高考物理学霸复习讲义曲线运动-第四部分 小船渡河模型

1．模型条件

（1）物体同时参与两个匀速直线运动。

（2）一个分运动速度大小和方向保持不变，另一个分运动速度大小不变，方向可在一定范围内变化。 2．模型特点

（1）船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。 （2）三种速度：船在静水中的速度v 1、水的流速v 2、船的实际速度v 。 （3）三种情景

①过河时间最短：船头正对河岸，渡河时间最短，1

=

d

t v 短（d 为河宽）。 ②过河路径最短（v 2

③过河路径最短（v 2>v 1时）：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直河岸渡河。确定方法如下：如图所示，以v 2矢量末端为圆心，以v 1矢量的大小为半径画弧，从v 2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。由图可知12sin v v θ=

，最短航程21

=

sin v d

x d v θ=短。

【典例1】有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v 的大河。小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值为k ，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为

A ．

1

2

-k kv B ．

2

1k

v - C ．

2

1k

kv - D ．

1

2

-k v

【答案】B

【解析】 设小船相对静水的速度为c v ，去程时过河的时间为1c d

t v =

，回程的时间222c t v v

=-题意知

1

2t k t =，解得21c v k

=

-，故选项B 正确。 【考点定位】小船渡河运动的分解和合成

【名师点评】此题考查了速度的合成及分解问题；主要考查了小船渡河的两种方式“最短位移”和“最短

第四部分 小船渡河模型

时间”；搞清楚渡河的时间的决定因素，列时间关系式即可解答；此题是由常规题改编而来的，所以平时要多注意常规题的解答。

【典例2】有一艘船以v 甲的船速用最短的时间横渡过河，另一艘船以v 乙的船速从同一地点以最短的航程渡河，两船轨迹恰好重合（设河水速度保持不变），则两船过河所用的时间之比为

A ．v 甲:v 乙

B ．v 乙:v 甲

C ．22

:v v 乙甲 D ．22

:v v 甲乙

【答案】C

【解析】 要使甲船以最短时间过河，则甲船的船头应是垂直河岸，要使乙船以最短的航程过河而又和甲船的轨迹重合，v

乙

必和轨迹垂直，如图所示。从已知条件和图中的几何关系可得到=

d

t v 甲甲

，=

cos d t v θ

乙乙，而=cos sin sin v v v θθθ=甲乙水，v 乙=v 甲cos θ，联立可得到：22

::t t v v =甲乙乙甲。故C 项正确。

【考点定位】小船渡河； 运动的分解和合成

1．已知河水的流速为1v ，小船在静水中的速度为2v ，且12v v <，下面用小箭头表示小船以及船头的指向，能正确反映小船在最短时间内渡河，最短位移渡河的情景图示依次是

A ．①②

B ．①⑤

C ．④⑤

D ．②③ 【答案】C

【解析】根据题意，由运动的独立性可知，当船头垂直河岸渡河时，垂直河岸方向速度最大，渡河时间最短即2

d

t v =

，故④正确，已知12v v <，小船速度与水流速度的合速度垂直河岸时，小船以最短位移渡

河，两点间直线段最短，位移最小，如⑤图示，故C正确。

【考点定位】考查了小船渡河问题分析

【名师点评】关键是知道最短时间渡河船身应垂直河岸，轨迹应斜向下游；最短路程过河船身应斜向上游，而船相对岸的轨迹是垂直河岸。

2．小船横渡一条两岸平行的河流，船本身提供的速度（即静水速度）大小不变、船身方向垂直于河岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图所示，则

A．越接近河岸水流速度越小

B．越接近河岸水流速度越大

C．无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短

D．该船渡河的时间会受水流速度变化的影响

【答案】AC

【解析】从轨迹曲线的弯曲形状上可以知道，小船先具有向下游的加速度，后具有向上游的加速度，故水流是先加速后减速，即越接近河岸水流速度越小，故A正确，B错误；由于船身方向垂直于河岸，无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短，故C正确，D错误；故选AC。

【考点定位】考查运动的合成和分解、小船渡河

【名师点评】解决本题的关键是知道小船参与了两个运动，有两个分速度，分别是静水速度和水流速度。以及知道轨迹的弯曲大致指向合力的方向，注意垂直河岸渡河时，时间最短。

3．如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O 点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA=OB。若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为

A．t甲t乙D．无法确定

【答案】C

【解析】 设水速为v 0，人在静水中速度为v ，对甲，由O →A ，所用时间10

x

t v v =+ ，由A →O 所用时间20x t v v =

- ，则甲所用时1222000

2=x x v

t t t x v v v v v v +=

+=+--甲①；对乙；由O →B 和由B →O 的实际速度2

2

0v v v '=- ，故所用时间22022=x x

t v v v =

'-乙②；两式相比得220=1t v t v v >-甲乙

，即t 甲> t 乙，故C 正确。

【考点定位】小船渡河； 运动的分解和合成

4．小船匀速横渡一条河流。若船头垂直于对岸航行，在出发后10 min 到达对岸下游120 m 处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min 到达正对岸。求：

（1）水流的速度； （2）船在静水中的速度； （3）河的宽度； （4）船头与河岸间的夹角α。 【答案】 （1）0.2 m/s （2）1

3 m/s （3）200 m （4）53°

【帮你审题】 建模→沿水流方向的匀速运动，小船的匀速运动 画图→画出水流速度方向和船头速度方向

破题→判断合速度与分速度方向，进行速度的合成平行四边形法则

【解析】 船头垂直于对岸航行时，如图所示。

因为x =v 2t ，所以水的流速21120m s =0.2m s 1060

x v t ==⨯ 而且有d =v 1t 1①

船头保持与岸成α角航行时，如图所示。