函数连续性的几个问题
第三节函数的连续性
f ( 0− ) = f ( 0 + ) 故x = 0为sgn x的第一类间断点 .
在第一类不连续点处函 数图像会出现一个跳跃 ， 称为跳跃点， 所以第一类不连续点又 称为跳跃点，而 f (0+ ) − f (0− )
称为函数 f ( x )在x0的跃度 .
2.第二类不连续点： 第二类不连续点：
→∞ →∞
1 1 lim 但 lim sin (1 ) = 0， sin ( 2 ) = 1， n→ ∞ n→ ∞ xn xn 1 定理， lim 不存在， 由Heine定理，→0 sin 不存在， x x 1 故x = 0为sin 的第二类间断点 . x
y = sin
1 x
3.第三类不连续点： 第三类不连续点：
的左、 且相等， 函数f ( x )在点x0的左、右极限都存在而 且相等， 但不等于 f ( x0 )或 f ( x )在x0无定义 . 2 x , 0 ≤ x < 1, x =1 例3.2.8 讨论函数 f ( x ) = 1, 1 + x , x > 1, 在x = 1处的连续性 . 处的连续性 y y = 1+ x 解： ∵ f (1) = 1, f (1 − 0) = 2, f (1 + 0) = 2,∴ lim f ( x ) = 2 ≠ f (1), x →1 ∴ x = 1为函数的第三类间断点 . 为函数的第三类间断点
0 0 0
所以证
lim a x＝a x 就归结为证 lim a t = 1， x→ x t →0
0 0
1 1 若 t >0 ， 则当a > 1时，且 ≤ 知， t t 1
1 < at < a
高等数学-函数的连续性
定理1函数 f (x)在 x0 处连续 函数 f (x)在 x0 处既左连续又右连续 .
例1
讨论函数
f
(x)
x
x
2, 2,
x 0, x 0,
在 x 0处的
连续性.
注意：讨论分段函数的连续性时，在分段点处， 一定要分别考虑函数的左右连续性问题
例2
连续的几何意义：连续函数的图形是一条连续 而不间断的曲线. 例如, 函数y ex在区间 (, )内是连续的 .
二、连续函数的运算法则
1.函数的和、差、积、商的连续性
定理1：若函数 f (x), g(x)在点 x0处连续,
则 f (x) g(x),
f (x) g(x),
f (x) g(x)
(g(x0 ) 0)
0,那末就称函数
f ( x)在点 x0连续, x0称为 f ( x)的连续点.
设 x x0 x,
y f (x) f (x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f (x) f (x0 ).
定义 2 设函数 f ( x)在U (x0, ) 内有定义,如果
函数 f ( x)当 x x0时的极限存在,且等于它在
定义区间是指有定义的区间.
求初等函数定义区间内各点的极限时，只 要计算它在该点的函数值
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
( x0 定义区间 )
例1
求
ex cos(x2 1)
lim
.
x1
2x 1
例2
求
ln(e x2 )
lim
x0
ax cos x
.
例3 求函数y x 的连续区间和间断点.
一元函数的连续性及其应用分析
一元函数的连续性及其应用分析连续函数是数学中一个重要的概念，在许多领域中都起到关键作用。
本文将详细讨论一元函数的连续性，并分析其应用。
一、连续函数的定义在数学中，一元函数的连续性是指函数在其定义域上的每一个点都满足极限的定义。
即对于任意给定的ε > 0，存在一个δ > 0，使得当x的取值在(x0 –δ, x0 + δ)范围内时，函数值在(f(x0) –ε, f(x0) + ε)范围内。
二、连续函数的特性连续函数具有以下重要特性：1. 若函数f(x)和g(x)在点x0处连续，那么f(x) + g(x)、f(x) - g(x)、f(x) * g(x)、f(x) / g(x)也在x0处连续；2. 若函数f(x)在点x0处连续，而g(x)在f(x0)处连续，那么g(f(x))也在x0处连续；3. 若函数f(x)在[a, b]区间上连续，那么f(x)在[a, b]上一定有最大值和最小值；4. 至多可以有有限个点不连续的函数也被称为连续函数。
三、连续函数的应用连续函数的应用非常广泛，下面以几个具体的应用场景进行分析。
1. 解析几何中的应用：在解析几何中，连续函数广泛应用于曲线的研究。
通过分析函数曲线的连续性，可以推导出曲线的拐点、极值点、切线等重要信息，进而对曲线进行更深入的研究。
2. 经济学中的应用：在经济学中，连续函数被用于建立供需关系、成本与利润的函数模型。
通过研究这些连续函数的性质，可以解决市场供需均衡、最大利润等重要的经济问题。
3. 物理学中的应用：在物理学中，连续函数在描述物理量随时间或空间的变化规律时经常被使用。
例如，位移、速度和加速度之间的关系可以用连续函数来描述。
4. 优化问题的求解：连续函数在解决优化问题时起到关键作用。
通过研究连续函数的极值点，可以确定问题的最优解，如求解最大值和最小值等。
5. 数值分析中的应用：在数值分析领域中，通过对连续函数进行逼近，可以得到更简洁、有效的数值计算方法。
数学分析考研函数一致连续性问题总结
下面证明 lim f (x) 存在:
x→a+
对于上面给定的 ∀ε > 0 存在对应的 δ > 0, 当任意的 x1, x2 ∈ U˚(a, δ) 时, 即当 |x1 − x2| < δ 时, 都有 |f (x1) − f (x2)| < ε(华东师范第四版数分上册 56 页柯西准则), 所以 lim f (x) 存在,
定理 1.1.1. 一致连续性定义: 设 f (x) 为定义在区间 I 上的函数, 若对 ∀ε > 0, 存在对应的 δ = δ(ε) > 0, 使得对 ∀x1, x2 ∈ I, 只要 |x1 − x2| < δ, 就有 |f (x1) − f (x2)| < ε
例 1.1.1. 设 f (x) 在有限开区间 (a,b) 上连续, 则 f (x) 在有限开区间 (a, b) 上一致连续
2. f 在开区间 (a, b) 可导
则在
(a, b)
上至少存在一点
ξ
使得
f ′(ξ)
=
f (b)−f (a) b−a
现在将这个等式转换一下:f (b) − f (a) = f ′(ξ)(b − a). 这个等式的好处就是两个函数值的 差可以跟对应的自变量的差建立联系, 这一点在一致连续性问题上利用很多, 一定要认真对待.
x→0+
在零这一点单侧极限不存在, 故假设不成立, 所以函数在此区间上不一致连续.
03.函数的连续性
x → s x = cos x0
x→x0
所以, 多项式及正, 余弦函数在任何点x0处连续.
一、函数的连续点与间断点
x, 当x ≥ 0时, 在x = 0处连续. 例1. 证明f ( x) =| x |= − x, 当x < 0时,
0
x→ x0
间断点有2类： 跳跃间断点：f ( x0 + 0), f ( x0 − 0)存在但不相等； 第一类间断点： 可去间断点： f ( x)存在但 lim f ( x) ≠ f ( x ).或f ( x )无定义 lim 0 0 x → x0 x → x0 第二类间断点：f ( x0 + 0), f ( x0 − 0)中至少有一不存在.
第 二 类 间 断 点
0
x0
y
y
x
0
x 振荡型
无穷型
一、函数的连续点与间断点
lim f ( x) ≠ f ( x0 )或f ( x0 )无定义
+ 0 − 0
间 断 点
可去间断点
x → x0
跳跃间断点 xlim f ( x ) ≠ xlim f ( x ) →x →x 无穷间断点
f ( x ) 在 x 0点 左 右 极 限 至 少 有 一 个 为 无 穷 大
x →0
故, f (x)在x=0间断. 图形为
y 1 o –1
y=f (x)
x
一、函数的连续点与间断点
若f (x)在(a, b)内每一点连续, 则称f (x)在 开区间(a, b)内连续.
若f (x)在(a, b)内连续, 且f (x)在x=a右连续. 在x=b左连续. 则称f (x)在闭区间[a, b]上连续.
高等数学函数的连续性
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x) f ( x0 ),称为函数 f ( x)相应于x的增量.
y
y
y f (x)
y f (x)
y
y
x
x
0 x0 x0 x x 0 x0 x0 x x
(3)
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ).
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称
函数 f ( x)在点 x0处不连续(或间断), 并称点x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).
1.跳跃间断点 如果 f ( x)在点 x0处左, 右极限都
存在,但f ( x0 0) f ( x0 0), 则称点 x0为函数 f ( x)的跳跃间断点.
x0
x
无穷型
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
例如:
y
y tan x
x
2
为其无穷间断点 .
x 0 为其振荡间断点 .
y
o
x
2
y y sin 1 x
0x
x 1为可去间断点 .
o1 x
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x, x 1
(4)
y
f
(x)
1 2
,
x 1
y
1
显然 lim f (x) 1 f (1)
对任意的, 当 0时, 有 sin | |,
故 y 2sin x x , 2
当x 0时, y 0.
一元函数连续性概念(复习)
f(x,y)关于 R2 在(0,0)是否连续。
例1 设f(x,y)=2 , (x,y)∈D，D={ (x,y) | x=n/10, y=m/10, m,n=1,2,…10}, f(x,y)在D是否连续？
解：任意P0∈D，则P0为D的弧立点。存在δ>0, 使 U0(P0;δ)∩D=φ
故对于任给的ε>0, 取上述δ>0 ， 只要 P∈U(P0;δ)∩D,
一、二元函数的连续性 问题: 3. 二元函数
z f ( x, y),( x, y) D 在点 P0 ( x0 , y0 ) 连续定义中,对 P0有何要求?是否要求其为D的聚点?
4. 能否将二元函数 z f ( x, y),( x, y) D 在点 P0 ( x0 , y0 )
连续定义表为:
x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) y z f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
z 称为f(x,y)在P0的全增量.
x z 称为f(x,y)在P0关于x的偏增量. y z 称为f(x,y)在P0关于y的偏增量.
f(x,y)在(x0,y0)连续
则，复合函数
g( x, y) f [( x, y), ( x, y)]
在P0(x0,y0)连续。 证： f(u,v)在(u0,v0)连续：
0, 0,(u, v) :| u u0 | ,| v v0 | ,
| f (u, v) f (u0 , v0 ) | .
又φ和ψ在点P0连续， 对上述 0, 0, ( x, y) :
故 g(x,y) 在 (x0,y0) 连续。
●初等函数在其定义上连续。 ●对于初等函数，在有定义处极限运算就是函数值的计算。 ●关于极限的计算，侧重在无定义处或分段函数分段点处的极限。
函数的连续性与间断点分析
函数的连续性与间断点分析函数的连续性是数学中的重要概念，它描述了函数在某个区间上的平滑性和无间断性。
本文将探讨函数的连续性以及间断点的分类与分析。
一、函数的连续性函数的连续性是指函数在其定义域上的无间断性。
具体而言，对于定义域内的任意两个数a和b，如果函数f在区间[a, b]上的值无论多么接近于f(a)，都能使函数在该区间上连续，那么函数f就被称为在该区间上连续。
函数的连续性可以用极限的概念进行描述。
如果对于函数f的每一个定义域内的点x0，都有lim(x→x₀) f(x) = f(x₀)，那么函数f在点x₀处连续。
换句话说，函数在某一点的函数值等于该点的极限值，这就是函数在该点的连续性。
函数的连续性在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以通过函数的连续性分析质体的运动轨迹；在经济学中，连续函数被用于分析经济增长模型等。
函数的连续性是数学建模中常见的假设之一。
二、间断点的分类与分析间断点是指函数在某些点处不满足连续性的现象。
根据函数在间断点的性质，可以将间断点分为三类，即可去除间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
1. 可去除间断点可去除间断点是指函数在某点x₀处的极限存在，但函数在x₀处的函数值与该极限值不相等。
通常情况下，通过修正函数在间断点的定义，可以消除可去除间断点。
例如，考虑函数f(x) = (x - 1)/(x - 1)，在x=1处有可去除间断点，但若将f(1)的定义修改为1，则可将间断点去除。
2. 跳跃间断点跳跃间断点是指函数在某点x₀处的左右极限存在且有限，但两侧极限值不相等。
这种间断点的存在导致函数在该点处存在一个突变或跳跃。
例如，考虑函数f(x) = 1/x，在x=0处有跳跃间断点，因为lim(x→0⁺) f(x) = +∞，而lim(x→0⁻) f(x) = -∞。
3. 无穷间断点无穷间断点是指函数在某点x₀处的一侧或两侧的极限为无穷大。
例如，考虑函数f(x) = 1/x，在x=0处有无穷间断点，因为lim(x→0⁺) f(x) = +∞，而lim(x→0⁻) f(x) = -∞。
关于一元函数连续性的几个问题
关于一元函数连续性的几个问题
一元函数的连续性是数学中一个重要的概念，它是指函数在某一点处的变化程度是否可以
无限接近。
一元函数的连续性是指函数在某一点处的变化程度是否可以无限接近，这意味
着函数在某一点处的变化程度是可以无限接近的。
连续性是一元函数的一个重要特性，它
可以帮助我们更好地理解函数的行为。
一元函数的连续性可以通过极限的概念来理解。
极限是指当函数的变量接近某一值时，函
数值的变化程度是可以无限接近的。
如果函数的变量接近某一值时，函数值的变化程度不
能无限接近，那么这个函数就不是连续的。
一元函数的连续性也可以通过函数的导数来理解。
函数的导数是指函数在某一点处的变化率，如果函数的导数在某一点处存在，那么这个函数就是连续的。
如果函数的导数在某一
点处不存在，那么这个函数就不是连续的。
一元函数的连续性也可以通过函数的可导性来理解。
函数的可导性是指函数在某一点处是
否可以被导出，如果函数在某一点处可以被导出，那么这个函数就是连续的。
如果函数在
某一点处不可以被导出，那么这个函数就不是连续的。
一元函数的连续性是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的行为。
它可以通过极限、函数的导数和可导性来理解，如果函数在某一点处的变化程度是可以无限接近的，那么这个函数就是连续的，反之则不是。
高考第一轮复习数学函数的连续性及极限的应用
答案：D
3.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是
A.①B.②③C.①④D.③④
答案：A
4.四个函数:①fx= ;②gx=sinx;③fx=|x|;④fx=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是____________.把你认为正确的代号都填上
答案：②③④
●典例剖析
图丁表示的是 fx存在,但它不等于函数在这一点处的函数值fx0.
●教师下载中心
教学点睛
1.函数fx在点x0处连续与fx在点x0处有极限的联系与区别:
其联系是:它要求 fx存在.
其区别是:函数在某点处连续比在此点处有极限所具备的条件更强.首先,fx在点x0处有极限,对于点x0而言,x0可以属于fx的定义域,也可以不属于fx的定义域,即与fx0是否有意义无关,而fx在点x0处连续,要求fx在点x0及其附近都有定义;其次,fx在点x0处的极限值与fx在点x0处的函数值fx0可以无关,而fx在点x0处连续,要求fx在点x0处的极限值等于它在这一点的函数值fx0.我们通常说“连续必有极限,有极限未必连续”,正是针对上述事实而言的.
1.函数fx在点x0处连续反映到函数fx的图象上是在点x=x0处是不间断的.一般地,函数fx在点x0处不连续间断大致有以下几种情况如下图所示.
图甲表示的是fx在点x0处的左、右极限存在但不相等,即 fx不存在.
图乙表示的是fx在点x0处的左极限存在,而右极限不存在,也属于 fx不存在的情况.
图丙表示的是 fx存在,但函数fx在点x0处没有定义.
2.函数fx在点x0处连续必须具备以下三个条件:
函数fx在点x=x0处有定义;
函数fx在点x=x0处有极限;
函数的连续性
x 2 ( x 1)3 , D { x x 0, 及 x 1}
在点x = 0的去心邻域(邻域半径小于1)内没有定义,
因此它在 x=0 处不连续，从而在其定义域内不连续.
但此函数在其定义区间 [1,)上连续.
2° 初等函数求极限的方法代入法. 设 f ( x )是初等函数，x0 定义区间, 则
f ( x ) g(x)
在点x0 连续. 此运算法则对有限个函数成立.
2. 反函数的连续性
定理1.15 如果函数 y f ( x ) 在区间 I x 单调增加
(减少) 且连续. 则其反函数 x f 1( y ) 在对应区间
I y { y y f ( x), x I x }
π x 2 nπ ，即 ② 2 π x 2 nπ (n 0, 1, 2 , L ) 2 2°判 断 类 型
上亦单调增加(减少)且连续. (证明略)
例如：y sin x 在 [ , ] 上连续单调递增， 2 2 其反函数 y arcsin x 在[－1 , 1]上也连续单调递增. 类似地, y arccos x在区间[ 1, 1] 上连续单调递减.
y arctan x 及 y arccot x
x x0
o
1. 定义设 f ( x ) 在点x 0的某去心邻域 U ( x 0 )内有定义，
如果上述三个条件中有一个不满足，则称 f (x) 在
点x0 处不连续(或间断)，并称点x0为 f (x)的不连续
点 (或间断点).
2. 间断点的分类 根据： f ( x ) 与 f ( x ) 是否同时存在 .
xx0
x x0
lim f ( x) f ( x0).
函数的连续性问题(讲解)
函数的连续性问题(讲解)连续性是函数学中一个十分重要的概念，它涉及到极限、导数等多个知识点的运用。
本文将结合数学公式和图形，讲解函数连续性的相关问题。
什么是函数的连续性函数的连续性是指当自变量取一个接近某一值时，函数值也随之接近一个确定的值，换言之，函数在该点附近的图像不会出现突变。
换一种说法，如果一个函数在某个点的左侧、右侧和该点处的值都存在并相等，那么这个函数就是在该点的连续的。
函数的间断点具体来说，如果一个函数在某个点的值不存在，或者存在但和左右两侧的值不相等，那么这个点就是函数的间断点。
常见的间断点有可去间断点和跳跃间断点。
可去间断点是指，在函数的某个点上左极限、右极限存在，并且相等，但是函数本身在该点的值会“跳跃”，例如$f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$在$x=0$处的函数值即为可去间断点。
跳跃间断点是指，在函数的某个点上左极限和右极限都存在，但是值不相等，例如$f(x)=[x]$在整数处的函数值即为跳跃间断点。
连续函数与间断函数函数有时可以用连续函数和间断函数的形式表示。
如果一个函数在定义域内的所有点处都是连续的，那么这个函数就是连续函数。
反之，如果一个函数在定义域内至少有一个点是不连续的，那么这个函数就是间断函数。
应用举例举个例子，我们可以来看一下函数$f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$的连续性。
首先，我们可以求这个函数在$x=0$处的极限。
因为$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1$，所以$f(0)$的定义为$1$。
由于$f(x)$在$x=0$处的极限存在并且等于$f(0)$，因此$f(x)$是在$x=0$处连续的。
再举个例子，我们可以来看一下函数$g(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$处的连续性。
因为$\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}$不存在，因此$g(x)$在$x=0$处不连续。
总结本文简单讲解了函数的连续性问题，包括连续性的具体定义、间断点的分类、连续函数和间断函数的区别，以及应用举例。
第二讲 函数的连续性讨论
例2 1. 讨论函数 间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 , x = 2 是第二类无穷间断点 . 2. 设 时 为
连续函数.
提示:
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例3
证明函数
sin x 1. 证 因为 lim x 0 x
sin x , x 0, f ( x) x 在 x = 0 处是第一类间断点. 0 ,x0 y
故 x 1 为跳跃间断点.
在 x 0 , 1处 , f ( x) 连续.
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二、连续函数的运算与初等函数的连续性
1、连续函数的运算法则 2、初等函数的连续性
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1、连续函数的运算法则
定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积 , 商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 在其定义域内连续 定理2. 连续单调递增 (递减)函数的反函数 也连续单调 递增(递减). (证明略) 例如, y sin x 在 上连续单调递增，
二分法
1 2
0
1 x
3 4
则 ( 1 , 3 ) 内必有方程的根 ; 可用此法求近似根. 2 4
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故复合函数
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例如,
是由连续函数链
x R*
复合而成 , 因此
x R * 上连续 . 在
y
1 y sin x
o
x
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函数的连续性知识点及例题解析
函数的连续性知识点及例题解析1. 函数的连续性概念在数学中，函数的连续性指的是当自变量的值变化时，函数值的变化趋势和自变量的变化趋势相一致。
如果在某个区间内，函数在该区间的任意一点都存在极限，并且极限与该点的函数值相等，则称该函数在该区间内连续。
2. 函数的连续性条件函数f(x)在点x=a处连续的条件是：- 函数在点x=a处存在- 函数在点x=a处的左极限等于右极限- 函数在点x=a处的极限与函数在该点的函数值相等3. 函数的连续性的判定方法3.1 图像法：通过观察函数的图像来确定函数是否连续。
如果函数的图像没有跳跃、断裂或间断现象，那么该函数在相应区间内是连续的。
3.2 极限法：通过计算函数的极限来判定函数是否连续。
如果函数在某个点的极限存在并与函数在该点的函数值相等，则该函数在该点连续。
4. 函数的连续性例题解析例题1：考虑函数：\[ f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{if } x \leq 0 \\ x-1, & \text{if } x > 0 \end{cases} \]问：函数f(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0^-}f(x) = 0+1 = 1\)和\(\lim_{x\to0^+}f(x) = 0-1 = -1\)。
由于左极限和右极限不相等，所以函数在x=0处不连续。
例题2：考虑函数：\[ g(x) = \begin{cases} \sin(x), & \text{if } x \neq 0 \\ 1, & \text{if } x = 0 \end{cases} \]问：函数g(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0}g(x) = \lim_{x\to0}\sin(x) = \sin(0) = 0\)。
高三数学专题 函数连续性问题
高三数学专题函数连续性问题函数连续性是高中数学中一个重要的专题，它和函数的性质有着密切的关系。
函数连续性问题主要包括函数的连续性、间断点和间断性等内容。
下面将重点介绍函数连续性问题的相关概念和解题方法。
1. 函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域内的每一个点都存在极限，并且函数在这些点上的极限等于函数在这些点上的函数值。
也就是说，如果函数在某一点的左极限和右极限存在且相等，那么函数在这一点就是连续的。
函数的连续性可以用数学定义来表示，如下所示：定义：设函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 的某一个邻域内有定义，如果 $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 连续。
设函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 的某一个邻域内有定义，如果 $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 连续。
2. 间断点和间断性当函数在某一点上不连续时，该点就被称为间断点。
间断点的种类有三种：1. 可去间断点：也称为去除不连续点，指的是在某一点上存在极限，只需要对函数在该点进行修正或定义，就可以使函数连续。
2. 跳跃间断点：也称为绝对不连续点，指的是在某一点上的左极限和右极限存在，但两者不相等。
3. 无穷间断点：指的是在某一点上的左极限或右极限为无穷大，或者两者中至少有一个不存在。
3. 解题方法在解决函数连续性问题时，可以采用以下方法：1. 观察函数的定义域和值域，找出函数可能的间断点；2. 分析间断点的性质，并确定其类型；3. 运用极限的相关定理或其他相关数学知识，来判断函数在间断点是否连续；4. 根据函数在不同区间的连续性情况，综合判断函数的连续性。
需要注意的是，解决函数连续性问题时，可以利用函数在不连续点附近的局部性质来分析，同时还需要注意避免除数为零等数学错误。
结论函数连续性问题是高中数学中的重要内容之一，它涉及到函数的连续性、间断点和间断性等概念。
函数的连续性的例题和习题[一]
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函数的连续性的例题与习题函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。
第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。
下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。
还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。
要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？一．函数的连续例1.1（例1.20（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照）设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且()f x 在0x =连续。
证明：()f x 在任意点x 处连续。
分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。
其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么在本题里，要证的是“()f x 在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点x ，用函数连续的定义来证明在x 处连续。
你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。
在本题中，提供了条件()()()f x y f x f y +=+，也就是()()()f x y f x f y +-=，你的脑海里就要想到，如果设y x =∆，那么就有 ()()()y f x x f x f x ∆=+∆-=∆；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：()f x 在0x =连续！它意味着：0lim (0)(0)x f x f ∆→+∆=。
证明的思路就此产生！证明：因为 ()()()f x y f x f y +=+，取0y =，则有 ()()(0)f x f x f =+，所以(0)0f =。
函数连续性的几个问题
函数连续性的几个问题
有界性：闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。
1、有界性
所谓有界就是指，存有一个正数m，使对于任一x∈[a,b]，都存有|f(x)|≤m。
证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。
2、最值性
所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。
最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反
向即可。
3、多值性
这个性质又被称作介值定理，其包含了两种特殊情况：
（1）零点定理。
也就是当f(x)在两端点处的函数值a、b异号时（此时存有0在a和
b之间），在开区间(a,b)上必存有至少一点ξ，并使f(ξ)=0。
（2）闭区间上的连续函数在该区间上必定取得最大值和最小值之间的一切数值。
闭区间上的连续函数在该区间上一致已连续。
所谓一致连续是指，对任意ε>0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间i上任
意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就称f(x)在i上是一致连续的。
对于连续性，在自然界中存有bai许多现象，例如气温du的变化，植物的`生长等都
就是已连续地zhi变化着的。
这种现象在函dao数关系上的充分反映，就是函数的连续性。
直观地说道，如果一个函数的图像你可以一笔画出，整个过程不必抬笔，那么这个函数就
是已连续的。
函数连续性的几个问题
第12卷 第2期2010年3月天津职业院校联合学报Jou rnal of Tianjin Vocational Institutes NO.2Vol.12Mar.2010函数连续性的几个问题曹 媛(天津海运职业学院,天津市 300457)摘 要: 函数的连续性和可微性是微积分的基本概念,维尔施特拉斯用E 、D 这种静态的有限量刻划了动态的无限量,给出了函数连续性的现代定义,并用分析式给出了历史上第一个处处连续而处处不可微函数的经典例子。
典型函数如狄里克雷函数在实数域上每一点都不连续,而黎曼函数在每一无理数点上连续,在每一有理数点上不连续。
基本初等函数与初等函数的连续性有定义域和定义区间的区别,一些初等函数的定义域是一些离散的点,因此,初等函数只能在其定义区间内连续。
关键词: 函数;连续性;可微性;典型函数;定义域;定义区间中图分类号:O 174 文献标识码:A 文章编号:1673-582X (2010)02-0078-03收稿日期:2009-10-26作者简介:曹媛(1983-),女,天津市人,天津海运职业学院助教,主要从事数学教学。
图1一、函数的连续性和可微性函数的连续性和可微性是微积分的基本概念。
/连续函数0在直观上是函数曲线没有间断,连在一起,而/函数在一点可导0直观上是函数曲线在该点有切线,所以在直观上连续与可导有密切的联系。
认为连续函数一定可微,对于学过数学分析的学生来说是常识性的错误。
然而,在微积分建立之初,几乎所有数学家都确信连续函数一定是可微的。
最早明确区别函数连续性和可微性的例子,出现在德国大数学家黎曼1854年的论文中。
1817年波尔察诺为了发表他的论文,需要一个精确的连续函数的定义,于是波尔察诺开始对函数性质仔细研究,并用极限概念给出了在某一区间内连续的恰当定义:如果在某区间内任一x 处,只要|w |充分小,就能使|f (x +w)-f (x )|任意小,则称f (x )在该区间上连续,这与定义函数连续性的现代方法)E -D 非常类似。
PPT教学课件函数的连续性
练习1：连续函数的图象有什么特点？观察下列函数 的图象，说出函数在x=a处是否连续：
y 连续
y 不连续
y 连续
Oa x
Oa x
Oa x
（1） y
（2） y
（3） y
Oa 不连续
（4）
x
Oa
不连续 （5）
x
Oa x
不连续 （6）
y y
不连续
连续
oa
x
（7）
o
a
x
（8）
2、函数的连续性：
(1)、开区间内连续：如果f(x)在某一开区间(a,b)内 每一点处都连续，就说函数f（x）在开区间（a，b） 内连续，或说f（x）是开区间（a，b）内的连续函数.
如函图数：的从图直象观在((32上x))=lxxl看xi im0mxx处，00 f没我f((有们xx)中)说断一fxl， i个(mxx所0函0 )以f数(以在x)上一图点f象x(=x(x100)处) 连在续点是x0处指是这连个 续的,而图象(2)(3)(4)在x=x0处是不连续的。
f ( x) x2 1 x 1( x 1)
2:对于分式函数,要注意如果分子、分母约去一个或几个 因式后,所得函数与原函数是否是同一个函数.
延伸：设
f
(x)
a
ex
x, ,
x0 x0
问怎样选择实数a,能使f(x)在
R上是连续的.
解： lim f (x) lim(a x) a, lim f (x) lim ex 1,
x0
x0
x0
x0
练习2、利用下列函数的图象，说明函数在给定点或开区间 内是否连续。
(1) f ( x)
1 x2
,点x 0;
关于连续性的几个问题
关于函数连续性的几个问题判断以下几个结论是否正确：1.在实数轴上处处有定义但处处不连续的函数是不存在的.错，反例：1()0x Q f x x Q ∈⎧=⎨∉⎩. 2.在实数轴上处处有定义但只有一个连续点的函数是不存在的.错，反例：()0x x Q f x x Q ∈⎧=⎨∉⎩，0是唯一的连续点.3.若()f x 在0x 处连续，则|()|f x 在0x 处必连续.对.4.若|()|f x 在0x 处连续，则()f x 在0x 处必连续.错，反例：1()1x Q f x x Q ∈⎧=⎨-∉⎩， |()|1f x ≡处处连续，但()f x 处处不连续. 5.分段函数必有间断点.错，反例：sin 0()0x x f x x x >⎧=⎨<⎩.6.若()f x 在0x 处连续，则()g x 在0x 处不连续，则()()f x g x 在0x 处不连续.错，反例：1sin 0(),()00x f x x g x x x ⎧≠⎪==⎨⎪=⎩，而1sin 0()()00x x f x g x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0处连续.7.若()f x 、()g x 在0x 处都不连续，则()()f x g x 在0x 处不连续.错，反例：10sin 0(),()1000x x x f x g x x x x ⎧≠≠⎧⎪==⎨⎨=⎩⎪=⎩，而1s i n 0()()00x x f x g x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0处连续.8.若()f x 在0x 处连续，则()g x 在0x 处不连续，则()()f x g x +在0x 处不连续. 对.9.若()f x 、()g x 在0x 处都不连续，则()()f x g x +在0x 处不连续.错，反例：00(),()1010x x x x f x g x x x ≠-≠⎧⎧==⎨⎨=-=⎩⎩，则()()0f x g x +≡处处连续. 10.若()y f u =处处连续，()u g x =在0x 处间断，则[()]f g x 在0x 处间断.错，反例：10()0,()10x y f u g x x ≥⎧===⎨-<⎩，则[()]0f g x ≡处处连续.。
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函数连续性的几个问题
作者：曹媛
作者单位：天津海运职业学院,天津市,300457
刊名：
天津职业院校联合学报
英文刊名：JOURNAL OF TIANJIN VOCATIONAL INSTITUTES
年，卷(期)：2010，12(2)
被引用次数：0次
1.华东师范大学数学系教学分析 2001
2.莫里斯·克莱因古今数学思想 1982
3.金友良关于一元函数连续性的几个问题 2007(6)
1.学位论文吴新林模糊测度空间上集值函数的收敛性和连续性2005
本论文主要研究了单调测度空间上闭集值可测函数(也称为随机集)的收敛性和连续性.具体工作如下：
(1)利用非可加集函数的几种连续性分别证明了单调测度空间上关于闭集值可测函数的四种类型的Lebesgue定理.
(2)分别证明了单调测度空间上关于闭集值可测函数的标准形式和伪形式的Riesz定理.
(3)在有限模糊测度空间上，讨论了闭集值函数在Hausdorff度量意义下的连续性和集值函数序列的各种收敛性。
利用模糊测度的零可加性、正则性，证明了模糊测度空间上关于闭集值可测函数的Lusin定理，建立了集值函数的可测性和连续性之间的联系.以上的这些结果是实值可测函数在模糊测度空间上的相关结果的进一步推广.
2.期刊论文罗韵蓉浅谈函数的连续性与间断点的教学体会-科学咨询2009,""(4)
函数在一点处的连续定义函数连续性的讨论函数的间断点及分类与判定.
3.期刊论文程玲.游文丽.田茹.范永亮单水平连续性抽样方案CSP-V的流向图方法-数理统计与管理2003,22(3)
本文利用转移概率流图和转移概率母函数的方法推导并得到了连续性抽样方案CSP-V的平均检出质量(AOQ)、平均检查比离(AFI)、和操作特性函数(OC)等三个基本特性函数.
4.学位论文杨二光半层空间的函数刻画与广义连续性2005
在过去数年间，人们对函数的单调插入问题进行了广泛的讨论。
该问题的解决给出了对诸如可数仿紧空间，层空间等的函数刻画。
受这些结论的启发，本文给出了对半层空间的几个函数刻画。
另外，广义连续性也是一个广受关注的问题。
本文定义了几种新的广义连续映射，并讨论了他们和连续映射及已有的某些广义连续映射之间的关系。
在这篇论文中我们主要讨论了半层空间的刻画和连续映射的分解。
全文由四个部分组成。
第一章介绍了问题的提出和相关的背景材料。
第二章介绍了半连续函数的某些性质并利用它们给出了对半层空间的函数刻画。
其中主要结论为：X为半层空间当且仅当存在保序映射φ：LSC(X)→USC(X)使得对任意h∈LSC(X)，有0≤φ(h)≤h，且当h(x)＞0时，0＜φ(h)(x)＜h(x)。
第三章通过引入弱半连续映射及弱准连续映射的概念来推广弱α连续性，讨论了弱半连续映射及弱准连续映射的一些性质，并讨论了它们与已有的某些广义连续映射之间的关系。
主要结论为
：映射f：(X,T)→(Y,U)为弱半连续(弱准连续)的当且仅当f为弱拟连续(几乎弱连续)的。
第四章通过对A连续映射的分解给出了对连续映射的几个分解定理。
其中主要结论为：对映射f：(X，T)→(Y，U)，下列论断等价：(a)f连续，(b)f既α连续又A连续，(c)f既α连续又LC连续，(d)f既α连续又c连续。
5.期刊论文程崑电大《高等数学》课程中函数连续性导学的几个要点-新疆广播电视大学学报(综合版) 2001,""(4)
在远程开放条件下,电大的教学是以学生自主学习和教师适时辅导来实现的.而学员在对<高等数学>课的自主学习中普遍感到较难达到目标要求,其中有学员的基础因素,学法不当的因素、以及思维习惯、思维方式等多方面的因素.本文试图以函数的连续性为例说明学习和辅导中的一些要点,同时提出一些可供参考的方法.
6.期刊论文张国华从破坏函数连续性的角度来探讨函数的间断点-企业技术开发（下半月）2009,28(5)
函数的间断点是高等数学中的一个难点,特别是其类型的判别更始难点中的难点.文章另劈溪径从"破坏"函数连续性的角度来探讨函数的间断点,不但使函数的间断性变的更容易理解而且对于间断点的类型的判别更为简单.
7.期刊论文金友良.JIN You-liang关于一元函数连续性的几个问题-成都大学学报（教育科学版）2007,21(6)
阐述一元函数在某点连续的论证、函数的间断点、复合函数的连续性、初等函数的连续性及最值点问题,更加深刻地理解一元函数连续性这一重要概念.
8.学位论文李觉友Clifford分析中两类边值问题和四元数空间中Pompeiu算子的Holder连续性2006
本文用复方法研究Clifford分析中两类边值问题和四元数空间中Pompeiu算子T的性质.在第一章，研究Clifford分析中一类广义正则函数的
Plemelj公式和一个非线性边值问题，运用积分方程方法和Schauder不动点原理证明该问题解的存在性，并得到解的积分表示式，从而推广了文[19]的结果.在第二章中，研究Clifford分析中K-正则函数的表示定理，Cauchy型积分，Plemelj公式和一类Riemann边值问题，得到其边值问题的可解性和解的积分表示式.本章主要是受文[31]，[33]工作的启发而来的，这是把复平而上K-正则函数(也称多解析函数或n解析函数)理论推广到Clifford分析中的高阶情形来研究而作的初步尝试，并得到类似于单复变理论中K-正则函数的一些简洁结果，达到更进一步推广文[24]，[31]中的某些结果.在第三章，研究四元数分析中非齐次Dirac方程分布解Tf的一些性质，证明在Lp,v(Q)函数空间中Pompeiu算子T在有界域和无界域情形下均H(o)1der连续，并得到它在无穷远附近与|z|-2-α是同阶无穷小量，这对在四元数分析中研究椭圆型方程组及其边值问题起了促进作用.
9.期刊论文高玉彪.GAO Yu-biao一维空间函数连续性定义剖析-榆林高等专科学校学报2002,12(4)
对一维空间函数连续性的两种定义进行对比和分析讨论,得出一维空间函数连续性的ε-σ语言表述性定义更具概括性.它使函数定义域内孤立点变为连续点,左右连续变为连续,把连续进行了理论化的抽象拓广.
10.学位论文车翔玖NURBS曲面造型中的几何连续性问题2003
,该文主要结果共分三部分.第一部分研究了任意给定次数的具有一般双向(两个)节点向量(诸内节点重数任意给定,且非均匀分布)的张量积B样条曲面的几何连续(G<'1>,G<'2>连续)条件.我们得到了两邻接B样条曲面间G<'1>,G<'2>连续的充要条件,给出了两类G<'1>连续的充分条件和一类G<'2>连续的充分条件.特别是给出了隐藏在G<'1>,G<'2>连续充分条件之中的G<'1>,G<'2>连续一致光滑条件,这是与Bézier曲面几何连续性之本质区别.另一方面,我们证明了两邻接B样条曲面的G<'1>,G<'2>连续拼接函数都是分段多项式函数.基于分段光滑矢量函数可约的概念,我们给出了两邻接B样条曲面的G<'1>连续拼接函数之光滑性和次数的相关定理.同时,我们得到了N面角点处B样条曲面间G<'1>连续的一类充分条件及其成立的相容条件.第二部分研究了任意给定次数的具有一般双向(两个)节点向量(诸内节点重数任意给定,且非均匀分布)的NURBS曲面的几何连续(G<'1>连续)条件.利用NURBS曲面的齐次坐标形式,我们给出了两张NURBS曲面间G<'1>连续的充要条件及两类实用的充分条件,并着重给出了隐藏在充分条件之中的G<'1>连续一致光滑条件.另一方面,我们证明了两邻接NURBS曲面的G<'1>连续拼接函数是分段多项式函数,并得到了N面角点处NUBRS曲面间G<'1>连续的一类充分条件及其成立的相容条件.第三部分研究了由NURBS曲面的G<'1>连续一致光滑条件而引发的关于NURBS曲线曲面参数连续阶的约束提升问题.该文所给出的NURBS(B样条)曲面的G<'1>连续一致光滑条件,其实质是通过对控制顶点及权因子增加一定约束条件,而提升两曲面间的公共边界线的参数连续阶(提升一阶).特别是,我们给出了整体提升NURBS曲线(在每个内节点处)参数连续阶(提升一阶)的约束条件,并确定了整体提升NURBS曲线的参数连续阶(提升一阶)的自由度.另一方面,我们对NURBS曲面的参数连续阶的约束提升问题也进行了研究.得到了在节点向量和次数保持不变的前提下,提升NURBS曲面沿一等参数线处的参数连续阶(提升一阶)的约束条件,并依此确定了整体提升NURBS曲面(沿每一等参数线处)的参数连续阶(提升一阶)的自由度.这一部分结果在NURBS曲线曲面造型、光滑拼接、曲面光顺中有重要应用价值,丰富人们对NURBS曲线曲面参数连续性的认识.
本文链接：/Periodical_tjcrgdxxlhxb201002022.aspx
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下载时间：2010年8月9日。