抛物线的参数方程

(2 pt12 ,2 pt1),(2 pt22 ,2 pt2 )(t1 t2 ,且t1 t2 0)则



OM (x, y),OA (2 pt12 ,2 pt1),OB (2 pt22 ,2 pt2 )

AB (2 p(t22 t12 ),2 p(t2 t1))

M
1M
所在直线的斜率是
2
(
c
)
A、t1 t2 ,
B、t1 t2
C、 1 , Hale Waihona Puke Baidu1 t2
D、 1 t1 t2
解：由于M
1
,
M
两点对应的参数方程分
2
别是t1和t2，则可得点M
1和M
的坐标分别为
2
M1(2 pt12 ,2 pt1 ), M 2 (2 pt22 ,2 pt2 )
kM1M 2

2 pt1 2 pt12
2 pt2 2 pt22

1 t1 t2
例3、如图O是直角坐标原点，A, B是抛物线 y2 2 px( p 0)上异于顶点的两动点，且 OA OB,OM AB并于AB相交于点M，求点 M的轨迹方程。
y A M
o
x B
解：根据条件，设点M , A, B的坐标分别为(x, y)
y( y) 2 p x 0 x
即x2 y2 2 px 0(x 0) 这就是点M的轨迹方程
探究： 在例3中，点A, B在什么位置时，AOB的面积 最小？最小值是多少?
由例3可得
OA＝ (2 pt12 )2 (2 pt1)2 2 p t1 t12 1
OB (2 pt22 )2 (2 pt2 )2 2 p t2 t22 1 所以，AOB的面积为
即t1
t2


y x
(x

0)................................(9)

因为 AM (x 2 pt12 , y 2 pt1),

MB (2 pt22 x,2 pt2 y)且A, M , B三点共线，
所以(x 2 pt12 )(2 pt2 y) (2 pt22 x)(y 2 pt1) 化简，得y(t1 t2 ) 2 pt1t2 x 0...............(10) 将(8),(9)代入(10),得到
示抛物线。参数t表示抛物线上除顶点外的任意
一点与原点连线的斜率的倒数。
思考：怎样根据抛物线的定义选取参数， 建立抛物线设抛物线的普通方程为 x2 2 py( p 0)的参数方程?
1、若曲线x 2 pt2 (t为参数)上异于原点的不同 y 2 pt
两点M1，M 2所对应的参数分别是t1,t2,则弦


因为OA OB,所以OAOB 0,即
(2 pt1t2 )2 (2 p)2 t1t2 0, 所以t1t2 1...........(8)



因为OM AB,所以OM OB 0,即
2 px(t22 t12 ) 2 py(t2 t1) 0
所以x(t1 t2 ) y 0,

2p
tan2
2p
tan
(为参数）
这就是抛物线(5)(不包括顶点)的参数方程
如果令t 1 ,t (,0) (0,),则有
tan
x

2
pt
2
(t为参数)
y 2 pt
当t 0时，由参数方程表示的点正好就是抛物线
的顶点(0,0)因此当t (,)时，参数方程就表
2、设M为抛物线y2 2x上的动点，给定点 M 0 (1,0)，点P为线段M 0M的中点，求点 P的轨迹方程。
3、抛物线的参数方程
y
M(x,y)

o
x
设抛物线的普通方程为y2 2 px...........(5)
因为点M在的终边上，根据三角函数的
定义可得 y tan..................................(6)
x
由(5),(6)解出x,
y，得到x

y
SAOB 2 p2 t1t2 (t12 1) (t22 1)
2p2
t12

t
2 2

2

2
p2
(t1 t2 )2 4 4 p2
当且仅当t1 t2，即当点A, B关于x轴对称时，
AOB的面积最小，最小值为4 p2.
小节： 1、抛物线的参数方程的形式 2、抛物线参数的意义