者要在 不变的条件下降低 ，需要增加
样本容量.
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•关于假设
代入 =1.2, n=30，
并由样本值计算得统计
{U u0.01}是
一小概率事件
量U的实测值
U 检验 t 检验
2 检验
用正态分布
用 t 分布 用 2 分布
F 检验 用 F分布
按照对立假设的提法，分为 双侧检验 它的拒绝域取在两侧
单侧检验 它的拒绝域取在左侧或右侧
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例2
某织物强力指标X的均值0=21公斤. 改
进工艺后生产一批织物，今从中取30件，测 得 X=21.55公斤. 假设强力指标服从正态分
假设其中真有99个白球， 摸出红球的概率只有1/100， 这是小概率事件. 小概率事件在一次试验中竟然发生了，不 能不使人怀疑所作的假设. 这个例子中所使用的推理方法，可以称为 带概率性质的反证法 不妨称为概率反证法.
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小概率事件原理
小概率事件在一次试验中基本上不会发生
它不同于一般的反证法 一般的反证法要求在原假设成立的条件 下导出的结论是绝对成立的，如果事实与之 矛盾，则完全绝对地否定原假设. 概率反证法的逻辑是：如果小概率事件 在一次试验中居然发生，我们就以很大的把 握否定原假设.
n
体N (, 2 )的样本. 且设是已知常数.
12
现在要检验的假设是：
H0 : 0 (0 355),
它的对立假设是：
H1 : 0,
在实际工作中， 往往把不轻易 否定的命题作 为原假设.
称H0为原假设（或零假设）； 称H1为备选假设（或对立假设）. 那么，如何判断原假设H0 是否成立呢？
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H0 : 新技术未提高效益，H1 : 新技术提高效益.
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•假设检验 —基本概念
原 把需要检验的
假 假设称为原假
关于总体
假 设
分布的某 个命题
设 设，记为H0.
备 在拒绝原假设后,可供 择 选择的一个命题称为
假 备择假设,它是原假设
设 的对立假设，记为H1.
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•假设检验 —基本概念
检验统计量 用于判断原假设成立与否的统计量
由于是正态分布的期望值，它的估计量是
样本均值X，因此可以根据X与0的差距
X 0 来判断H0 是否成立.
当
X
0
较小时，可以认为H
是成立的；
0
当
X
0
较大时，应该认为H
不成立的，
0
即生产已不正常.
较大、较小是一个相对的概念，合理的
界限在何处？应由什么原则来确定？
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问题是：如何给出这个量的界限？
在原假设为真时， U @X 0 : N 0,1 ,
布N(, 2), 且已知 =1.2公斤， 问在显著性 水平 =0.01下，新生产织物比过去的织物
强力是否有提高?
解 提出假设:
H0 : 21, H1 : 21.
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取统计量 U X 21 ~ N (0,1)
n
确定k，使得
P
X
21 n
k
,
k z
o k z x
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拒绝域为 W : U u0.01 =2.33
n
且 x x 0 应该较小.
而衡量
x
0
的大小，可归结为衡量
x
0
n
的大小.
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选择适当的正数k, 使样本的观察值x满足
x 0 n
k时，就拒绝原假设H
；
0
反之，若样本的观察值 x满足
x 0 n
k时，就接受原假设H0 .
怎样求数 k 呢？
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给定一个很小的数：0 1, 使得
P
X
而不考虑犯第二类错误的概率的检验.
双边假设检验
显著性检验 单边假设检验
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提出 假设
总 结
抽取 样本
P(T W)=
-----犯第一
类错误的概率， W为拒绝域
根据统计调查的目的, 提出 原假设H0 和备选假设H1
检验 假设
显著性 水平
作出 决策
拒绝还是不 能拒绝H0
对差异进行定量的分析， 确定其性质(是随机误差