数值分析原理(封建湖等编著)思维导图
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a 2 ⎪ ⎪乘法运算 ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎡ 2 ⎨ ⎥ ⎨ ⎪ 第一部分《数与式》知识点⎧ ⎧定义：有理数和无理数统称实数. ⎪ ⎪⎪ ⎪分类⎧有理数：整数与分数 ⎪⎪ 无理数：常见类型( 开方开不尽的数、与有关的数、无限不循环小数） ⎪实数⎪ ⎩ ⎧法则：加、减、乘、除、乘方、开方 ⎪ ⎨实数运算⎨ ⎪ ⎩运算定律：交换律、结合律、分配律 ⎪ ⎪ ⎪数轴（比较大小）、相反数、倒数（负倒数）科学记数法 ⎪ ⎪相关概念: ⎨ 2 ⎩ ⎩有效数字、平方根与算术平方根、立方根、非负式子（a a , a ) ⎪ ⎧ ⎧单项式：系数与次数⎪ ⎪分类⎨⎪ ⎪ ⎩多项式：次数与项数 ⎪ ⎪加减法则：(加减法、去括号（添括号）法则、合并同类项) ⎪ ⎪ ⎛ a a m 1 ⎫ ⎪ ⎪幂的运算: a m ⋅a n = a m +n ; a m ÷ a n = a m -n ;(a m )n = a mn ,(ab )m = a m b m ;( )m = ; a 0 = 1;a - p = ⎪ ⎪ ⎝ b b m ⎪整式⎨ ⎛单项式单⨯ 项式；单项式多⨯项式；多项式多项⨯式 ⎫ : 单项式单÷ 项式；多项式单÷项式 ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ a p ⎭ ⎪ ⎪混合运算：先乘方开方，再乘除，最后算加减；同级运算自左至右顺序计算；括号优先 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎧平方差公式：(a + b )(a - b ) = a 2 - b 2 ⎪ ⎪乘法公式⎨2 2 2 ⎩ ⎩完全平方公式：(a ± b ) = a ± 2ab + b ⎧ ⎧分式的定义：分母中含可变字母 ⎪ ⎪分式分⎨ 式有意义的条件：分母不为零 ⎪⎪ ⎪ ⎪⎩分式值为零的条件：分子为零，分母不为零 数与式 ⎪⎪ ⎛ a a ⨯ m a a ÷ m ⎫ ⎪分式分⎨ 式的性质：通 分=与约分; 的=根据）( ⎪⎪ ⎪ ⎝ b b ⨯ m b b ÷ m ⎭ ⎪ ⎪ ⎧通分、约分，加、减、乘、除 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪分式的运算⎨ ⎧先化简再求值（整式与分式的通分、符号变化） ⎪ ⎪ ⎪化简求值⎨ ⎪ ⎩ ⎩ ⎩整体代换求值 ⎪ ⎧定义：式子≥a 叫(a 二0) 根式二次根.式的意义即被开方数大于等于 0. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪二次根式的性质：⎢( a ) = a ; = ⎧ a (a ≥ 0) ⎤ -a (a ≤ 0) ⎪ ⎪ ⎣ ⎩ ⎦ ⎪ ⎪ ⎧最简二次根式（分解质因数法化简） ⎪ ⎪ ⎪ 二次根式⎨二次根式的相关概念同⎨ 类二次根式及合并同类二次根式 ⎪ ⎪ ⎪分母有理化（“ 单项式与多项式” 型） ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎧⎪加减法：先化最简，再合并同类二次根式 ⎪ ⎪二次根式的运算⎨ a ⎪ ⎪ ⎪乘除法：a ⋅（b 结=果化ab 简; = ⎪ ⎩ ⎩ b ⎪ ⎪ ⎧定义：（与整式乘法过程相反，分解要彻底） ⎪ ⎪ ⎧提取公因式法：（注意系数与相同字母，要提彻底） ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ 2 2 ⎪ ⎪ 平方差公式：a - b = (a + b )(a - b ) ⎪分解因式⎨ ⎪公式法⎨ 2 2 2⎪ ⎪方法⎨ ⎩完全平方公式：a ± 2ab + b = (a ± b ) ⎪ ⎪ ⎪十字相乘法：x 2 + (a + b )x + ab = (x + a )(x + b ) ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎩分组分解法：（对称分组与不对称分组） a b ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ 第二部分《方程与不等式》知识点 ⎧ ⎧ ⎧定义与解： ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪一元一次方程解⎨ 法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. ⎪ ⎪ ⎪应用：确定类型、找出关键量、数量关系⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎧⎪定义与解：⎪ ⎪二元一次方程（组）⎪解法：代入消元法、加减消元法⎪ ⎪ ⎨ ⎪方程⎨ ⎪简单的三元一次方程组： ⎪ ⎪ ⎩简单的二元二次方程组：⎪ ⎪ ⎧定义与判别式( △=b 2 - 4ac) ⎪⎪一元二次方程⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩解法：直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法. ⎧定义与根（增根）： ⎪ ⎪分式方程⎨⎪ ⎩ ⎪ ⎧⎪ ⎩解法：去分母化为整式方程，解整式方程，验根. ⎧⎪1. 行程问题： ⎪ ⎪ ⎪2. 工程（效）问题： ⎪ ⎪ ⎪3. 增长率问题：（增长率与负增长率） ⎪ 4.数字问题：（数位变化） ⎪ ⎪ ⎪类型⎨ 方程与不等式 ⎪ ⎪5. 图形问题：（周长与面积（等积变换）） ⎪⎨方程的应用⎪⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 6. 销售问题：（利润与利率） ⎪7. 储蓄问题：（利息、本息和、利息税） ⎩8. 分配与方案问题：⎪ ⎪ ⎧⎪1.线段图示法： ⎪ ⎪常用方法列⎨2表. 法： ⎪ ⎪ ⎪3.直观模型法： ⎧ ⎧一般不等式解法⎪一元一次不等式⎨ ⎪ ⎪ ⎩条件不等式解法 ⎪ ⎪ ⎧⎪解法：（借助数轴） ⎪ ⎪ ⎧1.不等式与不等式 ⎪不等式（组）⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪2.不等式与方程 一元一次不等式组⎨ ⎪ ⎪ ⎪应用不⎨3等. 式与函数 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪4.最佳方案问题 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎩5. 最后一个分配问题 ⎪ ⎪⎩⎪第三部分《函数与图象》知识点⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎨⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ b ⎩ ⎪函数应用⎨ ⎪ ⎪ ⎧ ⎧①各象限内点的特点： ⎪ ⎪ ⎧x 轴：纵坐标y=0； ⎪ ⎪②坐标轴上点的特点⎨ y 轴：横坐标x=0. ⎪ ⎪ 直角坐标系⎪③平行于x 轴，y 轴的线段长度的求法（大坐标减小坐标） ④不共线的几点围成的多边形的面积求法（割补法） ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧关于x 轴对称( x 相同，y 相反） ⎪ ⎪ ⎪ ⑤对称点的坐标关于y 轴对称( x 相反，y 相同） 关于原点O 称( x ，y 都相反）⎪ ⎧ ⎩ ⎩ ⎧ ⎧一、三象限角平分线：y=x ⎪ ⎪正比例函数：y=kx( k ≠0) （一点求解析式）⎨ ⎪函数表达式⎨ ⎩二、四象限角平分线: y=- x ⎪ ⎪一次函数：y=kx+b( k ≠0) （两点求解析式） ⎪ ⎩ 增减性： 与y=kx+b 增减性一样，k ＞0时，x 增大y 增大；k ＜0, x 增大y 减小. ⎪ ⎪一次函数⎨y=kx ⎪ ⎪平移性：y=kx+b 可由y=kx 上下平移而来；若y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2平行，则k 1 = k 2 , b 1 ⎪ ⎪垂直性： 若y=k x+b 与y=k x+b 垂直，则k k = -1. b 2 . ⎪ ⎪ ⎪求交点：（联立函数表达式解方程组） ⎪ ⎪正负性：观察图像y 与0 ＜y 时，0 的取x 值范围（图像在轴上x 方或下方时，的取值x 范围）⎪ ⎩ ⎧ k ⎪ ⎪表达式：≠=一点(k 求解0)(析式） ⎪ ⎪ x ⎪ ⎪ ⎧①区域性：＞时0 ，图像在一、三象限；＜k 时，0 图像在二、四象限. ⎪ ⎪ ⎪ ②增减性⎨⎧k ＞0在每个象限内，y 随x 的增大而减小； ⎪反比例函数性⎨ 质 ⎨ ⎪ ⎪ ⎩k ＜0在每个象限内，y 随x 的增大而减小. ⎪ ⎪ ⎪⎩③恒值性：（图形面积与k 值有关） 函数⎪ ⎪ ④对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形. ⎨ ⎪求交点：（联立函数表达式解方程组求交点坐标，还可由图像比较函数的大小） ⎪ ⎪ ⎧ ⎧①一般式：y ax 2 + bx + c 其, 中 (a ≠ 0), ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪表达式②⎨ 顶点式：=y a (x - k ) +其h ,中（k (a , h ≠)0为),抛物线顶点坐标； ③交点式：= a (x - x )(x - x )其, 中，(a 、≠是0)函数x 图x 象与轴交点的横x 坐标； ⎪ ⎪ ⎩ 1 2 1 2 ⎪ ⎪ ⎧①开口方向与大小：a ＞0向上，a ＜0向下；a 越大，开口越小；越小，开口越小. ⎪ ⎪ ⎪ b ⎪ ⎪ ⎪②对称性：对称轴直线x=- ⎪ ⎪ ⎪ 2a ⎪ ⎪ ⎪ ⎧a ＞0，在对称轴左侧，增x 大减y 小；在对称轴右侧，增大x 增大y ； ⎪ ⎪性质⎪⎪③增减性⎨⎪ ⎪ ⎨ ⎩a ＜0，在对称轴左侧，增x 大增y 大；在对称轴右侧，增大x 减小y ； ⎪ ⎪ ⎪ b 4ac - b 2 ⎪二次函数⎨ ④顶点坐标：（- , ） ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪2a 4a 4ac - b 2 b 4ac -b 2 ⎪ ⎪ ⎪⑤最值：当a ＞0时, x=- ，y = ；a ＜0时，x=- ，y = .⎪ ⎪ ⎩ 2a 最小值最大值 4a2a 4a ⎪ ⎪示意图：画示意图五要素（开口方向、顶点、对称轴、与、x 交y 点坐标） ⎪ ⎪ ⎧a 与：c 开口方向确定a 的符号，抛物线与y 轴交点纵坐标确定c 的值； ⎪⎪ ⎪b 的符号：b 的符号由a 与对称轴位置有关：左同右异. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪符号判断⎨Δ=b 2 - 4ac ：Δ＞0与x 轴有两个交点；Δ＝0与x 轴有两个交点；Δ＜0与x 轴无交点. ⎪ ⎪ ⎪a + b + c ：当x=1时，y=a+b+c 的值.⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩a - b + c ：当x=- 1时，y=a- b+c 的值. ⎪ ⎧①求函数表达式： ⎪ ⎪⎪②求交点坐标： ⎪ ⎪③求围成的图形的面积( 巧设坐标）： ⎪⎩⎩④比较函数的大小. ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 2 2 1 2 ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎪判定：⎨⎪平行于同一条直线的两条直线平行 ⎩ 第四部分《图形与几何》知识要点⎧ ⎧直线：两点确定一条直线 ⎪ ⎪ ⎪线射⎨ 线： ⎪ ⎪线段：两点之间线段最短，（点到直线的距离，平行线间的距离）⎪ ⎩ ⎪ ⎧角的分类: 锐角、直角、钝角、平角、周角. ⎪ ⎪ 0 ” ’ ” ⎪角⎪角的度量与比较：1 ，= 60 1 ；= 60 ⎪ ⎨余角与补角的性质：同角的余角（补角）相等，等角的余角（补角）相等， ⎪ ⎪ ⎩角的位置关系：同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角 几何初步 相交线⎧对顶角：对顶角相等. ⎨ ⎩垂线：定义，垂直的判定，垂线段最短. ⎪ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线⎪ ⎪ ⎪平行线性⎨ 质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补； ⎪ ⎪ ⎧同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，两直线平行⎪ ⎪ ⎪ 平面内，垂直于同一条直线的两直线平行⎪ ⎩⎩⎧ 的对边的邻边的对边 ⎪定义：在R A B C 中，si n =，cos = ，t an =斜边斜边的邻边⎪ ⎧ ⎪ si n 300 = 1 ，co ；s 300 = 3 , tan 300 = 3 ⎪ 2 2 3 三角函数⎨ 特殊三角函数值 0 = 2 cos 450 = 2 , tan 450 = 1 ⎪ s ⎨i n45 ，； ⎪ ⎪ 0 ⎪si n6 = 2 2 3 ，cos 600 = 1 , tan 300 = 3. ⎪ 0 2 2 ⎪ ⎩应用：要构造△t ，才能使用三角函数 .⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ ⎧ ⎧按边分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形 ⎪ ⎪分类⎨ ⎪ ⎪ ⎩按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 ⎪ ⎪ ⎪⎧三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ⎪ ⎪边⎨ 1 ⎪⎪ ⎪面积与周长：C a+b=c ，=S 底 高.⨯ ⎪ ⎩ 2 ⎪ ⎪ ⎧⎪三角形的内角和等于180度，外角和等于360度； 角三 角形的一个外角等于不相邻的两内角之和； ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.⎪ ⎩ ⎪一般三角形⎨ ⎧中线：一条中线平分三角形的面积⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧⎪性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； ⎪ ⎪ ⎪角平分线判⎨ 定：到角两边的距离相等的点在角的平分线上 . ⎪ ⎪⎪ ⎪内心：三角形三条角平分线的交点，到三边距离相等. ⎪ ⎪线段⎪⎩ ⎨高：高的作法及高的位置（可以在三角形的内部、边上、外部） ⎪ ⎪⎪中位线：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； ⎪ ⎪中垂线⎪判定：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.⎪ ⎪ ⎨ 三角形⎪ ⎪ ⎩⎪⎪外心：三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等 ⎪⎨ ⎧ ⎧ ⎩ 等腰三角形的两腰相等、两底角相等，具有三线合一性质，是轴对称图形. ⎪ ⎪性质⎨ ⎪ ⎩等边三角形的三边上均有三线合一，三边相等，三角形等都为6度0 . ⎪ ⎧有两边相等的三角形是等腰三角形； ⎪等腰三角形⎨ ⎪有两角相等的三角形是等腰三角形；⎪ ⎪ ⎪ ⎪判定⎨ ⎪ ⎪ ⎪有一个角为6度0的等腰三角形是等边三角形； ⎪ ⎪⎩ ⎩有两个角是度0的三角 形是等边三角形. ⎪ ⎧ ⎧一个角是直角或两个锐角互余； ⎪ ⎪ ⎪直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ⎪ ⎪性质⎨⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪直角三角形中，30的锐角所对的直角边等于斜边的一半； ⎪直角三角形⎨ ⎪ ⎪ ⎩勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方. ⎧⎪证一个角是直角或两个角互余； ⎪ ⎪判定有⎨ 一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形； ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 2 0 ⎪ ⎪⎩ ⎩勾股定理的逆定理：若a +b =c ，则∠C = 90 . ⎪全等三角形 ⎪⎧性质⎨⎧全等三角形的对应边相等，对应角相等，周长、面积也相等； 全等三角形对应线段（角平分线、中线、高、中位线等）相等.⎪ ⎨ ⎩ ⎪判定：，S ，A ，S ，A .S AAS SSS HL⎩ ⎩⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧多边形：多边形的内角和为（n- 2）⋅ 1800 ，外角和为3600 . ⎪ ⎧定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧⎪直角梯形 ⎧性质：两腰相等、对角线相等，同一底上的两角相等. ⎪梯形⎨ ⎪ ⎪ ⎪特殊梯形两⎨ 腰相等的⎪梯形是⎧ 等腰梯形； ⎪等腰梯形⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 判定对角线相等的梯形是等腰梯形； ⎨ ⎪同一底上的两角相等的梯形是等腰梯形； ⎪ ⎩ ⎩ ⎪ ⎧ ⎧两组对边分别平行且相等 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪性质：平行四边形的⎨两组对角分别相等 ⎪ ⎪ 两条对角线互相平分 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪平行四边形⎪ ⎧两组对边分别平行 ⎪ 一组对边平行且相等 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪判定：⎨两组对边分别相等的⇒四边形是平行四边形. ⎪ ⎪ ⎪两组对角分别相等 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩对角线互相平分⎪ ⎩ ⎪ ⎧⎪性质⎧⎨共性：具有平行四边形的所有性质. 四边形⎨ ⎪ ⎩个性：对角线相等，四个角都是直角. ⎪矩形⎪⎨ ⎧⎪先证平行四边形，再证有一个直角； 判定先证平行四边形，再证对角线相等；⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪三个角是直角的四边形是矩形.⎪ ⎩ ⎩ ⎪ ⎧ ⎧共性：具有平行四边形的所有性质. ⎪ ⎪性质⎨ ⎪菱形⎪ ⎪ ⎨ ⎩个性：对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角，四条边相等. ⎧先证平行四边形，再证对角线互相垂直； ⎪ ⎪ ⎪判定先⎨ 证平行四边形，再证一组邻边相等； ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎩四条边都相等的四边形是菱形.⎪ ⎧⎪性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. ⎪正方形⎨ ⎧证平行四边形矩→形正方→形 ⎪ ⎪判定⎨⎩ ⎩证平行四边形菱→形正方→形 ⎧ 1 ⎪梯形：（=上 底下底+ ）⨯高=中位线高⨯ ⎪ 2 ⎪ ⎪平行四边形：底=高 ⨯ ⎪ 面积求法⎨矩形：长=宽 ⨯ ⎪ ⎪ 菱形：=底高⨯=对角线乘积的一半 ⎪ ⎪ ⎩正方形：边=长边长⨯=对角线乘积的一半 ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎧ ⎧点在圆外：d ＞r ⎪ ⎪ ⎪点与圆的三种位置关系点⎨ 在圆上：d ＝r ⎪ ⎪点在圆内：d ＜r⎪ ⎩ ⎪ ⎧弓形计算：（弦、弦心距、半径、拱高）之间的关系 ⎪圆的轴对称性⎨垂径定理⎨⎧定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ⎪ ⎪ ⎩推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分线所对的弧 ⎪ ⎧ ⎧在同圆或等圆中，两条弧、两条弦、两个圆心角、两个圆周角、 ⎪五组量的关系：⎨两条弦心距中有一组量相等，则其余的各组两也分别相等. ⎩ ⎧同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半； ⎪ ⎪ 0 ⎪圆的中心对称性⎨圆周角与圆心角半⎨ 圆（或直径）所对的圆周角是；90 900的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆.⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪相交线定理：圆中两弦A 、B 相交C 于D 点，则P PA PA = P C PD. ⎪⎪ ⎪ ⎪⎩圆中两条平行弦所夹的弧相等. ⎪ ⎪ ⎪⎧ ⎪⎧相离：d ＞r⎪ ⎪直线和圆的三种位置关系相⎨ 切：d ＝r ( 距离法） 圆⎨ ⎪ ⎪相交：d ＜r ⎩ ⎪ ⎪ ⎧性质：圆的切线垂直于过切点的直径（或半径） ⎪ ⎪圆的切线⎨ 直线和圆的位置关系⎨ ⎩判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.⎪ ⎪ ⎪ ⎪弦切角：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 ⎪ ⎪切线长定理：如图，PA ，P B 平分PO ∠ ⎪ ⎪⎪ ⎪切割线定理：如图，PA 2 = PC PD. ⎪外心与内心： APB A P .O ⎩ ⎪ ⎧相离：外离（d ＞R+r ），内含（d ＜R- r ） C D ⎪ B ⎪圆和圆的位置关系⎪ 相⎨ 切：外切（d=R+r ），内切（d=R- r ） ⎪ ⎪相交：R- r ＜d ＜R+r ） ⎪ ⎧ ⎩ n n ⎪ ⎪弧长公式：l 弧长 = 360 2r = r 180 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪扇形面积公式：S = n r 2 =1 ⋅l ⋅ r 圆的有关计算⎪ ⎪ ⎪ 360 2 弧长 1⎪ ⎪圆锥的侧面积：为侧底=面 ⋅圆2的r 半⋅l =径，rl 为(r 母线） l ⎪⎪圆锥的全面积：S ⎩⎩ 全 =2 r 2 +rl⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ b d n b + d +... + n ⎪ ⎨ ⎪⎪ ⎪ ⎪ 第五部分《图形的变化》知识点⎧ ⎧ ⎧①轴对称指两个图形之间的关系，它们全等 ⎪⎪ ⎪②对应点的连线段被对称轴垂直平分 ⎪ ⎪轴对称（折叠）⎪⎨ ⎪ ⎪③对应线段所在的直线相交于对称轴上一点（或平行） 轴对称⎨⎪ ⎪ ⎩④图形折叠后常用勾股定理求线段长 ⎪ ⎪ ⎧①指一个图形 ⎪ ⎪轴对称图形⎨ ⎪ ⎪ ⎩②轴对称图形被对称轴分成的两部分全等 ⎪ ⎪ ⎧⎪①平移前后两个图形全等⎪平 移⎪②平移前后对应点的连线段相等且平行（或共线）⎨ ⎪③平移前后的对应角相等，对应线段相等且平行（或共线） ⎪ ⎩④平移的两个要素：平移方向、平移距离 ⎪ ⎧①旋转前后的两个图形全等 ⎪②旋转前后对应点与旋转中心的连线段相等，且它们的夹角等于旋转角⎪旋 转⎨⎪③旋转前后对应角相等，对应线段相等⎪ ⎪ ⎪ ⎩④旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角 ⎪ ⎧ ⎧①大小、比例要适中 ⎪ ⎪视图的画法⎨ ⎪ ⎪ ⎩②实线、虚线要画清 ⎪视图与投影⎪⎨ ⎪⎧平行投影：平行光线下的投影，物体平行影子平行或共线 ⎪ ⎪投影⎪中心投影：点光源射出的光线下的投影，影子不平行 ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪视点、视线、盲区 ⎪ ⎩ ⎩投影的计算：画好图形，相似三角形性质的应用 图形的变化 ⎧ ⎧ a c ⎪ ⎪基本性质： = ⇔ ad = bc ⎨⎪ ⎪ ⎪⎪ b a d c a ± b c ± d 比例的性质合比性质： = ⇒ =⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ b d b d a c m a + b +... + m ⎪ ⎪ ⎪等比性质： ，= （条= .件.. =≠ = k ⇒ = k b + d +... + n 0) ⎪ ⎪ ⎪黄金分割：线段被B 点分成C 、两线A C 段（B ＞C ），满足A =C BC ， ⎪ 则点C 为的A 一B 个黄金分割点 AC 2 BC AB ⎪ ⎪ ⎧ ⎧性质：相似多边形的对应边成比例、对应角相等 ⎪ ⎪相似多边形⎨ ⎪ ⎪ ⎩判定：全部的对应边成比例、对应角相等⎪ ⎪ ⎪ ⎧⎪ ⎧⎪①对应角相等、对应边成比例 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪性质②⎨ 对应线段（中线、高、角平分线、周长）的比等于相似比 ⎪相似形⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪③面积的比等于相似比的平方 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎧①有两个角相等的两个三角形相似 ⎪相似图形 ⎪ ⎪ ⎪相似三角形⎨判定 ⎪②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 ⎪⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪③三边对应成比例的两个三角形相似 ⎪ ⎪ ⎪ ④有一条直角边与斜边对应成0比例的两个直角三角2 形相似 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪射影定理：在△t 中A ，B ∠C ，⊥，则==90 CD ， AB AC AD ⋅AB ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ BC =BD ⋅AB ，=D AD （⋅ B 如D 图） ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎪ ⎪ ⎪ ⎩ C ⎧①位似图形是一种特殊的相似图形，具有相似图形的一切性质 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 位似图形②⎨ 位似图形对应点所确定的直线过位似中心 ③通过位似可以将图形放大或缩小 A D B ⎪ ⎩ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 第六部分《统计与概率》知识要点⎧⎪两查⎧⎨普查：总体与个体（研究对象中→心词） 抽样调查：样本与容量（无单位的数量） ⎪ ⎩ ⎪ ⎧折线图（发展趋势与波动性横→纵轴坐标单位长度要统一） ⎪三图条⎨ 形图（纵坐标起点为零高→度之比等于频数或频率之比） ⎪ ⎪扇形图（知道各量的百分比可→用加权平均数求平均值） ⎪ ⎩ ⎪ ⎧ ⎧算术平均数 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 平均数参⎨ 照平均数 加权平均数⎪ ⎪ ⎩⎪三数⎨⎪ ⎪众数( 可能不止一个） ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩中位数（排序、定位） ⎪ 统计与概率⎨ ⎪ ⎧方差：s 2 = 1 ⎪ n (x - x )2 + (x - x )2 + + (x - x )2 1 2 n ⎪ ⎪(一组数据整体被扩大n ，平均数扩大倍n ，方差扩大倍n ）2 ； ⎪三差（⎨⎪ 一组数据整体被增加m ，平均数增加m ，方差不变） ⎪ ⎪标准差：方差的算术平方根s ⎪ ⎪ ⎪ ⎪极差：最大数与最小数之差 ⎪ （⎩⎪ 方差与标准差均衡量数据的波动性，方差越小波动越小） ⎪ ⎧ ⎧必然事件：（概率为1） ⎪确定事件⎨ 事件⎨ ⎩不可能事件：（概率为0） ⎪ ⎪不确定事件：（概率在0与1之间）⎪ ⎩ ⎧频率：（试验值，多次试验后频率会接近理论概率） ⎪ ⎪ ⎧比例法（数量之比、面积之比等） ⎪两率⎨ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪概率：求法列表法（返回与不返回的两步实验求概率） ⎪ ⎪ ⎪树⎩状图（返回与不返回的两步或两步以上的试验求概率 ⎪ ⎣ ⎦初中数学常考知识点I、代数部分:一、数与式：1、实数：1）实数的有关概念；常考点：倒数、相反数、绝对值(选择第 1 题)2）科学记数法表示一个数(选择题第二题)3）实数的运算法则：混合运算（计算题）4）实数非负性应用：代数式求值（选择、填空）2、代数式：代数式化简求值（解答题）3、整式：1）整式的概念和简单运算、化简求值（解答题）2）利用提公因式法、公式法进行因式分解（选择填空必考题）4、分式：化简求值、计算（解答题）、分式求取值范围（一般为填空题）（易错点：分母不为0）5、二次根式：求取值范围、化简运算（填空、解答题）二、方程与不等式：1、解分式方程（易错点：注意验根）、一元二次方程（常考解答题）2、解不等式、解集的数轴表示、解不等式组解集（常考解答题）3、解方程组、列方程（组）解应用题（若为分式方程仍勿忘检验）（必考解答题）4、一元二次方程根的判别式三、函数及其图像1、平面直角坐标系与函数1）函数自变量取值范围，并会求函数值；2）坐标系内点的特征；3）能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析（选择8 题）2、一次函数（解答题）1）理解正比例函数、一次函数的意义、会画图像2）理解一次函数的性质3）会求解析式、与坐标轴交点、求与其他函数交点4）解决实际问题3、反比例函数（解答题）1）反比例函数的图像、意义、性质（两支，中心对称性、分类讨论）2）求解析式，与其他函数的交点、解决有关问题（如取值范围、面积问题）4、二次函数（必考解答题）1）图像、性质（开口、对称性、顶点坐标、对称轴、与坐标轴交点等）2）解析式的求解、与一元二次方程综合（根与交点、判别式）3）解决实际问题4）与其他函数综合应用、求交点5）与特殊几何图形综合、动点问题（解答题）II、空间与图形一、图形的认识1、立体图形、视图和展开图（选择题）1）几何体的三视图，几何体原型相互推倒2）几何体的展开图，立体模型相互推倒2、线段、射线、直线（解答题）1）垂直平分线、线段中点性质及应用2）结合图形判断、证明线段之间的等量、和差、大小关系3）线段长度的求解4）两点间线段最短（解决路径最短问题）3、角与角分线（解答题）1）角与角之间的数量关系2）角分线的性质与判定（辅助线添加）4、相交线与平行线1）余角、补角2）垂直平分线性质应用3）平分线性质与判定5、三角形1）三角形内角和、外角、三边关系（选择题）2）三角形角分线、高线、中线、中位线性质应用（辅助线）3）三角形全等性质、判定、融入四边形证明（必考解答题）4）三角形运动、折叠、旋转、平移（全等变换）、拼接（探究问题）6、等腰三角形与直角三角形1）等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理及逆定理2）等腰三角形、直角三角形与四边形或圆的综合3）锐角三角函数、特殊角三角函数、解直角三角形（解答题）4）等腰、直角、等腰直角三角形与函数综合形成的代几综合题（压轴题必考）7、多边形：内角和公式、外角和定理（选择题）8、四边形（解答题）1）平行四边形的性质、判定、结合相似、全等证明2）特殊的平行四边形：性质、判定、以及与轴对称、旋转、平移和函数等结合应用（动点问题、面积问题及相关函数解析式问题）3）梯形：一般梯形及等腰、直角梯形的性质、与平行四边形知识结合，四边形计算题，辅助线的添加等9、圆（必考解答题）1）圆的有关概念、性质2）圆周角、圆心角之间的相互联系3）掌握并会利用垂径定理、弧长公式、扇形面积公式，圆锥侧面面积、全面积公式解决问题4）圆中的位置关系：要会判断：点与圆、直线与圆、圆与圆（重点是圆与圆位置关系）5）重点：圆的证明计算题（圆的相关性质与几何图形综合）二、图形与变换1、轴对称：会判断轴对称图形、能用轴对称的知识解决简单问题2、平移：会运用平移的性质、会画出平移后的图形、能用平移的知识解决简单问题3、旋转：理解旋转的性质（全等变换），会应用旋转的性质解决问题（全等证明），会判断中心对称图形4、相似：会用比例的基本性质解题、利用三角形相似的性质证明角相等、应用相似比求解线段长度（解答题）III、统计与概率一、相关概念的理解与应用：平均数、中位数、众数、方差等（选择题）二、能利用各种统计图解决实际问题（必考，解答题）三、会用列举法（包括图表、树状图法）计算简单事件发生的概率（解答题，填空题）“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
数值分析学习课件
数值分析学习课件目录1. 内容概要 (2)1.1 数值分析的重要性 (2)1.2 课件内容概述 (3)2. 基础知识准备 (4)2.1 数学知识要点 (6)2.2 计算机基础 (7)2.3 编程基础 (8)3. 数值计算的基本原理 (10)3.1 误差理论 (11)3.2 近似计算 (13)3.3 算法稳定性与收敛性 (15)4. 数值计算方法与技巧 (16)4.1 插值与逼近 (17)4.2 微分与积分计算 (19)4.3 线性代数方程求解 (19)4.4 优化计算方法 (21)5. 数值分析的应用实例 (22)5.1 数据拟合与预测分析 (23)5.2 微分方程数值解法应用 (24)5.3 线性规划优化问题应用 (26)5.4 其他领域的应用实例 (27)6. 实践操作指导 (28)6.1 编程实践环境搭建 (30)6.2 数值计算软件使用介绍 (31)6.3 编程实践案例分析 (32)7. 课程总结与展望 (33)7.1 课程重点内容回顾 (34)7.2 数值分析发展趋势 (35)7.3 学习建议与展望 (37)1. 内容概要数值分析是一个研究数值算法的学科，旨在寻找有效的方法来求解大量的数学问题，特别是那些无法得到精确解或者求解起来过于繁杂的问题。
它在物理学、工程学、经济学、生物技术以及许多其他科学领域中都是至关重要的。
本课程将涵盖数值分析的核心概念和方法，重点是数值线性代数、数值积分、数值微分方程以及数值优化等经典主题。
学生将理解这些问题的数学背景，掌握相关的数值算法，并能够运用编程实现这些算法。
学生还将学习误差分析、收敛性理论以及如何选择和实现适合特定问题的数值方法。
在整个课程中，学生将通过实际问题的解决，如物理模型、金融模型、生物数据的分析和处理等，来应用所学的数值分析知识和技能。
通过本课程的学习，学生不仅能够加深对数值方法的理解，还能增强解决实际问题的能力。
1.1 数值分析的重要性数值分析是利用计算机解决数学问题的重要工具，在许多领域，例如物理、工程、金融、生物等，现实世界的问题常常难以用精确的解析解表达出来。
数值分析第一章PPT
1.1.2 计算数学与科学计算 现代科学的三个组成部分: 科学理论, 科学实验, 科学计算 科学计算 的核心内容是以现代化的计算机及数学软件 （Matlab, Mathematica, Maple, MathCAD etc. ）为工具，以数学 模型为基础进行模拟研究。
一些边缘学科的相继出现：
计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等
取 0 e
1
x2
dx S4 ,
S4
R4
/* Remainder */
1 1 1 1 由留下部分 称为截断误差 /* Truncation Error */ 4! 9 5! 11 /* included terms */ 1 1 这里 R4 引起.005 0 由截去部分 4! 9 /* excluded terms */ 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 0 .743 引起 3 10 42 | 舍入误差 /* Roundoff Error */ | 0.0005 2 0.001
数值分析
第1章
数值分析与科学计算引论
§1.1 数值分析的对象、作用与特点
1.1.1 什么是数值分析 数值分析是计算数学的主要部分,计算数学是数学 科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的 数值计算方法及其理论与软件实现.这门课程又称为(数 值)计算方法、科学与工程计算等。
•
在电子计算机成为数值计算的主要工具的今天， 需要研究适合计算机使用的数值计算方法。使用计 算机解决科学计算问题时大致要经历如下几个过程:
造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
数值分析原理封建湖答案
数值分析原理封建湖答案【篇一：数值分析原理课件第一章】以误差为主线，介绍了计算方法课程的特点，并概略描述了与算法相关的基本概念，如收敛性、稳定性，其次给出了误差的度量方法以及误差的传播规律，最后，结合数值实验指出了算法设计时应注意的问题．1.1 引言计算方法以科学与工程等领域所建立的数学模型为求解对象，目的是在有限的时间段内利用有限的计算工具计算出模型的有效解答。
由于科学与工程问题的多样性和复杂性，所建立的数学模型也是各种各样的、复杂的. 复杂性表现在如下几个方面：求解系统的规模很大，多种因素之间的非线性耦合，海量的数据处理等等，这样就使得在其它课程中学到的分析求解方法因计算量庞大而不能得到计算结果，且更多的复杂数学模型没有分析求解方法．这门课程则是针对从各种各样的数学模型中抽象出或转化出的典型问题，介绍有效的串行求解算法，它们包括(1) 非线性方程的近似求解方法； (2) 线性代数方程组的求解方法；(3) 函数的插值近似和数据的拟合近似； (4) 积分和微分的近似计算方法； (5) 常微分方程初值问题的数值解法； (6) 优化问题的近似解法；等等从如上内容可以看出，计算方法的显著特点之一是“近似”．之所以要进行近似计算，这与我们使用的工具、追求的目标、以及参与计算的数据来源等因素有关．计算机只能处理有限数据，只能区分、存储有限信息，而实数包含有无穷多个数据，这样，当把原始数据、中间数据、以及最终计算结果用机器数表示时就不可避免的引入了误差，称之为舍入误差．我们需要在有限的时间段内得到运算结果，就需要将无穷的计算过程截断，从而产生截11111的计算是无穷过程，当用en?1作为e的1!2!1!2!n!近似时，则需要进行有限过程的计算，但产生了截断误差en?e．断误差．如e?1?当用计算机计算en时，因为舍入误差的存在，我们也只能得到en的近似值e，也就是说最终用e近似e，该近似值既包含有舍入误差，也包含有截断误差．当参与计算的原始数据是从仪器中观测得来时，也不可避免得有观测误差．由于这些误差的大量存在，我们得到的只能是近似结果，进而对这些结果的“可靠性”进行分析就是必须的，它成为计算方法的第二个显著特点．可靠性分析包括原问题的适定性和算法的收敛性、稳定性．所谓适定性问题是指解存在、惟一，且解对原始数据具有连续依赖性的问题．对于非适定问题的求解，通常需要作特殊的预处理，然后才能做数值计算．在这里，如无特殊说明，都是对适定的问题进行求解．对于给定的算法，若有限步内得不到精确解，则需研究其收敛性．收敛性是研究当允许计算时间越来越长时，是否能够得到越来越可靠的结果，也就是研究截断误差是否能够趋于零．**1对于给定的算法，稳定性分析是指随着计算过程的逐步向前推进，研究观测误差、舍入误差对计算结果的影响是否很大．对于同一类模型问题的求解算法可能不止一种，常希望从中选出高效可靠的求解算法．如我国南宋时期著名的数学家秦九韶就提出求n次多项式anxn?an?1xn?1a1x?a0值的如下快速算法s?an；t?an?k；s?sx?t(k?1,2,?,n)它通过n次乘法和n次加法就计算出了任意n次多项式的值．再如幂函数x可以通过如下快速算法计算出其值s?x；s?s?s；循环6次如上算法仅用了6次乘法运算，就得到运算结果．算法最终需要在计算机上运行相应程序，才能得到结果，这样就要关注算法的时间复杂度(计算机运行程序所需时间的度量)、空间复杂度(程序、数据对存储空间需求的度量)和逻辑复杂度(关联程序的开发周期、可维护性以及可扩展性)．事实上，每一种算法都有自己的局限性和优点，仅仅理论分析是很不够的，大量的实际计算也非常重要，结合理论分析以及相当的数值算例结果才有可能选择出适合自己关心问题的有效求解算法．也正因如此，只有理论分析结合实际计算才能真正把握准算法．641.2 误差的度量与传播一、误差的度量误差的度量方式有绝对误差、相对误差和有效数字．定义1.1 用x作为量x的近似，则称x?x?:e(x)为近似值x的绝对误差．由于量x的真值通常未知，所以绝对误差不能依据定义求得，但根据测量工具或计算情况，可以估计出绝对误差绝对值的一个较小上界?，即有**e(x)?x?x??****(1.1)称正数?为近似值x的绝对误差限，简称误差．这样得到不等式xx?x?? 工程中常用x?x??表示近似值x的精度或真值x所在的范围．误差是有量纲的，所以仅误差数值的大小不足以刻划近似的准确程度．如量5000ms1230.5cm1.230.005m1230000(1.2)为此，我们需要引入相对误差*****x*?x:er(x*)为近似值x*的相对误差．当定义1.2 用x?0作为量x的近似，称x*x是x的较好近似时，也可以用如下公式计算相对误差x*?x*er(x)? (1.3)x**2显然，相对误差是一个无量纲量，它不随使用单位变化．如式(1.2)中的量s的近似，无论使用何种单位，它的相对误差都是同一个值．同样地，因为量x的真值未知，我们需要引入近似值x的相对误差限?r(x*)，它是相对误差绝对值的较小上界．结合式(1.1)和(1.3)，x相对误差限可通过绝对误差限除以近似值的绝对值得到，即r(x)***(x*)x*(1.4)为给出近似数的一种表示法，使之既能表示其大小，又能体现其精确程度，需引入有效数字以及有效数的概念．定义1.3 设量x的近似值x有如下标准形式*mx??10?0.a1a2?an?ap*＝?a1?10m?1a210m2an10mnap10mp*(1.5)其中{ai}ip,?,9}且a1?0，m为近似值的量级．如果使不等式 ?1?{0,1x?x?*110mn 2(1.6)成立的最大整数为n，则称近似值x具有n位有效数字，它们分别是a1、a2、… 和an．特别地，如果有n?p，即最后一位数字也是有效数字，则称x*是有效数．从定义可以看出，近似数是有效数的充分必要条件是末位数字所在位置的单位一半是绝对误差限．利用该定义也可以证明，对真值进行“四舍五入”得到的是有效数．对于有效数，有效数字的位数等于从第一位非零数字开始算起，该近似数具有的位数．注意，不能给有效数的末位之后随意添加零，否则就改变了它的精度．**例1.1 设量x??，其近似值x1?3.141，x2?3.142，x3?*22．试回答这三个近7似值分别有几位有效数字，它们是有效数吗？解这三个近似值的量级m?1，因为有111021013 2211*314x2?x?0.0004??0.0005??10??1022*x3?3.142857142857?11*?21?3x3?x?0.001??0.005??10??1022***所以x1和x3都有3位有效数字，但不是有效数． x2具有4位有效数字，是有效数．x1?x?0.00059??0.005?*二、误差的传播这里仅介绍初值误差传播，即假设自变量带有误差，函数值的计算不引入新的误差．对于函数y?f(x1,x2,?,xn)有近似值y?f(x1,x2,?,xn)，利用在点***(x1,x2,?,xn)处的泰勒公式(taylor formula)，可以得到****3e(y)?y?y??其中fi:?**f(x,x,,xi*1*2i?1nn*n)(xi*?xi)(1.7)f(x,x,,xi*1*2i?1*n)e(xi*)f，xi*是xi的近似值，e(xi*)是xi*的绝对误差(i?1,2,?,n)．式(1.7)表明函?xi数值的绝对误差近似等于自变量绝对误差的线性组合，组合系数为相应的偏导数值．从式(1.7)也可以推得如下函数值的相对误差传播近似计算公式xi*er(y)??fi(x,x,?,x)*er(xi*) (1.8)yi?1对于一元函数y?f(x)，从式(1.7)和(1.8)可得到如下初值误差传播近似计算公式e(y*)?f?(x*)e(x*) (1.9)*n*1*2*nx*er(y)?f?(x)*er(x*)y**(1.10)式(1.9)表明，当导数值的绝对值很大时，即使自变量的绝对误差比较小，函数值的绝对误差也可能很大．例1.2 试建立函数y?f(x1,x2,?,xn)?x1?x2xn的绝对误差(限)、相对误差*的近似传播公式，以及xi?0i?1时的相对误差限传播公式．n解由公式(1.7)和(1.8)可分别推得和的绝对误差、相对误差传播公式如下e(y)?**f(x,x,,xi*1*2i?1n*n)e(x)＝?e(xi*)*ii?1n(1.11) (1.12)nxi*xi**er(y)??fi(x,x,?,x)*er(xi)＝?*er(xi*)yi?1i?1yn*1*2*n进而有e(y)?*e(x)e(x)(x)*i*i*ii?1i?1i?1nnn于是有和的绝对误差限近似传播公式 ?(y)?*当xi?0*(xi?1n*i)i?1时，由式(1.3)推得相对误差限的近似传播公式 nr(y)*(xi?1n*i)y*i?1*innnxi*xi***r(xi)maxr(xi)**1inyi1yxi*maxr(x)*maxr(xi*)1?i?n1?i?ni?1y4.3例1.3 使用足够长且最小刻度为1mm的尺子，量得某桌面长的近似值a?1304mm，宽的近似值b?704.8mm (数据的最后一位均为估计值)．试求桌子面积近似值的绝对误差限和相对误差限．解长和宽的近似值的最后一位都是估计位，尺子的最小刻度是毫米，故有误差限 ?(a*)?0.5mm，?(b*)?0.5mm***面积s?ab，由式(1.7)得到近似值s?ab的绝对误差近似为**e(s*)?b*e(a*)?a*e(b*) 进而有绝对误差限*****(s)b(a)a(b)704.80.51304.30.51004.55 mm2相对误差限 ?r(s)?*(s*)s*1004.550.00110.11%1304.3?704.81.3 数值实验与算法性能比较本节通过几个简单算例说明解决同一个问题可以有不同的算法，但算法的性能并不完全相同，他们各自有自己的适用范围，并进而指出算法设计时应该注意的事项．算例1.1 表达式111??，在计算过程中保留7位有效数字，研究对不同的xx?1x(x?1)x，两种计算公式的计算精度的差异．说明1：matlab软件采用ieee规定的双精度浮点系统，即64位浮点系统，其中尾数占52位，阶码占10位，尾数以及阶码的符号各占1位．机器数的相对误差限(机器精度)eps=2－52－－111?和算法2： y2(x)?的误差时，精确解用双精xx?1x(x?1)度的计算结果代替．我们选取点集{?i}30i?1中的点作为x，比较两种方法误差的差异．从图1.1可以看出，当x不是很大时，两种算法的精度相当，但当x很大时算法2的精度明显高于算法1．这是因为，当x很大时，11和是相近数，用算法1进行计算时出xx?1现相近数相减，相同的有效数字相减后变成零，于是有效数字位数急剧减少，自然相对误差增大．这一事实也可以从误差传播公式(1.12)分析出．鉴于此，算法设计时，应该避免相近数相减．在图1.2中我们给出了当x接近?1时，两种算法的精度比较，其中变量x依次取为i1i1．从图中可以看出两种方法的相对误差基本上都为10?7，因而二者的精度相当．305【篇二：数值分析原理课件第二章】xt>在科学计算中常需要求解非线性方程f(x)?0(2.1)即求函数f(x)的零点．非线性方程求解没有通用的解析方法，常采用数值求解算法．数值解法的基本思想是从给定的一个或几个初始近似值出发，按某种规律产生一个收敛的迭代序列{xk}k?0，使它逐步逼近于方程(2.1)的某个解．本章介绍非线性方程实根的数值求解算法：二分法、简单迭代法、newton迭代法及其变形，并讨论它们的收敛性、收敛速度等．2.1 二分法一、实根的隔离定义2.1 设非线性方程(2.1)中的f(x)是连续函数．如果有x*使f(x*)?0，则称x*为方程(2.1)的根，或称为函数f(x)的零点；如果有f(x)?(x?x*)mg(x)，且g(x)在x*邻域内连续，g(x*)?0，m为正整数，则称x*为方程(2.1)的m重根．当m?1时，称x*为方程的单根．非线性方程根的数值求解过程包含以下两步(1) 用某种方法确定有根区间．称仅存在一个实根的有根区间为非线性方程的隔根区间，在有根区间或隔根区间上任意值为根的初始近似值；(2) 选用某种数值方法逐步提高根的精度，使之满足给定的精度要求．对于第(1)步有时可以从问题的物理背景或其它信息判断出根的所在位置，特别是对于连续函数f(x)，也可以从两个端点函数值符号确定出有根区间．当函数f(x)连续时，区间搜索法是一种有效的确定较小有根区间的实用方法，其具体做法如下设[a,b]是方程(2.1)的一个较大有根区间，选择合适的步长h?(b?a)/n，xk?a?kh，(k?0,1,?,n)．由左向右逐个计算f(xk)，如果有f(xk)f(xk?1)?0，则区间[xk,xk?1]就是方程的一个较小的有根区间．一般情况下，只要步长h足够小，就能把方程的更小的有根区间分离出来；如果有根区间足够小，例如区间长度小于给定的精度要求，则区间内任意一点可视为方程(2.1)的根的一个近似．例2.1 确定出方程f(x)?x3?3x2?4x?3?0的一个有根区间．解由f?(x)?3x2?6x?4?3(x?1)2?1?0知f(x)为(??,?)上的单调递增函数，进而f(x)在(??,?)内最多只有一个实根．经计算知f(0)?0，f(2)?0，所以f(x)?0在区间[0,2]内有惟一实根．如果希望将有根区间再缩小，可以取步长h?0.5，在点x?0.5，x?1，x?1.5计算出函数值的符号，最后可知区间[1.5,2]内有一个实根．11二、二分法二分法是求非线性方程实根近似值的最简单的方法．其基本思想是将有根区间分半，通过判别函数值的符号，逐步缩小有根区间，直到充分逼近方程的根，从而得到满足一定精度要求的根的近似值．设f(x)在区间[a,b]上连续，f(a)f(b)?0，且方程(2.1)在区间(a,b)内有惟一实根x*．记a1?a，b1?b，中点x1?(a1?b1)/2将区间[a1,b1]分为两个小区间[a1,x1]和[x1,b1]，计算函数值f(x1)，根据如下3种情况确定新的有根区间：(1) 如果f(x1)?0，则x1是所要求的根；(2) 如果f(a1)f(x1)?0，取新的有根区间[a2,b2]?[a1,x1]； (3) 如果f(x1)f(b1)?0，取新的有根区间[a2,b2]?[x1,b1]．新有根区间[a2,b2]的长度为原有根区间[a1,b1]长度的一半．对有根区间[a2,b2]施以同样的过程，即用中点x2?(a2?b2)/2将区间[a2,b2]再分为两半，选取新的有根区间，并记为 [a3,b3]，其长度为[a2,b2]的一半(如图2.1所示)．图2.1 二分法示意图重复上述过程，建立如下嵌套的区间序列[a,b]?[a1,b1]?[a2,b2][ak,bk]??其中每个区间的长度都是前一个区间长度的一半，因此[ak,bk]的长度为1bk?ak?k?1(b?a)2*由x?[ak,bk]和xk?(ak?bk)/2，得11xk?x*?(bk?ak)?k(b?a)22*当k??时，显然，有xk?x．总结得到如下收敛定理：定理2.1 设f(x)在隔根区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)?0，则由二分法产生的序列*??{xk}k?0收敛于方程(2.1)在[a,b]上的根x，并且有误差估计1(b?a)(k?1,2,?) (2.2) 2k1设预先给定根x*的绝对误差限为?，要求xk?x*??，只要k(b?a)??成立，这样求2xk?x*?12得对分次数ln(b?a)?ln?． (2.3)ln2取k为大于(ln(b?a)?ln?)/ln2的最小整数．此时xk是方程(2.1)的满足精度要求的根近似k?值．注：由于舍入误差和截断误差存在，利用浮点运算不可能精确计算函数值，二分法中的判断f(xk)?0几乎不可能满足，取而代之为判断条件f(xk)??0，其中?0为根近似值的函数值允许误差限．总结以上内容，给出如下算法算法2.1(二分法)输入端点a,b、根的绝对误差限?、根近似值的函数值允许误差限?0；输出近似解c或失败信息；step 1 用公式(2.3)计算最大迭代次数k； step 2 对n?1,?,k循环执行step 3～5； step 3 c?(a?b)/2，计算f(c)；step 4 若f(c)??0，则输出c，end； step 5 若f(c)f(b)?0，则a?c，否则b?c．例2.2 用二分法求f(x)?x3?4x2?10?0在[1,2]上的根x*的近似值，要求1xk?x*??10?3．2解由于在区间[1,2]上，f(1)??5，f(2)?14，f?(x)?3x2?8x?x(3x?8)?0，故f(x)?0在[1,2]上有惟一实根x*．确定循环次数为k?11，利用二分法计算结果见表2.1．二分法具有如下特点(1) 优点：计算简单，对函数f(x)的光滑性要求不高，只要它连续，且在两端的函数值异号，算法收敛就可以保证；(2) 缺点：只能求单实根和奇数重实根，收敛较慢，与1/2为公比的等比级数相同．当函数f?(x)连续时，方程(2.1)的实重根可转换为f(x)0的实单根． f?(x)一般在求方程根近似值时不单独使用二分法，而常用它为其它数值方法提供初值．132.2 简单迭代法简单迭代法是求解非线性方程根的近似值的一类重要数值方法．本节将介绍简单迭代法的基本思想、收敛条件、收敛速度以及相应的加速算法．一、简单迭代法的基本思想简单迭代法采用逐步逼近的过程建立非线性方程根的近似值．首先给出方程根的初始近似值，然后用所构造出的迭代公式反复校正上一步的近似值，直到满足预先给出的精度要求为止．在给定的有根区间[a,b]上，将方程(2.1)等价变形为x??(x) (2.4)在[a,b]上选取x0作为初始近似值，用如下迭代公式xk?1??(xk) (k?0,1,2,?) (2.5)*??*建立序列{xk}k?0．如果有limxk?x，并且迭代函数?(x)在x的邻域内连续，对式(2.5)两边k??取极限，得x*??(x*)因而x*是(2.4)的根，从而也是(2.1)的根．称?(x)为迭代函数，所得序列{xk}k?0为迭代序列．将这种求方程根近似值的方法称为简单迭代法，简称迭代法．例2.3 试用方程f(x)?x3?x?1?0的不同形式的变形建立迭代公式，并试求其在1.5附近根的近似值．解利用方程的变形建立如下4种迭代公式(1)xk?1 31(2) xk?1?xk(3) xk?1?3xk?xk?1(4) xk?1?2取初值x0?1.5，迭代计算，结果见表2.2．例2.3表明非线性方程的不同等价形式对应不同的迭代过程，从某一初值出发，有的迭代收敛快，有的收敛慢，甚至不收敛．那么迭代函数?(x)满足什么条件时才能保证迭代序列收敛? 迭代序列{xk}k?0的误差如何估计? 怎样才能建立收敛速度快的迭代公式?14定理2.2 若函数?(x)在区间[a,b]上具有一阶连续导数，且满足条件①对任意x?[a,b]，有?(x)?[a,b]；②存在常数l：0?l?1，使得对任意x?[a,b]有?(x)?l成立．则(1) 方程x??(x)在[a,b]上有惟一实根x*(2) 对任意x0?[a,b]，迭代公式(2.5)收敛，且limxk?x*k??(3) 迭代公式(2.5)有误差估计式xk?x*?lxk?xk?1(2.6) 1?llk*xk?x?x1?x0 (2.7)1?lxk?1?x*(x*) (2.8) (4) limk??x?x*k证明 (1)构造函数g(x)?x??(x)，由条件①知g(a)?a??(a)?0，g(b)?b??(b)?0，因此g(x)?0在[a,b]上至少存在一个实根，又由条件②知当x?[a,b]时，g?(x)?1(x)?1?l?0，所以g(x)?0在[a,b]内存在惟一实根，即x??(x)在[a,b]内存在惟一实根，记为x*．(2) 由x0?[a,b]及条件①知，xk?[a,b](k?1,2,?)，并且有xk?1??(xk)，x*??(x*)，二者作差，并由微分中值定理得2(2.9) ,xk?1?x*??(xk)??(x*)(?k)(xk?x*) (k?1,?其中，?k介于xk与x*之间．结合条件②，得2(2.10) ,xk?1?x*?lxk?x* (k?1,?反复递推，有0?xk?1?x*?lxk?x*?l2xk?1?x*lk?1x0?x*， (k?1,2,?)因0?l?1，故limxk?x*．k??(3) 由式(2.10)得xk?x*?xk?xk?1?xk?1?x*?xk?xk?1?xk?1?x*xk1xklxkx*从而xk?x*?1xk?1?xk (2.11) 1?l又由于xk?1?xk??(xk)??(xk?1)(?k)(xk?xk?1)lxkxk1 (k1,2,) (2.12)其中?k介于xk和xk?1之间．综合式(2.11)及式(2.12)得误差估计 lxk?x*?xk?xk?11?l由式(2.12)反复递推，得15【篇三：数值分析原理第八章】得到特征值?，然后通过求得齐次线性方程组(a??i)x?0的非零向量x而得到矩阵a的相应于特征值?的特征向量．当矩阵阶数较高时，这种方法计算量很大，故常用数值方法近似求解特征值与特征向量．目前常用的数值方法有迭代法(幂法)和变换法(jacobi方法等)两类．8.1 乘幂法与反幂法一、乘幂法乘幂法是求矩阵按模最大的特征值(主特征值)和相应的特征向量的一种迭代法．设a?rn?n，初始向量v(0)?rn(v(0)?0)，令v(k)?av(k?1)(8.1)生成迭代向量序列v(k)．由递推公式(8.1)，知(k)v(k)?a(av(k?2))?a2v(k?2)akv(0)(0)(8.2)这表明v等于用矩阵a的k次幂左乘v，故称此方法为乘幂法．下面分析当k→∞时，向量序列v(k)的变化规律．设?1，?2，…，?n为矩阵a?rn?n的n个特征值，且满足(8.3)n12n相应于特征值?1，?2，…，?n的n个线性无关的特征向量x1,x2,?,xn构成向量空间?上的一组基．任取非零的初始向量v(0)rn，则v(0)可由这组特征向量线性表出v(0)c1x1c2x2cnxncjxjj?1n(8.4)其中c1,c2,?,cn为线性组合系数．将式(8.4)代入式(8.2)，得148v(k)akkcx?c(a?jj?jxj) j?1j?1nn(8.5)由akxj??kjxj和式(8.5)，得v(k)cj?kjxjj?1n(8.6)当?1?0时，由式(8.3)知，特征值?1??2n?0．下面针对?1?0进行讨论．由式(8.6)有v(k)knjk1?c1x1cj?xj?j21n?j??jxj?0，?(8.7)k此时有(k)kv(k)??1c1x1(k)上式表明，v与x1只近似相差一个常数因子，故可取v作为矩阵a的相应于主特征值?1的近似特征向量．当k充分大时，若vi(k)?0，则有 k?1vi(k?1)?1(c1x1)i1 (k)kvi?1(c1x1)i(8.8)这表明主特征值?1可由式(8.8)近似求得．如果矩阵a的特征值满足12l,1l1n则根据式(8.6)有v(k)lk1cjxj?j?1kjcjxj?jl11n(8.9)则当k充分大时，由于j1(jl1,,n)，故有 ?1149v(k)k1cxjj?1ljl(8.10)由于x1,x2,?,xl都是矩阵a的特征值?1对应的特征向量，故特征值?1对应的特征向量．由式(8.10)知，k较大时，v(k)cxjj?1j0也是矩阵a的就是与主特征值?1的对应的近似特征向量．类似于式(8.8)，可求得主特征值的近似．由于此时?1的特征向量子空间不是一维的，故由式(8.10)得到的近似特征向量只是该子空间的一个特征向量，对于不同的初始向量v能得到?1的特征向量空间中线性无关的近似特征向量．对于矩阵a的其它主特征值情形，如?12，?1?2等，同样可以用乘幂法求解，具体过程可参阅文献[6]．以上讨论说明了乘幂法的基本原理．通过上述对乘幂法过程的分析可知，乘幂法是一种迭代法，公式计算简单，便于上机实践，可以方便地用于近似求矩阵按模最大的一个(或几个)特征值及相应的特征向量．需要注意的是： (1) 从理论上讲，对于任意给定的初始向量v(0)(0)可，有可能使式(8.4)中的c1?0，但因舍(0)入误差的存在，随着迭代过程的进行，等效于从c1?0的v(2) 在用乘幂法(8.1)进行迭代计算时，迭代向量v(k)出发进行迭代．的分量的绝对值可能会出现非常大(当?1?1)或者非常小(当?1?1)的现象，甚至出现溢出．为此，实用中每进行m步就需要对迭代向量v(k)~(k)进行一次规范化，即用v?(k)v(k)(k)(k)(其中maxv表示向量v的按模最(k)maxv大的分量)代替v继续迭代．由于特征向量允许相差一个常数因子，故按前面乘幂法的理论依然得到正确的近似特征向量．在每次规范化后，用乘幂计算前后两个向量的分量的比值作为主特征值的近似，这种规范化并不影响主特征值的近似计算。
数值分析课件
辛普森方法
一种基于矩形法思想的数值积分方法 ，适用于计算定积分。
自适应辛普森方法
一种基于辛普森方法和梯形法的自适 应数值积分方法，能够根据函数性质 自动选择合适的积分策略。
常微分方程的数值求解
01
欧拉方法
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过逐步逼近的方式求解近 似解。
02
龙格-库塔方法
定积分是函数在区间上积分和的极限；不定积分是函数在 某个区间上的原函数。
02
应用领域
积分广泛应用于物理、工程、经济等领域，如求曲线下面 积、求解变速直线运动位移等。
03
数值计算方法
使用数值积分方法（如梯形法、辛普森法等）来近似计算 定积分和不定积分的值。这些方法将积分区间划分为若干 个小段，并使用已知的函数值和导数值来近似计算每个小 段的积分值，最后求和得到积分的近似值。
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过构造龙格-库塔曲线来 逼近解。
03
阿达姆斯-图灵 方法
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过构造阿达姆斯-图灵曲 线来逼近解。
04
自适应步长控制 方法
一种基于欧拉方法和龙格 -库塔方法的自适应步长 控制方法，能够根据误差 自动调整步长。
偏微分方程的数值求解
高斯消元法的步骤
1. 将方程组按照行进行排列，并将每个方程中的未知数 按照列排列。
2. 对于每个方程，选取一个未知数作为主元，并将其余 的未知数用主元表示。
3. 将主元所在的行与其他行进行交换，使得主元位于对 角线上。
4. 将主元所在的列中位于主元下方的元素消为0，从而得 到一个阶梯形矩阵。
线性方程组的解法
数值分析是一种工具，它可以帮助我 们更好地理解和解决实际问题，同时 也可以帮助我们更好地理解和应用数 学理论。
数学学习中的思维导整理知识结构
数学学习中的思维导整理知识结构数学学习是一种锻炼思维、培养逻辑能力的过程。
在数学学习中，思维导图是一种常用的工具，可以帮助我们整理知识结构，提升学习效果。
本文将介绍数学学习中思维导图的作用，以及如何利用思维导图整理知识结构。
一、思维导图在数学学习中的作用思维导图是一种用图形的方式表达思维的工具，通过连接关键词语或概念，形成一个有机的整体。
在数学学习中，思维导图可以帮助我们更好地理解和记忆知识，梳理思路，掌握学科的核心概念与关系。
具体作用如下：1. 梳理知识结构：通过思维导图，我们可以将知识点分门别类、归类整理，形成一个清晰的知识框架。
这样，我们可以更好地理解知识点之间的联系，掌握知识的脉络与主次关系。
2. 激发联想思维：思维导图可以通过关键词的连接，激发我们的联想思维，帮助我们构建全面、深刻的思维网络。
在数学学习中，有时一个知识点可能会涉及到多个概念，思维导图可以把这些概念联系起来，扩展我们的思维广度。
3. 提供复习便捷：通过思维导图，我们可以一目了然地看到知识点之间的关系，可以清晰地回顾学过的内容，快速定位需要复习的重点。
这样，在复习过程中，我们可以事半功倍，高效地掌握考点。
二、如何利用思维导图整理知识结构在数学学习中，我们可以通过以下几个步骤利用思维导图整理知识结构。
1. 选择适当的主题：首先，我们需要确定一个主题，比如几何、代数、函数等。
主题的选择要根据自己的学习需求和学科要求来决定。
2. 确定核心概念：在确定了主题后，我们需要找出这个主题的核心概念。
核心概念是理解这个主题的基础，我们可以通过查阅教材、资料或请教老师等途径来确定。
3. 建立分支：在思维导图中，我们可以将核心概念作为中心节点，建立相应的分支。
分支可以是子概念、相关原理等，具体情况根据主题而定。
4. 补充关键词和连接线：在每个分支上，我们可以添加关键词和连接线。
关键词是帮助我们记忆和理解的重点词汇或表述，连接线则表示概念之间的连接关系。
7~数值分析-64页PPT资料
误差概述
定义7.1.1 从初值y(x0) y0出发，由单步法显式 或隐式逐步计算，x得n1的值yn1,则en1 y(xn1) yn1 称为在点xn1上的整体截断误差。果如第n步在点xn的
这就是显式的
`Euler 公式，它可以从
y
出发，逐次
0
算出 y1, y2 , y3...。
初值问题的Euler方法
如果用xn1代替x0 ,于是该式可离散为：
y ( xn
h) h
y(xn )
f
(xn1, y(xn1))
以yn表示y(xn )的近似值，则有
yn1 yn hf (xn1, yn1) （n 0,1,2,..）. (2)
yn( p1) )]
并取yn1 yn(c)1。
初值问题的Euler方法
上式还常写成
yn1 k1 hf
yn ( xn
1 f 2
, yn )
(k1
k2
)
k2 hf (xn h, yn k1) (n 0,1,2,...)
该式称为改进Euler方法, 亦可写成
0
, 故有
lim
k
y (k 1) n 1
y
n
。
1
初值问题的Euler方法
对于(2)计算yn1,由于迭代工作量较 ,一大般只 迭代一次 ,构成一类预估校正算法 ,即
y( p) n1
yn
hf(xn,
yn)
yn(c)1
yn
第一章 数值计算方法 绪论
er
e x
因为
e x
e x
er
e x
x x
x
e(x x)
(e )2
xx x ( x e )
( 1
e x
)2
e x
相对误差也可正可负
相对误差限——相对误差的绝对值的上界
r
/* relative accuracy */
e x
x x x
r
Def 1.3 （有效数字/*Significant Digits*/ ）
0
e
记为
I
* 0
则初始误差
E0
I0
I
0
0.5 108
此公式精确成立
1
e
1 0
xn
e0
dx
In
1 e
1 x n e1 dx
0
1 e(n 1 )
In
1 n1
I 1
1
1
I 0
0.36787944
... ... ... ...
I 10
1
10
I 9
0.08812800
I 11
1 11
I 10
0.03059200
求函数y y(x)在某些点
xi
n i 1
的近似函数值
数学问题 数值问题
数值问题的来源：
实际 问题
建立数学模型
数值 求解 问题
设计高效、可 靠的数值方法
数值 问题
重点讨论
近似结果
输出
上机 计算
程序 设计
可 收敛性：方法的可行性
则数
靠 性
稳定性：初始数据等产生的误差对结果的影响
值分
【全版】数值分析课件( )推荐PPT
要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。 3、要防止“大数”吃掉小数
近似代替，则数的值截方断法误差是泰。勒余项
4、舍入误差 计算机只能处理有限数位的小数运算，初始参
数或中间结果都必须进行四舍五入运算，这种误差称为舍入 误差。
例 如 ： 3.1用 41近 59似 代 ，替 产 生 的 误 差 R3.141 509.0000 026
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• 考试方式：
•
笔试（70分闭卷）+实验（30分）
• 任课教师：熊 焱（辽宁科技大学 理学院 ）
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第1章数值分析与 科学计算引论
内容提要： 1.1 数值分析研究对象、作用与特点 1.2 数值计算的误差 1.3 误差定性分析与避免误差危害
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本课程内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法， 必须掌握这几门课程的基础内容才能学好这门课程。
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三、数值分析的特点
• 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法。
• 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算 法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。这些 都是建立在数学理论的基础上，因此不应片面的将数值分析 理解为各种数值方法的简单罗列和堆积。
数值计算方法第一章 误差
6
误差的来源
4.舍入误差 在计算过程中往往要对数字进行舍入。 如受机器 字长的限制，无穷小数和位数很多的数必须舍入成 一定的位数。 这样产生的误差称为“舍入误差”。 本课程只讨论截断误差与舍入误差对计算结 果的影响。
§1.2 绝对误差、相对误差和有效数字
7
绝对误差、相对误差和有效数字
1.2.1
绝对误差与相对误差
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x* 0.a1a2 an 10m
如果
1 x x 10 m n 2
*
(1-5)
(1-6)
* x 则称近似值 有n位有效数字。
1 5 x 0 . 003400 10 例如 表示近似值0.003400准确 2
到小数点后第5位,有3位有效数字。
上面的讨论表明，可以用有效数字位数来刻划 误差限。 形如式(1-5)的数，当m一定时，其有效数字 数位n越大，则误差限越小。
但可以根据测量 能算出绝对误差 e( x*) 的准确值， 工具或计算的情况估计出它的取值范围，
8
绝对误差、相对误差和有效数字
即估计出误差绝对值的一个上界
e( x ) x x
* *
*
(1-2)
通常称 为近似值 x 的绝对误差限，简称误差限。 显然误差限不是唯一的。 有了误差限及近似值，就可以得到准确值 的范围 * * 即准确值 x
* 显然，误差限与近似值绝对值之比 * 为 x 的 一 x
个相对误差限。
例 取3.14作为 相对误差限.
的四舍五入的近似值,试求其
13
绝对误差、相对误差和有效数字
1 2 3 . 14 0 . 0016 10 解: 2 相对误差限 1 2 10 2 0.159 % * x 3.14 又如 由实验测得光速近似值为 c * 2.997925 105 km/s， 其误差限为 0.1 km/s， 于是
数值分析
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有效数字（续1）
有效数：当 有效数 当x* 准确到末位，即 准确到末位 即n=p，则称 则称x*为 有效数 举例 x=π, x1*=3.141, x2*=3.142 举例：
1 13 x x 0.00059 0.005 10 2
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设计高效可靠的算法（续2）
鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地 分解为 系列 问 进行 究 本 程 分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉 涉 及如下几个方面问题的求解算法： 函数的插值和逼近 数值积分和数值微分 线性方程组求解、非线性方程（组）求解 代数特征值问题 常微分方程数值解。
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算法应用状态
数值分析研究对象以及解决问题方法的 广泛适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、 Mathematica等已将其绝大多数内容设计成函 数，简单调用之后便可以得到运行结果。 但由于实际问题的具体特征、复杂性 但由于实际问题的具体特征 复杂性, 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选 择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌 握数值方法的思想和内容是至关重要的。
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数值问题举例
dy x y 2 x [0, 1] dx y ( 0) y 0 是用一阶常微分方程初值问题表示的数学模型， 是用 阶常微分方程初值问题表示的数学模型， 要求无穷多个输出，因而它不是数值问题 。但 当我们要求出有限个点处函数值的近似值时， 便成为一数值问题。
数值分析 科学计算的理论基础：计算数学
《应用数值分析》课件数值分析1.4不动点原理
令T(x) (I A)x b，则求解 Ax b 求解 x T(x)的1） X ——距离空间；
（2）算子T : X X 的映射。
若 x* X , s.t. x* T (x*) ，则称 x* 为算子T 的不动
为所求结果。
误差不超过
1
作业4 小结第一章所学知识点
存在性
因G在Rn上为压缩映像，任取x0 Rn , 构造序列xk1 G(xk ) , k 0,1, , 则有
xk1-xk G(xk ) G(xk1) xk xk1 k x1 x0 ,
故 xk p xk xk p -xk p1 xk p1-xk p2 xk1-xk
故必有 x* y* 0, 即x* y*
定理1.4.1 设G : Rn Rn为Rn上的压缩映像, 则G在Rn中有唯一的不动点。
定理1.4.2 设G : D Rn Rn为有界闭集D上的压缩映像， 且G(D) D,则G在D中有唯一不动点。
定理1.4.3 设G : D Rn Rn为有界闭集D上的严格非膨 胀映像，且G(D) D,则G在D中有唯一不动点。
lim 存在x* Rn ,使 xk x*. k
再由G的连续性（压缩映像必连续），
有x* limxk1 limG(xk ) G(x*).
k
k
这说明方程x G(x)有解x*。
唯一性 即证x*是唯一解。 反证法, 设还有y* G( y*),
则 x*-y* G(x*) G( y*) x*-y* , 且 1
例如：求方程 x5 x 1 0在区间（0,2）内的近似根；
求解非线性方程组 F(x) b
实际上，对于上述各种方程的求解问题，都可统一为求解相应的 算子方程的不动点问题，并在此基础上建立迭代方法。