中考数学试卷精选合辑补充52之3自主招生考试数学试题及参考答案

A

B Q

O x

y

A B C

E F

O

第一中学自主招生考试数学试题

一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）

1. 若M ＝3x 2－8xy ＋9y 2－4x ＋6y ＋13(x ，

，y 是实数)，则M 的值一定是（ ）． （A ） 零 （B ） 负数 （C ） 正数 （D ）整数

2.已知sin α＜cos α，那么锐角α的取值范围是 （ ）

（A ）300 ＜α＜450 （B ） 00 ＜α＜450 （C ） 450 ＜α＜600 （D ） 00 ＜α＜900 3．已知实数a 满足2008a -2009a -a ，那么a －20082值是 （ ） （A ）2009 （B ） 2008 （C ） 2007 （D ） 2006 4．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个实数，

且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式b c

a

-的值等于（ ）

． A .43-

（B ）6- （C ）4

3

（D ）6 5.二次函数2

y ax bx c =++的图象如图所示，)2,(n Q 是 图象上的一点，且BQ AQ ⊥，则a 的值为（ ）．

A .13- （

B ）1

2- （C ）－1 （D ）－2

6.矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝4cm ，现将纸片折叠压平，使A 与C 重合， 设折痕为EF ，则重叠部分△AEF 的面积等于（ ）．

A .

73757375

.

..8

81616

B C D

7．若a b c

t b c c a a b

===+++，则一次函数2y tx t =+的图象必定经过的象限是（ ）

（A ）第一、二象限 （B ）第一、二、三象限 （C ）第二、三、四象限

（D ）第三、四象限

8．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，

设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB ＝4，AO ＝26，那么

AC 的长等于( ) （A ） 12

（B ） 16

（C ） 3（D ） 82 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

9.已知012=--x x ，那么代数式123

+-x x 的值是_____．

10.已知z y x ,,为实数，且3,5=++=++zx yz xy z y x ，则z 的取值范围为______． 11.已知点A （1，3），B （5，－2），在x 轴上找一点P ，使│AP －BP │最大，则满足条件的点P 的坐标是____________． 12．设，，，321x x x … ，2007x 为实数，且满足

321x x x …2007x ＝321x x x -…2007x ＝321x x x -…2007x ＝…＝321x x x …20072006x x -＝1，

则2000x 的值是___________． 13．对于正数x ，规定f （x ）＝ x

1x

+， 计算f （

1001）＋ f （991）＋ f （981

）＋ …＋ f （13）＋ f （12

）＋ f （1）＋ f （2）＋ f （3）

＋…＋f（98）＋f（99）＋f（100）＝__________．

B

A C M N

P

E

F Q D

G 14.如果关于x 的方程()012122

=++++a x a x 有一个小于1的正数根，那么实数a 的 取值范围是________．

15.在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.若以C 点为圆心， r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是_________________．

三、解答题：

16. （本小题10分） 某超市去年12月份的销售额为100万元，

今年2月份的销售额比今年1月份的销售额多24万元，若

去年12月份到今年2月份每个月销售额增长的百分数相同．

求：（1）这个相同的百分数；（2）2月份的销售额．

17．（本小题13分）如图，AB ∥CD 、AD ∥CE ，F 、G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB 、AD 、CD 、CE 于点M 、 N 、P 、Q ，求证：MN ＋PQ ＝2PN ．

18．（本小题13分）如图，已知点P 是抛物线

2

114y x =

+上的任意一点，

记点P 到x 轴距离为1d ，点P 与点(0,2F ）的距离为2d

（1）证明1d ＝2d

；

（2）若直线PF 交此抛物线于另一点Q (异于P 点)， 试判断以PQ 为直径的圆与x 轴的位置关系，并说明理由．

19．（本小题14分）如图，已知∆ABC 中，AB ＝a ，点D 在AB 边上移动（点D 不与A 、B 重合），DE //BC ，交AC 于E ，连结CD ．设S S S S ABC DEC ∆∆==，1． （1）当D 为AB 中点时，求S S 1：的值； （2）若AD x S S

y ==，

1

，求y 关于x 的函数关系式 及自变量x 的取值范围； （3）是否存在点D ，使得S S 11

4

>

成立？ 若存在，求出D 点位置；若不存在，请说明理由．

20．（本小题10分）已知4

2

++=m m y ，若m 为整数，在使得y 为完全平方数的所有m 的值中，设m 的最大值为a ，最小值为b ，次小值为c ．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，

那么我们就称这个数为完全平方数．） （1）求c b a 、、的值；

（2）对c b a 、、22一个数不变，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2008？证明你的结论．