一元二次方程讲义——绝对经典实用
一元二次方程
令狐采学
基础知识
1、一元二次方程
方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如
的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。其中分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a、b分别是二次项和一次项的系数。
如：满足一般形式，分别是二次项、一次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。
注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。
2. 一元二次方程求根方法
（1）直接开平方法
形如的方程都可以用开平方的方法写成，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。
（2）配方法
通过配方将原方程转化为的方程，再用直接开平方法求解。
配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。
配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。
（3）公式法
求根公式：方程的求根公式
步骤：
1）把方程整理为一般形式：，确定a、b、c。
2）计算式子的值。
3）当时，把a、b和的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。
（4）因式分解法
把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。
3、一元二次方程根的判别式的定义
运用配方法解一元二次方程过程中得到，
显然只有当时，才能直接开平方得：．也就是说，一元二次方程只有当系数、、满足条件时才有实数根．这里叫做一元二次方程根的判别式．
4、判别式与根的关系
在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是否有实数根）由
确定．
设一元二次方程为，其根的判别式为：则
①方程有两个不相等的实数根
．
②方程有两个相等的实数根
．
③方程没有实数根．
若，，为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；
若为完全平方式，同时是的整数倍，则方程的根为整数根．
说明：
⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有
两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，．
⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式判定方程的根的情况（有两个
不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点．
5、一元二次方程的根的判别式的应用
一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：
⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；
⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值
范围；
⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；
（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．
6、韦达定理
如果的两根是，，则，
．（隐含的条件：）
特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是
方程的两个根，则，．
7、韦达定理的逆定理
以两个数，为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
．
一般地，如果有两个数，满足，，那么
，必定是的两个根．
8、韦达定理与根的符号关系
在的条件下，我们有如下结论：
⑴当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值．
⑵当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根．
更一般的结论是：
若，是的两根（其中），且为实数，当时，一般地：
①，
②且，
③且，
特殊地：当时，上述就转化为有两异
根、两正根、两负根的条件．
其他有用结论：
⑴若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根
（，为有理数）．
⑵若，则方程必有实数根．
⑶若，方程不一定有实数根．
⑷若，则必有一根．
⑸若，则必有一根．
9、韦达定理的应用
⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的
值；
⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；
⑶已知方程的两根，求作方程；
⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；
⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同
的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；
⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱
10、整数根问题
对于一元二次方程的实根情况，可以用判别式来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．
方程有整数根的条件：
如果一元二次方程有整数根，那么必然同时满足以下条件：
⑴为完全平方数；
⑵或，其中为整数．
以上两个条件必须同时满足，缺一不可．
另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中、、均为有理数)
11、一元二次方程的应用
1．求代数式的值；
2. 可化为一元二次方程的分式方程。
步骤：
1）去分母，化分式方程为整式方程（一元二次方程）。
2）解一元二次方程。
3）检验
3. 列方程解应用题
步骤：审、设、列、解、验、答
板块一一元二次方程的定义
●夯实基础
例1把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
例2已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围．
例3 若一元二次方程的常数项为零，则的值为_________．
●能力提升
例4 关于x的方程是什么方程？它的各项系数分别是什么？
例5已知方程是关于的一元二次方程，求、的值．
例6若方程（m-1）x2+ x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是（）
A．m≠1B．m≥0C．m≥0且m≠1D．m为任何实数
●培优训练
例7为何值时，关于的方程是一元二次方程．
例8已知方程是关于的一元二次方程，求、的值．
例9关于x的方程（m+3）x m2-7+（m-3）x+2=0是一元二次方程，则m的值为
解：∵该方程为一元二次方程，∴m2-7=2，解得m=±3；当m=-3时m+3=0，则方程的二次项系数是0，不符合题意；所以m=3．
例10（2000?兰州）关于x的方程（m2-m-2）x2+mx+1=0是一元二次方程的条件是（）
A．m≠-1B．m≠2C．m≠-1或m≠2D．m≠-1且m≠2●课后练习
1、为何值时，关于的方程是一元二次方程．
2、已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围．
3、已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围．
4、若是关于的一元二次方程，求、的值．
5、若一元二次方程
的常数项为零，则的值为________板块二一元二次方程的解与解法
●夯实基础
例1、（2012?鄂尔多斯）若a是方程2x2-x-3=0的一个解，则6a2-3a的值为（）
A．3B．-3C．9D．-9
解：若a是方程2x2-x-3=0的一个根，则有2a2-a-3=0，变形得，2a2-a=3，故6a2-3a=3×3=9．故选C．
例2（2011?哈尔滨）若x=2是关于x的一元二次方程x2-mx+8=0的一个解．则m的值是（）
A．6B．5C．2D．-6
解：把x=2代入方程得：4-2m+8=0，
解得m=6．
故选A
例3用直接开平方法解下列方程
（1）（2）（3）
(5)
(4)
(6)
例4先配方，再开平方解下列方程
（1）（2）（3）
(4) (5) (6)
例5用公式法解下列方程
（1）（2）（3）
(4)(5)
(6)
例6用因式分解法解下列方程
（1）（2）（3）
(4)．(5)
(6)
●能力提升
例7（2011?乌鲁木齐）关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（ A ）A．-1B．0C．1D．-1或1
例8关于x的一元二次方程（a-1）x2+ax+a2-1=0的一个根是0，则a值为（ C ）
A．1B．0C．-1D．±1
例9方程x2+ax+b=0与x2+cx+d=0（a≠c）有相同的根α，
则α= ______________
例10已知a、β是方程x2-2x-4=0的两个实数根，则a3+8β+6的值为（D ）
A．-1B．2C．22D．30
例11关于x的一元二次方程（m-2）x m^-2+2mx-1=0的根是
_____ __________
例12解方程：
例13解方程
●培优训练
例14（新思维）阅读下面的例题：
解方程：
解：（1）当时，原方程化为，
解得（不合题意，舍去），
（2）当时，原方程化为．
解得（不合题意，舍去），．
∴原方程的根是
请参照，则方程的根是_____________．
例15解方程：
例16（新思维）设x 1、x2是方程的两个实数根，求代数式的值．
例17（新思维）先请阅读材料：
为解方程，我们可以将视为一个整体，
然后设，则，原方程化为，解得，．
当时，，得；当时，，得；故原方程的解为，，，．
在解方程的过程中，我们将用y替换，先解出关于y的方程，达到了降低方程次数的目的，这种方法叫做“换元法”，体现了转化的数学思想．
请你根据以上的阅读，解下列方程：
（1）；
（2）．
例18已知关于x的方程的一个解与方程的解相同．
（1）求k的值；
（2）求方程的另一个解．
例19（新思维）若x、y是实数，且确定m的最小值．
例20（新思维）已知x、y、z为实数，且满足，则的最小值为______________．
课后练习
一、填空：
1. 一元二次方程的一般形式是______________________。
2. 一元二次方程的一般形式是_________________________________，a=___________，
b=___________，c=___________。
3. 关于x的方程是一元二次方程，则m 的取值范围是___________。
4. 关于x的方程是一元二次方程时，m的取值范围是___________，是一元一次方程时，m的取值范围是___________。
二、下列方程中，是一元二次方程的为（）
A．x2+3x=0B．2x+y=3C D．x（x2+2）=0
三、用两种方法解下列方程：
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8.
10.
9.
四、解关于的方程：．
五、解关于的方程：
六、（新思维）△ABC中，三边
试判
定△ABC的形状
七、（新思维）设x、y为实数，求代数式的最小值．
板块二一元二次方程根的判别式
●夯实基础
例1不解方程，判断下列方程是否有实根，若有，指出相等还是不等。
（1）
（2）
（3）（x是未知数）
例2如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（）
A． B． C． D．
例3已知，，为正数，若二次方程有两个实数根，那么方程的根的情况是（）
A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号的实数根
C．有两个不相等的负实数根 D．不一定有实数根
例4若关于x的方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
例5求证：当a和c的符号相反时，一元二次方程一定有两个不等实根。
例6已知、、是的三边的长，且方程
有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．
●能力提高
例7关于的方程有实数根，则整数的最大值是．
例8为给定的有理数，为何值时，方程
的根为有理数？
例9为何值时，方程有实数根．
例10已知关于x的方程在下列情况下，分别求m的非负整数值。
（1）方程只有一个实数根
（2）方程有两个相等的实数根
（3）方程有两个不相等的实数根
例11（新思维）已知一元二次方程有两个不相等的实数根．则k的最大整数值为____________．
例12（新思维）如果一直角三角形的三边长分别为a、b、c，∠B=90°，那么，关于x的方程的根的情况是（）．
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定
●培优训练
例13（新思维）已知关于x的方程
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
例14（新思维）已知函数
（1）若这两个函数的图象都经过点（1，a），求a和k的值；
（2）当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点？
例15（新思维）若x0是一元二次方程的根，
则判别式与平方式
的大小关系是（）．
10. B． C．D．不能确定
解：把x0代入方程ax2+bx+c=0中得ax02+bx0=-c，∵（2ax0+b）2=4a2x02+4abx0+b2，∴（2ax0+b）2=4a（ax02+bx0）+b2=-4ac+b2=△，∴M=△．故选B
例16（新思维）关于x的方程仅有两个不同的实根，则实数a的取值范围是（）．
A． B． C．D．
●课后练习
1、一元二次方程的根的情况为（）
Ａ．有两个相等的实数根Ｂ．有两个不相等的实数根
Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根
2、若关于z的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是（）
A．m
3、关于x的方程的两根同为负数，则（）A．且 B．且
C．且 D．且
4、不解方程，判断下列各方程根的情况
（1）. （2）. （3）
.
等？
6、k 为何值时，方程有两个不相等的实根？
7、已知，，判断关于的方程的根的情况，并给出必要的说明．
8、已知关于的方程有两个不相等的实数根，化简：
9、已知关于的方程有两个不相等的实数根．
⑴求的取值范围；
⑵若为整数，且，是上述方程的一个根，求代
数式的值．
10、在等腰中，、、的对边分别为、、，已知，和是关于的方程的两个实数根，求的周长．
11、如果关于的方程（其中，，均为正数）有两个相等的实数根．证明：以，，为长的线段能够组成一个三角形，并指出三角形的特征．12、k 为何值时，方程没有实根？
板块二一元二次方程的应用
●夯实基础
例1解方程
例2一个车间加工300个零件，加工完80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15个，一共用了6天完成了任务，求改进操作方法后每天加工的零件的个数。
例3某商场运进120台空调准备销售，由于开展了促销活动，每天比原计划多售出4台，结果提前5天完成销售任务，原计划每天销售多少台？
例4甲、乙两队学生绿化校园，如果两队合作，6天可以完成，如果单独工作，甲队比乙队少用5天，问两队单独工作各需多少天完成？
例5如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长．
例6某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．
(1)该公司2006年盈利多少万元?
(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元?
例7某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少米时，蔬菜种植区域的面积是288m2?
●能力提高
例8（新思维）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽（部分参考数据：322=1024，522=2704，482=2304）．
例9（新思维）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
例10（新思维）如图，某农户打算建造一个花圃，种植两种不同的花卉供应城镇市场，这时需要用长为24米的篱笆，靠着一面墙（墙的最大可用长度a是10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2．（1）求x与S的函数关系式；
（2）若要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？（3）花圃的面积能达到48m2吗？如果能，请求出此时AB 的长；如果不能，请说明理由．
例11某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入．因此，博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数．在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系．在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收
入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价值应是多少元？
●培优训练
二、列方程解应用题
1. 从一块长为80cm，宽为60cm的铁片中间截去一个长方形，使剩下的长方形四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度？
2. 某车间一月份生产零件7000个，三月份生产零件8470个，该车间这两个月生产零件平均每月增长的百分率是多少？
板块二一元二次方程根与系数的关系
●夯实基础
例1若方程的一个根为，则方程的另一根为_______，c=______．
例2已知方程的两根为x1、x2，则_________
例3如果是一元二次方程的两根，那么，，．这就是著名的韦达定理．现在我们利用韦达定理解决问题：
已知m与n是方程的两根。
（1）填空：
（2）计算的值．
例4（2011?厦门）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若n＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n的值．例5 （2011?孝感）已知关于x的方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值．
例6（2011?十堰）请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x所以．
把代入已知方程，得
化简，得
故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程为：。
（2）己知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的倒数．