全等三角形解题技巧

略说全等三角形解题方法

郑少藩

证明三角形全等的基本思路

在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS ”，“SAS ”，“ASA ”，“AAS ”，“HL ”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS ”或再找第三组对应边用“SSS ”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA ”或“AAS ”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS ”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL ”。上述可归纳为：

()()

()

()S SSS S A SAS S S SAS A A AAS ASA ⎧⎧⎨

⎪⎪⎩⎨

⎧⎪⎨⎪⎩

⎩用用用用或 证明三角形全等的方法

１、平移法构造全等三角形

例１如图１所示，四边形ABCD 中，AC 平分DAB ∠，若AB AD >

，DC BC =，求证：

180B D ∠+∠=︒。

分析：利用角平分线构造三角形，将D ∠转移到AEC ∠，而AEC ∠与CEB ∠互补，

CEB B ∠=∠，从而证得180B D ∠+∠=︒。主要方法是：“线、角进行转移”。

证明：在AB 上截取AE AD =

，

在ADC ∆与AEC ∆中，

AD AE DAC EAC AC AC =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴ ADC ∆≌AEC ∆（SAS ） ∴ D AEC ∠=∠,DC CE =, ∵ DC BC =, ∴ CE BC =， ∴ CEB B ∠=∠,

∵ 180CEB AEC ∠+∠=︒, ∴ 180B D ∠+∠=︒. ２、翻折法构造全等三角形

D

图１

E

C

B

A

例２如图２所示，已知ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，BD 平分ABC ∠，求证：

AB BC CD =+。

证明：∵ BD 平分ABC ∠，将BCD ∆沿BD 翻折后，点C 落在AB 上的点E ，则有BE CE =，

在BCD ∆与BED ∆中，

BC BE CBD EBD BD BD =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴ BCD ∆≌BED ∆（SAS ） ∴ 90DEA ACB ∠=∠=︒,CD DE =,

∵ 已知ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒， ∴ 45A ∠=︒,

∴ 45EDA A ∠=∠=︒, ∴ DE EA =,

∴ AB BE EA BC CD =+=+。 3、旋转法构造全等三角形

例3 如图3所示，已知点E 、F 分别在正方形ABCD 的边

BC 与CD 上，并且AF 平分EAD ∠，求证：BE DF AE +=。

分析：本题要证的BE 和DF 不在同一条直线上，因而要设法将它们“组合”到一起。可将ADF ∆绕点A 旋转90︒到ABG ∆，则ADF ∆≌ABG ∆，BE =DF ，从而将BE BG +转化为线段

GE ，再进一步证明GE AE =即可。证明略。

4、延长法构造全等三角形

例4 如图4所示，在ABC ∆中，2ACB B ∠=∠，

BAD DAC ∠=∠，求证：AB AC CD =+。

分析：证明一条线段等于另两条线段之和，常用的方法是延长一条短线段使其等于长线段，再证明延长部分与另一短线段相等即可；或者在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下部分等于另一条短线段。本题可延长AC 至E ，使AE AB =，构造

ABD ∆≌AED ∆，然后证明CE CD =，就可得AB AC CD =+。

5、截取法构造全等三角形

例5 如图5所示，在ABC ∆中，边BC 上的高为AD ，又

2B C ∠=∠，求证：CD AB BD =+。

D

图 2

E

C

B

A

D

图 3

G

C

B

A E F

D

图 4

C

B A

E

D 图 5

C

B A

E

分析：欲证明CD AB BD =+，可以在CD 上截取一线段等于BD ，再证明另一线段等于AB 。如果截取DE BD =（如图所示），则ADE ∆可认为而ADB ∆沿AD 翻折而来，从而只需证明CE AE =即可。证明略。