高二数学五一假期作业(二)(1)

导数与函数的单调性专题（建议：打印后写在纸质试卷上）一．选择题：1. 函数11292)(23++-=x x x x f 的单调递增区间A ．)2,1(B ． ),2(+∞C ． )1,(-∞D ． )1,(-∞和),2(+∞ 2. 函数x x x f ln 2)(-=的单调递减区间为A ．)21,(-∞B ．),21(+∞C ．)21,0( D ．),0(+∞ 3. 已知36(3123++++=x b bx x y ）在R 上存在三个单调区间，则b 的取值范围是 A ．2-≤b 或3≥b B ．32≤≤-b C ．32<<-b D ． 2-<b 或3>b 4. 已知函数342131)(23-+-=x mx x x f 在区间]2,1[上是增函数，则实数m 的取值范围为A ．54≤≤mB ．42≤≤mC ．2≤mD ．4≤m5. 已知函数)(x f 的定义域为),0(+∞，且满足0)()(>'+x f x x f （)(x f '是)(x f 的导函数），则不等式）1()1()1(2+<--x f x f x 的解集为A ． )2,1-(B ． ）（2,1 C ． ）（+∞,1 D ． ）（2,-∞ 6. 若函数xax x x f 1ln )(++=在),1[+∞上是单调函数，则a 的取值范围是 A ． ),41[]0,(+∞⋃-∞ B ． ),0[]41,(+∞⋃--∞ C ． ]0,41[- D ． ]1,(-∞7. 若函数1ln )(2+-+=x x x x f 在其定义域的一个子区间)2,12(+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值范围是A ．)43,23(-B ．)3,21[ C ．)3,23(-D ．)43,21[ 8. 已知定义在R 上的偶函数)(x f ，当0≥x 时，恒有0)()(2≤-+'x f x f x，若)()(2x f x x g =，则不等式)21()(x g x g -<的解集为A ． )1,31(B ．),1()31,(+∞⋃-∞C ． ),31(+∞D ．)31,(-∞9. 已知函数x a x x f ln )(+=，若))(1,21(,2121x x x x ≠∈∀，212111||)()(|x x x f x f ->-，则正数a 的取值范围是A ． ),21[+∞ B ．),1[+∞ C ． ),23[+∞ D ．),2[+∞ 10. 对任意的正数x ，都存在两个不同的正数y ，使0)ln (ln 22=--ay x y x 成立，则实数a 的取值范围为A ． )210e，（ B ． )21e ，（∞- C ． ),21(+∞e D ． )1,21(e二．填空题：本大题共3小题.11. 已知函数))((R x x f y ∈=的图象如图所示，则不等式0)(≥'x f x 的解集为_______．12. 已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，0)2(=f ，0>x 时，0)()(2<-'x x f x f x ，则不等式0)(<x xf 的解集 ． 13. 已知函数x xee x x xf 12)(3-+-=，其中e 是自然对数的底数，若0)2()1(2≤+-a f a f ，则实数a 的取值范围是 .三．解答题：14. 已知函数23ln 4)(--+=x x a x x f ，其中R a ∈，且曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于直线x y 21=．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间．15．函数)0(33)(23≠++=a x x ax x f ． （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若)(x f 在区间)2,1(是增函数，求a 的取值范围．16．设函数1ln )(+-=x x x f . （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性； （Ⅱ）证明当),1(+∞∈x 时，x xx <-<ln 11；17．设函数x x f ln )(=，1)(+=ax x g ，R a ∈，记)()()(x g x f x F -=． （Ⅰ）求曲线)(x f y =在e x =处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x F 的单调区间；（Ⅲ）当0>a 时，若函数)(x F 没有零点，求a 的取值范围．导数与函数的单调性专题训练参考答案11．),2[]2,0[+∞⋃ 12．),2()0,2(+∞⋃- 13．]2,1[-1．D 【解析】因为11292)(23++-=x x x x f ，所以12186)(+-='x x x f ，由0)23(6)(2>+-='x x x f ，得：21><x x 或 所以原函数的单调增区间为)1,(-∞和),2(+∞.2．C 【解析】x x x f ln 2)(-=的定义域为),0(+∞．xx x x f 1212)(-=-='， 令0)(<'x f ，解得21<x ，所以函数x x x f ln 2)(-=的单调减区间是)21,0(.3．D 【解析】若36(3123++++=x b bx x y ）在R 上存在三个单调区间，只需06(22=+++='）b bx x y 有2个不相等的实数根， 即只需0)6(442>+-=∆b b ，解得：2-<b 或3>b .4．D 【解析】函数342131)(23-+-=x mx x x f ， 可得4)(2+-='mx x x f ，函数342131)(23-+-=x mx x x f 在区间]2,1[上是增函数，可得042≥+-mx x 在区间]2,1[上恒成立，可得xx m 4+≤，4424=⋅≥+x x x x ，当且仅当2=x 时取等号，所以4≤m .5．B 【解析】设)()(x xf x g =，则)())(x f x x f x g '+='（，因为0)()(>'+x f x x f ，所以0)(>'x g ，即)(x g 在),0(+∞上为增函数，则不等式）1()1()1(2+<--x f x f x 等价于)1()1()1()1)(1(2++<-+-x f x x f x x ，即)1()1()1()1(22++<--x f x x f x ，即)1()1(2+<-x g x g ， 因为)(x g 在),0(+∞上为增函数，所以⎪⎩⎪⎨⎧+<->+>-11010122x x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧<<-->-<>21111x x x x 或，解得21<<x ，故不等式的解集为）（2,1. 6．B 【解析】由题意得，211)(xa x x f -+='，因为xax x x f 1ln )(++=在),1[+∞上是单调函数，所以0)(≥'x f 或0)(≤'x f 在),1[+∞上恒成立，当0)(≥'x f 时，则0112≥-+xa x 在),1[+∞上恒成立， 即x x a 112-≥，设41)211(11)(22--=-=x x xx g ，因为),1[+∞∈x ，所以]1,0(1∈x ，当11=x 时，)(x g 取到最大值0，所以0≥a ，当0)(≤'x f 时，则0112≤-+xa x 在),1[+∞上恒成立，即x x a 112-≤，设41)211(11)(22--=-=x x xx g ，因为),1[+∞∈x ，所以]1,0(1∈x ，当211=x 时，)(x g 取到最小值41-，所以41-≤a ，综上可得，实数a 的取值范围是),0[]41,(+∞⋃--∞.7．D 【解析】函数的定义域为),0(+∞，所以2120+<-≤k k ，得321<≤k ，x x x x x x f )12)(1(112)(-+=-+='，令0)(='x f ，得21=x 或1-=x （舍）， 由于函数在区间)2,12(+-k k 内不是单调函数，所以)2,12(21+-∈k k ，即22112+<<-k k ，解得：4323<<-k .综上得4321<≤k ．8．A 【解析】因为定义在R 上的偶函数)(x f ，所以)()(x f x f =-当0≥x 时，恒有0)()(2≤-+'x f x f x，则0)(2)(2≤+'x xf x f x ， )()(2x f x x g =，则0)()(2)(2≤+='x f x x xf x g ，所以)(x g 在),0[+∞为减函数，)(x f 为偶函数，)(x g 为偶函数，所以)(x g 在)0,(-∞上为增函数，)21()(x g x g -<，则|21|||x x ->，即0)13)(1(<--x x ，解得131<<x .9．C 【解析】x a x x f ln )(+=，0>a ，)1,21(∈∀x ，01)(>+='x a x f ，x a x x f ln )(+=在)1,21(上为增函数，不妨设12121<<<x x ，则2111x x >，)()(12x f x f > 不等式212111||)()(|x x x f x f ->-等价于211211)()(x x x f x f ->-， 即 11221)(1)(x x f x x f +>+， 设函数x x a x x x f x g 1ln 1)()(++=+=，)1,21(∈x ， 等价于x x a x x x f x g 1ln 1)()(++=+=在)1,21(上为增函数，则011)(2≥-+='x x a x g 在)1,21(上恒成立，即x x a -≥1在)1,21(上恒成立，设x x x m -=1)(，易知)(x m 在)1,21(上为减函数，则23)21()(=<m x m ，即23≥a ，正数a 的取值范围是),23[+∞．10．A 【解析】由()0,0)ln (ln 22>=--y x ay x y x ，可得：2)(lnxy x y a =，令0>=t x y ，2ln tt a =，设2ln )(t t t g =，342ln 21ln 21)(t tt tt t t t g -=-⨯='． 令0)(>'t g 解得e t <<0，此时函数)(t g 单调递增；令0)(<'t g 解得e t >，此时函数)(t g 单调递减．又1>t 时，0)(>t g ；10<<t 时，0)(<t g ． 可得函数0)(<t g 的图像，ee g 21)(=， 因此当)21,0(e a ∈ 时，存在两个正数，使得2ln tta =成立，即对任意的正数x ，都存在两个不同的正数y ，使0)ln (ln 22=--ay x y x 成立. 11．),2[]21,0[+∞⋃【解析】由)(x f 图像特征可得，)(x f '在),2()21,(+∞⋃-∞上大于0，在)2,21(上小于0，则22100)(00)(00)(≥≤≤⇔⎩⎨⎧≤'≤⎩⎨⎧≥'≥⇔≥'x x x f x x f x x f x 或或，则0)(≥'x f x 的解集为),2[]21,0[+∞⋃． 12．),2()0,2(+∞⋃-【解析】令xx f x g )()(=， 0>x 时，0)()()(2<-'='xx f x f x x g ，所以)(x g 在),0(+∞递减， 因为)()(x f x f =-，)()()(x g x x f x g -=--=-，所以)(x g 是奇函数, )(x g 在)0(，-∞递减，02)2()2(==f g ， 20<<x 时，0)(>x g ，2>x 时，0)(<x g ，根据函数的奇偶性，02<<-x 时，0)(<x g ，2-<x 时，0)(>x g ，0)(<x xf ，即0)(2<x g x ，即0)(<x g ，所以2>x 或02<<-x ，故答案为),2()0,2(+∞⋃-.13．]21,1[-【解析】函数x xee x x xf 12)(3-+-=的导数为： 0122123)(2=⋅⋅+-≥++-='xxx x e e e e x x f ，可得)(x f 在R 上递增； 又0122)()()(33=-+-+-++-=-+-x x x xee x x e ex x x f x f ， 可得)(x f 为奇函数，则0)2()1(2≤+-a f a f ，即有)1()2(2--≤a f a f ， 即有a a -≤122，解得211≤≤-a . 14．【解析】（Ⅰ）23ln 4)(--+=x x a x x f ，则xx a x f 141)(2--='， 曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于直线x y 21=，2141)1(-=--='a f ，解得：45=a ；（Ⅱ）23ln 4)(--+=x x a x x f ，)0(45414541)(222>--=--='x xx x x x x f ， 令0)(='x f ，解得5=x 或1-=x （舍），当)5,0(∈x 时，0)(<'x f ，当),5(+∞∈x 时，0)(>'x f ， 故函数)(x f 的单调递增区间为),5(+∞，单调递减区间为)5,0(．15．【解析】（Ⅰ）函数x x ax x f 33)(23++=，则363)(2++='x ax x f ， 令0)(='x f ，即03632=++x ax ，则)1(36a -=∆，（1）若1≥a 时，则0≤∆，0)(≥'x f ，)(x f 在R 上是增函数；（2）当1<a ，0>∆，0)(='x f 方程有两个根，a a x -+-=111，aax ---=112，(ⅰ)当10<<a 时，则当),(),(12+∞-∞∈x x x 或时，0)(>'x f ，)(x f y =在),(),(12+∞-∞∈x x x 或上单调递增，当),(12x x x ∈时，0)(<'x f ，)(x f y =在),(12x x x ∈上单调递减，(ⅱ)当0<a 时，则当),(),(21+∞-∞∈x x x 和时，0)(<'x f ，)(x f y =单调递减， 当),(21x x x ∈时，0)(>'x f ，)(x f y =单调递增； （Ⅱ）0363)(2≥++='x ax x f 在)2,1(上恒成立，xx x x a 211222--=--≥∴； 当)2,1(∈x ，45)21(max 2-=--x x ，所以45-≥a ，又因为0≠a ，所以a 的取值范围),0()0,45[+∞⋃-.16．【解析】（Ⅰ）函数1ln )(+-=x x x f 的导数为11)(-='xx f ，由0)(>'x f ，可得10<<x ；由0)(<'x f ，可得1>x ， 即有)(x f 的增区间为)1,0(，减区间为),1(+∞； （Ⅱ）证明：当),1(+∞∈x 时，x xx <-<ln 11，即为x x x x ln 1ln <-<． 由（Ⅰ）可得1ln )(+-=x x x f 在),1(+∞递减， 可得0)1()(=<f x f ，即有1ln -<x x ；设)1(,1ln )(>+-=x x x x x F ，x x x F ln 1ln 1)(=-+='， 当1>x 时，0)(>'x F ，可得）x F (递增，即有0)1()(=>F x F ， 即有1ln ->x x x ，则原不等式成立.17．【解析】（Ⅰ）x x f 1)(='，则函数)(x f y =在e x =处的切线的斜率为ek 1=， 又1)(=e f ，所以函数)(x f y =在e x =处的切线方程为)(11e x e y -=-，即x ey 1=；（Ⅱ）1ln )()()(--=-=ax x x g x f x F ，)0(11)(>-=-='x xaxa x x F ， （ⅰ）当0≤a 时，0)(>'x F ，)(x F 在区间),0(+∞上单调递增，— (导数与函数的单调性)第11页— （ⅱ）当0>a 时，令0)(<'x F ，解得a x 1>，令0)(>'x F ，解得a x 10<<， 综上所述，当0≤a 时，函数)(x F 的增区间是),0(+∞，当0>a 时，函数)(x F 的增区间是)1,0(a ，减区间是),1(+∞a ；（Ⅲ）依题意，函数)(x F 没有零点，即01ln )()()(=--=-=ax x x g x f x F 无解， 由（Ⅱ）知，当0>a 时，函数)(x F 在区间)1,0(a 上为增函数，区间),1(+∞a上为减函数，只需02ln 111ln)1(<--=-⋅-=a aa a aF ， 解得2->e a ，所以实数a 的取值范围为),1(2+∞e ．。