高考数学复习数列与数学归纳法汇编

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高考数学复习第七章数列与数学归纳法专题探究课三高考中数列不等式证明的热点题型理市赛课公开课一等奖省名

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≤|a2n－a2n－1|＋|a2n－1－a2n－2|＋…＋|an＋1－an| ≤13232n－2＋232n－3＋…＋23n－1 ＝23n－1－232n－1 ≤23－233＝1207. 综上，|a2n－an|≤1207.15 分(得分点 4)
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❶得步骤分：抓住得分点步骤，“步步为营”，求得满分.如(1)中，归纳猜测得2分；用数学归纳法证实得3分，第(2)放缩法证实结论得5分等.
殊到普通结论成立问题.所以，能够在数列不等式证实中大显身手.
【例 1】 (满分 15 分)(2018·绍兴检测)已知数列{an}满足，a1＝1，an＝an1＋1－12. (1)求证：23≤an≤1； (2)求证：|an＋1－an|≤13； (3)求证：|a2n－an|≤1207.
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满分解答证明 (1)由已知得 an＋1＝an＋1 12，又 a1＝1，则 a2＝23，a3＝67，a4＝1149，猜想23≤an≤1.2 分(得分点 1) 下面用数学归纳法证明. ①当 n＝1 时，命题显然成立； ②假设 n＝k 时，有23≤ak≤1 成立，
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(2)证明因为 a1>2，可用数学归纳法证明：an>2 对任意 n∈N*恒成立. 于是 an＋1－an＝a2n－1<0，即{an}是递减数列. 在 Sn≥na1－13(n－1)中，令 n＝2，得 2a1＋a21－1＝S2≥2a1－13，解得 a1≤3，故 2<a1≤3. 下证：①当 2<a1≤73时， Sn≥na1－13(n－1)恒成立. 事实上，当 2<a1≤73时，由于 an＝a1＋(an－a1)≥a1＋2－73＝a1－13，
(3)证明由(2)可得 an＝32n1＋1≥32n＋132n－1＝2523n－1. 所以 Sn≥25＋25·231＋…＋25·23n－1 ＝651－23n，故 Sn≥651－23n成立．

北大附中高考数学专题复习数列、极限、数学归纳法(上)

学科：数学教学内容：数列、极限、数学归纳法(上)【考点梳理】一、考试内容1.数列，等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式。

2.等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。

3.数列的极限及其四则运算。

4.数学归纳法及其应用。

二、考试要求1.理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项和。

2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能够应用这些知识解决一些问题。

3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题。

4.了解数列极限的定义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限。

5.了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题。

三、考点简析1.数列及相关知识关系表2.作用地位（1）数列是函数概念的继续和延伸，是定义在自然集或它的子集{1,2,…,n}上的函数。

对于等差数列而言，可以把它看作自然数n的“一次函数”，前n项和是自然数n的“二次函数”。

等比数列可看作自然数n的“指数函数”。

因此，学过数列后，一方面对函数概念加深了了解，拓宽了学生的知识范围；另一方面也为今后学习高等数学中的有关级数的知识和解决现实生活中的一些实际问题打下了基础。

（2）数列的极限这部分知识的学习，教给了学生“求极限”这一数学思路，为学习高等数学作好准备。

另一方面，从数学方法来看，它是一种与以前学习的数学方法有所不同的全新方法，它有着现代数学思想，它把辩证唯物主义的思想引进了数学领域，因而，学习这部分知识不仅能接受一种新的数学思想方法，同时对培养学生唯物主义的世界观也起了一定的作用。

（3）数学归纳法是一种数学论证方法，学生学习了这部分知识后，又掌握了一种新的数学论证方法，开拓了知识领域，学会了新的技能；同时通过这部分知识的学习又学到一种数学思想。

学好这部分知识，对培养学生逻辑思维的能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有很好的效果。

高考数学汇编数列与数学归纳法汇编

数列与数学归纳法一、填空题（杨浦区2013文理）1. 计算：=+∞→133lim nnn ．1 1. 计算：210lim 323x n n →∞++= 3.4、已知{}n a 是公比为2的等比数列，若316a a -=，则n a a a +++ 21=221-+n(2014年1月青浦)各项为实数的等比数列中7191,8a a =-=-，则13a =(2014年1月青浦)已知lim(1)1nn q →∞-=，则实数q 的取值范围是 11q -<< ．221lim 2n n n n →∞+=-____12_______. 已知数列{}n a 中，11a =，*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___32n -________.5．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ．若11a =，35a =，64n S =，则n = 8 ．10、数列()*241N n a a n n ∈+-=+，如果{}n a 是一个等差数列，则=1a 3 6. 如果()1111112312n f n n n =++++++++(*n N ∈)那么()()1f k f k +-共有28项. 4．已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________．158．若等差数列{}n a 的首项为2，公差为)0(≠d d ，其前n 项和n S 满足：对于任意的*∈N n ，都有nnS S 2是非零常数．则=d ．4 8．若公差为d 的等差数列{}n a 的项数为奇数，11=a ，{}n a 的奇数项的和是175，偶数项的和是150，则=d ．410．函数xa y =（0>a ,1≠a ）的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛41,2P ，则=+++∞→)(lim 2nn a a a ______1 11．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且55S a =，则=2014S ________05、数列{}n a 满足*,5221...2121221N n n a a a n n ∈+=+++，则=n a ⎩⎨⎧≥=+.2,21,141n n n 11、已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,b a ,且,511=+b a,,11N b a ∈设),(N n a c n b n ∈=则数列{}n c 的前10项和等于____85__.（虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科）8、已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1a 与5a 的等比中项为2，则42a a +的最小值等于．412、已知数列{a n }(n *N ∈)的公差为3，从{a n }中取出部分项（不改变顺序）a 1,a 4,a 10,…组成等比数列，则该等比数列的公比是 . 答案：（文）2；4．已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________．1510．若nn r r ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→12lim 存在，则实数r 的取值范围是_____________⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+---∞,31]1,( 14．某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、n 级分形图．则n 级分形图的周长为__________．1343-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n14、定义：{}123min ,,,,n a a a a 表示123,,,,n a a a a 中的最小值．若定义()f x ={}2min ,5,21x x x x ---，对于任意的n *∈N ，均有(1)(2)(21)(2)()f f f n f n kf n +++-+≤成立，则常数k 的取值范围是]0,21[-．13．给出下列等式：233321=+，23336321=++，23333104321=+++，…，现设23333321n a n =+⋅⋅⋅+++（*∈N n ，2≥n ），则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++∞→n n a a a 111lim 32 【 C 】图（1）图（2）图（3）……A ．4B ．2C ．1D ．0二、选择题(2014年1月青浦)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足15160,0,S S 则3151212315,,,,S S S S a a a a 中最大的项为（C ） A.66S a B.77S a C.88S a D.99S a 13．给出下列等式：233321=+，23336321=++，23333104321=+++，…，现设23333321na n =+⋅⋅⋅+++（*∈N n ，2≥n ），则=∞→nn a n 2lim 【 C 】A ．0B ．1C ．2D ．4（虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科）17、在n n n C B A ∆中，记角n A 、n B 、n C 所对的边分别为n a 、n b 、n c ，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边1+=n a n ，则=∞→n n C lim （）．B.A 2π .B 3π .C 4π .D 6π18、**设双曲线22*(1)1()nx n y n N -+=∈上动点P 到定点(1,0)Q 的距离的最小值为n d ，则lim n n d →+∞的值为（）A（A （B ）12（C ） 0 （D ）1三、解答题（虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科）21、（本题满分14分）数列{}n a 是递增的等差数列，且661-=+a a ，843=⋅a a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值；（3）求数列{}n a 的前n 项和n T ．21、（14分）解：（1）由⎩⎨⎧=⋅-=+864361a a a a ⎩⎨⎧=⋅-=+⇒864343a a a a ，得3a 、4a 是方程0862=++x x 的二个根， 21-=x ，42-=x ，此等差数列为递增数列，∴43-=a ，24-=a ，公差2=d ，81-=a ．102-=∴n a n（2） n n a a n S n n 92)(21-=+=，481)29(2--=n S n ， ∴20)(54min -===S S S n（3）由0≥n a 得0102≥-n ，解得5≥n ，此数列前四项为负的，第五项为0，从第六项开始为正的．当51≤≤n 且*∈N n 时，n n S a a a a a a T n n n n 9)(22121+-=-=+++-=+++= ．当6≥n 且*∈N n 时，5652165212)()(S S a a a a a a a a a a T n n n n -=++++++-=++++++= 4092+-=n n ．22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分，第三小题满分6分.设无穷数列{a n }的首项a 1=1,前n 项和为S n (*n N ∈),且3tS n -(2t+3)S n-1（*n N ∈，n ≥2)(t 是与n 无关的正实数）（1）求证：数列{a n }（*n N ∈）为等比数列；（2)记数列{a n }的公比为f(t),数列{b n }满足b 1=1,b n =f(1b 1-n )（*n N ∈，n ≥2),设C n =b 2n-1b 2n -b 2n b 2n+1,求数列.（3）若（2）中数列{Cn}的前n 项和T n 当*n N ∈时不等式a ≤n T 恒成立，求实数a的取值范围。

高中数学的归纳数列与数学归纳法总结

高中数学的归纳数列与数学归纳法总结数学归纳法是高中数学中一个重要的思维工具和证明方法，常用于证明关于自然数的命题。

而归纳数列则是通过数学归纳法得出的一种特殊数列。

本文将对高中数学中的归纳数列与数学归纳法进行总结和讨论。

一、数学归纳法（Mathematical Induction）数学归纳法是一种重要的证明方法，一般用于证明递推关系式或命题在整数集上的成立。

其基本思想是：首先证明当n等于某个特定值时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，从而得出当n为任意自然数时命题都成立的结论。

使用数学归纳法时，一般需要按照以下步骤进行：1. 第一步，证明基础情况：证明当n等于某个特定值（通常是1或者0）时，命题成立。

2. 第二步，归纳假设：假设当n=k时命题成立，即前提条件下命题为真。

3. 第三步，归纳证明：在假设前提下，证明当n=k+1时命题也成立。

4. 第四步，综合：由步骤2和步骤3，得出当n为任意自然数时命题都成立的结论。

数学归纳法的有效性建立在数学归纳法原理的基础上，即若命题关于自然数集N上的某个命题是真的，且若对于自然数n∈N，当命题对n成立时命题对n+1亦成立，则该命题对于自然数集N上的每一个自然数都成立。

二、归纳数列（Recursive Sequence）归纳数列是通过数学归纳法得到的一类特殊数列。

在定义归纳数列时，通常需要给出首项和递推关系式。

以斐波那契数列为例，斐波那契数列是一个典型的归纳数列。

其递推关系式为F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1) = 1，F(2) = 1为其前两项。

通过数学归纳法，可以证明斐波那契数列的每一项都可以由前两项求得。

归纳数列在数学和实际问题中有着重要的应用。

通过找到递推关系式和初始条件，我们可以计算出序列中的任意一项的值，从而解决各类问题。

三、应用与拓展除了归纳数列之外，数学归纳法还有着广泛的应用。

在高中数学中，我们常常使用数学归纳法证明数列递推公式、不等式、等式以及各种数学关系的成立。

数列与数学归纳法知识梳理

数列与数学归纳法知识梳理1、等差数列（1）定义：若数列{n a }从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则{n a }叫等差数列。

（2）通项公式：d n a a n )1(1-+=，任意两项的关系式：d m n a a m n)(-+=。

性质：若m+n ＝p+q ，则),,,(,*N ∈+=+q p n m a a a a q p n m（3）等差中项：若a 、b 、c 成等差数列，则b 称a 与c 的等差中项，且b=2c a +； a 、b 、c 成等差数列是2b=a+c 的充要条件。

（4）前n 项和：S n =2)(1n a a n +=1na +2)1(-n n d （强调倒序相加法）（5）已知三个数成等差数列时，则三个数可设为d a a d a +-,,（6）证明等差数列的方法：①用定义：只需证d a a n n =-+1常数；②用中项性质：只需证212+++=n n n a a a （7）{}n a 是等差，n S 是其前n 项和，k k k k k S S S S S 232,,-- （*N k ∈）成等差数列。

2、等比数列（1）定义：数列{n a }从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个非零常数q 的数列称作等比数列。

常数q 叫公比。

（2）通项公式：11-=n n q a a （q ≠0）任意两项的关系式：m n m nq a a -= 性质：若m+n ＝p+q ，则),,,(,*N ∈⨯=⨯q p n m a a a a q p n m（3）等比中项：若a 、b 、c 成等比数列，则b 为a 、c 的等比中项，且b=±ac . （4）前n 项和S n =⎪⎩⎪⎨⎧≠≠--=--=).10(11)1(),1(111q q q q a a q q a q na n n 且（5）已知三个数成等比数列时，则三个数可设为q a 、a 、aq （6）证明等比数列的方法：①用定义：只需证nn a a 1+=非零常数；且首项非零。

高中数学知识点归纳数学归纳法与递归数列

高中数学知识点归纳数学归纳法与递归数列高中数学知识点归纳：数学归纳法与递归数列数学归纳法和递归数列是高中数学中非常重要的知识点，它们在解决数列、证明问题以及推理推广中发挥着重要的作用。

下面将对数学归纳法与递归数列进行归纳总结，以帮助同学们更好地掌握和应用这两个概念。

一、数学归纳法数学归纳法是一种用于证明以及构造数学问题解决方案的重要方法。

它分为三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳推理。

基础步骤：首先，我们需要证明当n取某个特定值时，命题成立。

这个特定值通常是一个自然数，比如n = 1 或 n = 0。

通过验证这个基础步骤，我们确保了对于第一个自然数命题成立。

归纳假设：接下来，我们假设当n = k时，命题成立，其中k是一个正整数。

这个假设被称为“归纳假设”。

归纳推理：最后，我们需要证明当n = k+1时，命题也成立。

这一步通常是通过使用归纳假设，并根据命题的规律进行推理得出的。

通过这样的步骤，我们可以推广这个命题对于所有自然数n成立的结论。

数学归纳法在证明数学命题中使用广泛，特别是在数列和等式的证明中。

二、递归数列递归数列是指一个数列的每一项都是前面一些项的函数。

通常，递归数列的第一项和第二项是已知的，而后面的项则通过递归关系得到。

常见的递归数列有斐波那契数列和阶乘数列。

1. 斐波那契数列：斐波那契数列的定义如下：F(0) = 0F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2), n≥2斐波那契数列的特点是每一项都是前两项的和。

通过递归关系，我们可以计算出任意一项的值。

2. 阶乘数列：阶乘数列的定义如下：n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1阶乘数列的特点是每一项都是前一项与当前项的乘积。

通过递归关系，我们可以计算出任意一项的值。

递归数列在数学中具有重要的应用，例如在组合数学、概率论以及计算机科学等领域有广泛的应用。

综上所述，数学归纳法和递归数列是高中数学中重要的知识点。

高考数学数列与数学归纳法复习指南掌握数列的性质和数学归纳法的应用

高考数学数列与数学归纳法复习指南掌握数列的性质和数学归纳法的应用高考数学数列与数学归纳法复习指南在高考数学考试中，数列及其相关的数学归纳法是重要的考点之一。

正确掌握数列的性质以及数学归纳法的应用，对于顺利解答高考数学题目至关重要。

本文将为大家提供一份高考数学数列与数学归纳法复习指南，帮助大家全面理解和掌握该知识点。

一、数列的基本概念数列是指按照一定规律排列的一系列数的集合。

数列中的每一个数称为项，用an表示。

根据数列的规律可以分为等差数列、等比数列、递推数列等多种类型。

1. 等差数列在等差数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之差都是一个常数d，该常数称为公差。

等差数列可以使用通项公式an=a1+(n-1)d来表示，其中a1为首项，n为项数。

2. 等比数列在等比数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之比都是一个常数q，该常数称为公比。

等比数列可以使用通项公式an=a1*q^(n-1)来表示，其中a1为首项，n为项数。

3. 递推数列递推数列是指前一项与后一项之间存在递推关系的数列。

递推数列通常需要通过已知条件和递推关系求解。

二、数列的性质1. 数列的有界性如果数列中的所有项都在某一范围内，那么这个数列就是有界的。

有界数列可以是上有界、下有界或者同时上下有界的。

2. 数列的单调性如果数列中的每一项与它的前一项相比，满足某种单调关系（递增或递减），那么这个数列就是单调的。

3. 数列的极限数列的极限是指随着项数无限增加，数列逐渐趋于某个稳定的值。

数列可能存在极限，也可能不存在极限。

三、数学归纳法的应用数学归纳法是一种常用的证明方法，特别适用于证明关于正整数的命题。

它分为三个步骤：证明基本事实、假设条件、进行归纳推理。

1. 数学归纳法的基本思想数学归纳法的基本思想是：首先证明当n取某个固定的值时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，通过这个假设证明当n=k+1时命题也成立。

通过归纳假设，证明了当n取任意正整数值时命题成立。

高考数学一轮总复习数列与数学归纳法的典型题型

高考数学一轮总复习数列与数学归纳法的典型题型高考数学一轮总复习：数列与数学归纳法的典型题型在高考数学中，数列与数学归纳法是一个重要的考点。

掌握这部分知识点，不仅可以解决与数列相关的各种问题，还能够培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

本文将针对数列与数学归纳法的典型题型展开论述。

一、数列的定义与分类数列是按照一定规律排列的数的集合，常用的数列有等差数列、等比数列和等差等比数列等。

等差数列是指一个数列中的每一项与前一项之间差值相等，而等比数列则是指一个数列中的每一项与前一项之间的比值相等。

等差等比数列则是等差数列和等比数列的组合。

数列的通项公式是计算数列中任意一项的公式，通过观察数列的规律可以得到其通项公式，进而可以求解数列中的各项。

二、数列的性质和应用1. 等差数列的性质和应用对于等差数列，我们可以利用其通项公式推导出多项求和公式，从而能够快速计算数列中的各项之和。

此外，通过等差数列的性质，我们还能够解决一些实际问题，如利用等差数列求解速度、距离等问题。

2. 等比数列的性质和应用等比数列同样具有一些重要的性质和应用。

我们可以利用等比数列的通项公式计算数列各项，也可以通过等比数列的性质解决一些实际问题，如利用等比数列解决增长、衰变等问题。

三、数学归纳法的基本原理和应用数学归纳法是一种重要的证明方法，它通过证明一个命题在某个情况下成立，再证明它在下一个情况下也成立，从而推断该命题对于所有情况都成立。

数学归纳法的基本步骤如下：1. 基础步骤：证明命题在第一个情况下成立。

2. 归纳假设：假设命题在某个情况下成立。

3. 归纳步骤：证明命题在下一个情况下也成立。

数学归纳法常用于数列的证明和求和问题。

我们可以利用数学归纳法证明数列的通项公式，也可以利用数学归纳法求解数列的各项之和。

四、数列与数学归纳法的典型题型举例1. 证明等差数列的通项公式利用数学归纳法证明等差数列的通项公式是一个经典的例子。

我们首先证明等差数列的首项成立，再假设等差数列的第n项成立，通过归纳步骤证明第n+1项也成立。

数学高考重点数列与数学归纳法的应用与题型解析

数学高考重点数列与数学归纳法的应用与题型解析数学高考中，数列与数学归纳法是重点内容之一。

掌握数列的性质和数学归纳法的应用对于解题至关重要。

本文将对数学高考中的数列和数学归纳法进行应用与题型解析。

一、等差数列和等比数列的性质1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列。

等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

等差数列有以下性质：（1）前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2。

（2）常见题型：已知首项和公差，求第n项的值；已知首项和前n 项和，求公差。

2. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列。

等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

等比数列有以下性质：（1）前n项和公式（当r ≠ 1时）：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)。

（2）常见题型：已知首项和公比，求第n项的值；已知首项和前n 项和，求公比。

二、斐波那契数列的应用斐波那契数列是一种特殊的数列，其前两项为1，后续项为前两项之和。

斐波那契数列的通项公式为an = an-1 + an-2。

斐波那契数列在高考中经常以应用题的形式出现，例如跳台阶、青蛙跳等问题。

掌握斐波那契数列的递推关系，能够解决这类问题。

三、数学归纳法的应用数学归纳法是一种证明方法，用于证明对于所有自然数n成立的命题。

数学归纳法包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。

1. 基础步骤：证明当n取某个特定值时，命题成立。

通常通过计算或举例的方式来完成。

2. 归纳步骤：假设当n=k时，命题成立，即假设命题对于某个自然数k成立。

然后利用这个假设，证明当n=k+1时，命题也成立。

数学归纳法在高考中常被用于证明等式或不等式的成立，例如证明等差数列的通项公式或求和公式。

四、题型解析1. 选择题：（1）已知数列的首项和公差，求该数列的第n项的值。

高考数学一轮总复习数列与数学归纳法

高考数学一轮总复习数列与数学归纳法高考数学一轮总复习：数列与数学归纳法数列是数学中的一个重要概念，在高中数学中有着广泛的应用。

数学归纳法是解决数列问题的一种有效方法。

在高考数学一轮总复习中，掌握好数列与数学归纳法的相关知识点对于正确解答问题至关重要。

本文将重点探讨数列及其性质，并结合数学归纳法的应用，帮助同学们更好地备考。

一、数列的概念及性质数列是按照一定规律排列的一系列数值的集合。

数列可以分为等差数列和等比数列两种常见形式。

其中，等差数列的每一项与它的前一项之差都相等，而等比数列的每一项与它的前一项之比也都相等。

对于等差数列，我们可以通过首项$a_1$和公差$d$来确定数列的通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$。

而等比数列则可以通过首项$a_1$和公比$q$来确定数列的通项公式$a_n=a_1q^{n-1}$。

除了常见的等差数列和等比数列，还有一些特殊的数列，如递增数列、递减数列、单调数列等等。

这些数列都有一定的性质，我们需要通过观察和分析数列中数字之间的关系来确定数列的性质。

二、数学归纳法在数列中的应用数学归纳法是一种证明数学命题的方法，其基本思想是通过证明当某一命题在某一项成立时，在下一项也成立，从而推导到所有项都成立。

在数列中，数学归纳法常常用于证明与数列相关的命题。

使用数学归纳法证明数列问题，一般分为三步走：首先，证明当$n=1$时命题成立；其次，假设当$n=k$时命题成立，即假设第$k$项满足命题的条件；最后，通过假设的前提，推导出第$k+1$项也满足命题的条件。

这样就建立起了数学归纳法的递推关系，从而可以证明所有项都满足命题。

三、数列及数学归纳法的综合应用在高考数学中，数列及数学归纳法常常与其他数学知识点相结合，进行综合应用。

例如，在函数与数列相结合的问题中，可以利用数学归纳法证明数列的某一性质，进而推导出函数的某一性质。

这种结合性的应用要求同学们能够熟练掌握数列及数学归纳法的基本概念和方法，能够快速准确地运用于解决问题。

版高考数学一轮总复习数列与数学归纳法典型题型分析

版高考数学一轮总复习数列与数学归纳法典型题型分析在高考数学中，数列与数学归纳法是一个非常重要的知识点。

准确地掌握数列的性质以及数学归纳法的运用方法，对于解答各类数学题目具有重要的指导作用。

本文将针对数列与数学归纳法的典型题型进行分析，并给出解题思路和方法。

一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列的一列数。

2. 数列的表示方法：通项公式或递推公式。

3. 数列的性质：等差数列、等比数列、等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式等。

二、数列的应用1. 等差数列：寻找等差数列的通项公式和前n项和公式，解决与等差数列相关的各类问题。

2. 等比数列：寻找等比数列的通项公式和前n项和公式，解决与等比数列相关的各类问题。

3. 递推数列：寻找数列的递推关系，解决与递推数列相关的各类问题。

三、数学归纳法的基本思想与运用1. 数学归纳法的基本思想：证明一个命题在自然数范围内成立的方法。

2. 数学归纳法的步骤：基础步骤、归纳假设和归纳证明。

3. 数学归纳法在数列中的应用：利用数学归纳法证明数列的性质、递推公式等。

四、典型题型分析与解题思路1. 求等差数列的通项公式和前n项和公式：通过观察等差数列的规律，寻找通项公式和前n项和公式。

2. 求等比数列的通项公式和前n项和公式：通过观察等比数列的规律，寻找通项公式和前n项和公式。

3. 利用数学归纳法证明数列的性质：首先通过观察数列的规律猜测数列性质，然后使用数学归纳法证明其正确性。

4. 利用数学归纳法证明数列的递推公式：通过观察数列的递推关系猜测递推公式，然后使用数学归纳法证明其正确性。

通过对高考数学中数列与数学归纳法的典型题型进行分析，我们可以看出这些题型的解答方法主要是通过观察规律，寻找通项公式和前n 项和公式，利用数学归纳法证明数列的性质和递推公式等。

只有掌握了这些解题方法，才能在考试中迅速准确地解答相关的题目。

总结起来，数列与数学归纳法是高考数学中的重要知识点，需要我们熟练掌握其中的概念、性质和应用方法。

数学高考数学中的数列与数学归纳解题方法总结

数学高考数学中的数列与数学归纳解题方法总结数学是高考中最重要的科目之一，其中数列与数学归纳是数学题中常见的解题方法。

在本文中，我们将对数学高考中的数列与数学归纳解题方法进行总结与讨论。

一、数列的基本概念数列是由一系列数按照一定规律排列而成的，通常用数学符号表示为{an}或{a1，a2，a3，...}。

其中，an代表数列中的第n个数。

二、数列的分类数列可以分为等差数列、等比数列和通项公式数列等等。

对于不同类型的数列，解题的方法也有所差异。

1. 等差数列等差数列的特点是每相邻两项之间的差值保持不变，常用的解题方法是找出公差d，然后运用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d进行计算。

2. 等比数列等比数列的特点是每相邻两项之间的比值保持不变，常用的解题方法是找出公比q，然后运用等比数列的通项公式an=a1*q^(n-1)进行计算。

3. 通项公式数列除了等差数列和等比数列之外，还有一些特殊的数列，它们的通项公式需要通过观察数列的规律来确定。

解题时需要注意观察数列中数字之间的关系，然后推导出通项公式。

三、数学归纳法数学归纳法是一种常用的解题方法，它通过找到数列的规律，然后进行数学归纳来解决问题。

1. 递推关系在用数学归纳法解题时，首先需要找到数列中相邻的两项之间的递推关系。

通过观察数列中数值的变化，可以推测出相邻两项之间的关系式。

2. 归纳假设在数学归纳法中，需要假设前n项成立。

即假设当n=k时，命题成立。

然后通过归纳步骤证明当n=k+1时，命题也成立。

3. 归纳证明归纳证明是通过证明当n=k成立的情况下，当n=k+1时也必然成立，从而证明命题对于所有自然数都成立。

通过以上的步骤，数学归纳法可以帮助我们解决一些复杂的数学问题，特别是那些涉及到数列的题目。

四、数列与数学归纳解题方法的综合应用在高考中，数列与数学归纳解题方法常常结合运用。

解题时，我们需要先确定数列的类型（等差数列、等比数列等），然后找出数列的递推关系和通项公式。

基于高考试题的复习资料——数列与数学归纳法.docx

一、高考考什么？［考试说明］1.了解数列的概念和表示方法(列表、图彖、公式)。

2.理解等差数列、等比数列的概念。

掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式及其应用。

3.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。

4.会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题。

5.会用数学归纳法证明一些简单的数学问题。

［重要公式］_/ S|(n = 1)1.数列中Q“和S“的关系式：67/1 _ | 5 -S (n > 2) *注意〃=1时的讨论。

2.等差数列的通项公式：a n = a A + (/? -1)J = + (/?-m)d刖n项和公式为：S” =——! ----- -- = na. + ------ dn 21 2中项的性质：2a fl =a n+i-\-a n_｝(n>2)下标和的性质：若/n + n = p + g ,贝ij：a m + a n = a p + a q片断和的性质:若数列｛a n｝为等差数列，则S n,S2n-S tt,S3n-S”,…也是等差数列3.等比数列的通项公式：％="广|=%.广用前n项的和公式为：S“ = HT)=生HE⑺北1),注意q = i的讨论。

\-q \-q中项的性质:a w2=a rt+1a rt_j(7i>2)；下标和的性质：若m + n = p + q,贝ij：a ni - a n - a p - a q 片断和的性质:若数列｛a n］为等比数列，则S”, S*-S”, S細- 52W，…也是等比数列4.数列求和：特殊数列求和，要点：考虑通项⑴可化为等差、等比数列，利用等差等比数列求和公式；⑵错位相消法：通项为等差、等比对应项相乘；(3)公式法:1 + 2 + 3 +…+ 〃 =寺+ 1)，1 + 3 + 5 +…+ (2/? — 1) = /?".⑷通项的绝对值求和：讨论通项的符号⑸拆项法：若仏」为等差数列，公差为d,则-—— ) Q”a”+i d ci n a”］① 1 亠丄72(72+ 1) n〃 + 1［全面解读］从考试说明來看，本章主要掌握等差数列、等比数列的概念、性质、通项公式与前n 项和公式，还有能转化为等差、等比数列问题的特殊递推数列，递推数列的教学与训练不宜过深。

高考复习指导讲义第四章数列极限数学归纳法

⾼考复习指导讲义第四章数列极限数学归纳法⾼考复习指导讲义第四章数列、极限、数学归纳法⼀、考纲要求 1.掌握：①掌握等差数列、等⽐数列的概念、通项公式、前n 项和公式；②能够运⽤这些知识解决⼀些实际问题；③掌握极限的四则运算法则. 2.理解：①数列的有关概念；②能根据递推公式算出数列的前⼏项；③会求公⽐的绝对值⼩1的⽆穷等⽐数列前n 项的极限. 3.了解：①了解递推公式是给出数列的⼀种⽅法；②了解数列极限的意义；③了解数学归纳法的原理，并能⽤数学归纳法证明⼀些简单问题. ⼆、知识结构(⼀)数列的⼀般概念数列可以看作以⾃然数集(或它的⼦集)为其定义域的函数，因此可⽤函数的观点认识数列，⽤研究函数的⽅法来研究数列。

数列表⽰法有：列表法、图像法、解析法、递推法等。

列表法：就是把数列写成a 1,a 2,a ……a n ……或简写成｛a n ｝，其中a n 表⽰数列第n 项的数值，n 就是它的项数，即a n 是n 的函数。

解析法：如果数列的第n 项能⽤项数n 的函数式表⽰为a n =f(n)这种表⽰法就是解析法，这个解析式叫做数列的通项公式。

图像法：在直⾓坐标系中，数列可以⽤⼀群分散的孤⽴的点来表⽰，其中每⼀个点(n,a n )的横坐标n 表⽰项数，纵坐标a n 表⽰该项的值。

⽤图像法可以直观的把数列a n 与n 的函数关系表⽰出来。

递推法：数列可以⽤两个条件结合起来的⽅法来表⽰：①给出数列的⼀项或⼏项。

②给出数列中后⾯的项⽤前⾯的项表⽰的公式，这是数列的⼜⼀种解析法表⽰称为递推法。

例如：数列2，4，5，529，145941…递推法表⽰为 a 1=2 其中a n+1=a n +na 4⼜称该数列 a n+1=an+na 4(n ∈N) 的递推公式。

由数列项数的有限和⽆限来分数列是有穷数列和⽆穷数列。

由数列项与项之间的⼤⼩关系来分数列是递增数列、递减数列、摆动数列以及常数列。

由数列各项绝对值的取值范围来分数列是有界数列和⽆界数列、通项公式是研究数列的⼀个关键，归纳通项公式是求数列通项公式的最基本⽅法，给出数列的前n 项，求这个数列的通项公式并不是唯⼀的，也并⾮所有的数列都能写出通项公式。

高中数学数列与数学归纳法知识点总结

高中数学数列与数学归纳法知识点总结
一、数列的概念和性质
- 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一列数。

- 数列的通项公式：可以用通项公式表示的数列的每一项都可以根据项的位置来计算。

- 等差数列：等差数列中的每一项与前一项之差都相等。

- 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，则第$n$项可以表示为$a_n=a_1+(n-1)d$。

- 等比数列：等比数列中的每一项与前一项之比都相等。

- 等比数列的通项公式：设等比数列的首项为$a_1$，公比为$q$，则第$n$项可以表示为$a_n=a_1q^{n-1}$。

二、数学归纳法
- 数学归纳法的基本思想：证明当$n=k$时某个命题成立，然后证明当$n=k+1$时该命题也成立。

由此可得出结论，该命题对于任意正整数$n$都成立。

- 数学归纳法的步骤：
1. 基础步骤：证明当$n=1$时，该命题成立。

2. 归纳假设：假设当$n=k$时，该命题成立。

3. 归纳步骤：利用归纳假设证明当$n=k+1$时，该命题也成立。

- 数学归纳法的应用：
- 证明数学等式或不等式。

- 证明数列的性质。

- 证明关于正整数的一般性质。

三、数列与数学归纳法的应用举例
1. 利用数学归纳法证明等差数列的通项公式。

2. 利用数学归纳法证明等比数列的通项公式。

3. 利用数列的性质证明等差数列和等比数列的性质。

4. 利用数学归纳法证明一些数学等式或不等式。

以上是关于高中数学数列与数学归纳法的一些知识点总结，希
望对你有帮助。

高考专题复习：数列与数学归纳法

⎪⎪⎪数列与数学归纳法第一节数列的概念与简单表示法1．数列的有关概念n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.4．数列的分类[小题体验]1．已知数列{a n}的前4项为12，34，78，1516，则数列{a n}的一个通项公式为________．答案：a n＝2n－12n(n∈N*)2．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a n2a n＋3，则a5等于________．答案：1 1613．(教材改编题)已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝3n－1，则a n＝________.答案：2×3n－11．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．3．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成a n＝S n－S n－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．[小题纠偏]1．已知S n是数列{a n}的前n项和，且S n＝n2＋1，则数列{a n}的通项公式是________．答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥22．数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋9n ，则该数列第________项最大．答案：4或5考点一由数列的前几项求数列的通项公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2019·温岭模拟)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 018项与5的差即a 2 018－5＝( )A ．2 017×2 024B ．2 017×1 012C ．2 018×2 024D ．2 018×1 012解析：选B 结合图形可知，该数列的第n 项为a n ＝2＋3＋4＋…＋(n ＋2)，所以a 2 018－5＝4＋5＋6＋…＋2 020＝2 017×(2 020＋4)2＝2 017×1 012.2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)(易错题)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…； (3)－1,7，－13,19, …； (4)9,99,999,9 999，….解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式a n ＝2(n ＋1)，n ∈N *. (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n ×1n (n ＋1)，n ∈N *.(3)这个数列，去掉负号，可发现是一个等差数列，其首项为1，公差为6，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)，n ∈N *.(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n －1，n ∈N *.[谨记通法]由数列的前几项求数列通项公式的策略(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1来调整．考点二由a n 与S n 的关系求通项a n (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式． (1)S n ＝n 2＋1； (2)S n ＝2n －a n .解：(1)a 1＝S 1＝1＋1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－(n －1)2－1＝2n －1，而a 1＝2，不满足此等式．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.(2)当n ＝1时，S 1＝a 1＝2－a 1，所以a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －a n )－[2(n －1)－a n －1]＝2－a n ＋a n －1，即a n ＝12a n －1＋1，即a n －2＝12(a n －1－2)．所以{a n －2}是首项为a 1－2＝－1，公比为12的等比数列，所以a n －2＝(－1)·⎝⎛⎭⎫12n －1，即a n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1.[由题悟法]已知S n 求a n 的 3个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．[即时应用]已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ；(2)若a n ＞0，S n ＞1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，求a n . 解：(1)a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1) ＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)] ＝(－1)n ＋1·(2n －1)，又a 1也适合此式，所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，即a 21－3a 1＋2＝0. 解得a 1＝1或a 1＝2.因为a 1＝S 1＞1，所以a 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝16(a n ＋1)(a n ＋2)－16(a n －1＋1)(a n －1＋2)，所以(a n －a n －1－3)(a n＋a n －1)＝0.因为a n ＞0，所以a n ＋a n －1＞0，所以a n －a n －1－3＝0，所以数列{a n }是以2为首项，3为公差的等差数列．所以a n ＝3n －1.考点三由递推关系式求数列的通项公式(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．常见的命题角度有： (1)形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n ； (2)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n ；(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n .[题点全练]角度一：形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式．解：∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)， ∴a n －1＝n －2n －1a n －2，a n －2＝n －3n －2a n －3，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立． ∴a n ＝1n (n ∈N *)．角度二：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n2．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．解：由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式， ∴a n ＝n 2＋n 2(n ∈N *)．角度三：形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n3．已知数列{a n }满足a 1＝1，当n ≥2，n ∈N *时，有a n ＝2a n －1－2，求数列{a n }的通项公式．解：因为a n＝2a n－1－2，所以a n－2＝2(a n－1－2)．所以数列{a n－2}是以a1－2＝－1为首项，2为公比的等比数列．所以a n－2＝(－1)×2n－1，即a n＝2－2n－1.[通法在握]典型的递推数列及处理方法[演练冲关]根据下列条件，求数列{a n}的通项公式．(1)a1＝1，a n＋1＝a n＋2n(n∈N*)；(2)a1＝1,2na n＋1＝(n＋1)a n(n∈N*)；(3)a1＝1，a n＝3a n－1＋4(n≥2)．解：(1)由题意知a n＋1－a n＝2n，a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.(2)由2na n＋1＝(n＋1)a n，得a n＋1a n＝n＋12n.所以a n＝a na n－1·a n－1a n－2·a n－2a n－3·…·a2a1·a1＝n2(n－1)·n－12(n－2)·n－22(n－3)·…·22×1×1＝n2n－1.(3)因为a n＝3a n－1＋4(n≥2)，所以a n＋2＝3(a n－1＋2)．因为a1＋2＝3，所以{a n＋2}是首项与公比都为3的等比数列．所以a n＋2＝3n，即a n＝3n－2.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·嘉兴七校联考)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋n ，则a 5＝( ) A ．25 B ．30 C ．10D ．12解析：选B 因为a n ＝n 2＋n ，所以a 5＝25＋5＝30.2．(2018·浙江三地联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝( )A ．2nB ．2n －1C ．2n －1－1D.⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ，n ≥2 解析：选B 由log 2(S n ＋1)＝n 可得S n ＝2n －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n－1－1)＝2n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝21－1＝1满足上式．所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1. 3．(2018·衢州模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，则数列{a n }的通项公式a n 为( )A.1n ＋1B.2n ＋1C.1nD.2n解析：选B 由a n ＋1＝2a n a n ＋2可得1a n ＋1＝a n ＋22a n＝1a n ＋12.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，公差为12的等差数列，所以1a n＝n ＋12，即a n ＝2n ＋1.4．(2018·诸暨模拟)已知数列{a n }中，对任意的p ，q ∈N *都满足a p ＋q ＝a p a q ，若a 1＝－1，则a 9＝________.解析：由题可得，因为a 1＝－1，令p ＝q ＝1，则a 2＝a 21＝1；令p ＝q ＝2，则a 4＝a 22＝1；令p ＝q ＝4，则a 8＝a 24＝1，所以a 9＝a 8＋1＝a 1a 8＝－1.答案：－15．(2019·杭州模拟)设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8＝________，a 2＋a 3＋a 4＝________.解析：因为S n ＝n 2，所以a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15，a 2＋a 3＋a 4＝S 4－S 1＝42－1＝15. 答案：15 15二保高考，全练题型做到高考达标1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A.(－1)n ＋12B ．cos n π2C ．cos n ＋12πD ．cos n ＋22π解析：选D 令n ＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确．2．(2019·天台模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ，且满足S n ＝2a n －3(n ∈N *)，则S 6＝( ) A ．192 B ．189 C ．96D ．93解析：选B 因为S n ＝2a n －3，当n ＝1时，S 1＝2a 1－3＝a 1，解得a 1＝3.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －3－2a n －1＋3＝2a n －2a n －1，解得a na n －1＝2.所以数列{a n }是首项为3，公比为2的等比数列，所以S 6＝3(1－26)1－2＝189.3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋S n ＋1＝a n ＋1(n ∈N *)，则此数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．摆动数列解析：选C 因为S n ＋S n ＋1＝a n ＋1，所以当n ≥2时，S n －1＋S n ＝a n ，两式相减，得a n＋a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以有a n ＝0.当n ＝1时，a 1＋a 1＋a 2＝a 2，所以a 1＝0.所以a n ＝0.即数列是常数列．4．(2019·绍兴模拟)已知数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若该数列的前n 项和为10，则项数n 的值为( )A ．11B ．99C ．120D ．121解析：选C 因为a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，所以该数列的前n 项和S n ＝n ＋1－1＝10，解得n ＝120.5．(2018·丽水模拟)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ＜12，2a n－1，12≤a n＜1，若a 1＝35，则a 2 018＝( )A.15B.25C.35D.45解析：选A 由a 1＝35∈⎣⎡⎭⎫12，1，得a 2＝2a 1－1＝15∈⎣⎡⎭⎫0，12，所以a 3＝2a 2＝25∈⎣⎡⎭⎫0，12，所以a 4＝2a 3＝45∈⎣⎡⎭⎫12，1，所以a 5＝2a 4－1＝35＝a 1.由此可知，该数列是一个周期为4的周期数列，所以a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝15.6．(2019·镇海模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n (a n ＞0，n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：对a n ＋1＝a 2n 两边取对数，得log 2a n ＋1＝log 2a 2n ＝2log 2a n .所以数列{log 2a n }是以log 2a 1＝1为首项，2为公比的等比数列，所以log 2a n ＝2n －1，所以a n ＝22n －1.答案：22n －17．(2018·海宁模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －1，则该数列的前8项和为________．解析：S 8＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝1＋5＋9＋13＝28. 答案：288．在一个数列中，如果对任意的n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：289．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值； (2)证明：a n ＝3n －12.解：(1)因为a 1＝1，a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)，所以a 2＝32－1＋1＝4， a 3＝33－1＋a 2＝9＋4＝13.(2)证明：因为a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)，所以a n －a n －1＝3n －1，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝3n －1＋3n －2＋…＋3＋1 ＝3n －12(n ≥2，n ∈N *)．当n ＝1时，a 1＝3－12＝1满足条件．所以当n ∈N *时，a n ＝3n －12. 10．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，求实数k 的取值范围．解：(1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. 因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)由a n ＋1＞a n ，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2＜32，即得k ＞－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ·2n ＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为________．a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ……解析：由题意可得该数阵中的第10行、第3个数为数列{a n }的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝9×102＋3＝48项，而a 48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵第10行、第3个数为97.答案：972．(2018·温州模拟)设函数f (x )＝log 2x －log x 4(0＜x ＜1)，数列{a n }的通项公式a n 满足f (2a n )＝2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)判定数列{a n}的单调性．解：(1)因为f(x)＝log2x－log x4(0＜x＜1)，f(2a n)＝2n(n∈N*) ，所以f(2a n)＝log22a n－log2a n4＝a n－2a n＝2n，且0＜2a n＜1，解得a n＜0.所以a n＝n－n2＋2.(2)因为a n＋1a n＝(n＋1)－(n＋1)2＋2n－n2＋2＝n＋n2＋2n＋1＋(n＋1)2＋2＜1.因为a n＜0，所以a n＋1＞a n.故数列{a n}是递增数列．第二节等差数列及其前n项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．[小题体验]1．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. 答案：102．(2018·温州模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝5，a 5＝3，则a n ＝________；S 7＝________.答案：－n ＋8 283．(2018·温州十校联考)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则S 7＝______.答案：281．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件．[小题纠偏]1．首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d 的取值范围是( ) A ．(－3，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－83 C.⎝⎛⎭⎫－3，－83 D.⎣⎡⎭⎫－3，－83 答案：D2．(2018·湖州模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝16，a 6＝10，则公差d ＝________；S n 取到最大时的n 的值为________．解析：因为数列{a n }是等差数列，且a 3＝16，a 6＝10，所以公差d ＝a 6－a 36－3＝－2，所以a n ＝－2n ＋22，要使S n 能够取到最大值，则需a n ＝－2n ＋22≥0，所以解得n ≤11.所以可知使得S n 取到最大时的n 的值为10或11.答案：－2 10或11考点一等差数列的基本运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2017·嘉兴二模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1S 4＝110，则S 3S 5＝( )A.25 B.35 C.37D.47解析：选A 设数列{a n }的公差为d ，因为S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且S 1S 4＝110，所以10a 1＝4a 1＋6d ，所以a 1＝d .所以S 3S 5＝3a 1＋3d 5a 1＋10d ＝6d 15d ＝25.2．设等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，若a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，则k ＝( ) A ．5 B ．6 C ．9D ．11解析：选C 因为a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，所以a 2k ＝a 6a k ＋6.又等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，所以[a 2＋(k －2)d ]2＝(a 2＋4d )[a 2＋(k ＋4)d ]，所以(k －3)2＝3(k ＋3)，解得k ＝9或k ＝0(舍去)，故选C.3．公差不为零的等差数列{a n }中，a 7＝2a 5，则数列{a n }中第________项的值与4a 5的值相等．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 7＝2a 5，∴a 1＋6d ＝2(a 1＋4d )，则a 1＝－2d ，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －3)d ，而4a 5＝4(a 1＋4d )＝4(－2d ＋4d )＝8d ＝a 11，故数列{a n }中第11项的值与4a 5的值相等．答案：114．(2019·绍兴模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，满足S 2＝S 6，S 55－S 44＝2，则a 1＝______，公差d ＝________.解析：由S 2＝S 6，得S 6－S 2＝a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝4a 1＋14d ＝0，即2a 1＋7d ＝0.由S 55－S 44＝2，得52(a 1＋a 5)5－42(a 1＋a 4)4＝12(a 5－a 4)＝12d ＝2，解得d ＝4，所以a 1＝－14.答案：－14 4[谨记通法]等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，可“知三求二”．解决这些问题一般设基本量a 1，d ，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解，体现方程思想．(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等差数列的性质和等差数列求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2结合使用，体现整体代入的思想．考点二等差数列的判断与证明(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2019·温州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1＋a n a n ＋12(n ∈N *)．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：因为对于n ∈N *，a n ＋1＝1＋a n a n ＋12，所以a n ＋1＝12－a n，所以1a n ＋1－1－1a n －1＝112－a n－1－1a n －1＝2－a n －1a n －1＝－1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为1a 1－1＝－2，公差为－1的等差数列．(2)由(1)知1a n －1＝－2＋(n －1)(－1)＝－(n ＋1)，所以a n －1＝－1n ＋1，即a n ＝n n ＋1. [由题悟法]等差数列的判定与证明方法已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵b n ＝1a n，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n 2a n ＋1＝2＋1a n ， ∴b n ＋1－b n ＝2＋1a n －1a n ＝2.又b 1＝1a 1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知数列{b n }的通项公式为 b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n，∴a n ＝1b n＝12n －1. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1. 考点三等差数列的性质及最值(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2019·宁波模拟)在等差数列{a n }中，若a 9a 8＜－1，且其前n 项和S n 有最小值，则当S n ＞0时，n 的最小值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17解析：选C ∵数列{a n }是等差数列，它的前n 项和S n 有最小值，∴公差d ＞0，首项a 1＜0，{a n } 为递增数列，∵a 9a 8＜－1，∴a 8·a 9＜0，a 8＋a 9＞0，由等差数列的性质知2a 8＝a 1＋a 15＜0，a 8＋a 9＝a 1＋a 16＞0.∵S n ＝(a 1＋a n )n2，∴当S n ＞0时，n 的最小值为16. 2．(2018·嘉兴一中模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＞S 7＞S 5，则满足a n ＞0的最大n 的值为______，满足S k S k ＋1＜0的正整数k ＝______.解析：由题可得a 6＝S 6－S 5＞0，a 7＝S 7－S 6＜0，所以使得a n ＞0的最大n 的值为6.又a 6＋a 7＝S 7－S 5＞0，则S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＞0，S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＜0，因为{a n }是递减的等差数列，所以满足S k S k ＋1＜0的正整数k ＝12. 答案：6 12[由题悟法]1．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[即时应用]1．(2018·浙江新高考联盟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S 8S 16＝( )A.310B.37C.13D.12解析：选A 因为数列{a n }是等差数列，所以S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列，因为S 4S 8＝13，所以不妨设S 4＝1，则S 8＝3，所以S 8－S 4＝2，所以S 16＝1＋2＋3＋4＝10，所以S 8S 16＝310.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324， ∴18n ＝324，∴n ＝18. 答案：18一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·杭州模拟)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4.则数列{a n}的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝－2n ＋3C ．a n ＝2n －1或－2n ＋3D ．a n ＝2n解析：选A 设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝a 22－4可得1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d ＝±2.因为数列{a n }是递增数列，所以d ＞0，故d ＝2.所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.2．(2018·舟山期末)在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20D ．25解析：选B 因为a 2＝1，a 4＝5，所以S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5(a 2＋a 4)2＝15. 3．(2019·缙云模拟)已知{a n }为等差数列，其公差d 为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110解析：选D 设数列{a n }的首项为a 1，因为a 7是a 3与a 9的等比中项，所以(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解得a 1＝20.所以S 10＝10a 1＋45d ＝200－90＝110.4．(2019·腾远调研)我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：________日相逢？解析：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n }，其中a 1＝103，d 1＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n }，其中b 1＝97，d 2＝－0.5.设第m 天相逢，则a 1＋a 2＋…＋a m ＋b 1＋b 2＋…＋b m ＝103m ＋m (m －1)×132＋97m ＋m (m －1)×(－0.5)2＝2×1 125，解得m ＝9(负值舍去)．即二马需9日相逢．答案：95．等差数列{a n }中，已知a 5＞0，a 4＋a 7＜0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6＜0，a 5＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＞0，a 6＜0，∴S n 的最大值为S 5. 答案：S 5二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·金丽衢十二校联考)已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝a 2n ＋1＋a 2n －12，则a 6＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．16D ．45解析：选B 因为a n ＝a 2n ＋1＋a 2n －12，所以2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1，即a 2n ＋1－a 2n ＝a 2n －a 2n －1，所以数列{a 2n }是等差数列，公差d ＝a 22－a 21＝4－1＝3，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝3n －2，所以a 6＝18－2＝4.2．(2018·浙江五校联考)等差数列{a n }中，a 1＝0，等差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7，则实数k ＝( )A ．22B ．23C ．24D ．25解析：选A 因为a 1＝0，且a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7，即(k －1)d ＝21d ，又因为d ≠0，所以k ＝22.3．(2018·河南六市一联)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 6＝( )A.114B.32C.72D ．1解析：选A 设{a n }的公差为d ，由题意得，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，又{a n }和{S n}都是等差数列，且公差相同，∴⎩⎨⎧d ＝ d 2，a 1－d2＝0，解得⎩⎨⎧d ＝12，a 1＝14，a 6＝a 1＋5d ＝14＋52＝114.4．(2018·东阳模拟)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A nB n＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n 为整数的正整数的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D 由A n B n ＝7n ＋45n ＋3，可得a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，所以要使a n b n 为整数，则需12n ＋1为整数，所以n ＝1,2,3,5,11，共5个． 5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n －1C ．b n ＝n ＋1D ．b n ＝2n ＋1解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0. 因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.6．(2019·台州中学期中)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝18，S 18＝54，则a 17＝________，S n ＝__________.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为a 2＝18，S 18＝54，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝18，18a 1＋18×172d ＝54，解得a 1＝20，d ＝－2.所以a 17＝a 1＋16d ＝20－32＝－12，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋21n .答案：－12 －n 2＋21n7．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，a 8＞0，a 9＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，7＋7d ＞0，7＋8d ＜0，解得－1＜d ＜－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 8．(2018·金华浦江适考)设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，其中a n ＝－3n ＋20，b n ＝|a n |，则使T n ＝S n 成立的最大正整数n 为________，T 2 018＋S 2 018＝________.解析：根据题意，数列{a n }中，a n ＝－3n ＋20，则数列{a n }是首项为17，公差为－3的等差数列，且当n ≤6时，a n ＞0，当n ≥7时，a n ＜0，又由b n ＝|a n |，当n ≤6时，b n ＝a n ，当n ≥7时，b n ＝－a n ，则使T n ＝S n 成立的最大正整数为6，T 2 018＋S 2 018＝(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a 2 018)＋(b 1＋b 2＋…＋b 6＋b 7＋b 8＋…＋b 2 018)＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)＝(17＋2)×6＝114.答案：6 1149．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S nn ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .解：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k . 由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)证明：由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，则b n ＝S nn ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2. 10．(2018·南昌调研)设数列{a n }的前n 项和为S n,4S n ＝a 2n ＋2a n －3，且a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，当n ≥5时，a n ＞0.(1)求证：当n ≥5时，{a n }成等差数列； (2)求{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由4S n ＝a 2n ＋2a n －3,4S n ＋1＝a 2n ＋1＋2a n ＋1－3，得4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0.当n ≥5时，a n ＞0，所以a n ＋1－a n ＝2，所以当n ≥5时，{a n }成等差数列．(2)由4a 1＝a 21＋2a 1－3，得a 1＝3或a 1＝－1，又a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，所以由(1)得a n ＋1＋a n ＝0(n ≤5)，q ＝－1，而a 5＞0，所以a 1＞0，从而a 1＝3，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(－1)n －1，1≤n ≤4，2n －7，n ≥5，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32[1－(－1)n ]，1≤n ≤4，n 2－6n ＋8，n ≥5.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·浙江五校联考)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3的最小值为________．解析：设公差为d .因为a 1，a 3，a 13成等比数列，所以(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2.所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.所以2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1.令t ＝n ＋1，则原式＝t 2＋9－2t t ＝t ＋9t －2.因为t ≥2，t ∈N *，所以当t ＝3，即n ＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2S n ＋16a n ＋3min＝4. 答案：42．已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)． (1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值； (2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)法一：∵数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd . 由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得(a 1＋nd )＋[a 1＋(n －1)d ]＝4n －3， ∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3，即2d ＝4,2a 1－d ＝－3，解得d ＝2，a 1＝－12.法二：在等差数列{a n }中，由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)－3＝4n ＋1， ∴2d ＝a n ＋2－a n ＝(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n ) ＝4n ＋1－(4n －3)＝4， ∴d ＝2.又∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋2＝4×1－3＝1， ∴a 1＝－12.(2)由题意，①当n 为奇数时， S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝2＋4[2＋4＋…＋(n －1)]－3×n －12＝2n 2－3n ＋52.②当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a n－1＋a n) ＝1＋9＋…＋(4n－7)＝2n2－3n2.第三节等比数列及其前n项和1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q . (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn (λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k . [小题体验]1．(教材习题改编)将公比为q 的等比数列a 1，a 2，a 3，a 4，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….此数列是( )A ．公比为q 的等比数列B ．公比为q 2的等比数列C ．公比为q 3的等比数列D ．不一定是等比数列答案：B2．(2018·台州模拟)已知等比数列{a n }各项都是正数，且a 4－2a 2＝4，a 3＝4，则a n ＝________；S 10＝________.解析：设公比为q ，因为a 4－2a 2＝4，a 3＝4，所以有4q －8q ＝4，解得q ＝2或q ＝－1.因为q ＞0，所以q ＝2.所以a 1＝a 3q 2＝1，a n ＝a 1q n －1＝2n －1.所以S 10＝1－2101－2＝210－1＝1 023.答案：2n －1 1 0233．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n (n ∈N *)，则a 3＝______；S 5＝_________. 答案：9 1211．特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立．[小题纠偏]1．在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5等于( ) A ．5 B ．±5 C ．4D ．±4解析：选C a 25＝a 3a 7＝2×8＝16，∴a 5＝±4，又∵a 5＝a 3q 2＞0，∴a 5＝4. 2．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q ＝________. 答案：－12或1考点一等比数列的基本运算(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·绍兴模拟)等比数列{a n }的公比为2，前n 项和为S n .若1＋2a 2＝S 3，则a 1＝( ) A .17 B.15 C.13D ．1解析：选C 由题可得，1＋4a 1＝a 1＋2a 1＋4a 1，解得a 1＝13.2．(2018·杭二中仿真)各项都是正数的等比数列{a n }中，若a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( ) A.5＋12B.5－12C.1－52D.5＋12或1－52解析：选B 设数列{a n }的公比为q (q ＞0，q ≠1)，由a 2，12a 3，a 1成等差数列可得a 3＝a 2＋a 1，所以有q 2－q －1＝0，解得q ＝5＋12(负值舍去)．所以a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝5－12. [由题悟法]解决等比数列有关问题的2种常用思想1．(2019·浙北联考)设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝( )A ．2B ．4 C.152D.172解析：选C 因为q ＝2，所以S 4a 2＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4a 2＝1＋q ＋q 2＋q 3q ＝1＋2＋4＋82＝152. 2．(2018·宁波模拟)已知等比数列{a n }满足a 2＝14，a 2a 8＝4(a 5－1)，则a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8的值为( )A ．20B ．31C ．62D ．63解析：选B 因为a 2a 8＝a 25＝4(a 5－1)，解得a 5＝2.所以q ＝2.所以a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝1＋2＋4＋8＋16＝31.3．(2018·杭州二检)设各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝80，S 2＝8，则公比q ＝________，a 5＝________.解析：由题可得，设数列{a n }的公比为q (q ＞0，q ≠1)，根据题意可得a 1(1－q 4)1－q ＝80，a 1(1－q 2)1－q＝8，解得a 1＝2，q ＝3，所以a 5＝a 1q 4＝2×34＝162. 答案：3 162考点二等比数列的判定与证明(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)若S 5＝3132，求λ.解：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n . 由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.[由题悟法]等比数列的4种常用判定方法择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．[即时应用](2018·衢州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若数列{b n }满足b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列．证明：因为S n ＋1＝4a n ＋2，所以S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，又a 1＝1，所以a 2＝5，b 1＝a 2－2a 1＝3，当n ≥2时，S n ＝4a n －1＋2. 所以S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝4a n －4a n －1. 因为b n ＝a n ＋1－2a n ，所以当n ≥2时，b n b n －1＝a n ＋1－2a n a n －2a n －1＝4a n －4a n －1－2a n a n －2a n －1＝2(a n －2a n －1)a n －2a n －1＝2. 所以{b n }是以3为首项，2为公比的等比数列．考点三等比数列的性质(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·宁波模拟)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0，数列{b n}是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选D 由等差数列的性质，得a 6＋a 8＝2a 7. 由a 6－a 27＋a 8＝0，可得a 7＝2，所以b 7＝a 7＝2.由等比数列的性质得b 2b 8b 11＝b 2b 7b 12＝b 37＝23＝8. 2．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 2＝5，则S 8S 4＝________.解析：由题可得，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6成等比数列，因为S 4S 2＝5，不妨设S 2＝1，则S 4＝5，所以S 4－S 2＝4，所以S 8＝1＋4＋16＋64＝85，所以S 8S 4＝855＝17.答案：17[由题悟法]等比数列的性质可以分为3类1．(2018·诸暨模拟)已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20.则该数列的前9项和为( )A ．50B ．70C ．80D ．90解析：选B 由等比数列的性质得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，由S 3＝40，S 6－S 3＝20，知公比为12，故S 9－S 6＝10，S 9＝70.2．(2018·浙江联盟模拟)已知{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5＝________；a 4的最大值为________．解析：因为a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25，所以a 3＋a 5＝5，所以a 3＋a 5＝5≥2a 3a 5＝2a 4，所以a 4≤52.即a 4的最大值为52.答案：552一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·舟山模拟)已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为( )A ．－3B ．±3C ．－3 3D ．±3 3解析：选C 因为－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，由等比数列的性质及等比中项可知，xz ＝3，y 2＝3，且y 与－1，－3符号相同，所以y ＝－3，所以xyz ＝－3 3.2．(2019·湖州六校联考)已知等比数列的前n 项和为54，前2n 项和为60，则前3n 项和为( )A ．66B ．64C ．6623D ．6023解析：选D 因为等比数列中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，所以54(S 3n －60)＝36，解得S 3n ＝6023.3．(2018·金华十校联考)在等比数列{a n }中，已知a 7a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11的值为( ) A ．10 B ．25C ．50D ．75解析：选B 因为a 7a 12＝a 8a 11＝a 9a 10＝5，所以a 8a 9a 10a 11＝52＝25.4．(2018·浙江名校协作体测试)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n ，均有S n ＋3＝8S n ＋3，则a 1＝_________，公比q ＝________.解析：因为S n ＋3＝8S n ＋3，所以当n ≥2时，S n ＋2＝8S n －1＋3，两式相减，可得a n ＋3＝8a n ，所以q 3＝8，解得q ＝2；当n ＝1时，S 4＝8S 1＋3，即15a 1＝8a 1＋3，解得a 1＝37.答案：3725．(2018·永康适应性测试)数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n ＋n ，则a 1＝______，数列{a n }的通项公式a n ＝_______.解析：因为S n ＝2a n ＋n ，所以当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1＋1，所以a 1＝－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋n －2a n －1－n ＋1，即a n ＝2a n －1－1，即a n －1＝2(a n －1－1)，所以数列{a n －1}是以－2为首项，2为公比的等比数列，所以a n －1＝－2n ，所以a n ＝1－2n .答案：－1 1－2n二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·浙大附中模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋1＝pS n ＋q (n ∈N *，p ≠－1)，则“a 1＝q ”是“{a n }为等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为a n ＋1＝pS n ＋q ，所以当n ≥2时，a n ＝pS n －1＋q ，两式相减得a n ＋1－a n ＝pa n ，即当n ≥2时，a n ＋1a n ＝1＋p .当n ＝1时，a 2＝pa 1＋q .所以当a 1＝q 时，a 2a 1＝1＋p ，满足上式，故数列{a n }为等比数列，所以是充分条件；当{a n }为等比数列时，有a 2＝pa 1＋q ＝(1＋p )a 1，解得a 1＝q ，所以是必要条件，从而选C.2．(2019·乐清模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ∈N *)，则S 6＝( ) A ．44 B ．45 C.46－13D.45－13解析：选B 因为a 1＝1，a n ＋1＝3S n ＝S n ＋1－S n ，所以S n ＋1＝4S n ，所以数列{S n }是首项为S 1＝a 1＝1，公比为4的等比数列，所以S 6＝45.3．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D.15解析：选A ∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是以公比q ＝3的等比数列． ∵a 5＋a 7＋a 9＝q 3(a 2＋a 4＋a 6)，∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13(9×33)＝log 1335＝－5.4．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选B 设该女子第一天织布x 尺，则x (1－25)1－2＝5，得x ＝531，∴前n 天所织布的尺数为531(2n －1)．由531(2n －1)≥30，得2n ≥187，则n 的最小值为8.5．(2019·金华模拟)设A n ，B n 分别为等比数列{a n }，{b n }的前n 项和．若A n B n ＝12n ＋1，则a 7b 3＝( ) A.19 B.12763 C.43D.1312解析：选C 由题意知，A n B n ＝12n ＋1，令A n ＝k (2n －1)，k ≠0，则B n ＝A n ·(2n ＋1)＝k (2n－1)(2n ＋1)＝k (4n －1)．所以a 7＝A 7－A 6＝k (27－1)－k (26－1)＝64k ，b 3＝B 3－B 2＝k (43－1)－k (42－1)＝48k ，所以a 7b 3＝64k 48k ＝43.6．(2018·超级全能生模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 1，S 2,5成等差数列，则数列{a n }的公比q ＝________，S n ＝_________.解析：由题可得，2S 2＝2(1＋q )＝1＋5＝6，所以q ＝2，所以S n ＝1－2n 1－2＝2n －1.。

高中数学复习数列与数学归纳法

数列与数学归纳法要求层次重难点数列的概念和表示法 B ⑴数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）．②了解数列是自变量为正整数的一类函数． ⑵等差数列、等比数列①理解等差数列、等比数列的概念． ②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式．③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．⑶了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．等差数列的概念 B 等比数列的概念B 等差数列的通项公式与前n 项和公式C等比数列的通项公式与前n 项和公式C数学归纳法B板块一：数列的通项公式（一）主要方法：常见的已知递推式求通项公式的常用方法：⑴1()n n x x f n -=+（其中()0f n ≠），则12()nn k x x f k ==+∑；⑵1()n n x f n x -=（其中()0f n ≠），则1()(1)(2)n x f n f n f x =⋅-⋅⋅；⑶1()n n x a x f n -=⋅+（其中0a ≠，1a ≠，()f n 是关于n 的多项式函数），可设1()((1))n n x g n a x g n -+=+-，其中()g n 为与()f n 的次数相等的多项式函数，各项的系数都待定，高考要求第七讲数列与数学归纳法知识精讲通过比较(1)()ag n g n --与()f n 的各项系数可以确定待定系数； ⑷1n n n x a x c b -=⋅+⋅，其中0a ≠，1a ≠，b 0≠，1b ≠，0c ≠．若a b =，则11n n n n x x c b b --=+；若a b ≠，则可以设11()nn n n x b x b αβα--+⋅=⋅+⋅；也可两边同时除以na ：11nn n n n x x b c a a a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；也可两边同时除以n b ：11n n n n x x a c b b b --=⋅+．（二）典例分析：【例1】（2018新课标江苏10）将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910，按照以上排列的规律，数阵中第n 行(3)n ≥从左至右的第3个数为．【例2】如图，一粒子在区域{}()|00x y x y ，≥，≥上运动，在第一秒内它从原点运动到点1(01)B ，，接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．设粒子从原点到达点n A 、n B 、n C 时，所经过的时间分别为n a 、n b 、n c ， ⑴试写出{}n a 、{}n b 、{}n c 的通项公式．⑵求粒子从原点运动到点(1543)P ，时所需的时间； ⑶粒子从原点开始运动，求经过2009秒后，它所处的坐标．【例3】 ⑴（2017全国Ⅰ）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…．求{}n a 的通项公式；⑵已知数列{}n a 满足11a =，134nn n a a a +=+，则n a =______．⑶（2018全国Ⅰ）在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+．求数列{}n a 的通项公式．【例4】（2019湖南15）将正ABC ∆分割成2n （2n ≥，n *∈N ）个全等的小正三角形（下图分别给出了23n =，的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC ∆的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列．若顶点A ，B ，C 处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为()f n ，则有(2)2f =，(3)f =_______，…，()f n =________．【例5】（2019江西8）数列{}n a 的通项222ππcos sin 33n n n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其前n 项和为n S ，则30S 为（） A ．470 B ．490 C ．495 D ．510【例6】（2019重庆14）设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n ∈N ，则数列{}n b 的通项n b = ．【例7】（2019湖北15）已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1231nn n nn a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩，当为偶数时，当为奇数时，若61a =，则m 所有可能的取值为__________．【例8】（2008北京理14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，n=3n=2ABCC BA()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为；第2008棵树种植点的坐标应为．【例9】（2019江西22）各项均为正数的数列{}n a ，1a a =，2a b =，且对满足m n p q +=+的正整数m ，n ，p ，q 都有(1)(1)(1)(1)p q m nm n p q a a a a a a a a ++=++++．⑴当12a =，45b =时，求3a ；⑵在⑴的条件下，将n a 用1n a -表示出来（其中n *∈N ）． ⑶在⑴的条件下证明11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭为等比数列，并求通项n a ．⑷证明：对任意a ，存在与a 有关的常数λ，使得对于每个正整数n ，都有1n a λλ≤≤．板块二：新定义数学与数学归纳法（一）知识内容数学归纳法：专门用来证明与正整数相关的命题的一种证明方法．数学归纳法的步骤：一个与正整数n 相关的命题，如果 ①n 取第一个值0n 时命题成立；②在假设当(n k k +=∈N ，且0k n ≥)时命题成立的前提下，推出当1n k =+时命题也成立；那么可以断定，这个命题对n 取第一个值后面的所有正整数成立．（二）典例分析：【例10】（2019海淀一模8）对于数列{}n a ，若存在常数M ，使得对任意*n ∈N ，n a 与1n a +中至少有一个不小于M ，则记：{}n a M ▷，那么下列命题正确的是（）A ．若{}n a M ▷，则数列{}n a 的各项均大于或等于M B ．若{}n a M ▷，{}n b M ▷，则{}2n n a b M +▷ C ．若{}n a M ▷，则{}22n a M ▷D ．若{}n a M ▷，则{}2121n a M ++▷已知函数()f x 由下表给出其中k 01234则4a = ；0123a a a a +++= ．【例12】（2019北京理科20）已知数集{}12n a a a =，，，()1212n a a a n <<<≤，≥具有性质:P 对任意的i j ，()1i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A ．⑴分别判断数集{}134，，与{}1236，，，是否具有性质P ，并说明理由； ⑵证明：11a =，且1211112nn na a a a a a a ---+++=+++； ⑶证明：当5n =时，1a ，2a ，3a ，4a ，5a 成等比数列．【例13】（2019陕西22）已知数列{}n x 满足，112x =，111n n x x +=+，*n ∈N ．⑴猜想数列2{}n x 的单调性，并证明你的结论． ⑵证明：111265n n n x x -+⎛⎫- ⎪⎝⎭≤．设数列{}n a 满足3*1101n n a a ca c c +==+-∈N ，，，其中c 为实数， ⑴证明：[01]n a ∈，对任意*n ∈N 成立的充分必要条件是[01]c ∈，；⑵设103c <<，证明：1*1(3)n n a c n --∈N ≥，． ⑶设103c <<，证明：222*122113n a a a n n c++>+-∈-N ，．【例15】（2019西城一模）设3m >，对于有穷数列{}n a ()12n m =，，，，令k b 为1a ，2a ，…，k a 中的最大值，称数列{}n b 为{}n a 的“创新数列”，数列{}n b 中不相等项的个数称为{}n a 的“创新阶数”．例如数列21375，，，，的创新数列为22377，，，，，创新阶数为3．考察自然数()123m m >，，，的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}n c ． ⑴若5m =，写出创新数列为34455，，，，的所有数列{}n c ；⑵是否存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{}n c ，若不存在，请说明理由．⑶在创新阶数为2的所有数列{}n c 中，求它们的首项的和．【例16】（2019湖南21）对于数列{}n u ，若存在常数0M >，对任意的n *∈N ，恒有1121||||||n n n n u u u u u u M +--+-++-≤，则称数列{}n u 为B -数列．⑴首项为1，公比为(||1)q q <的等比数列是否为B -数列？请说明理由；⑵设n S 是数列{}n x 的前n 项和．给出下列两组论断：A 组：①数列{}n x 是B -数列，②数列{}n x 不是B -数列；B 组：③数列{}n S 是B -数列，④数列{}n S 不是B -数列．请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题．判断所给命题的真假，并证明你的结论；⑶若数列{}n a ，{}n b 都是B -数列，证明：数列{}n n a b 也是B -数列．习题1. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中白色地面与黑色地砖的相差的块数是_________．习题2. 在数列{}n a 中，11a =，且对于任意正整数n ，都有1n n a a n +=+，则100a = _____．习题3. 已知数列{}n a 满足10a =，13()31n n n a a n a *+-=∈+N ，则2009a 的值为．习题4. 如图，在面积为1的正111A B C ∆内作正222A B C ∆，使12212A A A B =，12212B B B C =，12212C C C A =，依此类推，在正222A B C ∆内再作正333C B A ∆，……．记正i i i C B A ∆的面积为(12)i a i n =，，，，则12n a a a +++= ．家庭作业B 3C 3C 2B 2A 3A 2C 1B 1A 1第3个第2个第1个习题5. 设关于x 的一元二次方程2110n n a x a x +-+=（n *∈N ）有两根α和β，满足2αβαβ+-=，且11a =，⑴试n a 用表示1n a +；⑵求证：求n a ；⑶记n n b na =，求数列{}n b 的前n 项的和n T ．习题1. 数列{}n a 满足143n n a a -=+，且10a =，则此数列的第5项是（）A ．15B ．255C ．16D ．36习题2. 数列{}n a 中，12a =，26a =，且当n *∈N 时，2n a +等于1n n a a +的个位数，则2009a =______．习题3. 数列{}n a 满足11a =，1111()22n nn a a *+=+∈N ． ⑴求证1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；⑵若122311633n n a a a a a a ++++>，求n 的取值范围．月测备选。

高中数学数列与数学归纳法梳理

高中数学数列与数学归纳法梳理数列是高中数学中的重要概念，它是由一系列数字按照一定规律排列而成的。

数学归纳法是解决数列问题的常用方法。

本文将对高中数学中的数列与数学归纳法进行归纳梳理，帮助读者更好地理解和应用这两个概念。

一、数列的基本概念1.1 数列的定义数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的。

数列中的每个数字称为数列的项，通常用字母表示。

例如，数列$a_1, a_2, a_3, \ldots,a_n$中的$a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n$就是数列的项。

1.2 数列的公式表示数列可以用公式表示。

常见的数列表示方法有通项公式和递推公式。

通项公式表示了数列中第$n$项与$n$的关系，一般以$a_n$表示。

例如，等差数列$2, 5, 8, 11, \ldots$的通项公式为$a_n = 2 + 3(n-1)$。

递推公式表示了数列中某一项与前一项的关系，一般以$a_{n+1}$表示。

例如，斐波那契数列$1, 1, 2, 3, 5, \ldots$的递推公式为$a_{n+1} = a_n + a_{n-1}$。

二、常见数列在高中数学中，我们常见到一些重要的数列。

2.1 等差数列等差数列是指数列中相邻两项差值相等的数列。

它的通项公式为$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$为首项，$d$为公差。

例如，数列$2, 5, 8, 11, \ldots$为一个等差数列，其首项$a_1=2$，公差$d=3$。

2.2 等比数列等比数列是指数列中相邻两项比值相等的数列。

它的通项公式为$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$，其中$a_1$为首项，$r$为公比。

例如，数列$2, 6, 18, 54, \ldots$为一个等比数列，其首项$a_1=2$，公比$r=3$。

2.3 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。

它的递推公式为$a_{n+1} = a_n + a_{n-1}$，其中$a_1 = a_2 = 1$。

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数列与数学归纳法一、填空题（杨浦区2013文理）1. 计算：=+∞→133lim nnn ．1 1. 计算：= 3.4、已知{}n a 是公比为2的等比数列，若316a a -=，则n a a a +++Λ21 =221-+n(2014年1月青浦)各项为实数的等比数列中7191,8a a =-=-，则13a =(2014年1月青浦)已知lim(1)1nn q →∞-=，则实数q 的取值范围是 11q -<< ．221lim 2n n n n →∞+=-____12_______. 已知数列{}n a 中，11a =，*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___32n -________.5．已知为等差数列，其前项和为．若，35a =，64n S =，则n = 8 ．10、数列()*241N n a a n n ∈+-=+，如果{}n a 是一个等差数列，则=1a 3 6. 如果()那么共有28项. 4．已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________．158．若等差数列的首项为2，公差为，其前项和满足：对于任意的，都有是非零常数．则．4 8．若公差为的等差数列的项数为奇数，，的奇数项的和是175，偶数项的和是150，则．410．函数xa y =（0>a ,1≠a ）的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛41,2P ，则=+++∞→)(lim 2nn a a a Λ______111．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且55S a =，则=2014S ________0210lim 323x n n →∞++{}n a n n S 11a =()1111112312n f n n n =++++++++L L *n N ∈()()1f k f k +-{}n a )0(≠d d n n S *∈N n nnS S 2=d d {}n a 11=a {}n a =d5、数列{}n a 满足*,5221...2121221N n n a a a n n ∈+=+++，则=n a ⎩⎨⎧≥=+.2,21,141n n n 11、已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,b a ,且,511=+b a,,11N b a ∈设),(N n a c nb n ∈=则数列{}nc 的前10项和等于____85__.（虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科）8、已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1a 与5a 的等比中项为2，则42a a +的最小值等于．412、已知数列{a n }(n *N ∈)的公差为3，从{a n }中取出部分项（不改变顺序）a 1,a 4,a 10,…组成等比数列，则该等比数列的公比是 . 答案：（文）2；4．已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________．1510．若nn r r ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→12lim 存在，则实数r 的取值范围是_____________⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+---∞,31]1,(Y 14．某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、n 级分形图．则n 级分形图的周长为__________．1343-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n14、定义：{}123min ,,,,n a a a a L 表示123,,,,n a a a a L 中的最小值．若定义()f x ={}2min ,5,21x x x x ---，对于任意的n *∈N ，均有(1)(2)(21)(2)()f f f n f n kf n +++-+≤L 成立，则常数k 的取值范围是]0,21[-．13．给出下列等式：，，，…，现设（，），则【 C 】 233321=+23336321=++23333104321=+++23333321n a n =+⋅⋅⋅+++*∈N n 2≥n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++∞→n n a a a 111lim 32图（1）图（2）图（3）……A ．B ．C ．D ．二、选择题(2014年1月青浦)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足15160,0,S S ><则3151212315,,,,S S S S a a a a L 中最大的项为（C ） A.66S a B.77S a C.88S a D.99Sa 13．给出下列等式：，，，…，现设（，），则【 C 】A ．B ．C ．D ．（虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科）17、在n n n C B A ∆中，记角n A 、n B 、n C 所对的边分别为n a 、n b 、n c ，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边1+=n a n ，则=∞→n n C lim （）．B.A 2π .B 3π .C 4π .D 6π18、**设双曲线22*(1)1()nx n y n N -+=∈上动点P 到定点(1,0)Q 的距离的最小值为n d ，则lim n n d →+∞的值为（）A（A）2（B ）12（C ） 0 （D ）1三、解答题（虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科）21、（本题满分14分）数列{}n a 是递增的等差数列，且661-=+a a ，843=⋅a a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值；（3）求数列{}n a 的前n 项和n T ．4210233321=+23336321=++23333104321=+++23333321na n =+⋅⋅⋅+++*∈N n 2≥n =∞→nn a n 2lim 012421、（14分）解：（1）由⎩⎨⎧=⋅-=+864361a a a a ⎩⎨⎧=⋅-=+⇒864343a a a a ，得3a 、4a 是方程0862=++x x 的二个根，Θ21-=x ，42-=x ，此等差数列为递增数列，∴43-=a ，24-=a ，公差2=d ，81-=a ．102-=∴n a n（2）Θn n a a n S n n 92)(21-=+=，481)29(2--=n S n ， ∴20)(54min -===S S S n（3）由0≥n a 得0102≥-n ，解得5≥n ，此数列前四项为负的，第五项为0，从第六项开始为正的．当51≤≤n 且*∈N n 时，n n S a a a a a a T n n n n 9)(22121+-=-=+++-=+++=ΛΛ．当6≥n 且*∈N n 时，5652165212)()(S S a a a a a a a a a a T n n n n -=++++++-=++++++=ΛΛΛΛ4092+-=n n ．22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分，第三小题满分6分.设无穷数列{a n }的首项a 1=1,前n 项和为S n (*n N ∈),且3tS n -(2t+3)S n-1（*n N ∈，n ≥2)(t 是与n 无关的正实数）（1）求证：数列{a n }（*n N ∈）为等比数列；（2)记数列{a n }的公比为f(t),数列{b n }满足b 1=1,b n =f(1b 1-n )（*n N ∈，n ≥2),设C n =b 2n-1b 2n -b 2n b 2n+1,求数列.（3）若（2）中数列{Cn}的前n 项和T n 当*n N ∈时不等式a ≤n T 恒成立，求实数a 的取值范围。

22. （1）由已知，有，当时，；………………………2分当时，有，两式相减，得，即，综上，，故数列是公比为的等比数列；…………4分（2）由（1）知，，则，于是数列是公差的等差数列，即，……………………7分则=……………………10分（3）不等式恒成立，即恒成立，又在上递减，则．………………………14分………………………16分（杨浦区2013文）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.已知数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且满足21=a ，对一切*∈N n 都有2321++=+n S S n n 成立，设n a b n n +=．（1）求2a ；（2）求证：数列{}n b 是等比数列；（3）求使814011121>+⋅⋅⋅++n b b b 成立的最小正整数n 的值．22. 【解】文科(1) 由21=a 及2321++=+n S S n n 当1=n 时故72=a ……4分(2)由2321++=+n S S n n 及)2(2)1(321≥+-+=-n n S S n n ……6分得 1231-+=+n a a n n ，故)(3)1(1n a n a n n +=+++， ……8分即)2(1≥=+n b b n n ，当1=n 时上式也成立, ……9分 ,故{}n b 是以3为首项，3为公比的等比数列 ……10分 (3) 由（2）得n n nn b b 311,3== ……11分 8140)311(21311)311(3111121>-=--=+⋅⋅⋅++nn n b b b ……14分故 813>n解得4>n ，最小正整数n 的值5 ……16分（杨浦区2013理）23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分13分，第①问5分,第②问8分.设是数列的前项和，对任意*N n ∈都有()()p a a b kn S n n +++=12成立， (其中n S {}n a nk 、b 、p 是常数) ．（1）当0k =，3b =，4p =-时，求n S ；（2）当1k =，0b =，0p =时，①若33a =，915a =，求数列{}n a 的通项公式；②设数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“Ω数列”. 如果212a a -=，试问：是否存在数列为“Ω数列”，使得对任意*N n ∈，都有0n S ≠，且12311111111218n S S S S <++++<L ．若存在，求数列的首项1a 的所有取值构成的集合；若不存在，说明理由．23【解】（理科）解：（1）当0k =，3b =，4p =-时，由()()p a a b kn S n n +++=12得 n n S a a 24)(31=-+ ① 用1n +去代n 得，11124)(3++=-+n n S a a ， ②②—①得，113()2n n n a a a ++-=，13n n a a +=， ……2分在①中令1n =得，11a =，则n a ≠0，∴13n na a +=， ∴数列{}n a 是以首项为1，公比为3的等比数列，∴n S =312n - …….5分（2）当1k =，0b =，0p =时，112()2()n n n a a a a a +=++L ， ③用1n +去代n 得，11121(1)()2()n n n n a a a a a a ++++=+++L ， ④ ④—③得， 11(1)0n n n a na a +--+=， ⑤ …….7分用1n +去代n 得，211(1)0n n na n a a ++-++=， ⑥⑥—⑤得，2120n n n na na na ++-+=，即211n n n n a a a a +++-=-， …….8分{}n a {}n a {}n a∴数列{}n a 是等差数列.∵33a =，915a =， ∴公差93293a a d -==-，∴23n a n =- ……10分易知数列{}n a 是等差数列，∵212a a -=，∴12(1)n a a n =+-. 又是“Ω数列”，得：对任意*,N m n ∈，必存在*N p ∈使1112(1)2(1)2(1)a n a m a p +-++-=+-，得12(1)a p m n =--+，故1a 是偶数， …….12分又由已知，111111218S <<，故1181211a << 一方面，当1181211a <<时，1(1)n S n n a =+-0>，对任意*N n ∈，都有123111111112n S S S S S ++++≥>L .…….13分另一方面，当12a =时，(1)n S n n =+，1111n S n n =-+，则1231111111n S S S S n ++++=-+L ，取2n =，则1211121113318S S +=-=>，不合题意. …….14分当14a =时，(3)n S n n =+，1111()33n S n n =-+，则 1231111111111()183123n S S S S n n n ++++=-+++++L 1118<， …….15分当16a ≥时，1(1)n S n n a =+-(3)n n >+，1111()33n S n n <-+， 123111*********()18312318n S S S S n n n ++++<-++<+++L ， …….16分又1181211a <<，∴14a =或16a =或18a =或110a = …….17分所以，首项1a 的所有取值构成的集合为{}10,8,6,4 …… 18分（其他解法,可根据【解】的评分标准给分）{}n a(理)23、已知数列{}n a 的各项均不为零，m a a ==21,1，且对任意*n N ∈，都有c a a a n n n +=++221．（1）设,1=c 若数列{}n a 是等差数列，求m ；（5分）（2）设,1=c 当*,2N n n ∈≥时，求证：nn n a a a 11-++是一个常数；（6分）（3）当()21+=m c 时，求数列{}n a 的通项公式（7分） 23. 解：(1) 由题意得：112-=-=m a a d 1分()()()()()111,11,11121-++=-+=--+=++m n a m n a m n a n n n 2分,1221+=++n n n a a a[][]()[]11)1(1)1)(1(1)1(12+-++--+=-+∴m n m n m n 3分2=∴m 5分（2）计算123-=m a ，m a a a =+231，猜想m a a a nn n =++-11 7分欲证明m a a a nn n =++-11恒成立只需要证明1211+++-+=+n n n n n n a a a a a a 恒成立即要证明()()2111++-++=+n n n n n n a a a a a a 恒成立即要证明222111++-++=+n n n n n n a a a a a a 恒成立（***） 9分1,1,1212211221-=-=∴+=++-+++n n n n n n n n n a a a a a a a a a Θ 10分（***）左边=21221111++-++-=+n n n n n a a a a a （***）右边=1212-++n n a a所以(***)成立 11分方法二：计算123-=m a ，m a a a =+231，猜想m a a a nn n =++-11 7分 1,1112221+=+=+-++n n n n n n a a a a a a112221+-++-=-n n n n n n a a a a a a221121++-++=+n n n n n n a a a a a a 9分由于0≠n a ，上式两边同除以1n n a a +，得1121(2).n n n n n n a a a a n a a +-++++=≥ 所以，21113128.3n n n n n n a a a a a a a a a +-+++++====L 11分所以m a a a nn n =++-11 是常数 11分（3）计算123-=m a ，212231-=-+=+mcm a a a ，类比猜想211-=++-nn n a a a 12分c a a a c a a a n n n n n n +=+=+-++112221, 112221+-++-=-n n n n n n a a a a a a221121++-++=+n n n n n n a a a a a a由于0≠n a ，上式两边同除以1n n a a +，得1121(2).n n n n n n a a a a n a a +-++++=≥ 所以，21113128.3n n n n n n a a a a a a a a a +-+++++====L所以211-=++-nn n a a a 是常数 13分所以211-=++-nn n a a a 14分()()011=++++-n n n n a a a a ()()n n n n a a a a +-=++-11()()1111+-=+∴-+m a a n n n()()23,12,,14321+=+-===∴m a m a m a a猜想()()[])2(11-+--=∴n m n a nn 15分用数学归纳法证明：时，成立，显然1=n 假设()()[]成立，时，21)1(-+--==k m k a k n kk则()111(1)1k k k n k a m a -+=+=-+-时，()()()11(1)(1)12k k m k m k -=-+---+-⎡⎤⎣⎦()()[])2(1)1(111-+-++-=∴-+k m k m a k k()[])1(111-+-=∴-+k km a k k ()[])1(11-+-=+k km k 17分所以对一切 ()()[]成立，时，21)1(-+--=∈n m n a N n nn 18分(文)23、已知数列{}n a 的各项均为正数，m a a ==21,1，且对任意*n N ∈，都有c a a a n n n +=++221．数列{}n a 前n 项的和n S .（1）若数列{}n a 是等比数列，求c 的值和nnn Sa lim ∞→（7分）；（2）若数列{}n a 是等差数列，求m 与c 的关系式（5分）；（3）,1=c 当*,2N n n ∈≥时，求证：nn n a a a 11-++是一个常数（6分）；23. 解：(1)由题意得：m a a q ==121-=∴n n m a 1分 0,112=∴+=∴+-c c m m m n n n 2分因为数列{}n a 的各项均为正数，所以0m > 当1m =时，1,==∴n n a n S ，0lim =∴∞→n nn S a 4分当0m >且1m ≠时，1,1nn m S m-∴=- 5分()nn n n mm m S a --=∴-1116分当01m <<时lim0nn na S →∞=当1m >时111n n n a mS m m --=⎛⎫- ⎪⎝⎭所以1lim n n na m S m →∞-= 001lim 11n n n m a m S m m→∞<≤⎧⎪∴=-⎨>⎪⎩ 7分 (2)由题意得：112-=-=m a a d 8分()()()()()111,11,11121-++=-+=--+=++m n a m n a m n a n n n 9分,221c a a a n n n +=++[][]()[]c m n m n m n +-++--+=-+∴1)1(1)1)(1(1)1(1210分()21-=∴m c 12分（3）计算123-=m a猜想m a a a n n n =++-11 14分欲证明m a a a nn n =++-11恒成立只需要证明1211+++-+=+n n n n n n a a a a a a 恒成立即要证明()()2111++-++=+n n n n n n a a a a a a 恒成立即要证明222111++-++=+n n n n n n a a a a a a 恒成立（***）1,1,1212211221-=-=∴+=++-+++n n n n n n n n n a a a a a a a a a Θ （***）左边=21221111++-++-=+n n n n n a a a a a（***）右边=1212-++n n a a所以(***)成立 18分方法二：计算123-=m a猜想m a a a nn n =++-11 14分1,1112221+=+=+-++n n n n n n a a a a a a 112221+-++-=-n n n n n n a a a a a a221121++-++=+n n n n n n a a a a a a由于0≠n a ，上式两边同除以1n n a a +，得1121(2).n n n n n n a a a a n a a +-++++=≥所以，21113128.3n n n n n n a a a a a a a a a +-+++++====L所以m a a a nn n =++-11 是常数 18分23. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）称满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”： ①；②.（1）若等比数列为阶“期待数列”，求公比q 及的通项公式；（2）若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；（3）记n 阶“期待数列”的前k 项和为：（i ）求证：；（ii ）若存在使，试问数列能否为n 阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.12,,,n a a a L ()2,3,4,n n =L 1230n a a a a ++++=L 1231n a a a a ++++=L {}n a ()2*k k N ∈{}n a {}n a ()2*k k N ∈{}i a ()1,2,3,,k S k n =L 12k S ≤{}1,2,3,,m n ∈L 12m S ={}k S23、（本题满分18分，其中（1）小题满分4分，（2）小题满分6分，（3）小题满分8分）由函数)(x f y =确定数列{}n a ，)(n f a n = .若函数)(1x fy -=能确定数列{}n b ，)(1n fb n -=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“反数列”.（1）若函数x x f 2)(=确定数列{}n a 的反数列为{}n b ，求.n b ；（2）对（1）中的{}n b ，不等式)21(log 21111221a b b b a n n n ->+++++Λ对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设)12(2)1(132)1(1-⋅--+⋅-+=n c n n λλ（λ为正整数），若数列{}n c 的反数列为{}n d ，{}n c 与{}n d 的公共项组成的数列为{}n t （公共项q p k d c t q p k ,,,==为正整数），求数列{}n t 的前n 项和n S .23、解：（1）)0(4)(21≥=-x x x f ，则)(42*∈=N n n b n ；…………4分（2）不等式化为：)21(log 21222212a n n n a ->+++++Λ，…………5分设n n n T n 222212+++++=Λ，因为02221221>+-+=-+n n T T n n ，所以{}n T 单调递增， …………7分则1)(1min==T T n 。