辅导5
第十九课时数列的概念（1）
知识点一数列及其有关概念
思考1 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
思考2 数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？
梳理(1)按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．(2) 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}．
知识点二通项公式
思考1 数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？
梳理如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
思考2 数列的通项公式a n＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？
答案如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．
知识点三数列的分类
思考对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？
答案(1)可以按项数分类；(2)可以按项的大小变化分类．
梳理(1)按项数分类，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．(2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．
类型一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式
例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，－12，13，－1
4；
(2)12，2，92，8，25
2
； (3)9,99,999,9999；(4)2,0,2,0.
跟踪训练1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－11×2，12×3，－13×4，14×5；
(2)22
－12，32
－13，42
－14，52
－15；
(3)7,77,777,7777.
类型二 数列的通项公式的应用
例2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n
(n ＋1)(2n －1)(2n ＋1)，n ∈N *
.
(1)写出它的第10项；(2)判断2
33是不是该数列中的项
反思与感悟 在通项公式a n ＝f (n )中，a n 相当于y ，n 相当于x .求数列的某一项，相当于已知x 求y ，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y 求x ，若求出的x 是正整数，则y 是该数列的项，否则不是．
跟踪训练 2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N *
)，那么1120
是这个数列的第
______项．
1．下列叙述正确的是( )
A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }
C ．数列0,1,0,1，…是常数列
D ．数列{
n
n ＋1
}是递增数列
2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )
A ．a n ＝n ，n ∈N *
B ．a n ＝n ＋1，n ∈N *
C ．a n ＝n ＋2，n ∈N *
D ．a n ＝2n ，n ∈N *
.
3．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n －1
·n 2n －1
，n ∈N *
，则a 1＝________；a n ＋1＝________..
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复．
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关． 2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1，3．14，3.141，…，它没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．
3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式． 课后作业、
1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝
1＋(－1)
n ＋1
2
，n ∈N *
，则该数列的前4项依次为( )
A ．1,0,1,0
B ．0,1,0,1 C.12，0，1
2
，0
D ．2,0,2,0
2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2
－n －50，n ∈N *
，则－8是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项
D ．非任何一项
3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2
－n ＋1 B ．a n ＝
n (n －1)
2
C ．a n ＝
n (n ＋1)
2
D ．a n ＝n 2
＋1.
4．数列23，45，67，8
9，…的第10项是( )
A.1617
B.1819
C.2021
D.22
23
5．已知数列12，23，34，4
5，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中属于该数列中某一项值的应当
有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为( )
.
A ．a n ＝n ，n ∈N *
B ．a n ＝n ＋1，n ∈N *
C ．a n ＝n ，n ∈N *
D ．a n ＝n 2
，n ∈N *
7．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)
(n ∈N *
)，那么a n ＋1－a n 等于( ) A.
12n ＋1 B.12n ＋2 C.12n ＋1＋12n ＋2 D.12n ＋1－12n ＋2
8．观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，3，5，7，________，11，…. 9．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是________． 10．323是数列{n (n ＋2)}的第________项．
11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1,7，－13,19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…； (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…；(4)32，1，710，9
17，….
12．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式a n 是n 的一次函数． (1)求{a n }的通项公式；(2)判断88是不是数列{a n }中的项？
13．已知数列????
??
9n 2
－9n ＋29n 2
－1，n ∈N *. (1)求这个数列的第10项；
(2)98
101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：该数列是递增数列；
(4)在区间? ??
??13，23内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由．
第二十课时 数列的概念（2）
知识点一 递推公式
思考1 (1)已知数列{a n }的首项a 1＝1，且有a n ＝3a n －1＋2(n >1，n ∈N *
)，则a 4＝________. (2) 已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，且有a n ＋2＝a n ＋a n ＋1(n ∈N *
)，则a 4＝________.
梳理 如果数列{a n }的第1项或前几项已知，并且数列{a n }的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法．
思考2 我们已经知道通项公式和递推公式都能表示数列，那么通项公式和递推公式有什么不同呢？
答案 通项公式和递推公式都是表示数列的方法．已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项． 知识点二 数列的表示方法
思考 以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？ ①通项公式法：a n ＝2n .②递推公式法：③列表法：④图象法： 梳理 数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．
类型一 数列的函数特性
例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象．
跟踪训练1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则第10个三角形数是________．
类型二 数列的递推公式
命题角度1 由递推公式求前若干项
例2 设数列{a n }满足?
????
a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n >1，n ∈N *
).写出这个数列的前5项．
反思与感悟 递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系．对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否有规律性．
跟踪训练2 在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项．
例3 (1)对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n (n ≥
2，n ∈N *)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，求通项a n ；
(2)若数列{a n }中各项均不为零，则有a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)成
立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n }满足：a 1＝1，
a n a n －1＝n －1
n
(n ≥2，n ∈N *)，求通项a n .
反思与感悟 形如a n ＋1－a n ＝f (n )的递推公式，可以利用a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n (n ≥2，n ∈N *
)求通项公式；形如
a n ＋1
a n
＝f (n )的递推公式，可以利用a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n
a n －1
＝a n (n ≥2，n ∈N *)求通项公式．
跟踪训练3 1.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，试写出a 3，a 4，a 5，a 6，
a 7，a 8，你发现数列{a n }具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2016项？
2．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．
1．{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而
a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系．
2．数列的表示方法：(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法． 3．通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映a n 和n 之间的关系，即a n 是n 的函数，知道任意一个具体的n 值，就可以求出该项的值a n ；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n 直接得出a n . 课后作业
1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列
D ．不能确定
2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )
A ．1 B.12 C.34 D.5
8
3．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则
a 3＋a 5等于( )
A.259
B.2516
C.61
16
D.31
15
4．已知a 1＝1，a n ＝a n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，则数列的通项公式为( ) A ．a n ＝3n ＋1 B ．a n ＝3n C ．a n ＝3n －2 D ．a n ＝3(n －1)
5．若a 1＝1，a n ＋1＝
a n 3a n ＋1
，则给出的数列{a n }的第4项是( )
A.116
B.117
C.110
D.125
. 6．已知数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则数列中最大项的值是( ) A ．107 B ．108 C ．10818
D ．109
7．已知数列{a n }满足a n ＋1
＝???
??
2a n
，0≤a n
<1
2，2a n
－1，1
2≤a n
<1.
若a 1＝6
7
，则a 2017＝________.
8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝??
?
3n ＋1，n 为正奇数，
4n －1，n 为正偶数，则它的前4项依次
为________．
9．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，则实数λ的最小值是
________．
10．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第n 个图中有________个点．
11．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2
a n －1
(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.
12．根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋
a n n ＋1
(n ∈N *
)；
(3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋
1
n (n ＋1)
(n ∈N *)．
13．已知数列{a n }满足a 1＝1
2
，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式．