列主元消去法与全主元消去法

aIJ max aij
1i , j n
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计算方法
交换A的增广矩阵 A b 的第一行与第I 行以及第一列与 第J列，同时，将未知x1与xJ 交换一下次序。这样我们便 选出第一个主元。接着消去第一列中主元以下的系数。 第二步也包括选取第二个主元与消元两个步骤，其中第 二个主元是在第一步消元后得到的新矩阵的后n-1行与列 组成的主子阵中选取绝对值最大的元素，然后交换相应 增广矩阵的第二行和此主元所在的行以及第二列和此主 元所在的列，接着进行消元，如此进行下去，直到方程 组系数矩阵变为上三角形矩阵为止。至此，便完成消元 过程。在经过回代过程便可求出方程组（1.4）的计算解。
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计算方法
第一步取A的第一列诸元素中绝对值最大者作为主元， 并将它调到第一行，即取满足 al1 max ai1
1i n
的al1作为主元，显然al1 0，如有几个l都满足上式，则取
最小的l；交换方程组 1.4 中的第一个与第l个方程，其余 记为 A b 。新方程组与 1.4 同解，且它的第一个约化
1 1
不变，此即交换增广矩阵 A b 的第一与第l行，得新矩阵

Fra Baidu bibliotek
主元比起第一列中其他元素有较大的绝对值。这时，消去 x1系数所用的乘数因子 ai1 al1 的绝对值不超过1，因而在消 元过程第一步中，舍入误差的影响得以减弱。
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k
b
k
.然后
进行该步的消元运算，消去xk .同样地，这时消去xk 系数
这个方法通常称为按列选主元的高斯消去法，简称 为列主元消去法。
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计算方法
例4.3 用列主元消去法求解线性方程组:
0.50 x1 1.1x2 3.1x3 6.0 2.0 x1 4.5 x2 0.36 x3 0.020 5.0 x 0.96 x 6.5 x 0.96 1 2 3
计算方法
一般的，在做第k步消元之前，通过方程交换将第k列 主对角元素中绝对值最大者换到第k个方程，作为新的主 元，它必定不等于零，将得到的增广矩阵 A 的乘数因子必定有不超过1的绝对值。 如此继续进行下去，直到方程组 1.4 逐步约化为上三 角形方程组为止，至此便完成整个消元过程。接着应用向 后回代过程求得方程组 1.4 的解xn , xn 1 , , x1。
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计算方法
例 4.5 用全主元法求解线性方程组
x1 2 x2 3 x3 1 5 x1 4 x2 10x3 0 3 x 0.1x x 2 2 3 1
4.2
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计算方法
§4 主元消去法
从数值计算的角度来看，应该避免应用绝对值很小的元素 作为主元。为了提高计算的数值稳定性,在消元过程中采用选择 主元的方法.常采用的是列主元消去法和全主元消去法.
4.1 列主元消去法与全主元消去法 列主元消去法 考虑方程组（1.4），这里系数矩阵A是 n阶非奇异矩阵， 求解此线性方程组的列主元消去法的步骤如下：
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计算方法
2. 用列主元Gauss消去法求解,消元过程为
0.50 1.10 3.10 2.00 4.50 0.360 5.00 0.960 6.50
选主元
6.00 0.020 0.960
5.00 0.960 6.50 ~ 2.00 4.50 0.360 r1 r3 0.50 1.10 3.10
消元
0.960 0.020 6.010
0.960 0.364 5.90
5.00 0.960 6.50 0 4.12 2.24 0 1.00 2.45
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计算方法
5.00 0.960 6.50 消元 0 4.12 2.24 0 0 2.99
4 5 0 4 5 0 10 10 交换 2 , 3 行 消元 2.5 1 2 0 0.8 0.5 1 0 0.5 2.5 2 交换 2,3列 1 0.5 0.8 1
回代
0.960 0.364 5.99
0 1.00 0 1 .0 0 0 0
0 0 1.00
2.60 1.00 2.00
回代得: x3=2.00, x21.00, x1=-2.60
可见，列主元Gauss消去法是在每一步消元前,在主元
所在的一列选取绝对值最大的元素作为主元素.
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计算方法
x1
x2
x3 b
x3
x2
x1 b 5 0 消元 1 1 3 2 x1 x2 b
2 3 1 4 1 10 交换 1 , 2 行 4 10 0 3 2 5 3 0.1 1 2 交换1,3列 1 0.1 x3 x2 x1 b x3
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计算方法
全主元消去法
除了列主元消去法以外，常用的带有选主元技巧的 消去法还有全主元消去法，这种方法比起前一方法来舍入 误差的影响更小，因而往往能求得更为满意的计算解。 还考虑问题（1.4），其系数矩阵A仍设为非奇异的， 全主元消去法首先选取系数矩阵A所有元素中绝对值最大 者最为第1个主元，它显然不是零。现设第I行与第J列的 元素aIJ满足：