2017_18学年高中数学第二章参数方程三直线的参数方程教学案
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三 直线的参数方程
[对应学生用书P27]
1.直线的参数方程
(1)过点M 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α
(t 为参数)
(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0,π)时,sin α≥0. 2.直线参数方程中参数t 的几何意义
参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离. (1)当M 0M ―→与e (直线的单位方向向量)同向时,t 取正数. (2)当M 0M ―→与e 反向时,t 取负数,当M 与M 0重合时,t =0.
[对应学生用书P27]
直线的参数方程
[例1] 已知直线l 的方程为3x -4y +1=0,点P (1,1)在直线l 上,写出直线l 的参数方程,并求点P 到点M (5,4)的距离.
[思路点拨] 由直线参数方程的概念,先求其斜率,进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值,从而得到直线参数方程.
[解] 由直线方程3x -4y +1=0可知,直线的斜率为3
4,设直线的倾斜角为α,
则tan α=34,sin α=35,cos α=4
5.
又点P (1,1)在直线l 上,
所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x =1+4
5
t ,y =1+3
5
t (t 为参数).
因为3×5-4×4+1=0,所以点M 在直线l 上.
由1
+4
5
t=5,得t=5,即点P到点M的距离为5.
理解并掌握直线参数方程的转化,弄清参数t的几何意义,即直线上动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值是解决此类问题的关键.
1.设直线l过点A(2,-4),倾斜角为
5π
6
,则直线l的参数方程为________________.
解析:直线l的参数方程为
⎩⎪
⎨
⎪⎧x=2+t cos 5π6,
y=-4+t sin
5π
6
(t为参数),即⎩⎪
⎨
⎪⎧x=2-32t,
y=-4+
1
2
t
(t为参数).
答案:
⎩⎪
⎨
⎪⎧x=2-32t,
y=-4+
1
2
t
(t为参数)
2.一直线过P0(3,4),倾斜角α=
π
4
,求此直线与直线3x+2y=6的交点M与P0之间的距离.
解:设直线的参数方程为
⎩⎪
⎨
⎪⎧x=3+22t,
y=4+
2
2
t,
将它代入已知直线3x+2y-6=0,
得3(3+
2
2
t)+2(4+
2
2
t)=6.
解得t=-
112
5
,
∴|MP 0|=|t |=112
5
.
直线参数方程的应用
[例2] 已知直线l 经过点P (1,1),倾斜角α=π
6,
(1)写出直线l 的参数方程.
(2)设l 与圆x 2
+y 2
=4相交于两点A 、B ,求点P 到A 、B 两点的距离之积.
[思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方程;(2)充分利用参数几何意义求解.
[解] (1)∵直线l 过点P (1,1),倾斜角为π6
,
∴直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x =1+t cos π
6
,
y =1+t sin π
6
,
即⎩⎪⎨
⎪⎧
x =1+3
2t ,y =1+12
t 为所求.
(2)因为点A ,B 都在直线l 上,所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A ,B 的坐标分别为
A (1+
32t 1,1+12t 1),B (1+32t 2,1+1
2
t 2), 以直线l 的参数方程代入圆的方程x 2
+y 2
=4整理得到t 2
+(3+1)t -2=0,① 因为t 1和t 2是方程①的解,从而t 1t 2=-2. 所以|PA |·|PB |=|t 1t 2|=|-2|=2.
求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时,不必求出交点坐标,根据直线参数方程中参数
t 的几何意义即可求得结果,与常规方法相比较,较为简捷.
3.直线l 通过P 0(-4,0),倾斜角α=π6,l 与圆x 2+y 2
=7相交于A 、B 两点.
(1)求弦长|AB |; (2)求A 、B 两点坐标.
解:∵直线l 通过P 0(-4,0),倾斜角α=π
6,
∴可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x =-4+3
2
t ,y =t 2.
代入圆方程,得(-4+
32t )2+(12
t )2
=7. 整理得t 2
-43t +9=0. 设A 、B 对应的参数分别t 1和t 2, 由根与系数的关系得t 1+t 2=43,t 1t 2=9 ∴|AB |=|t 2-t 1|=
t 1+t 2
2
-4t 1t 2=2 3.
解得t 1=33,t 2=3,代入直线参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧
x =-4+3
2t ,y =12t ,
得A 点坐标(12,332),B 点坐标(-52,32
).
4.如图所示,已知直线l 过点P (2,0),斜率为43,直线l 和抛物线y
2
=2x 相交于A ,B 两点,设线段AB 的中点为M ,求:
(1)P ,M 间的距离|PM |; (2)点M 的坐标.
解:(1)由题意,知直线l 过点P (2,0),斜率为4
3,
设直线l 的倾斜角为α,则tan α=4
3
,