湖北省武汉市黄陂区2016-2017学年高二数学寒假作业试题理(三)资料
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5．如图，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE 丄平面 ABCD，DF 丄平面 ABCD，BE=2DF，AE 丄 EC． （Ⅰ）证明：平面 AEC 丄平面 AFC （Ⅱ）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值．
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6．已知抛物线 C1：x =4y 的焦点 F 也是椭圆 C2：
湖北省武汉市黄陂区 2016-2017 学年高二数学寒假作业试题 理(三)
一．填空题（共 3 小题） 1．一只昆虫在边长分别为 5，12，13 的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离 小于 2 的地方的概率为 ． 2．直线 l1 和 l2 是圆 x +y =2 的两条切线．若 l1 与 l2 的交点为（1，3） ，则 l1 与 l2 的夹角的 正切值等于 ． 3． “渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数（如 98765） ，若把所有的五位渐减 数按从小到大的顺序排列，则第 20 个数为 ． 二．解答题（共 3 小题） 2 2 4．设命题 p：函数 f（x）=lg（x +ax+1）的定义域为 R；命题 q：函数 f（x）=x ﹣2ax﹣1 在（﹣∞，﹣1]上单调递减． （1）若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数 a 的取值范围； （2）若关于 x 的不等式（x﹣m） （x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为 M；命题 p 为真命题时，a 的取值集合为 N．当 M∪N=M 时，求实数 m 的取值范围．
又∵a ﹣b =1，∴a =9，b =8，∴C2 的方程为
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+
=1；
（Ⅱ）如图，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ，D（x4， y4） ，∵ ∴ = 与 同向，且|AC|=|BD|，
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，∴x1﹣x2=x3﹣x4，∴（x1+x2） ﹣4x1x2=（x3+x4）
﹣4x3x4， 设直线 l 的斜率为 k，则 l 方程：y=kx+1， 由 ，可得 x ﹣4kx﹣4=0，可得 x1+x2=4k，x1x2=﹣4，
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+
=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1 与 C2
的公共弦的长为 2 与 同向．
， 过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A， B 两点， 与 C2 相交于 C， D 两点， 且
（Ⅰ）求 C2 的方程； （Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线 l 的斜率．
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寒假作业（三）参考答案 1．昆虫活动的范围是在三角形的内部，三角形的边长为 5，12，13，是直角三角形， ∴面积为 30，而“恰在离三个顶点距离都小于 2”正好是一个半径为 2 的半圆，面积为 π×2 =4π×
在直角△EBG 中，可得 BE=
在直角三角形 FDG 中，可得 FG=
在直角梯形 BDFE 中，由 BD=2，BE= EF=
，从而 EG2+FG2=EF2，则 EG⊥FG，AC∩FG=G，可
得 EG⊥平面 AFC， 由 EG⊂平面 AEC，所以平面 AEC⊥平面 AFC；
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（Ⅱ）如图，以 G 为坐标原点，分别以 GB，GC 为 x 轴，y 轴，|GB|为单位长度， 建立空间直角坐标系 G﹣xyz，由（Ⅰ）可得 A（0，﹣ F（﹣1，0， 即有 =（1， ， ） ，C（0， ， ＞= ） ， ，0） ， =（﹣1，﹣ = ， =﹣ ） ， ． ，0） ，E（1，0， ） ，
（2）∵M∪N=M∴N⊆M，∵M=（m﹣5，m） ，N=（﹣2，2） ∴ ，解得：2≤m≤3．
5． （Ⅰ）连接 BD，设 BD∩AC=G，连接 EG、EF、FG， 在菱形 ABCD 中，不妨设 BG=1，由∠ABC=120°，可得 AG=GC= BE⊥平面 ABCD，AB=BC=2，可知 AE=EC，又 AE⊥EC， 所以 EG= ，且 EG⊥AC， ，故 DF= ， ，FD= ，可得 ， ，
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由
，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，可得 x3+x4=﹣
，x3x4=﹣
，
又∵（x1+x2） ﹣4x1x2=（x3+x4） ﹣4x3x4，∴16（k +1）=
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+
，
化简得 16（k +1）=
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，∴（9+8k ） =16×9，解得 k=±
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，
即直线 l 的斜率为±
．
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故 cos＜
则有直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为
．
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6． （Ⅰ）由 C1 方程可知 F（0，1） ，∵F 也是椭圆 C2 的一个焦点，∴a ﹣b =1， 又∵C1 与 C2 的公共弦的长为 2 ，C1 与 C2 的图象都关于 y 轴对称， ， ） ， ， ∴易得 C1 与 C2 的公共点的坐标为（±
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，
∴根据几何概型的概率公式可知其到三角形顶点的距离小于 2 的地方的 概率为 = ．
2．设 l1 与 l2 的夹角为 2θ，由于 l1 与 l2 的交点 A（1，3）在圆的外部， 且点 A 与圆心 O 之间的距离为 OA= 圆的半径为 r= ， ∴sinθ= ，∴cosθ= ，
，tanθ= ，∴tan2θ=
= ，
3．当首位是 4 时，只有 1 个结果 43210 4 当首位是 5 时，有 C5 =5 种结果，53210 54210 54310 54320 54321 4 当首位是 6 时， 有 C6 =15 种结果， 先从小到大列举出来： 63210 64210 64310 64320 64321 65210 65310 65320 65321 65410 65420 65421 65430 65431 故第 20 个渐减数是 65431 2 4． （1）若 p 真：即函数 f（x）的定义域为 R ∴x +ax+1＞0 对∀x∈R 恒成立， 2 ∴△=a ﹣4＜0，解得：﹣2＜a＜2， 若 q 真，则 a≥﹣1， ∵命题“p∨q”为真，“p∧q”为假∴p 真 q 假或 p 假 q 真 ∵ 或 ，解得：﹣2＜a＜﹣1 或 a≥2．
5．如图，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE 丄平面 ABCD，DF 丄平面 ABCD，BE=2DF，AE 丄 EC． （Ⅰ）证明：平面 AEC 丄平面 AFC （Ⅱ）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值．
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6．已知抛物线 C1：x =4y 的焦点 F 也是椭圆 C2：
湖北省武汉市黄陂区 2016-2017 学年高二数学寒假作业试题 理(三)
一．填空题（共 3 小题） 1．一只昆虫在边长分别为 5，12，13 的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离 小于 2 的地方的概率为 ． 2．直线 l1 和 l2 是圆 x +y =2 的两条切线．若 l1 与 l2 的交点为（1，3） ，则 l1 与 l2 的夹角的 正切值等于 ． 3． “渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数（如 98765） ，若把所有的五位渐减 数按从小到大的顺序排列，则第 20 个数为 ． 二．解答题（共 3 小题） 2 2 4．设命题 p：函数 f（x）=lg（x +ax+1）的定义域为 R；命题 q：函数 f（x）=x ﹣2ax﹣1 在（﹣∞，﹣1]上单调递减． （1）若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数 a 的取值范围； （2）若关于 x 的不等式（x﹣m） （x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为 M；命题 p 为真命题时，a 的取值集合为 N．当 M∪N=M 时，求实数 m 的取值范围．
又∵a ﹣b =1，∴a =9，b =8，∴C2 的方程为
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+
=1；
（Ⅱ）如图，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ，D（x4， y4） ，∵ ∴ = 与 同向，且|AC|=|BD|，
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，∴x1﹣x2=x3﹣x4，∴（x1+x2） ﹣4x1x2=（x3+x4）
﹣4x3x4， 设直线 l 的斜率为 k，则 l 方程：y=kx+1， 由 ，可得 x ﹣4kx﹣4=0，可得 x1+x2=4k，x1x2=﹣4，
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=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1 与 C2
的公共弦的长为 2 与 同向．
， 过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A， B 两点， 与 C2 相交于 C， D 两点， 且
（Ⅰ）求 C2 的方程； （Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线 l 的斜率．
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寒假作业（三）参考答案 1．昆虫活动的范围是在三角形的内部，三角形的边长为 5，12，13，是直角三角形， ∴面积为 30，而“恰在离三个顶点距离都小于 2”正好是一个半径为 2 的半圆，面积为 π×2 =4π×
在直角△EBG 中，可得 BE=
在直角三角形 FDG 中，可得 FG=
在直角梯形 BDFE 中，由 BD=2，BE= EF=
，从而 EG2+FG2=EF2，则 EG⊥FG，AC∩FG=G，可
得 EG⊥平面 AFC， 由 EG⊂平面 AEC，所以平面 AEC⊥平面 AFC；
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（Ⅱ）如图，以 G 为坐标原点，分别以 GB，GC 为 x 轴，y 轴，|GB|为单位长度， 建立空间直角坐标系 G﹣xyz，由（Ⅰ）可得 A（0，﹣ F（﹣1，0， 即有 =（1， ， ） ，C（0， ， ＞= ） ， ，0） ， =（﹣1，﹣ = ， =﹣ ） ， ． ，0） ，E（1，0， ） ，
（2）∵M∪N=M∴N⊆M，∵M=（m﹣5，m） ，N=（﹣2，2） ∴ ，解得：2≤m≤3．
5． （Ⅰ）连接 BD，设 BD∩AC=G，连接 EG、EF、FG， 在菱形 ABCD 中，不妨设 BG=1，由∠ABC=120°，可得 AG=GC= BE⊥平面 ABCD，AB=BC=2，可知 AE=EC，又 AE⊥EC， 所以 EG= ，且 EG⊥AC， ，故 DF= ， ，FD= ，可得 ， ，
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由
，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，可得 x3+x4=﹣
，x3x4=﹣
，
又∵（x1+x2） ﹣4x1x2=（x3+x4） ﹣4x3x4，∴16（k +1）=
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，
化简得 16（k +1）=
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，∴（9+8k ） =16×9，解得 k=±
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，
即直线 l 的斜率为±
．
4
故 cos＜
则有直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为
．
2 2
6． （Ⅰ）由 C1 方程可知 F（0，1） ，∵F 也是椭圆 C2 的一个焦点，∴a ﹣b =1， 又∵C1 与 C2 的公共弦的长为 2 ，C1 与 C2 的图象都关于 y 轴对称， ， ） ， ， ∴易得 C1 与 C2 的公共点的坐标为（±
2
，
∴根据几何概型的概率公式可知其到三角形顶点的距离小于 2 的地方的 概率为 = ．
2．设 l1 与 l2 的夹角为 2θ，由于 l1 与 l2 的交点 A（1，3）在圆的外部， 且点 A 与圆心 O 之间的距离为 OA= 圆的半径为 r= ， ∴sinθ= ，∴cosθ= ，
，tanθ= ，∴tan2θ=
= ，
3．当首位是 4 时，只有 1 个结果 43210 4 当首位是 5 时，有 C5 =5 种结果，53210 54210 54310 54320 54321 4 当首位是 6 时， 有 C6 =15 种结果， 先从小到大列举出来： 63210 64210 64310 64320 64321 65210 65310 65320 65321 65410 65420 65421 65430 65431 故第 20 个渐减数是 65431 2 4． （1）若 p 真：即函数 f（x）的定义域为 R ∴x +ax+1＞0 对∀x∈R 恒成立， 2 ∴△=a ﹣4＜0，解得：﹣2＜a＜2， 若 q 真，则 a≥﹣1， ∵命题“p∨q”为真，“p∧q”为假∴p 真 q 假或 p 假 q 真 ∵ 或 ，解得：﹣2＜a＜﹣1 或 a≥2．