2011届高考数学二轮复习课件专题三第1讲等差数列、等比数列
高考数学二轮专题复习 专题三 第一讲 等差数列、等比数列课件 新人教版
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三、预测押题不能少
3．(1)设数列{an}是公差d<0的等差数列，Sn为其前n项和，若
S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n＝
()
A．5
B．6
C．5或6
D．6或7
解析：由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0， 故当n＝5或6时，Sn最大．
答案(dáàn)：C
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(2)已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的
值为
()
A．4
B．6
C．8
D．－9
解析：∵a4＋a8＝－2，∴a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a
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二、经典例题领悟好 [例2] 设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn， 且a5，a3，a4成等差数列． (1)求数列{an}的公比； (2)证明：对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列． [解] (1)设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)， 由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4， 即2a1q2＝a1q4＋a1q3. 由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0， 解得q1＝－2，q2＝1(舍去)， 所以q＝－2.
∴Sn＋2＝3an，Sn－1＋2＝3an－1(n≥2)，两式相减得，
2an＝3an－1(n≥2)．又n＝1时，S1＋2＝3a1＝a1＋2，
∴a1＝1，∴数列{an}是首项为1，公比为
3 答案] D
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高三数学文二轮复习课件3.1等差数列、等比数列
(1)定义法 (2)中项公式法： (1)定义法 (2)中项公式法： 2 an ＋ 2(n≥2)(a≠ 0) 2an＋ 1＝ an＋ an＋ 2⇔ {an}为等 a n＋ 1 ＝ an· 差数列 (3) 通项公式法： an ⇔ {an}为等比数列 an＝ c· q n ( c、 ＝ pn ＋ q(p 、 q 为 常 数 ) ⇔ (3)通项公式法； 判定方法 {an}为等差数列 (4)前 n 项 q 均是不为 0 的常数， n∈ * 和 公 式 法 ： Sn ＝ An2 ＋ N ) ⇔ {an} 为 等 比 数 列 Bn( A、 B 为常数 )⇔ {an }为 (4){an} 为 等 差 数 列 ⇔ 等差数列 (5){an}等比数列， { a an } 为 等 比 数 列 an>0⇔ {logaan}为等差数列 (0<a≠ 1)
答案：d≤－2 2或 d≥2 2
5．记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，设 S3＝ 12，且 2a1， a2， a3＋ 1 成等比数列，求 Sn.
解：设数列{an}的公差为 d，依题意有
2 2a1 a3＋ 1＝a2， a1＋ a2＋ a3＝ 12， 2 2 a1＋ 2a1d－ d ＋ 2a1＝ 0， 即 a1＋ d＝ 4.
【解】
(1)法 1：∵{an}是等比数列， ①
∴4＝ a3＝a1q2
3 3＋ 4＋5 12 212＝a4a5a6＝a1 q ＝a3 q ② 1
由①②可解得 q2＝ 4. 又∵ {an}为正项等比数列．∴ q＝ 2. 将 q＝ 2 代入①或②可得 a1＝1.
3 法 2：由题设有 a4a5a6＝a5 ＝212⇒a5＝24＝ 16(a5>0)，
解得： a1＝ 1， d＝ 3，或 a1＝ 8， d＝－ 4. 1 因此 Sn＝ n(3n－ 1)或 Sn＝ 2n(5－ n)． 2
高三数学二轮复习专题三第一讲等差数列、等比数列课件人教版
依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.
所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d. 依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，
解得d＝2或d＝－13(舍去)，
故{bn}的第3项为5，公比为2.
由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝54.
所以{bn}是以
5 4
为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝
π 6
处取得最大
值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式．
[解] (1)由q＝3，S3＝133， 得a111－－333＝133，解得a1＝13. 所以an＝13×3n－1＝3n－2. (2)由(1)可知an＝3n－2，所以a3＝3. 因为函数f(x)的最大值为3，所以A＝3； 因为当x＝π6时f(x)取得最大值， 所以sin(2×π6＋φ)＝1. 又0＜φ＜π，故φ＝π6. 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin(2x＋π6)．
[点评] 本题考查等比数列与三角函数的基本知识和 基本量的计算，属在知识交汇处命题的典型．
已知等差数列{an}中，a1，a99是函数f(x)＝x2－10x＋16的两 个零点，则12a50＋a20＋a80＝__________.
解析：由已知得a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两个实根，则a1＋ a99＝10， 则12a50＋a20＋a80＝54(a1＋a99)＝225. 答案：225
54·2n－1＝5·2n－3.
(2)证明：数列{bn}的前n项和Sn＝5411－－22n＝5·2n－2－54，即Sn＋54＝5·2n－2， 所以S1＋54＝52，SSn＋n＋1＋5454＝55··22nn－－12＝2. 因此{Sn＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．
等差等比数列的证明ppt课件
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
1
等差、等比数列的证明 一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n， 证明数列an 成等差数列，并求其首项、
11
12
13
14
（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
5
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
6
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质 方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,L 成等差
Sn与项an的关系：
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重点回顾
数列
等差数列
等比
定义 通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质 和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
公差、通项公式
2
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）
数学二轮复习教案： 第一部分 专题三 数列 第一讲 等差数列、等比数列
专题三数列第一讲等差数列、等比数列[考情分析］等差数列、等比数列的判定及其通项公式在考查基本运算、基本概念的同时，也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查;对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n项和的最大、最小值等问题，主要是中低档题；等差数列、等比数列的前n项和是高考考查的重点。
年份卷别考查角度及命题位置201 7Ⅰ卷等差、等比数列的综合应用·T17201 5Ⅰ卷等差数列的通项公式及前n项和公式·T7等比数列的概念及前n项和公式·T13Ⅱ卷等差数列的通项公式、性质及前n项和公式·T5［真题自检]1．（2015·高考全国卷Ⅱ)设S n是等差数列｛a n｝的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( )A．5 B．7C．9 D．11解析：法一:∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝错误!＝5a3＝5.法二：∵a1＋a3＋a5＝a1＋（a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d ＝1，∴S5＝5a1＋错误!d＝5(a1＋2d）＝5.解析:A2．(2015·高考全国卷Ⅰ）已知｛a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n｝的前n项和，若S8＝4S4,则a10＝( ）A。
错误!B。
错误!C．10 D．12解析：∵公差为1,∴S8＝8a1＋错误!×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4（4a1＋6),解得a1＝错误!，∴a10＝a1＋9d＝错误!＋9＝错误!。
答案:B3．(2015·高考全国卷Ⅰ改编)在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝2a n，S n 为｛a n｝的前n项和．若S n＝126，求n的值．解析：∵a1＝2，a n＋1＝2a n,∴数列｛a n}是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S n＝126，∴错误!＝126，∴n＝6.等差数列、等比数列的基本运算［方法结论］1．两组求和公式（1)等差数列:S n＝错误!＝na1＋错误!d;（2)等比数列：S n＝错误!＝错误!(q≠1）．2．在进行等差（比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d（q）的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．［题组突破]1．(2017·贵阳模拟)等差数列｛a n}的前n项和为S n，且a3＋a9＝16，则S 11＝（ ）A ．88B ．48C ．96D ．176解析：依题意得S 11＝11a 1＋a 112＝错误!＝错误!＝88,选A 。
高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列与等比数列 理PPT课件
(2)由(1)得，a4＝7，S4＝16. 因为 q2－(a4＋1)q＋S4＝0，即 q2－8q＋16＝0， 所以(q－4)2＝0，从而 q＝4. 又因 b1＝2，{bn}是公比 q＝4 的等比数列，所以 bn＝b1qn －1＝2·4n－1＝22n－1.
3．等差、等比数列的综合问题，多以解答题的形 式考查，主要考查考生综合数学知识解决问题的能力， 为中挡题．
例 1 已知数列{an}是一个等差数列，且 a2＝1， a5＝－5.
(1)求{an}的通项 an. (2)设 cn＝5－2an，bn＝2cn，求 T＝log2b1＋log2b2＋ log2b3＋…＋log2bn 的值．
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
从而{bn}的前 n 项和 Tn＝b1（11－－qqn）＝32(4n－1)．
已知等差数列中的某几项成等比数列(或已知等比数列 中的某几项成等差数列)，往往是先设公差为 d(或公比为 q)， 用待定系数法求出 d(或 q)与首项之间的关系，进而再解决 问题．
3．在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81. (1)求 an； (2)设 bn＝log3an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
＝ban－b2·－2bn
＝ban－2－1 b2n. ∴an－2－1 b·2n＝a1－2－2 b·bn－1＝2（21－－bb）bn－1.
∴an＝2－1 b[2n＋(2－2b)bn－1]． ∵a1＝2 适合上式， ∴an＝2－1 b[2n＋(2－2b)bn－1]．
高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列与等比数列 理
高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列与等比数列 理第一讲 等差数列与等比数列1．等差数列的定义．数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝d (其中n∈N *，d 为与n 值无关的常数)⇔{a n }是等差数列． 2．等差数列的通项公式．若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． 3．等差中项．若x ，A ，y 成等差数列，则A ＝x ＋y2，其中A 为x ，y 的等差中项．4．等差数列的前n 项和公式．若等差数列首项为a 1，公差为d ，则其前n 项和S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）d2．1．等比数列的定义． 数列{a n }满足a n ＋1a n＝q (其中a n ≠0，q 是与n 值无关且不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．2．等比数列的通项公式．若等比数列的首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1·q n －1＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *)．3．等比中项．若x ，G ，y 成等比数列，则G 2＝xy ，其中G 为x ，y 的等比中项，G 值有两个． 4．等比数列的前n 项和公式．设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(√) (3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．(×) (4)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．(×) (5)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .(×) (6)1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝1－b51－b.(×)1．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则数列{a n }的前5项和S 5＝(B ) A ．7 B ．15 C ．20 D ．25解析：2d ＝a 4－a 2＝5－1＝4⇒d ＝2，a 1＝a 2－d ＝1－2＝－1，a 5＝a 2＋3d ＝1＋6＝7，故S 5＝（a 1＋a 5）×52＝6×52＝15.2. (2015·北京卷)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是(C ) A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0解析：设等差数列{a n}的公差为d，若a1＋a2＞0，a2＋a3＝a1＋d＋a2＋d＝(a1＋a2)＋2d，由于d正负不确定，因而a2＋a3符号不确定，故选项A错；若a1＋a3＜0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝(a1＋a3)－d，由于d正负不确定，因而a1＋a2符号不确定，故选项B错；若0＜a1＜a2，可知a1＞0，d＞0，a2＞0，a3＞0，∴a22－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d2＞0，∴a2＞a1a3，故选项C正确；若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0，故选项D错．3．(2015·新课标Ⅱ卷)已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(B)A．21 B．42C．63 D．84解析：∵ a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴ 3＋3q2＋3q4＝21.∴ 1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.4．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是(B)A．90 B．100C．145 D．190解析：设公差为d，则(1＋d)2＝1·(1＋4d)．∵d≠0，解得d＝2，∴S10＝100.一、选择题1．已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，若a3＋a9＝6，则S11＝(B)A．12 B．33 C．66 D．99解析：∵{a n}为等差数列且a3＋a9＝6，∴a 6＋a 6＝a 3＋a 9＝6. ∴a 6＝3. ∴S 11＝a 1＋a 112×11＝a 6＋a 62×11＝11a 6＝11×3＝33.2．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则数列{a n }的前6项和S 6＝(B ) A ．120 B ．140 C ．160 D ．180 解析：∵{a n }为等比数列，∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6为等比数列． ∴(a 3＋a 4)2＝(a 1＋a 2)(a 5＋a 6)． 即a 5＋a 6＝（a 3＋a 4）2a 1＋a 2＝40220＝80.∴S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝20＋40＋80＝140.3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n －1，则a 3＋a 17＝(C ) A ．15 B ．17 C ．34 D ．398 解析：∵S n ＝n 2－2n －1， ∴a 1＝S 1＝12－2－1＝－2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－2n －1－[(n －1)2－2(n －1)－1] ＝n 2－(n －1)2＋2(n －1)－2n －1＋1 ＝n 2－n 2＋2n －1＋2n －2－2n ＝2n －3.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，n ＝1，2n －3，n ≥2.∴a 3＋a 17＝(2×3－3)＋(2×17－3)＝3＋31＝34. 4．(2014·陕西卷)原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(A )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 解析：由a n ＋a n ＋12＜a n ⇒a n ＋1＜a n ⇒{a n }为递减数列，所以原命题为真命题；逆命题：若{a n }为递减数列，则a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋；若{a n }为递减数列，则a n ＋1＜a n ，即a n ＋a n ＋12＜a n ，所以逆命题为真；否命题：若a n ＋a n ＋12≥a n ，n ∈N ＋，则{a n }不为递减数列；由a n ＋a n ＋12≥a n ⇒a n ≤a n ＋1⇒{a n }不为递减数列，所以否命题为真；因为逆否命题的真假为原命题的真假相同，所以逆否命题也为真命题． 故选A.5．某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为(C )A ．5B ．7C ．9D ．11解析：由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入m ＝9，因此选C.二、填空题6．(2015·安徽卷)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于27．解析：由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋9×（9－1）2×12＝9＋18＝27.7．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝32． 解析：将S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2两个式子全部转化成用a 1，q 表示的式子，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝3a 1q 3＋2，两式作差得：a 1q 2＋a 1q 3＝3a 1q (q 2－1)，即：2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1(舍去)．8．(2014·广东卷)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝5．解析：由题意知a 1a 5＝a 23＝4，且数列{a n }的各项均为正数，所以a 3＝2， ∴a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)·(a 2a 4)·a 3＝(a 23)2·a 3＝a 53＝25，∴log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5. 三、解答题9．已知数列{a n }满足，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2 ＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式． 解析：(1)b 1＝a 2－a 1＝1， 当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，所以{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1， 当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1.所以a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．10．(2015·安徽卷)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)． 由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1qn －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝2n－1.又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1.。
高考数学二轮复习专题三数列第一讲等差数列、等比数列课件理共29页文档
高考数学二轮复习专题三数列第一讲 等差数列、等比数列课件理
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
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专 题 三 数
列
【题后点评】
利用等差、等比数列的通项
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公式和前n项和公式，由五个量a1，d(q)，n，an， Sn中的三个量可求其余两个量，即“知三求二”， 体现了方程思想．解答等差、等比数列的有关问 题时，“基本量”(等差数列中的首项a1和公差d或
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专 题 三 数
列
2．等比数列 an＋1 (1)定义式： ＝q(n∈N*，q 为非零常数)． an (2)通项公式：an＝a1qn－1. (3)前 n 项和公式：Sn＝ q＝1， na1 a11－qn q≠1. 1 － q * (4)等比中项公式： a2 ＝ a a ( n ∈ N ， n≥2)． n n－1 n＋1 (5)性质：①an＝amqn－m(n，m∈N*)． ②若 m＋n＝p＋q，则 aman＝apaq(p，q，m，n ∈N*)．
等比数列{bn}中有bp· bq＝bm· bn.这些公式自己结合这两
种数列的通项公式推导后可加强记忆与理解．
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变式训练
专 题 三 数
列
2．(1)在等比数列{an}中，首项a1<0，则{an}是递增 数列的充要条件是( A．q>1 C．0<q<1 ) B．q<1 D．q<0
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专 题 三
典例精析
题型一
数
列
等差与等比数列的基本运算
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例1 (2010年高考重庆卷)已知{an}是首项为19， 公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和． (1)求通项an及Sn； (2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数
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列，求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn.
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专 题 三 数
列
专题三
数
列
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专 题 三 数
列
第1讲
等差数列、等比数列
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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专 题 三 数
列
1．等差数列 (1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d 为常数)． (2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. n a1＋an n n－1 d (3)前 n 项和公式：Sn＝ ＝na1＋ . 2 2 (4)等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)． (5)性质：①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． ②若 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq(m，n，p， q∈N*)． 注意：为了方便，有时等差数列的通项公式也可写 成 an＝pn＋q 的形式，前 n 项和的公式可写成 Sn＝ An2＋Bn 的形式(p，q，A，B 为常数)．
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专 题 三 数
列
【规范解答】
(1)证明：∵Sn＋1＝4an＋2，Sn＋2＝
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4an＋1＋2，两式相减得Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an， 即an＋2＝4an＋1－4an，
∴an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，……3分
∵bn＝an＋1－2an，∴bn＋1＝2bn， 由此可知{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列， ∴bn＝3· 2n－1……6分
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题型二
专 题 三 数
列
等差、等比数列的性质
例2
(1)(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}
中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋„＋a7＝(
A．14 C．28 B．21 D．35
)
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(2)(2010年高考安徽卷)设{an}是任意等比数列，它的前 n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列
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所以数列{an}是等差数列，Sn是关于n的二次函数，
专 题 三 数
列
又 S15 ＝ S37 ， a1>0 ，由二次函数图象性质可知， S26
最大． 【答案】 26 数列是一种特殊的函数，数列的通项
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【题后拓展】
公式以及前 n 项和公式可以看作是关于正整数 n 的函
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等比数列中的首项a1和公比q)法是常用方法．
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变式训练
专 题 三 数
列
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}满足b2＝S1，b4＝a2＋a3，
求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)a1＝S1＝3， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－ 1)]＝2n＋1，当n＝1时，上式也成立，所以an＝2n＋
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3an－1－2 解：(1)证明：∵an＝ (n≥2，n∈N*)， an－1
专 题 三 数
列
3an－1－2 －2 a an－2 3an－1－2－2an－1 n－1 ∴bn＝ ＝ ＝ 1－an 3an－1－2 an－1－3an－1－2 1－ an－1 an－1－2 1 ＝ ＝ b－. 21－an－1 2 n 1 1 1 bn ∴ ＝ ，又∵b1＝－ ，故数列{bn}是首项为 b1 2 bn－1 2 1 1 ＝－ ，公比为 的等比数列． 2 2
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【解】
专 题 三 数
列
(1)∵{an}是首项为 a1＝19，公差为 d
＝－2 的等差数列， ∴an＝19－2(n－1)＝21－2n， 1 Sn＝19n＋ n(n－1)×(－2)＝20n－n2. 2 (2)由题意得 bn－an＝3n－1， 即 bn＝an＋3n－1， ∴ bn＝3n－1－2n＋21，Tn＝Sn＋(1＋3＋„＋3n－1)＝－
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专 题 三 数
列
3an－1－2 3．已知数列{an}中，a1＝3，an＝ (n≥2，n an－1 ∈N*)． an－2 (1)若数列{bn}满足 bn＝ ，证明：数列{bn}是等 1－an 比数列； (2)求数列{an}的通项公式以及最大值，并说明理由．
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1(n∈N*)．
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（2)设等比数列{bn}的公比为 q，
专 题 三 数
列
则
b1q＝3， b2＝3，b4＝5＋7＝12，所以 3 b1q ＝12.
3 3 b1＝ b1＝－ ， 2 或 2 解得 q＝2 q＝－2. 3 3 n 1－2 － [1－－2n] 2 2 所以 Tn＝ 或 Tn＝ ， 1－2 1－－2 3 n 1 即 Tn＝ (2 －1)或 Tn＝ [(－2)n－1]． 2 2
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专 题 三 数
列
【思维升华】
判断某个数列是否为等差(或等比)
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数列，常用方法有两种：一种是由定义判断，二 是看任意相邻三项是否满足等差中项(或等比中 项)．注意只要其中的一项不符合，就不能为等差 (或等比)数列．而想判断某个数列不是等差(或等
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比)数列，只需看前三项即可．
n＋1
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方法突破
专 题 三 数
列
例
已知数列{an}的前n项和为Sn，S15＝S37，a1>0，
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三点P(2n－3，an)，Q(2n，an＋1)，R(2n＋3，an＋2)在一
条直线上，则当n＝________时，Sn取得最大值．
【解析】 由点 P(2n－3，an)，Q(2n，an＋1)，R(2n＋ an＋1－an an＋2－an＋1 3， an＋ 2)在一条直线上，得 ＝ ，即 3 3 2an＋1＝an＋an+2
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(2)由(1)知， bn＝3· 2n 1，∴an＋1－2an＝3· 2n 1，
专 题 三 数
列
an＋1 an 3 ∴ n＋1－ n＝ ， 2 4 2
an a1 1 ∴数列 n是首项为 ＝ ， 2 2 2
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3 公差 d＝ 的等差数列 ……9 分 4 an 1 3 3 1 ∴ n＝ ＋ (n－ 1)＝ n－ ， 2 2 4 4 4 3 1 n ∴ an＝( n－ )· 2 ＝(3n－ 1)· 2n－2……12 分 4 4
答案：(1)C (2)D
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专 题 三 数
列
题型三 例3
等差、等比数列的判定与证明
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(本题满分12分)已知数列{an}，Sn是它的前n
项和，且Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，a1＝1. (1)设bn＝an＋1－2an(n∈N*)，求证：数列{bn}是等比 数列； (2)求数列{an}的通项公式．
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(2)已知等差数列{an}满足2a2－a＋2a12＝0，且数列