辅导5

第十九课时数列的概念（1）

知识点一数列及其有关概念

思考1 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？

思考2 数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？

梳理(1)按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．(2) 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}．

知识点二通项公式

思考1 数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？

梳理如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

思考2 数列的通项公式a n＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？

答案如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．

不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．

知识点三数列的分类

思考对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？

答案(1)可以按项数分类；(2)可以按项的大小变化分类．

梳理(1)按项数分类，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．(2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．

类型一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式

例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，－12，13，－1

4；

(2)12，2，92，8，25

2

； (3)9,99,999,9999；(4)2,0,2,0.

跟踪训练1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－11×2，12×3，－13×4，14×5；

(2)22

－12，32

－13，42

－14，52

－15；

(3)7,77,777,7777.

类型二 数列的通项公式的应用

例2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n

(n ＋1)(2n －1)(2n ＋1)，n ∈N *

.

(1)写出它的第10项；(2)判断2

33是不是该数列中的项

反思与感悟 在通项公式a n ＝f (n )中，a n 相当于y ，n 相当于x .求数列的某一项，相当于已知x 求y ，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y 求x ，若求出的x 是正整数，则y 是该数列的项，否则不是．

跟踪训练 2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N *

)，那么1120

是这个数列的第

______项．

1．下列叙述正确的是( )

A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列

B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }

C ．数列0,1,0,1，…是常数列

D ．数列{

n

n ＋1

}是递增数列

2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )

A ．a n ＝n ，n ∈N *

B ．a n ＝n ＋1，n ∈N *

C ．a n ＝n ＋2，n ∈N *

D ．a n ＝2n ，n ∈N *

.

3．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n －1

·n 2n －1

，n ∈N *

，则a 1＝________；a n ＋1＝________..

1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：

(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复．

(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关． 2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1，3．14，3.141，…，它没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．

3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式． 课后作业、

1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝

1＋(－1)

n ＋1

2

，n ∈N *

，则该数列的前4项依次为( )

A ．1,0,1,0

B ．0,1,0,1 C.12，0，1

2

，0

D ．2,0,2,0

2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2

－n －50，n ∈N *

，则－8是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项

D ．非任何一项

3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2

－n ＋1 B ．a n ＝

n (n －1)

2

C ．a n ＝

n (n ＋1)

2

D ．a n ＝n 2

＋1.

4．数列23，45，67，8

9，…的第10项是( )

A.1617

B.1819

C.2021

D.22

23

5．已知数列12，23，34，4

5，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中属于该数列中某一项值的应当

有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

6．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为( )