含参一元二次不等式的解法

25 4a
2

1、讨论二次项
2、讨论判别式 3、讨论根的大
小结： 系数，确定不等 式类型
的正负，确定根 小，确定解集 的情况
不等式ax2 bx c 0的讨论级别如下框架进行
当a=0时，不等式就成为一次不
V 0等 式或结更论 低次数的不等式，解集
a 0 V 0很 显然结的论 ，但是这种情况容易丢
故只需对二次项系数进行分类讨论。
综上所述
1当a

0时，解集为 x
|
x

a

2
2a
a2

4
或x

a

2
2a
a2

4


2当a

0时，不等式的解集为
x
|
x


1 2
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；
3当a

0时，解集为 x
|
a
2 2a
a2

4

x

a
分析： 因为不等式可变形为a x 2 x 3 0，所以我们只要讨论二次项系数
解：
Q a 0ax2 5ax 6a 0 ax 2x 3 0
所以方程a x 2 x 3 0的两根为想x1 2, x2 3 当a 0时，不等式的解集为x | x 2或x 3；
优先 V 0失 ，所xx11以在xx解22 题 时结 结论 论 考虑
a 0 结论
V 0 结论
V 0 结论
a 0
V
0


x1
x1

x2 x2
结论 结论
课堂练习：
1 解关于 x不等式：ax2 a 2 x 1 0
分析：
本题二次项系数含有参数， a 22 4a a2 4 0，
含参一元二次不等式 的解法
授课教师：吴锌铭
授课班级：高二（8）班
实例回顾 解不等式： x2 5x 6
解：原不等式可变形为：x2 5x 6 0 方程x2 5x 6 0的两个根为： x1＝2，x2＝3
∴ 不等式的解集为{x│ x <2或x>3}.
新课探究：
例1、解关于x的不等式：x2 5ax+6a2 0
(2)当=0，即a= 25 时，不等式的解集为 4
x
|
x

5
2

(3)当 0,即a 25 时，方程x2 5x a=0的根为 4
x1 5
25 2

4a
,
x2

5

25 4a 2
此时不等式的解集为
x | x 5
25 4a 或x 5 2

2 2a
a2

4

课堂练习：
2、解关于x的不等式x2 (a 1)x 1 0 (a 0) a
分析：
此不等式可以分解为： x a (x 1 ) 0故对应的方程必有两解.
a 本题只需讨论两根的大小即可.
当a

1或0

a

1时，原不等式的解集为

当a 0时，不等式的解集为x | 2 x 3
综上所述：……
新课探究：
例3、解关于解关于x的不等式x2 5x a 0
分析：不等式的二次项系数为1，所以考虑不等
式所对应方程是否存在根的情况加以讨论
解： Q =25-4a (1)当 0,即a 25 时，解集为R
4
分析：
不等式可变形为 x 2a (x 3a) 0故对应的方程
必有两解.所以本题只需讨论两根的大小即可
综上所述
当a 0时，解集为x | x 2a或x 3a；
当a 0时，解集为x | 2a x 3a
新课探究：
例2、解关于x的不等式ax2 5ax 6a 0a 0
（3）讨论时需注意要从小到大，做到 不重不漏
作业练习：
解关于x的不等式mx2 2(m 1)x 4 0
x
|
a

x

1 a

当a 1或a -1时，原不等式的解集为
当

1

a

0或a

1时，原不等式的解集为
x
|
1 a

x

a
小结：
（1）本节课主要学习了数学的分类讨 论思想，数形结合思想。
（2）含参一元二次不等式在对参数讨论 时，一般按二次项系数、判别式、根的 大小的顺序讨论