直线与圆综合应用

【例1】已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上．直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22， 则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________________． 【解析】(1)设圆心坐标为(x 0,0)(x 0>0)，由于圆过点(1,0)，则半径r ＝|x 0－1|.圆心到直线l 的距离为d ＝|x 0－1|2

.由弦长为22可知⎝ ⎛⎭

⎪⎫|x 0－1|22＝(x 0－1)2－2，整理得(x 0－1)2＝4. ∴x 0－1＝±2，∴x 0＝3或x 0＝－1(舍去)． 因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线y ＝x －1垂直的直线方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.

【例2】已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△P AB 面积的最大值是________．

【解析】依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心(－k 2，0)位于直线x －y －1＝0上，于是有－k 2

－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是x －2＋y 2

＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB 的距离等于|1－0＋2|2

＝322，点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1，△P AB 面积的最大值为12×22×32＋22

＝3＋ 2. 【例3】过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于_________．

【解析】22=OH ，在OHP Rt ∆中，2

1sin ==∠OP OH OPH ，所以ο30=∠OPH ，即33150tan -

==οk ． 【例4】已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为_________．

【解析】设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2. 而|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.

【例5】过点P (3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为_______________，△P AB 的外接圆方程为_________________．

【解析】易知点P (3,1)与圆心C 连线和AB 垂直，圆心为点(1,0)，点P (3,1)

与圆心连线斜率k ＝1－03－1＝12

，故直线AB 斜率k AB ＝－2，结合图 形易知A 点坐标为(1,1)，由点斜式得直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即

2x ＋y －3＝0.又由CA ⊥P A ，CB ⊥PB 知，A 、P 、B 、C 四点共圆，且CP 为其直径．∴△P AB 的外接圆

方程为(x －2)2＋(y －12)2＝54

.

点，且6||=AB ，求圆C 的方程.

【解析】根据对称得出圆心坐标为)1,0(-C ，求出圆心到直线01143=-+y x 的距离为3，解直角三角形得23=r ，从而得出圆C 的方程为()1812

2=++y x . 【例7】已知以点P 为圆心的圆经过点()1,0A -和()3,4B ，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且||410CD =.

（1）求直线CD 的方程； （2）求圆P 的方程.

【解析】⑴直线AB 的斜率1k =，AB 中点坐标为()1,2，

∴直线CD 方程为()21y x -=--即x+y-3=0.

⑵设圆心(),a b P ，则由P 在CD 上得：30a b +-= ①又直径||10CD =||10PA ∴=22(1)40a b ∴++= ②，由①②解得

{36a b =-=或{52a b ==-∴圆心()3,6P - 或()5,2P - ∴圆P 的方程为()()223640x y ++-=或()()225240x y -++=

【例8】在平面直角坐标系xoy 中，曲线2

61y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．

（1）求圆C 的方程； （2）若圆C 与直线0x y a -+=交于B A ,两点，且,OA OB ⊥求a 的值．

【解析】（Ⅰ）曲线162+-=x x y 与y 轴的交点为（0，1），与x 轴的交点为（).0,223(),0,223-+ 故可设C 的圆心为（3，t ），则有,)22()1(32222t t +=-+解得t=1.则圆C 的半径为.

3)1(322=-+t 所以圆C 的方程为.9)1()3(2

2=-+-y x （Ⅱ）设A （11,y x ），B （22,y x ），其坐标满足方程组：⎪⎩

⎪⎨⎧=-+-=+-.9)1()3(,022y x a y x 消去y ，得到方程.012)82(222=+-+-+a a x a x 由已知可得，判别式.0416562>--=∆a a

因此,441656)28(2

2,1a a a x --±-=从而21

20,422121+-=-=+a a x x a x x ①，由于OA ⊥OB ，

可得,02121=+y y x x 又,,2211a x y a x y +=+=所以.0)(222121=+++a x x a x x

②；由①，②得1-=a ，满足,0>∆故.1-=a