第三届长江杯全国数学邀请赛预赛(九年级)试题(含答案)

第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题（九年级）一、选择题（共6小题，每小题5分，共30分.）1．设a 、b 是方程0132=++x x 的两实根，则代数式2211a b+的值为（）A ． 5B ． 7C ． 9D ． 112．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）A ．0pB ．1pC ．2pD ．3p 3． 若整数a ，m ，n 满足n m a -=-242，则这样的a ，m ，n 的取值（ ）A ．有一组B ．有两组C ．多于两组D ．不存在 4．若质数a ，b 满足2940a b --=，则数据a ，b ，2，3的中位数是（ ） A ．4 B ．7 C ．4或7 D ．4.5或6.55． 已知321、y 、y y 分别表示二次函数、反比例函数和一次函数的三个函数值，它们的交点分别是A （-1，-2）、B （2，1）和C （32，3），规定M =｛321、y 、y y 中最小的函数值｝ 则下列结论错误的是( )A ．当1-<x 时，M =y 1B ．当0≤x ≤2时，M 的最大值是1，无最小值C ．当01<<-x 时，y 2< y 3< y 1D ．当x ≥2时，M 最大值是1，无最小值6．如图，ABC ∆中，D 、E 是BC 边上的点，1:2:3::=EC DE BD ，M 在AC 边上，2:1:=MA CM ，BM 交AD 、AE 于H 、G ，则GM HG BH ::等于（ ） A ．1:2:3 B ．1:3:5 C ．5:12:25 D ．10:24:51第5题图 第6题图二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.）7．若抛物线12--=x x y 与x 轴的交点坐标为)0,(m ，则代数式20152+-m m 的值为 ．8．已知：定点A （3，2），动点M 在函数y x =的图象上运动，动点N 在x 轴上运动，则AMN ∆ 的周长的最小值为 ．9． 如图，△ABC 内接于⊙O ，BC = a ，CA = b ，∠A －∠B = 90°，则⊙O 的半径为 ． 10．在⊿ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC 边上的高AD ＝12，能完全覆盖⊿ABC 的圆的半径 R 的最小值为_________．11．如图，E 、F 分别是□ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF与CE 相交于点Q ，若S △APD 15=2cm ，S △BQC 25=2cm ，则阴影部分的面积为 2cm ．12．已知m m Q m P 158,11572-=-=（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为_________． 三、解答题（共4小题，共60分.）13．(15分) 已知关于x 的一元二次方程).(0)1()2(2为实数其中m m x m x m =+--- (1)若此方程的一个非零实数根为k ， ①的值求时当m ，m k =；②若记的关系式与求为m y y ，k kk m 52)1(+-+； (2)当41<m<2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由．PA BCDEFQ第11题图第9题图14．(15分) 在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．（1）在图1中证明CE CF =；（2）若90ABC ∠=︒，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数； （3）若120ABC ∠=︒，FG ∥CE ，FG CE =，分别连结DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数．15．(15分) 如图，五边形DEFGH 是正五边形，⊙O 是正五边形DEFGH 的外接圆，过点D 作⊙O 的切线，与GH 、FE 的延长线交分别于点B 和C ，延长HG 、EF 相交于点A ．(1)求证：∆AGF 是等腰三角形；(2)求证：点G ，F 分别是线段AB 、AC 的中点；（3）若正五边形DEFGH 周长是10cm ，求∆ABC 的周长．G F E D A C BGFE D A CB F E D AC B图1 图2 图3 第15题图16．(15分) 已知抛物线2y ax bx c =++ 经过点（1，2）．（1）若a ＝1，抛物线顶点为A ，它与x 轴交于两点B 、C ，且⊿ABC 为等边三角形，求b 的值；（2）若abc ＝4，且a ≥b ≥c ，求 c b a ++ 的最小值． ．第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题九年级参考答案一、选择题：1．B 2．D 3．B 4．C 5．C 6．D 二、填空题：7．2016 8． 26 9． 2221b a + 10．86511．40 12．Q >P三、解答题：13． ∵k 为方程.0)1()2(2=+---m x m x m 的实根， ∴).(0)1()2(2I =+---m k m k m ① ，m k 时当= ∵k 为非零实数根，∴0≠m ，方程（I ）两边都除以m ，得.01)1()2(=+---m m m 整理，得0232=+-m m ， 解得 2,121==m m∵0)1()2(2=+---m x m x m 是关于x 的一元二次方程， ∴2≠m ∴1=m②k 为方程非零实数根，∴ 将方程（I ）两边都除以k ，得 0)1()2(=+---kmm k m 整理，得 12)1(-=-+m k kk m ∴452)1(+=+-+=m k kk m y .（2）解法一：[]1)2(3163)2(4)1(22+--=++-=----=∆m m m m m m m当41<m<2时，m>0 ， m －2<0. ∴－3m(m －2)>0 ， －3m(m －2)+1>1>0 ∴当41<m<2时，此方程有两个不相等的实数根.解法二：直接分析当41<m<2时，函数m x m x m y +---=)1()2(2的图象， ∵该函数图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交， ∴该抛物线必与x 轴有两个不同的交点， ∴当41<m<2时，此方程有两个不相等的实数根. 解法三：[]4)1(3163)2(4)1(222+--=++-=----=∆m m m m m m结合4)1(32+--=∆m 关于m 图象可知（如图）当41<m<2时，1637<4≤∆ 当1<m<2时，1<4≤∆， ∴当41<m<2时，△>0∴当41<m<2时，此方程有两个不相等的实数根.14．(1) 证明：如图1.∵ AF 平分∠BAD ，∴∠BAF =∠DAF ， ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD //BC ，AB //CD 。

∴ ∠DA F=∠CE F ，∠BAF =∠F ， ∴ ∠CEF =∠F ，∴ CE =CF ． (2) ∠BDG =45︒．(3) 分别连结GB 、GE 、GC (如图2). ∵ AB //DC ，∠ABC =120︒， ∴ ∠ECF =∠ABC =120︒， ∵ FG //CE 且FG =CE ,∴ 四边形CEGF 是平行四边形． 由(1)得CE =CF , ∴□CEGF 是菱形, ∴ EG =EC ，∠GC F=∠GCE =21∠ECF =60︒． ∴ △ ECG 是等边三角形. ∴ EG =CG ,∠GEC =∠EGC =60︒, ∴∠GEC =∠GCF , ∴∠BEG =∠DCG ,由AD //BC 及AF 平分∠BAD 可得∠BAE =∠AEB ， ∴AB =BE .在□ABCD 中，AB =DC .∴BE =DC ,∴△BEG ≅ △DCG . ∴ BG =DG ，∠1=∠2,∴ ∠BGD =∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC =60︒.∴ ∠BDG =21(180︒-∠BGD )=60︒． 15．（1）∵五边形DEFGH 是正五边形∴︒=∠=∠=∠=∠=∠108GHD FGH EFG DEF HDE∴︒=∠=∠=∠=∠72AFG AGF CED BHD ∴AG =AF∴∆AGF 是等腰三角形 4分 （2）连接OD 、OE 、OH 、DG ， ∵BC 是⊙O 的切线，∴BC OD ⊥∴︒=∠=∠90CFO BFO 6分 又在OHD ∆与OED ∆中 有 OH =OE =OD ，HD =HE ∴OHD ∆≌OED ∆∴︒==∠54ODE ODH∴︒=∠=∠36EDC HDB 8分 ∴︒=∠=∠72C B ∴BD =DH =DE =DC∴GBD ∆≌AGF ∆ ∴GB =AG ，∴点G 是线段AB 的中点，同理点F 是线段AC 的中点． 10分 另：证得︒=∠=∠72C B 后，可证GD ∥AC ，可得GABGDC BD =，又BD=DC ， ∴GB =AG ， ∴点G 是线段AB 的中点，同理点F 是线段AC 的中点．（3）∵五边形DEFGH 周长是10cm ，由（1）知BD =DH =GH =2cm设xcm GB =，由（2）知，DHB ∆∽GBD ∆- 12分 ∴BD BHGB DH =即：222-=x x ∴0422=--x x 解得：51+=x （负值舍去） 14分 由（1）和（2）知∆ABC 的周长=4GB +2BD =54822)51(4+=⨯++ ∴∆ABC 的周长是（548+）cm ． 15分 16．⑴由题意，a ＋b ＋c ＝2，第15题图∵a ＝1，∴b ＋c ＝1 抛物线顶点为A （－b 2，c －b 24）设B （x 1，0），C （x 2，0），∵x 1＋x 2＝－b ，x 1x 2＝c ，△＝b 2－4c ＞0 ∴|BC |＝| x 1－x 2|＝| x 1－x 2|2＝（x 1＋x 2）2－4 x 1x 2＝b 2－4c ∵△ABC 为等边三角形，∴b 24 －c ＝ 32b 2－4c即b 2－4c ＝23·b 2－4c ，∵b 2－4c ＞0，∴b 2－4c ＝2 3∵c ＝1－b ， ∴b 2＋4b －16＝0， b ＝－2±2 5 所求b 值为－2±2 5 ⑵∵a ≥b ≥c ，若a ＜0，则b ＜0，c ＜0，a ＋b ＋c ＜0，与a ＋b ＋c ＝2矛盾.∴a ＞0． ∵b ＋c ＝2－a ，bc ＝4a ∴b 、c 是一元二次方程x 2－(2－a )x ＋4a ＝0的两实根．∴△＝（2－a ）2－4×4a ≥0， ∴a 3－4a 2＋4a －16≥0, 即（a 2＋4）(a －4)≥0，故a ≥4.∵abc ＞0，∴a 、b 、c 为全大于０或一正二负．①若a 、b 、c 均大于０，∵a ≥4，与a ＋b ＋c ＝2矛盾； ②若a 、b 、c 为一正二负，则a ＞0，b ＜0，c ＜0,则|a |＋|b |＋|c |＝a －b －c ＝a －(2－a )＝2a －2，∵ a ≥4，故2a －2≥6 当a ＝4，b ＝c ＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立． 故|a |＋|b |＋|c |的最小值为6．。