截面的静矩和形心位置及惯性矩的计算

x
x 0
截面对 x , y 轴的惯性积为
Ixy A xydA
惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，
也可能等于零。
y
若 x , y 两坐标轴中有一个为
dA y
截面的对称轴，则截面对 x , y 轴的 惯性积一定等于零 。
dx dx x
截面对 x , y 轴的惯性半俓为
iy
Iy , A
二 、 截面的主惯性轴和主惯性矩
I x1y1

Ix
2
Iy
sin 2α

I xy cos 2α
主惯性轴 —— 总可以找到一个特定的角 0 , 使截面对新坐标 轴 x0 , y0 的惯性积等于 0 , 则称 x0 , y0 为主惯轴。
主惯性矩——截面对主惯性轴的惯性矩。
形心主惯性轴 ——当一对主惯性轴的交点与截面的形心 重合时，则称为形心主惯性轴。
x
80
§ І -2 极惯性矩 惯性矩 惯性积
定义：
z dA
z
截面对 o 点的极惯性矩为

y
Ip Aρ2dA
y 0
截面对 y ,z 轴的惯性矩分别为
Iy A z2dA Iz A y2dA
因为 ρ2 y2 z2
I p Aρ2 dA
所以 Ip = Ix + Iy
y
y
dA
ix
Ix A
例 2 _ 1 求矩形截面对其对称轴 x , y 轴的惯性矩。
解：
dA = b dy
Ix

A y2dA

h
2h
by2dy
2

bh3 12
Ix A y2dA
y
Iy

hb3 12
dy
h
y
C
x
b
例 2 - 2 求圆形截面对其对称轴的惯性矩 。
解：因为截面对其圆心 O 的
极惯性矩为 y
Z1 80 Z2 0
所以截面的形心坐标为
ZC

A1 Z1 A1
A2 Z2 A2

46.7mm
20 140
zc
20
1
yc
ZC
2
y
100
I1yC

1 12

20
1403

20
140

(8046.7)2
I
2 yC

1 12
100
203

100
20
(46.7)2
zc
20
Iρ
π d4 32
Ix Iy Iρ
x
Ix Iy
所以
Ix

Iy

π d4 64
§ І -3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积
一、 平行移轴公式
y x , y ——任意一对坐标轴
C —— 截面形心
a
（a , b ) _____ 形心 c 在 xoy 坐标系下的
坐标。
I y0
2
1 2
(I x

I
y
)2

4
I
2 xy
例 4-1 计算所示图形的形心主惯性矩。
120
y
80
70 20 10
c
x
10
y
解：该图形形心 c 的位置已确定, 如图所示。 过形心 c 选一对座标轴 X , y 轴， 计算其惯性矩（积）。
70 20 10
120
y
80
c
x
10
y
Ix

1 12
形心主惯性矩—— 截面对形心主惯性轴的惯性矩。
主惯性轴的位置：设 为主惯性轴与原坐标轴 之间的夹角，
则有 由此
I I x I y 2 sin 2 0 xy cos 2 0 0
tg 2 0

2Ixy
Ix Iy
求出后，主惯性轴的位置就确定出来了。
主惯性矩的计算公式
120 103 152 120 10

1 12

703
10

(25)2

70
10
100.4 104 mm 4
Iy 278.4 104 mm4
70 20 10
120
y
80
c
x
10
y
I xy 0 15 20 120 10 0 (25) (35) 70 10
x2

10

70 2

45mm
y2 5mm
y 10
1 x1
y1
o
2 y2
10
x2
x
80
所以
x
A1 x1 A 2 x2 A1 A2

37500 1900

20mm
y

A1 y1 A1
A2 y2 A2

75500 1900

40mm
y 10
1 x1
C(y, x)
y1
2 y2
10
o x2
(
y, i
z
i
)
——
第 i个简单截面的形心坐标
计算组合截面形心坐标的公式如下：
n

Ai
y i
y
i 1 n
Ai
i 1
n
Ai zi
z
i 1 n
Ai
i 1
例 1-1 试确定图示截面心 C 的位置。
解：将截面分为 1，2 两个矩形。
y 10
取 x 轴和 y 轴分别与截面 的底边和左边缘重合
I y0
2
2
Ix

Iy
2
4 I xy
2

321 104 57.4 104
mm 4
I x0
I y0

Ix

2
Iy
1 2
Ix
Iy
2

4
I
2
xy
过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有
一对是主惯性轴。截面的主惯性矩是所有惯性矩中
的极值。即：Imax = Ix0 ,
Imin = Iy0
截面的对称轴一定是形心主惯性轴。
求形心主惯性矩的步骤
确定形心 的位置

x
Ai x i
o
xc , yc ——过截面的形心 c 且与 x , y 轴平 行的坐 标轴（形心轴）
yc
C(a,b)
xc
b
x
Ix , Iy , Ixy _____ 截面对 x , y 轴的惯性矩和惯性积。
Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。
则平行移轴公式为
y
x1
顺時针转取为 – 号

o
x
I x1
Ix
Iy 2

Ix
2
Iy
cos 2α

I xy
sin 2α
I y1

Ix
Iy 2

Ix
2
Iy
cos 2α

I xy
sin 2α
I x1 y1

Ix
2
Iy
sin 2α

I xy
cos 2α
y y1
o
x1

x
上式称为转轴公式 显然
I x1 I y1 I x I y
若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。
截面对形心轴的静矩等于零。
二 、 组合截面 由几个简单图形组成的截面称为组合截面
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该截 面对于同一轴的静矩。
组合截面静矩的计算公式为
n
S
z


Ai
y i
i1
n
S y Ai zi i1
其中： Ai —— 第 i 个简单截面面积
,

y
Ai
yi
Ai
Ai
选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐 标轴 x ，y, 计算 Ix , Iy , Ixy
I x I xi I y I yi
I xy I xyi
确定主惯性轴的位置
I 1 2 xy
2 0
tg
(
)
Ix Iy
计算形心主惯性矩
Ix0 I x I y
n
x

Ai xi
i1 n
Ai

A1 x1 A1
A2 x2 A2
i1
y A1 y1 A2 y2 A1 A2
x1 1
y1
o x2
80
y2
2 10 x
矩形 1
A1 10 120 1200mm2
x1 5mm
y1 60mm
矩形 2
A2 10 70 700mm2
97.3 104 mm 4
2 I xy
tg2 0 (
Ix
) 1.093 Iy
Ix Iy 2α 0 在第三象限 2α 0 227.60
0
113.80
形心主惯性轴 x0 , y0 分别由 x 轴和 y 轴绕 C点 逆时针转 113.80 得出。
形心主惯形矩为
I x0 I x I y 1
n
I y I yi i1
n
I xy I xyi i 1
例 3 -1 求梯形截面对其形心轴 yc 的惯性矩。
解：将截面分成两个矩形截面。
截面的形心必在对称轴 zc 上。 取过矩形 2 的形心且平行 于底边的轴作为参考轴， 记作 y 轴 。
20 140
பைடு நூலகம்zc
20
1
yc
2
y
100
A1 20140 A2 100 20
yc
I x I xc a2 A
Iy Iyc b2 A
I xy I xcyc abA
a
C(a,b)
xc
ob
x
二、组合截面的惯性矩 惯性积
Ixi , Iyi , Ixyi —— 第 i个简单截面对 x ,y 轴的惯性矩、
惯性积。
组合截面的惯性矩，惯性积
n
I x I xi i1
IyC

I1yC

I
2 yC

12.12 106 m4
1
yc
ZC
2
20 140
y
100
§ І -4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩
一、 转轴公式
xoy 为过截面上的任 – 点建立的坐标系 x1oy1 为 xoy 转过 角后形成的新坐标系
y y1
逆時针转取为 + 号，
§І-1 截面的静矩和形心位置
一、 定义
z
截面对 z , y 轴的静矩为：
dA
S z A ydA
z
S y AzdA
oy
y
静矩可正，可负，也可能等于零。
截面的形心 C 的坐标
公式为：
y A ydA S z
A
A
z
z
z
dA
c
z AzdA S y
o
y
y
A
A
y
Sz Ay
S y Az