2011届高考数学二轮复习课件专题三第1讲等差数列、等比数列

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专题三
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第1讲
等差数列、等比数列
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1．等差数列 (1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d 为常数)． (2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. n a1＋an n n－1 d (3)前 n 项和公式：Sn＝ ＝na1＋ . 2 2 (4)等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)． (5)性质：①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． ②若 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq(m，n，p， q∈N*)． 注意：为了方便，有时等差数列的通项公式也可写 成 an＝pn＋q 的形式，前 n 项和的公式可写成 Sn＝ An2＋Bn 的形式(p，q，A，B 为常数)．
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等式中恒成立的是(
A．X＋Z＝2Y C．Y2＝XZ
)
B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
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【解析】
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(1)由等差数列性质得 a3＋a4＋a5＝3a4，
由 3a4＝12，得 a4＝4，所以 a1＋a2＋„＋a7＝ 7a1＋a7 ＝7a4＝28. 2 (2)法一：设数列{an}首项为 a1，公比为 q，则 X ＝a1＋a2＋„＋an， Y＝X(1＋qn)， Z＝X(1＋qn＋q2n)， ∴Y(Y－X)＝X(1＋qn)· qnX＝X2qn(1＋qn)， X(Z－X)＝X2(qn＋q2n)，∴Y(Y－X)＝X(Z－X)．
等比数列{bn}中有bp· bq＝bm· bn.这些公式自己结合这两
种数列的通项公式推导后可加强记忆与理解．
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变式训练
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2．(1)在等比数列{an}中，首项a1<0，则{an}是递增 数列的充要条件是( A．q>1 C．0<q<1 ) B．q<1 D．q<0
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【思维升华】
判断某个数列是否为等差(或等比)
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数列，常用方法有两种：一种是由定义判断，二 是看任意相邻三项是否满足等差中项(或等比中 项)．注意只要其中的一项不符合，就不能为等差 (或等比)数列．而想判断某个数列不是等差(或等
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比)数列，只需看前三项即可．
答案：(1)C (2)D
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题型三 例3
等差、等比数列的判定与证明
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(本题满分12分)已知数列{an}，Sn是它的前n
项和，且Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，a1＝1. (1)设bn＝an＋1－2an(n∈N*)，求证：数列{bn}是等比 数列； (2)求数列{an}的通项公式．
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【解】
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(1)∵{an}是首项为 a1＝19，公差为 d
＝－2 的等差数列， ∴an＝19－2(n－1)＝21－2n， 1 Sn＝19n＋ n(n－1)×(－2)＝20n－n2. 2 (2)由题意得 bn－an＝3n－1， 即 bn＝an＋3n－1， ∴ bn＝3n－1－2n＋21，Tn＝Sn＋(1＋3＋„＋3n－1)＝－
n 3 －1 2 n ＋20n＋ . 2
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【题后点评】
利用等差、等比数列的通项
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公式和前n项和公式，由五个量a1，d(q)，n，an， Sn中的三个量可求其余两个量，即“知三求二”， 体现了方程思想．解答等差、等比数列的有关问 题时，“基本量”(等差数列中的首项a1和公差d或
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题型二
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等差、等比数列的性质
例2
(1)(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}
中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋„＋a7＝(
A．14 C．28 B．21 D．35
)
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(2)(2010年高考安徽卷)设{an}是任意等比数列，它的前 n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列
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所以数列{an}是等差数列，Sn是关于n的二次函数，
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又 S15 ＝ S37 ， a1>0 ，由二次函数图象性质可知， S26
最大． 【答案】 26 数列是一种特殊的函数，数列的通项
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【题后拓展】
公式以及前 n 项和公式可以看作是关于正整数 n 的函
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(2)由(1)知， bn＝3· 2n 1，∴an＋1－2an＝3· 2n 1，
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an＋1 an 3 ∴ n＋1－ n＝ ， 2 4 2
an a1 1 ∴数列 n是首项为 ＝ ， 2 2 2
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3 公差 d＝ 的等差数列 ……9 分 4 an 1 3 3 1 ∴ n＝ ＋ (n－ 1)＝ n－ ， 2 2 4 4 4 3 1 n ∴ an＝( n－ )· 2 ＝(3n－ 1)· 2n－2……12 分 4 4
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变式训练
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3an－1－2 3．已知数列{an}中，a1＝3，an＝ (n≥2，n an－1 ∈N*)． an－2 (1)若数列{bn}满足 bn＝ ，证明：数列{bn}是等 1－an 比数列； (2)求数列{an}的通项公式以及最大值，并说明理由．
－2(q－1)>0，且a 1<0，q n－2>0.
∴q－1<0，∴q<1.综合知0<q<1.
2 2 (2)∵2a2－a2 7＋2a12＝0，∴2(a2＋a12)－a7＝4a7－a7＝0，
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∴a7＝4 或 a7＝0.又 b7＝a7，数列{bn}是等比数列， ∴b7＝a7＝4，∴b5b9＝b2 7＝16，故选 D.
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专 题 三
典例精析
题型一
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等差与等比数列的基本运算
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例1 (2010年高考重庆卷)已知{an}是首项为19， 公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和． (1)求通项an及Sn； (2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数
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列，求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn.
n＋1
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方法突破
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例
已知数列{an}的前n项和为Sn，S15＝S37，a1>0，
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三点P(2n－3，an)，Q(2n，an＋1)，R(2n＋3，an＋2)在一
条直线上，则当n＝________时，Sn取得最大值．
【解析】 由点 P(2n－3，an)，Q(2n，an＋1)，R(2n＋ an＋1－an an＋2－an＋1 3， an＋ 2)在一条直线上，得 ＝ ，即 3 3 2an＋1＝an＋an+2
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(2)已知等差数列{an}满足2a2－a＋2a12＝0，且数列
{bn}是等比数列，若b7＝a7，则b5b9＝(
A．2 C．8 B． 4 D．16
)
答案：(1)C (2)D
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解析：(1)当q<0时，{an}为摆动数列，不具备增减 性，当q>0时，由an－an－1＝a1qn－1－a1qn－2＝a1qn
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法二：对任意的等比数列，涉及前2n项和的，可
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取特殊数列：1，－1,1，－1,1，－1，„，则Y＝
0，再取n＝1有X＝1，Z＝1，可排除A、B、C.
【答案】 (1)C (2)D
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【题后点评】
等差数列与等比数列有很多类似的性
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质，抓住这些性质可以简化运算过程．例如当p＋q＝ m ＋ n时，在等差数列 {an} 中有ap ＋ aq ＝ am＋ an ，而在
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1(n∈N*)．
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（2)设等比数列{bn}的公比为 q，
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则
b1q＝3， b2＝3，b4＝5＋7＝12，所以 3 b1q ＝12.
3 3 b1＝ b1＝－ ， 2 或 2 解得 q＝2 q＝－2. 3 3 n 1－2 － [1－－2n] 2 2 所以 Tn＝ 或 Tn＝ ， 1－2 1－－2 3 n 1 即 Tn＝ (2 －1)或 Tn＝ [(－2)n－1]． 2 2
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2．等比数列 an＋1 (1)定义式： ＝q(n∈N*，q 为非零常数)． an (2)通项公式：an＝a1qn－1. (3)前 n 项和公式：Sn＝ q＝1， na1 a11－qn q≠1. 1 － q * (4)等比中项公式： a2 ＝ a a ( n ∈ N ， n≥2)． n n－1 n＋1 (5)性质：①an＝amqn－m(n，m∈N*)． ②若 m＋n＝p＋q，则 aman＝apaq(p，q，m，n ∈N*)．
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数．利用“数形结合”研究数列问题就是借助函数图
象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数 的有关问题来解决．
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考情分析 从近几年高考来看，本讲高考命题具有以下特点：
1．几乎每年都有与数列有关的选择题、填空题和解
答题．对于等差数列与等比数列的概念、性质、通项 公式与前n项和等基础知识，主要以选择题、填空题 的形式考查，难度属于中、低档． 2．考查两种数列或将非等差、等比数列模型经过配 凑构造转化为等差、等比数列的综合题经常出现，要 掌握好它们的公式和性质，做到熟练且灵活的应用．
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3an－1－2 解：(1)证明：∵an＝ (n≥2，n∈N*)， an－1
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3an－1－2 －2 a an－2 3an－1－2－2an－1 n－1 ∴bn＝ ＝ ＝ 1－an 3an－1－2 an－1－3an－1－2 1－ an－1 an－1－2 1 ＝ ＝ b－. 21－an－1 2 n 1 1 1 bn ∴ ＝ ，又∵b1＝－ ，故数列{bn}是首项为 b1 2 bn－1 2 1 1 ＝－ ，公比为 的等比数列． 2 2
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【规范解答】
(1)证明：∵Sn＋1＝4an＋2，Sn＋2＝
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4an＋1＋2，两式相减得Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an， 即an＋2＝4an＋1－4an，
∴an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，……3分
∵bn＝an＋1－2an，∴bn＋1＝2bn， 由此可知{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列， ∴bn＝3· 2n－1……6分
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注意： （1）a an1an1是an1 , an , an1 成等比数列的必要
2 n
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不充分条件.
（ 2 ）利用等比数列前 n 项和的公式求和时，不可 忽视对公比q是否为1的讨论.
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Baidu Nhomakorabea
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专 题 三 数
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an－2 1n 1n (2)由(1)知，bn＝－( ) ，从而可得 ＝－( ) ， 2 2 1－an 2 －1 解得 an＝1＋ ＝ n (n∈N*)． 1 n 2 －1 1－ 2 1 ∴数列{an}为单调递减数列，∴当 n＝1 时，an 取 得最大值 3，即数列{an}的最大值是 a1＝3.
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等比数列中的首项a1和公比q)法是常用方法．
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1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}满足b2＝S1，b4＝a2＋a3，
求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)a1＝S1＝3， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－ 1)]＝2n＋1，当n＝1时，上式也成立，所以an＝2n＋