专题32 两圆相切的存在性问题(解析版)

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圆的存在性问题(切点的存在性问题)

圆的存在性问题(切点的存在性问题)
引言
圆是几何学中最基本的图形之一。

在研究圆的性质时，我们面临着一个重要的问题，即圆上是否存在切点。

本文将探讨这个存在性问题，并提供相关的推理和证明。

分析
为了探讨圆的切点存在性问题，我们首先需要了解圆的定义和性质。

根据几何学中的定义，圆是平面上一组与给定点的距离相等的点的集合。

在圆中，我们可以找到两种特殊的点，即圆心和圆上的点。

圆心的存在性
根据圆的定义，圆心是与圆上所有点的距离相等的点。

由于圆是由距离相等的点组成的，因此圆心必然存在于圆中。

这是一个基本且不容置疑的事实。

切点的存在性
在研究切点的存在性时，我们考虑一个特定的情况。

假设有一
条直线与圆相交，我们需要确定该直线是否存在切点。

根据几何学
的基本原理，当直线与圆有且仅有一个交点时，该交点即为切点。

为了证明切点的存在性，我们可以利用基本几何定理，如切线
与半径垂直等。

通过应用这些定理，我们可以推导出直线与圆的交
点数量。

结论
根据上述分析，我们可以得出以下结论：
- 圆心必然存在于圆中，这是由圆的定义所决定的；
- 直线与圆交点的数量决定了切点的存在性；
- 切点的存在性取决于直线与圆的位置关系。

综上所述，对于圆的存在性问题和切点的存在性问题，我们可
以根据几何原理进行推理和证明。

通过深入研究圆形的性质和特点，我们可以更好地理解圆的存在和切点的存在性。

高中数学期末备考：解析几何02圆的双切线模型及应用含解析

2.圆的双切线模型及应用圆的双切线模型是圆中常见的一类考题，由于其结论丰富，变化多端，颇受命题人的热爱，2020年的理数全国一卷的选择题11题就是一个典例应用.尽管如此，在实际应用中，学生对该模型中的相关几何结论的理解和使用仍然显得办法不多，因此，本文将系统的梳理一下圆的双切线模型中的常见结论及应用，希望提升同学们对这类问题的解决能力.如图1，从圆外任一点),(00y x P 向圆引两条切线，圆心C ，两切点B A ,，我们把线段PB P A ，的长度叫做切线长，设圆的半径为r ，则四边形P ABC 具有如下的性质：1.P AC PBC ；PB P A .2.切线长的计算：22r PC PB P A,当半径给定，切线长最小等价于PC 最小.3.C B A P AP CA BP BC ,,,, 四点共圆180 ACB APB ，C B A P ,,,的外接圆以PC 为直径 PC AB AP BC PB AC （托勒密定理）.4.PC 平分ACB APB ，.5.222r PC r PB BC S S PBC P ABC ，当半径给定，四边形P ABC 最小等价于PC 最小.6.假设 2 APC BPC 且PCrPC BCsin .由基本的三角恒等关系可知：22(21sin 212cos PCr ，故可得：2cos ||||P A PB PB P A 224222232](21[)(r PC r PC PC r r PC .对2PC 使用均值不等式可得 PB P A 最小值.图17.假设),(00y x P ，圆C 的方程为022 F Ey Dx y x （0422 F E D ）则切点弦AB 的方程为：0220000 F yy E x x Dy y x x .可以看到，该模型中的很多几何量最终都可以建立为PC 的函数从而求得最小值，这是应该注意的地方.下面我们将通过几个例子详细展示圆的双切线模型在高考以及模考中的应用，进一步体会相关结论的用途.例1.若P 是直线l ：3490x y 上一动点，过P 作圆C ：2240x y x 的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（）B．D．解析：考察性质5.因为直线与圆相切，所以90PAC PBC ，且PAC PBC ≌所以四边形PACB 面积12222PAC S S AC PA PA ，又PA，所以当PC 最小时，P A 最小，四边形PACB 面积的最小值，由图象可得，PC 最小值即为点C 到直线3490x y 的距离，所以min 3PC，所以min PA 所以四边形PACB面积的最小值2S PA ，故选：B例2.（2020全国1卷）已知⊙M：222220x y x y ，直线l ：220x y ，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB 最小时，直线AB 的方程为（）A．210x y B．210x y C．210x y D．210x y 解析：综合考察性质3，5,7.圆的方程可化为 22114x y ，点M 到直线l的距离为2d，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ，所以14442PAM PM AB S PA AM PA，而PA，当直线MP l时，min MP ，min 1PA ，此时PM AB 最小．∴ 1:112MP y x 即1122y x ，由1122220y x x y解得，10x y．所以以MP 为直径的圆的方程为 1110x x y y ，即2210x y y ，两圆的方程相减可得：210x y ，即为直线AB 的方程．我们在平时解析几何的教学与备考中，应该更加深入地总结出一些常见常考的解析几何模型及应用，这样就更好地展示出了解析几何的生命力，使得学生可以从几何与代数多角度来研究问题，提高学生的数学素养.练习题.1．已知圆C ： 22111x y ，P 是直线10x y 的一点，过点P 作圆C 的切线，切点为A ，B ，则PC AB 的最小值为（）B．C．2．设P 为圆224x y 外一点，过P 引圆的切线，两切点分别为A 和B ，若4PA PB，则cos APB （）A．21C．2D．23．过椭圆2213627x y 上一点P 分别向圆 221:34C x y 和圆 222:31C x y 作切线，切点分别为M 、N ，则222PM PN 的最小值为（）A．90B．102C．107D．1654．已知点P 是直线:260l x y 上的动点，过点P 作圆222:(2)C x y r (0)r 的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点.若MPN 的最大值为60 ，则r 的值为（）A．2B．1C．D5．已知圆C ：224210x y x y ，点P 是直线4y 上的动点，过P 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 的最小值为（）6．已知圆22:(2)(6)4 C x y ，点M 为直线:80l x y 上一个动点，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则当四边形CAMB 周长取最小值时，四边形CAMB 的外接圆方程为（）A．22(7)(1)4 x y B．22(1)(7)4 x y C．22(7)(1)2x y D．22(1)(7)2x y7．已知 3,4P ，过点P 作圆 22:11C x a y a （a 为参数，且a R ）的两条切线分别切圆C 于点A 、B ，则sin APB 的最大值为（）A．1B．128．已知圆22:20C x y x ，直线:10l x y ，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别A 、B ，当·PC AB 最小时，直线AB 的方程为（）A．0x y B．0x y C．2210x y D．2210x y5.解析：圆C ：224210x y x y 化为标准方程： 22214 x y ，其圆心 2,1C ,半径2r .过点P 引圆C 的两条切线,切点分别为点A、B ,如图：在△PAC 中,有11||||||||222PAC AB S CA AP CP，即||||||4AB AP CP ，变形可得：4||||||AP AB CP.设||CP x ，则44||AB x 所以当||CP 的值即x 最小时，24x 的值最大，此时||AB 最小.而||CP 的最小值为点C 到直线4y 的距离，即min ||3CP ，所以min ||AB .故选：B6.解析：圆22:(2)(6)4 C x y 的圆心(2,6)C ，半径2r ，点C 到直线l 的距离dCA AM ，四边形CAMB 周长2||2||44CA AM 48 ，当且仅当CM l 时取“=”，此时直线:80CM x y ，由8080x y x y得点(0,8)M ，四边形CAMB 的外接圆圆心为线段CM 中点(1,7)22(1)(7)2 x y .故选：D7.解析：圆心 ,1C a a ，半径为1，圆心C 在直线1y x 上运动，设APC ，则2APB ，由圆的几何性质可知1tan AC PA PA，所以，2222sin cos 2tan 22sin sin 211sin cos tan 1tan tan APB PA PA，当直线PC 与直线1y x 垂直时，PC取最小值，则PA 且min2PC，则min PAPA ，由双勾函数的单调性可知，函数1yx x在上为增函数，且10y x x，故函数21f xx x在上为减函数，故当PAsin APB取得最大值42.故选：C.8.解析：圆C 的标准方程为 2211x y ，圆心为 1,0，半径为1r .依圆的知识可知，四点P ，A ，B ，C 四点共圆，且AB ⊥PC ，所以14422PAC PC AB S PA AC PA△，而PA当直线PC ⊥l 时，PA 最小，此时PC AB 最小.结合图象可知，此时切点为 0,0,1,1 ，所以直线AB 的方程为y x ，即0x y .故选：A。

2020中考专题练习---两圆相切的存在性问题-

1、知识内容：（1）如果两圆的半径长分别为1R 和2R ，圆心距为d ，那么两圆的位置关系可用1R 、2R 和d 之间的数量关系表达，具体表达如下：两圆外离12d R R ⇔>+；两圆外切12d R R ⇔=+；两圆相交1212R R d R R ⇔-<<+；两圆内切120d R R ⇔<=-；两圆内含120d R R ⇔≤<-．注：两圆相切包含外切和内切两种情况．两圆相切的存在性问题知识结构模块一：以函数为背景的两圆相切问题知识精讲AB CO xy（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则A 、B 两点间的距离公式为：221212()()AB x x y y -+-．2、两圆相切本质：线段的和差；3、解题思路：（1）利用两点距离公式或者是题目中已知条件表示出圆心距及两圆半径；（2）根据条件列方程（可采用相似或勾股定理等其它方法）；（3）根据题意对所求的解进行取舍．【例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线224y ax ax =--与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点C ，其中点A 的坐标为（3-，0），点D 在线段AB 上，AD = AC ．如果以DB 为半径的⊙D 与⊙C 外切，求⊙C 的半径．【答案】见解析．【解析】∵抛物线224y ax ax =--经过点A （-3，0）， ∴2(3)2(3)40a a ----=，解得：415a =． ∴所求抛物线的关系式为：24841515y x x =--． ∴抛物线的对称轴是直线1x =．例题解析当0x =时，4y =-，即得C （0，-4）．又由A （-3，0），得5AC =．∴AD = AC = 5．又由A （-3，0），得D （2，0）， ∴CD又由直线1x =为抛物线24841515y x x =--的对称轴，得B （5，0）． ∴BD = 3．设圆C 的半径为r ．∵圆D 与圆C 外切，∴CD = BD + r ．即得：3r =+．解得：3r =．∴圆C 的半径长为3．【总结】本题比较基础，主要考查函数背景下的两圆外切问题，注意将位置关系转化为数量关系进行求解即可．。

关于两圆相切的问题剖析与解题探究

关于两圆相切的问题剖析与解题探究作者：罗荣昭来源：《数学教学通讯·初中版》2021年第04期[摘要] 两圆相切是初中几何常见的位置关系，分析两圆的位置关系、计算圆心距、推导圆方程在中考试题中十分常见. 解题探究时要关注相切时圆心距与圆半径的关系，总结不同知识背景下的突破思路. 文章将深入剖析两圆相切，结合问题探讨解题策略，并提出相应的教学建议.[关键词] 圆;相切;函数;几何图形问题背景相切是几何中较为特殊的位置关系，两圆相切时圆心距等于两圆半径的和差. 对于以两圆相切为背景的综合题，探究时要充分利用圆心距与圆半径之和的关系，结合圆的几何性质构建模型. 在中考命题中关于两圆相切主要有两种形式：一是以函数为背景探究两圆相切;二是以几何图形为背景探究两圆相切. 针对不同类型的问题，需要掌握两圆相切的知识核心以及对应问题的解题策略，这也是教学探究的重点.问题剖析1. 函数背景中的两圆相切探究以函数为背景的两圆相切问题融合了函数知识，常结合坐标系综合构建模型，相切时圆心距与点坐标紧密相关，两点之间的距离公式是突破的核心方法. 对于较为复杂的图像，可提取其中的特殊图形，结合图形的特殊关系来简化解析. 其中的线段问题需要转化为距离问题，结合点坐标求出.例1：在图1所示的平面直角坐标系中，已知四边形OABC为等腰梯形，且OA=AB=BC=4，tan∠BCO= ，试回答下列问题.（1）试求经过O，B，C三点的二次函数解析式;（2）如果点P位于第四象限，且△POC与△AOB为相似关系，试写出所有满足条件的点P的坐标;（3）在（2）问条件成立下，如果⊙P与以OC为直径的圆相切，求出⊙P的方程.整体分析：（1）二次函数经过点O，B，C，可求出点坐标，使用待定系数法求解析式.（2）已知OA=AB=BC=4，tan∠BCO= ，则可推得OA=AB=BC，即△OAB为等腰三角形，若△POC与△AOB相似，则△POC必然也为等腰三角形，故存在两种情形：PO=PC和OC=CP，后续构建具体模型，结合相似性质逐步剖析即可.（3）该问在（2）问条件的基础上深入探究，已知⊙P与直径为OC长的圆相切，需根据点P坐标判断相切情形（内切或外切）;然后结合相切时圆心距与半径之间的关系可确定⊙P的半径;最后结合点P坐标即可求出⊙P的方程.过程探究：（1）四边形OABC为等腰梯形，已知OA=AB=BC=4，tan∠BCO= ，则点O （0，0），B（6，2 ），C（8，0），可设二次函数解析式为y=ax（x-8），将点B坐标代入其中，解得a= - ，所以二次函数的解析式为y= - x2+ x.（2）因为tan∠BCO= ，所以∠AOC=∠BCO=60°，又知等腰梯形中AB∥CO，则∠CBA=∠BAO=120°. 因为OA=AB=BC=4，进而可得∠OBA=∠BOA=30°，OC=8. 若△POC 与△AOB相似，则△POC也为等腰三角形.①当PO=PC时，如图2所示，则∠OPC = 120°，所以∠POC=∠PCO=30°. 过点P作x轴的垂线，设垂足为点D，在Rt△POD中，已知∠POD=30°，OD=4，则DP=OD·tan∠POD= ，所以点P的坐标为4，- .②当OC=CP时，如图3所示，则∠OCP=120°，所以∠COP=∠CPO=30°. 同樣过点P作x 轴的垂线，设垂足为点D，已知OC=PC=8，则∠PCD=60°，PD=PC·sin∠PCD=4 ，CD=4，所以点P的坐标为（12，-4 ）.综上可知，满足条件的点P的坐标有两个，分别为4，- 和（12，-4 ）.（3）①当点P坐标为4，- 时，如图4所示，由于点P位于⊙D内，故⊙D与⊙P只可能是内切关系，但存在“互包”两种情形. 则⊙D的半径应为CD±DP，即R=4± . 当⊙P位于⊙P内时，⊙P的半径为4+ ;当⊙D位于⊙P外时，⊙P的半径为4- . 所以⊙P的方程为（x-4）2+y+ 2=4± 2.②当点P坐标为（12，-4 ）时，如图5所示，此时⊙Q与⊙P有内切和外切两种情形，当两者外切时，⊙P的半径R=PQ-4=4 -4;当两者内切时，⊙P的半径R= PQ+4=4 +4;所以⊙P的方程为（x-12）2+（y+4 ）2=（4 ±4）2.综上可知，⊙P的方程为（x-4）2+y+ 2=4± 2或（x-12）2+（y+4 ）2=（4 ±4）2.解后评析：上述第（3）问探究两圆相切时圆的方程，问题突破的难点有两个，一是两圆相切时的情形判断;二是不同相切情形下半径的计算方法. 即使是两圆内切时也可能存在两圆“互包”两种情形，采用数形结合可避免漏解，同时有助于利用圆心距推导圆的半径.2. 几何图形背景中的两圆相切探究几何图形背景中的两圆相切，其探究重点有两个：一是圆的相切关系，二是圆与其他图形的知识关系. 而其中的距离问题需要转化为线段问题，可结合勾股定理、相似关系和全等关系推导，也可结合三角函数进行计算.例2：已知，如图6，在直角△ABC中，∠ABC=90°，点M在边BC上，且AB=12，BM=4，如果将△ABM沿AM所在的直线翻折，点B恰好落在边AC上的点D处，点O为AC 边上的一个动点，连接OB，以O圆心，OB为半径作⊙O，交线段AB于点B和点E，作∠BOF=∠BAC交⊙O于点F，OF交线段AB于点G.（1）分别求点D到点B的距离，以及到直线AB的距离;（2）若点F平分劣弧BE，求此时线段AE的长度;（3）若△AOE为等腰三角形，以A为圆心的⊙A与此时的⊙O相切，求⊙A的半径.整体分析：（1）可设BD与AM的交点为N，则∠BNM=90°，BN=DN，通过解直角三角形可分别求距离.（2）求AE的長，需要求出BE的长，可先确定∠CAB的正弦值，然后设出BG=3m，OG=4m，构建关于m的方程，求出m的值，最后解直角三角形求BE长.（3）该问讨论两圆相切，可先求出△AOE为等腰三角形时⊙O的半径以及圆心距，然后讨论相切情形下⊙A的半径.过程探究：（1）简答，BD=2BN= ，点D到AB的距离为 .（2）过点D作AB的垂线，设垂足为H，如图7所示. 在Rt△ADH中，已知DH= ，AD=AB=12，则sin∠CAB= .按照题意绘制如图8所示图像，其中点F平分弧BE，连接DF，与AB的交点设为G. 分析可知OF⊥BE，BG=EG. 在Rt△BOG中，已知∠BOF=∠BAC，可设BG=3m，OG=4m，在Rt△AOG中，由tan∠A= = = ，解得m= . 所以AE=AB-BE=12-6m= .（3）下面采用分步突破的方法，先求“⊙O的半径”，然后讨论“两圆相切”.第一步，求△AOE为等腰三角形时⊙O的半径.由于△AOE为等腰三角形，则可能EO=EA，如图9所示，作EK⊥AC于K. 在Rt△AEK 中，设EK=3n，则AK=4n，EA=5n. 然后作OP⊥AB于P，在Rt△AOP中，OA=2AK=8n，AP= OA= ，所以PE=AP-AE= n. 由于AB=2PE+EA= n+5n=12，可得n= ，所以⊙O的半径rO =OE=5n= ，圆心距d=OA= .第二步，讨论⊙A与⊙O的相切情形.⊙A与⊙O相切，有外切和内切两种情形.①如图10所示，若⊙A与⊙O外切，有rO +rA=d，所以rA=d-rO = ;②如图11所示，若⊙A与⊙O内切，有rA- rO =d，所以rA=d+rO =20;综上可知，⊙A的半径为或20.解后评析：上述第（3）问探究几何图形背景中两圆的相切，结合相关知识推导两圆的圆心距及半径是重点，通常将距离问题转化为线段问题. 上述充分把握特殊三角形性质，利用直角三角形构建代数方程. 突破过程涉及了垂径定理、勾股定理、解直角三角形、两圆相切的位置关系等知识，同时涉及数形结合、分类讨论思想，是知识与方法综合的典型代表.总结思考1. 关于两圆相切的解读归纳两圆相切是一种特殊的位置关系，通常有内切和外切两种情形，即对于半径长分别为R 和R 的两个圆，当两圆为外切关系时，圆心距d=R +R ;为内切关系时，d=R -R . 当一圆心位于另一圆内时，只能为内切关系，同时由于“互包”会出现两种情形. 实际上，“线段和差”是两圆相切的本质，故求线段和距离长是解析的关键. 在不同背景下可按照对应思路进行问题转化，如函数背景下可将“两点之间的距离”作为研究重点，而几何图形背景下可将“线段长”作为研究的重点.另外，在实际解题时有如下解题思路：思路一：结合动点的运动方式来表示相关线段长，重点是理解动点条件.思路二：利用几何性质来表示线段间的关系，重点是提取几何特性.思路三：根据相似或全等关系、勾股定理构建关于线段长的代数方程，重点是探索特性成立的条件.思路四：把握坐标系中的点坐标，结合两点之间的距离关系直接求线段长.2. 关于相切问题教学中的建议建议一：挖掘知识本质，开展知识归纳.两圆相切是一种特殊的位置关系，在探究教学中需要引导学生挖掘相切的知识本质，结合图像归纳相切的不同的情形，归纳圆心距与圆半径之间的关系. 虽然两圆相切的问题类型较为众多，但实则可归为函数与几何两大构建背景，探究教学要立足知识本质，把握求“线段”或“距离”这一本质内容，探索关联知识，串联知识体系.建议二：关注解题思想，形成解题策略.两圆相切问题中有两大难点：一是相切关系的多样性，二是问题转化解析多视角. 前者与图形位置关系相关，后者关系到解题思路的构建，问题突破过程常涉及分类讨论、数形结合、化归转化等思想方法. 教学中建议教师引导学生体验问题的突破过程，关注学生思维，合理渗透数学思想，充分探究审题突破的视角，形成相应的解题策略.。

动圆产生的相切问题(有答案)

动圆产生的相切问题1.掌握直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的概念，并会用代数表示；2.理解直线与圆相切、两圆相切的性质；3.会判定直线与圆相切、两圆相切，会用直线与圆相切和两圆相切的判定、性质进行相关计算或证明；4.初步体会分类讨论思想和动态数学思维。

知识结构【注意】：此部分知识梳理过程，以提问形式出现，提问的方式和形式不固定（可以用：文字提问、图形提问等），但直线与圆、圆与圆的位置关系，一定要学生掌握从图形到文字表达再到代数表示这个过程，建议以画图的形式出现，部分地方让学生填空完成，用时8分钟左右。

1.直线与圆的位置关系：2.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；3.圆与圆的位置关系：外离、外切、相交、内切、内含；注意：①当R1=R2时，两圆不可能内切或内含；②两圆外离或内含时，也可叫做两圆相离；两圆外切或内切时，也可叫做两圆相切。

4.相交两圆连心线的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

5.相切两圆连心线的性质：相切两圆的连心线经过切点。

例1.如图1，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90C ∠=︒,,12=BC 18=AD ，10=AB ．动点P 、Q 分别从点D 、B 同时出发，动点P 沿射线DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 在线段BC 上以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当点Q 运动到点C 时，点P 随之停止运动．设运动的时间为t （秒）。

当点P 在线段DA 上运动时，若以BQ 为直径的圆与以AP 为直径的圆外切，求t 的值。

（★★★）【参考教法】：我们一起来分析分析题目吧！1.点P 、Q 的运动速度和方向咋样？（让学生说）2.能说说两圆的半径吗？提示：：以BQ 为直径的圆与以AP 为直径的圆外切；3.你能用先用t 的代数式表示两圆的半径和圆心距吗？提示：让学生计算。

4.当两圆的外切时，如何列方程？提示：12d r r =+；（d 表示圆心距，12r r 、分别表示两圆的半径）5.做完本题后，对圆的相切有点思路了没？【满分解答】：过点B 作AD BH ⊥，垂足为H ，得8=BH ，CDBA QP 图1记BQ 中点为1O 、AP 中点为2O ，联结21O O ，过点1O 作AD I O ⊥1，垂足为I ，则81==BH I O ，21t BO =，2121t CO -=，t tAO -=-=922182，t DO +=92，323)212()9(2-=--+=∴tt t I O ，当29)9(22121tt t AO BO O O -=-+=+=时以BQ 为直径的圆与以AP 为直径的圆外切，在21IO O Rt ∆中，2221221I O I O O O +=，即222)323(8)29(-+=-tt ，整理得：42=t ，0>t ，2=∴t 。

2023年中考数学二轮复习专题课件——圆的相切之存在性问题

13
时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′ 长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，求⊙P的半径. 和哪个边相切
①当圆与AC相切时
设切点为Q，连接PQ
△B’QP∽△B’CA‘
PQ PB CA AB r 13 r 12 13 r 156
25
例4 如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA= 5 ，AC=12，将△ABC绕点C顺
∵∠EDC+∠ODB=90°，∴∠EDO=90°
△EAO≌△EDO，AE=ED=EC 设AB长为X，则AC为√3X
AE 1 AC 3 x
2
2
tanABE AE 3 AB 2
如图，已知AB是圆O的直径，BC是圆O的弦，弦ED⊥AB于点F,交BC于点G ，过点C作圆O的切线与ED的延长线交于点P．（1）求证：PC＝PG；（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究 CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；（3）在满足（2）的条件下，已知圆为O的半径为5,若点O到BC的距离为 √5时，求弦ED的长．
┓ F
图一
解如图一，连接PQ，作DF⊥BC，QH⊥BC 可得DF=QH=8，HF=QD=2t，BP=3t。 FC=DF/tan∠C=6 ∴PH=BC-BP-HF-FC=18-3t-6-2t=12-5t 在RT△PQH中，d2=PQ2=PH2+QH2=(12-5t)2+82
例2 如图,在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=8，BC=18.tan∠BCD=4/3,点P从点B开始延BC边向终点C以每秒3个单位的速度移动。点Q从点D开始延DA边向终点A以

如何利用圆的相切性质解决问题

如何利用圆的相切性质解决问题关键信息项1、圆的相切性质的定义及分类：直线与圆相切圆与圆相切2、利用圆的相切性质解决几何问题的方法：求线段长度求角度大小证明几何关系3、利用圆的相切性质解决实际问题的案例：工程中的应用数学建模中的应用11 圆的相切性质的定义圆的相切是指直线或圆与圆之间只有一个公共点的位置关系。

111 直线与圆相切当直线与圆只有一个公共点时，称直线与圆相切。

此时，圆心到直线的距离等于圆的半径。

112 圆与圆相切分为内切和外切两种情况。

两圆内切时，两圆的圆心距等于两圆半径之差；两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和。

12 利用圆的相切性质解决几何问题的方法121 求线段长度通过构建与圆相切的图形，利用圆的半径、圆心到切点的距离以及相关线段之间的关系，可以求解线段的长度。

例如，在一个直角三角形中，如果一条直角边是圆的半径，斜边是圆心到切点的距离，那么可以利用勾股定理求出另一条直角边的长度。

122 求角度大小利用圆的切线与经过切点的半径垂直这一性质，可以得到直角，从而求解相关角度。

或者通过两圆相切时圆心角与圆周角的关系来求角度大小。

123 证明几何关系证明线段相等、平行、垂直等关系时，可以借助圆的相切性质构建辅助线，创造条件进行证明。

13 利用圆的相切性质解决实际问题的案例131 工程中的应用在机械制造中，零件的设计和加工常常需要用到圆的相切性质。

例如，齿轮的齿廓曲线就是基于圆的相切原理设计的，以保证齿轮的平稳传动。

132 数学建模中的应用在优化问题中，如确定最优路径、最小面积等，可以通过构建圆相切的模型来求解。

例如，要在一个区域内铺设管道，使管道长度最短，可以利用圆的相切性质找到最优解。

21 具体解题示例假设存在一个圆 O，半径为 r，直线 l 与圆 O 相切于点 A，连接 OA。

已知 OA 的长度为 5，圆 O 的半径 r 为 3，求直线 l 上一点 B 到圆心 O的距离。

因为直线 l 与圆 O 相切，所以 OA 垂直于直线 l。

与圆有关的存在性问题训练(含答案)

与圆有关的存在性问题训练例1：已知圆C :()2222=+-y x ，直线l ：2+=kx y .若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线21,l l ，使得21l l ⊥，则实数k 的取值范围是（）A.[)()+∞-⋃-,3232,0B.[]3,232+-C.()0,∞-D.[)∞+，0答案：D例2：已知两点()0,a A ，()0,a B -()0>a ，若圆()()11322=-+-y x 上存在点P ，使得︒=∠90APB ，则正实数a 的取值范围为（）A.(]3,0 B.[]3,1 C.[]32， D.[]21，答案：B例3：在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点()10，，()30，，且与x轴正半轴相切，若圆C上存在点M，使得直线OM与直线()0>=kkxy关于y轴对称，则k的最小值为（）A.332 B.3 C.32 D.34答案：D例4：已知圆()()1041:22=-+-y x C 和点()t M ,5，若圆C 上存在两点B A ,使得MB MA ⊥，则实数t 的取值范围是（）A.[]6,2- B.[]5,3- C.[]62， D.[]53，答案：C例5：已知点A 在圆2:22=+y x O 上，Q P ,是直线t x y +=上的两个不同的点，若存在Q P A ,,使得线段AQ AP ,的中点都在圆O 上，则t 的取值范围是________.答案：()6,6-∈t例6：在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,m A ，()0,4+m B ，若圆()83:22=-+m y x C 上存在点P ，使得︒=∠45APB ，则实数m 的取值范围是________.例7：已知A是圆C内异于圆心的一定点，动点P满足：在圆C上存在唯一点Q，使得0=QA，则动点P的轨迹为（）∙QPA.直线B.圆C.椭圆D.双曲线答案：C例8：在平面直角坐标系xOy 中，已知AB 是圆1:22=+y x O 的直径，若直线013:=+--k y kx l 上存在点P ，连接AP 与圆O 交于点Q ，满足OQ BP //，则实数k 的取值范围是________.例9：在平面直角坐标系xOy 中，点Q P ,分别为直线032:=-+y x l 与圆()()02:222>=+-r r y x M 上的动点，若存在点Q P ,，使得OPQ ∆是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则r 的取值范围为_________.例10：已知圆()43:221=++y x C ，圆()45:222=-+y x C ，若平面内存在点P 满足：过点P 有无数多对相互垂直的直线21,l l ，它们分别与圆1C ，圆2C 相交，且被圆1C ，圆2C 截得的弦长相等，求点P 的坐标.答案：()()1,1,4,421=-=P P例11：若圆()()22253r y x =++-上有且只有两个点到直线234=-y x 的距离等于1，则半径r 的取值范围是（）A.(]64， B.[)6,4 C.()64， D.[]64，答案：C例12：已知圆1:22=+y x O ，圆()()13:22=+-+-a y a x M .若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为B A ,，使得︒=∠60APB ，则实数a 的取值范围是_______.答案：[]3,0∈a思考题：在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()03:222>=-+a a y x M ，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2a A ，()0,1B ，()2,3C ，若圆M 上存在点P ，使得︒=∠90BPC ，︒=∠45PAB ，则a 的值为________.。

【中考冲刺】九年级春季班-第14讲：两圆相切的存在性问题-学生版

九年级下学期春季班（学生版）最新讲义1、知识内容：（1）如果两圆的半径长分别为1R 和2R ，圆心距为d ，那么两圆的位置关系可用1R 、2R 和d 之间的数量关系表达，具体表达如下：两圆外离12d R R ⇔>+；两圆外切12d R R ⇔=+；两圆相交1212R R d R R ⇔-<<+；两圆内切120d R R ⇔<=-；两圆内含120d R R ⇔≤<-．注：两圆相切包含外切和内切两种情况．（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则A 、B 两点间的距离公式为：221212()()AB x x y y =-+-．2、两圆相切本质：线段的和差；3、解题思路：（1）利用两点距离公式或者是题目中已知条件表示出圆心距及两圆半径；（2）根据条件列方程（可采用相似或勾股定理等其它方法）；（3）根据题意对所求的解进行取舍．两圆相切的存在性问题知识结构模块一：以函数为背景的两圆相切问题知识精讲例题解析ABCOxy【例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线224y ax ax =--与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点C ，其中点A 的坐标为（3-，0），点D 在线段AB 上，AD = AC ．如果以DB 为半径的⊙D 与⊙C 外切，求⊙C 的半径．xyABCO 【例2】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是等腰梯形，其中OA = AB = BC = 4，tan 3BCO ∠=．（1）若点P 在第四象限，且POC ∆与AOB ∆相似，求满足条件的所有点P 的坐标；（2）在（1）的条件下，若P e 与以OC 为直径的D e 相切，请直接写出P e 的半径．DBAC OP【例3】如图，线段P A = 1，点D 是线段P A 延长线上的点，AD = a （a > 1），点O 是线段AP 延长线上的点，2OA OP OD =g ，以O 圆心，OA 为半径作扇形OAB ，90BOA ∠=︒，点C 是弧AB 上的点，联结PC 、DC ．（1）联结BD 交弧AB 于E ，当a = 2时，求BE 的长；（2）当以PC 为半径的P e 和以CD 为半径的C e 相切时，求a 的值；（3）当直线DC 经过点B ，且满足PC OA BC OP =g g 时，求扇形OAB 的半径长．1、知识内容：（1）如果两圆的半径长分别为1R 和2R ，圆心距为d ，那么两圆的位置关系可用1R 、2R 和d 之间的数量关系表达，具体表达如下：两圆外离12d R R ⇔>+；两圆外切12d R R ⇔=+；两圆相交1212R R d R R ⇔-<<+；两圆内切120d R R ⇔<=-；两圆内含120d R R ⇔≤<-．注：两圆相切包含外切和内切两种情况． 2、两圆相切本质：线段的和差； 3、解题思路：（1）根据动点的运动方式表示出相关线段的长度；（2）利用几何图形的相关性质表示出线段间的关系；（3）根据相似的性质或者是勾股定理或者是两圆相切的关系等列出有关未知数的方程；（4）求出方程的解，并根据题意进行取舍．模块二：以几何图形为背景的两圆相切问题知识精讲ABCDMP【例4】如图，已知：在ABC ∆中，射线AM // BC ，P 是边BC 上一动点，∠APD =∠B ，PD 交射线AM 于点D ，联结CD ．AB = 4，BC = 6，∠B = 60°．（1）求证：2AP AD BP =g ；（2）如果以AD 为半径的A e 与以BP 为半径的B e 相切，求线段BP 的长度．例题解析ABCEF【例5】如图，在ABC ∆中，AB = AC = 10，BC = 12，点E 、F 分别在边BC 、AC 上（点F不与点A 、C 重合），EF // AB ．把ABC ∆沿直线EF 翻折，点C 与点D 重合，设FC = x ．（1）求∠B 的余切值；（2）当点D 在ABC ∆的外部时，DE 、DF 分别交AB 于M 、N ，若MN = y ，求y 关于 x 的函数关系式并写出定义域；（3）（直接写出结果即可）以点E 为圆心，BE 为半径的E e 与边AC○1有公共点时，求x 的取值范围； ②一个公共点时，求x 的取值范围；○3个公共点时，求x 的取值范围．ABCD PQ【习题1】如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，∠A = 90°，AD = 6，AB = 8，4sin 5C，点P 在射线DC 上，点Q 在射线AB 上，且PQ ⊥CD ．设DP = x ，若以点B 为圆心、BQ 为半径的B e 与以点C 为圆心、CP 为半径的C e 相切，求线段DP 的长．随堂检测【习题2】如图1，已知梯形ABCD 中，AD // BC ，∠D = 90°，BC = 5，CD = 3，cot B = 1．点P 是边BC 上的一个动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PE ，使射线PE 交射线BA 于点E ，∠BPE = ∠CPD ．（1）如图2，当点E 与点A 重合时，求∠DPC 的正切值；（2）当点E 落在线段AB 上时，设BP x =，BE y =，试求y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）设以BE 长为半径的B e 和以AD 为直径的O e 相切，求BP 的长．ABCDPA （E ） BCD图1图211 / 13【习题3】如图，在梯形ABCD 中，∠ABC = 90°，AD // BC ，AB = 8，BC = 18，4sin 5BCD ∠=，点P 从点B 开始沿BC 边向终点C 以每秒3个单位的速度移动，点Q 从点D 开始沿DA 边向终点A 以每秒2个单位的速度移动，设运动时间为t 秒．如果P e 的半径为6，Q e 的半径为4，在移动的过程中，试探索：t 为何值时P e 与Q e 外离、外切、相交？ABCDPQ12 / 13ABCD PH【作业1】如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，∠ABC = 90°，AB = 4，AD = 3，25sin BCD ∠=，点P 是对角线BD 上一动点，过点P 作PH ⊥CD ，垂足为H ．（1）求证：∠BCD = ∠BDC ；（2）如图，若以P 为圆心、PB 为半径的圆和以H 为圆心、HD 为半径的圆外切时，求DP 的长．课后作业13/ 13AB COP【作业2】如图，Rt ABC∆中，∠ACB = 90°，AC = 4厘米，BC = 3厘米，Oe为ABC∆的内切圆．（1）求Oe的半径；（2）动点P从点B沿BA向点A以每秒1厘米的速度匀速运动，以P为圆心，PB为半径作圆．设点P运动的时间为t秒，若Pe与Oe相切，求t的值．。

初中平面几何中的圆与相切问题

初中平面几何中的圆与相切问题在初中平面几何的学习中，圆是一个重要的几何概念。

圆的性质和应用经常出现在解决实际问题和讨论几何形状的过程中。

而圆与相切问题是其中一个重要的问题，本文将就此问题展开讨论。

一、定义与性质在初中平面几何中，我们首先需要了解圆的定义和一些基本性质。

圆是由和一个确定的点到这个点的距离恒定的所有点组成的。

我们称这个固定的点为圆心，距离为半径。

圆的基本性质有以下几点：1. 圆心和圆上的任意一点可以确定一个唯一的圆。

2. 圆的半径相等，因此圆上的任意两点到圆心的距离也相等。

3. 圆上任意一条弦可以截出两个弧，这两个弧上的任意一点到圆心的距离是相等的。

4. 圆的外接圆和内切圆的圆心都在圆上。

二、相切问题和解决方法在平面几何中，相切是一个重要的关系。

对于圆与直线的相切，我们需要讨论圆和直线之间的位置关系是否满足相切的条件。

圆与圆之间的相切问题也是如此。

1. 圆与直线相切当圆和直线之间只有一个交点，并且这个点同时在圆上时，我们称该直线与圆相切。

解决圆与直线相切的问题可以通过以下步骤进行：（1）已知圆的半径和圆心，以及直线的方程。

（2）计算直线到圆心的距离，判断该距离与半径的关系。

（3）若两者相等，则表示直线与圆相切。

2. 圆与圆相切在平面几何中，两个圆相切是指两个圆之间只有一个公共切点，并且这个点同时位于两个圆上。

解决圆与圆相切的问题可以通过以下步骤进行：（1）已知两个圆的半径和圆心。

（2）计算两个圆心的距离，并判断该距离与两个圆的半径之和的关系。

（3）若两者相等，则表示两个圆相切。

三、案例分析接下来，我们通过几个案例来具体讨论圆与相切问题。

案例一：已知圆O的圆心坐标为（2，3），半径为4。

直线L的方程为2x - y = 1，判断直线L与圆O的位置关系。

解：首先，可以计算直线到圆心的距离。

直线L的距离公式为d = |2x - y - 1| / √(2^2 + (-1)^2) = |2x - y - 1| / √5。

圆与圆位置关系——相切问题

圆与圆位置关系——相切问题两圆相切或两圆只有一个公共点，需分为两种情况，即两圆内切或两圆外切。

对于圆与圆的位置关系，需要找准圆心距、两圆的半径和差之间的数量关系。

当两圆内切时，圆心距等于两圆半径差的绝对值；当两圆外切时，圆心距等于两圆半径和。

两圆相切问题对于两圆相切问题，只需要找准圆心距和两圆半径和差的数量关系即可。

当两圆内切时，d=|R1-R2|，当两圆外切时，d=R1+R2。

01两圆相切问题的简单应用02在函数和三角形背景的应用对于二次函数或者三角形背景的问题，同样只要找准三个量的关系即可。

一般来说，可以通过构造直角三角形，利用勾股定理求得圆心距的长度。

解法分析：本题的第一问由题设：圆P与直线BC相切，则过点P 作BC的垂线PH，利用X型基本图形，导出AB、CD和PH的数量关系。

本题的第二问考察了圆与圆的位置关系，其突破口在圆心距、两圆半径和差的数量关系的比较。

常见的辅助线添线方法即为联结两圆的圆心，利用勾股定理求出圆心距，再去比较圆心距和两圆半径和差的大小关系。

本题的第三问不是在AB=3，CD=5这样的背景下的，因此在解决本问时，建议设AB、CD为字母系数进行计算。

本问以两圆外切为背景，证明▲ABC与▲BCD相似，还是围绕圆心距和两圆半径和进行展开。

由于这两个三角形都是直角三角形，因此可以从判定1和判定2判定证明相似。

03在“动圆”背景下的应用对于“运动”背景下的两圆相切问题，还是找准圆心距、半径和差间的数量关系，对于运动的路程可以用字母表示，从而利用方程思想求出未知数的值。

三圆相切问题对于三个圆相切的问题，在两圆相切问题上更进了一步，但是问题解决的关键还是在于抓住圆心距、任意两圆的半径和差间的数量关系。

相较于两圆相切问题更加灵活，但是问题解决的方法和路径还是不变的。

01三个圆两两相切的问题以沪教版教材27.5(1)的例题2为例，三个圆两两外切，因此任意两圆的圆心距等于这两个圆的半径和，列出三个方程即可求出三个圆的半径。

第14讲：两圆相切的存在性问题-教师版

1、知识内容：（1）如果两圆的半径长分别为1R 和2R ，圆心距为d ，那么两圆的位置关系可用1R 、2R 和d 之间的数量关系表达，具体表达如下：两圆外离12d R R ⇔>+；两圆外切12d R R ⇔=+；两圆相交1212R R d R R ⇔-<<+；两圆内切120d R R ⇔<=-；两圆内含120d R R ⇔≤<-．注：两圆相切包含外切和内切两种情况．（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则A 、B 两点间的距离公式为：221212()()AB x x y y =-+-．2、两圆相切本质：线段的和差；3、解题思路：（1）利用两点距离公式或者是题目中已知条件表示出圆心距及两圆半径；（2）根据条件列方程（可采用相似或勾股定理等其它方法）；（3）根据题意对所求的解进行取舍．两圆相切的存在性问题知识结构模块一：以函数为背景的两圆相切问题知识精讲A BCO xy【例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线224y ax ax =--与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点C ，其中点A 的坐标为（3-，0），点D 在线段AB 上，AD = AC ．如果以DB 为半径的⊙D 与⊙C 外切，求⊙C 的半径．【答案】见解析．【解析】∵抛物线224y ax ax =--经过点A （-3，0），∴2(3)2(3)40a a ----=，解得：415a =． ∴所求抛物线的关系式为：24841515y x x =--． ∴抛物线的对称轴是直线1x =．当0x =时，4y =-，即得C （0，-4）．又由A （-3，0），得22(30)(04)5AC =--++=． ∴AD = AC = 5．又由A （-3，0），得D （2，0）， ∴22(20)(04)25CD =-++=．又由直线1x =为抛物线24841515y x x =--的对称轴，得B （5，0）． ∴BD = 3．设圆C 的半径为r ． ∵圆D 与圆C 外切，∴CD = BD + r ．即得：253r =+．解得：253r =-． ∴圆C 的半径长为253-．【总结】本题比较基础，主要考查函数背景下的两圆外切问题，注意将位置关系转化为数量关系进行求解即可．例题解析xyA BCO 【例2】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是等腰梯形，其中OA = AB = BC = 4，tan 3BCO ∠=．（1）若点P 在第四象限，且POC ∆与AOB ∆相似，求满足条件的所有点P 的坐标；（2）在（1）的条件下，若P 与以OC 为直径的D 相切，请直接写出P 的半径．【答案】见解析．【解析】（1）∵tan ∠BCO=3，∴∠AOC =∠BCO = 60°， ∵等腰梯形OABC ， ∴AB // CO ，∴∠CBA= 120° =∠BAO = 120°．在OAB ∆中，∵OA = AB = BC = 4， ∴∠OBA=∠BOA = 30°，OC = 8．要使POC ∆∽AOB ∆，则POC ∆必为等腰三角形，存在两种情况．○1如图1，当PO = PC 时，则∠OPC = 120°． ∴∠POC =∠PCO = 30°，∴P （4，43-）．○2如图2，当OC = CP 时，则∠OCP =120°． ∴∠COP =∠CPO =30°， ∵OC = PC = 8， ∴∠PCD = 60°， ∴PD = 43，CD = 4， ∴P （12，43-），综上所述，满足条件的所有点P 的坐标为（4，43-）或（12，43-）； ABCDOPx yABC O Pxy图1 图2（2）P 的半径4±和4．如图1，∵PD∴P 的半径为4或4．如图2，取OC 中点Q ，作QM OP ⊥．∵∠POC = 30°，∴11224QM OQ OC ===，OM =∵P （12，-，∴OP =∴PM OP OM =-=∴PQ =，∴P 的半径为4或4．综上，P 的半径为4或4或4或4．【总结】本题主要考查平面直角坐标系背景下的相似问题及相切问题，注意进行分类讨论，并对相应的解题方法进行归纳整理．【例3】如图，线段P A = 1，点D 是线段P A 延长线上的点，AD = a （a > 1），点O 是线段AP 延长线上的点，2OA OP OD =，以O 圆心，OA 为半径作扇形OAB ，90BOA ∠=︒，点C 是弧AB 上的点，联结PC 、DC ．（1）联结BD 交弧AB 于E ，当a = 2时，求BE 的长；（2）当以PC 为半径的P 和以CD 为半径的C 相切时，求a 的值；（3）当直线DC 经过点B ，且满足PC OA BC OP =时，求扇形OAB 的半径长．【答案】见解析．【解析】（1）过点O 作OF BE ⊥，垂足为F ．设OA x =，则1OP x =-，OD x a =+； ∵2OA OP OD =⋅，即2(1)()x x x a =-+，解得：1ax a =-； ∴1a OA a =-，11OP a =-，21a OD a =-；当2a =时，可得：2OA =，4OD =，∴25BD =；易得BOF ∆∽BDO ∆，∴BF OB OB OD=，又2OB OA ==，∴255BF =，∴455BE =．（2）当点C 与点A 重合时，CD ADa PC PA==．当点C 与点A 不重合时，联结OC ， ∵OC OA =，∴2OC OP OD =⋅；即OP OCOC OD=，又COP DOC ∠=∠， ∴OCP ∆∽ODC ∆，∴CD ODa PC OC==， ∴CD aPC =；又1a >，∴CD PC >；∵⊙P 和⊙C 相切，PC 是圆心距， ∴⊙P 和⊙C 相只能内切； ∴CD PC PC -=；即aPC PC PC -=；解得：2a =．DBAC OP E F（3）联结BP 、OC ．∵OCP ∆∽ODC ∆，∴OCP D ∠=∠； ∵OC OB =，∴OBC OCB ∠=∠； ∵90D OBC ∠+∠=︒，∴90OCP OCB ∠+∠=︒，即90BCP ∠=︒． ∵PC OA BC OP ⋅=⋅，OA OB =， ∴PC OPBC OB=；又90BOP BCP ∠=∠=︒， ∴BOP ∆∽BCP ∆； ∴1OB BPCB BP==； ∴CB OB =， ∴CB OB OC ==； ∴OBC ∆是等边三角形， ∴60OBC ∠=︒；在Rt BOD ∆中，90BOD ∠=︒，tan ODDOB a OB∠==，即tan 60a =︒1a OA a ==-即扇形OAB ．【总结】本题主要考查扇形背景下的两圆相切问题，注意将位置关系转变为数量关系进行计算，另外第（3）问中注意对所给出的条件进行分析，从而找出相似的三角形进行求解．1、知识内容：（1）如果两圆的半径长分别为1R 和2R ，圆心距为d ，那么两圆的位置关系可用1R 、2R 和d 之间的数量关系表达，具体表达如下：两圆外离12d R R ⇔>+；两圆外切12d R R ⇔=+；两圆相交1212R R d R R ⇔-<<+；两圆内切120d R R ⇔<=-；两圆内含120d R R ⇔≤<-．注：两圆相切包含外切和内切两种情况．2、两圆相切本质：线段的和差；3、解题思路：（1）根据动点的运动方式表示出相关线段的长度；（2）利用几何图形的相关性质表示出线段间的关系；（3）根据相似的性质或者是勾股定理或者是两圆相切的关系等列出有关未知数的方程；（4）求出方程的解，并根据题意进行取舍．模块二：以几何图形为背景的两圆相切问题知识精讲【例4】如图，已知：在ABC ∆中，射线AM // BC ，P 是边BC 上一动点，∠APD =∠B ，PD交射线AM 于点D ，联结CD ．AB = 4，BC = 6，∠B = 60°．（1）求证：2AP AD BP =；（2）如果以AD 为半径的A 与以BP 为半径的B 相切，求线段BP 的长度．【答案】见解析．【解析】（1）∵AM // BC ，∴∠P AD =∠APB ． ∵∠APD =∠B ，∴APD ∆∽PBA ∆． ∴BPAPAP AD =．∴2AP AD BP =．（2）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ． ∵∠B = 60°，AB = 4，∴BH = 2，32=AH ．设BP = x ，那么2-=x PH ．∴164)32()2(2222+-=+-=x x x AP ．∴xx x BP AP AD 16422+-==．（i ）当A 与B 外切时，AB AD BP =+．即41642=++-x xx x ．整理，得：0842=+-x x ，∵08442<⨯-=∆，∴此方程无实数解．（ii ）当A 与B 内切时，AB AD BP =-．即24164-x x x x-+=．当41642=-+-x xx x 时，解得x = 2；当41642=+--xx x x ，此方程无解．综上所述，如果两圆相切，那么BP = 2．【总结】本题比较基础，主要考查几何背景下的两圆相切问题，注意将位置关系转化为相应的数量关系，并进行分类讨论．例题解析ABCDMPHABCE F【例5】如图，在ABC ∆中，AB = AC = 10，BC = 12，点E 、F 分别在边BC 、AC 上（点F不与点A 、C 重合），EF // AB ．把ABC ∆沿直线EF 翻折，点C 与点D 重合，设FC = x ．（1）求∠B 的余切值；（2）当点D 在ABC ∆的外部时，DE 、DF 分别交AB 于M 、N ，若MN = y ，求y 关于x 的函数关系式并写出定义域；（3）（直接写出结果即可）以点E 为圆心，BE 为半径的E 与边AC ，○1有公共点时，求x 的取值范围； ②一个公共点时，求x 的取值范围；○3个公共点时，求x 的取值范围．【答案】见解析．【解析】（1）如图1，作AH BC ⊥垂足为H ．∵10AB AC ==，12BC =， ∴6BH CH ==． ∴228AH AB BH =-=， ∴ 63cot 84BH B AH ∠===．（2）∵EF // AB ， ∴EC CFBC CA=， ∴65EC x =，∴6125BE x =-．∵CEF DEF ∠=∠，EF // AB ，∴BM E DEF ∠=∠，CEF B ∠=∠，∴BME B ∠=∠，∴6125ME BE x ==-，∴12125DM DE ME x =-=-． ∵EF // MN ，∴DM MN DE EF ==1212565x y x x -=． ∴210y x =-(510)x <<．（3）①当55018x <<或50109x <<时，E 与边AC 没有公共点； ②当509x =或55518x ≤<时，E 与边AC 有一个公共点； ③5059x ≤<时，E 与边AC 有两个公共点．【总结】本题主要考查几何图形背景下的锐角三角比及相似的综合，第（3）问中，主要从临界点区分即可，由于是圆与边的交点个数，因此要从多个角度考虑．ABCH 图1A BCDE FNM图2【习题1】如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，∠A = 90°，AD = 6，AB = 8，4sin 5C =，点P 在射线DC 上，点Q 在射线AB 上，且PQ ⊥CD ．设DP = x ，若以点B 为圆心、BQ 为半径的B 与以点C 为圆心、CP 为半径的C 相切，求线段DP 的长．【答案】见解析．【解析】延长BA 、CD 相交于点S ，由题意条件，易得BC =12．∵AD // BC 且BC = 12，∴AD =12BC ， ∴12SA SD AD SB SC BC ===，∴SD = DC = 10，SA = AB = 8． ∵DP = x ，∴SP = x +10．由SPQ ∆∽SAD ∆，得：54SQ SD SP SA ==．∴5(10)4SQ x =+，∴55716(10)442BQ x x =-+=-+．当B 与C 相切时，有三种情况：（∽）当点P 在线段DC 上，且点Q 在线段AB 上时，只有可能两圆外切，由BQ +CP = BC ，57101242x x -++-=，解得：23x =；（∽）当点P 在线段DC 上，且点Q 在线段AB 的延长线上时，两圆不可能相切；（∽）当点P 在线段DC 的延长线上，且点Q 在线段AB 的延长线上时，此时5742BQ x =-, CP = x -10，若两圆外切，BQ +CP = BC ，即57101242x x -+-=，解得：343x =；若两圆内切，BQ CP BC -=，即57(10)1242x x ---=；由57(10)1242x x ---=，解得：22x =；由57(10)1242x x ---=-，解得：74x =-．综上所述，B 与C 相切时，线段DP 的长为23或343或22．【总结】本题主要考查梯形背景下的两圆相切问题，本题综合性较强，要从多个角度考虑问题，首先要分析动点的位置，其次相切问题下要分为内切和外切两种情况进行讨论．随堂检测A BCD PQ S【习题2】如图1，已知梯形ABCD 中，AD // BC ，∠D = 90°，BC = 5，CD = 3，cot B = 1．点P 是边BC 上的一个动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PE ，使射线PE 交射线BA 于点E ，∠BPE = ∠CPD ．（1）如图2，当点E 与点A 重合时，求∠DPC 的正切值；（2）当点E 落在线段AB 上时，设BP x =，BE y =，试求y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）设以BE 长为半径的B 和以AD 为直径的O 相切，求BP 的长．【答案】见解析．【解析】（1）过点A 作AH BC ⊥，垂足为点H ．由题意得，3AH DC ==．在 Rt APH ∆中，∵cot 1B =，∴3BH =，32AB =．由5BC =，可得2CH =．易证AHP ∆≌DCP ∆． ∴1HP CP ==， ∴tan 3DPC ∠=．（2）过点E 作EG BC ⊥，垂足为点G ．在 Rt ∽EBG 中，22BG EG y ==， ∴22PG x y =-． ∵BPE CPD ∠=∠， ∴tan tan BPE CPD ∠=∠．可得232522yx x y=--，解得：328xy x=-． x 的取值范围为04x <≤．ABCDPA （E ） BCD图1图2PABCD H PA BCDG E（3）联结BO ，过点O 作OQ BC ⊥，垂足为点Q ．在Rt OBQ ∆中，得5BO =．○1B 和O 外切时，BE AO BO +=，即15y +=，将328x y x=-代入上式，得分式方程3248xx=-，解得：48264x =-；经检验，48264x =-是方程的根且符合题意． ∴当B 和O 外切时，48264x =-．○2B 和O 内切时，BE AO BO -=，得6BE =．设EP 与AD 的交点为M ，AM AEBP BE=，即632286x x--=，解得1682x =-；经检验，1682x =-是方程的根且符合题意． ∴当B 和O 内切时，1682x =-．综上所述：当B 与O 相切时，BP 的长是48264-或1682-．【总结】本题考查的是直角梯形、相似三角形、锐角三角比及两圆相切的相关知识，综合性较强，解答时要注意数形结合的思想和分类讨论思想的综合运用．QA BCDO PABCD ME【习题3】如图，在梯形ABCD 中，∠ABC = 90°，AD // BC ，AB = 8，BC = 18，4sin 5BCD ∠=，点P 从点B 开始沿BC 边向终点C 以每秒3个单位的速度移动，点Q 从点D 开始沿DA 边向终点A 以每秒2个单位的速度移动，设运动时间为t 秒．如果P 的半径为6，Q 的半径为4，在移动的过程中，试探索：t 为何值时P 与Q 外离、外切、相交？【答案】见解析．【解析】过点D 作DE BC ⊥于点E （如图1）．∠ABC ＝90°，AD // BC ， 8DE AB ∴==．4sin 5DE BCD CD ∠==，10CD ∴=当P 与Q 外切时，6410PQ =+=，此时PQ CD =．故当P 与Q 外切时，四边形PQDC 为等腰梯形或平行四边形．当四边形PQDC 为等腰梯形时（如图2），过点Q 作QF BC ⊥于点F ，则8QF AB ==，所以6PF =．3BP t =，2DQ t =，36AQ BP PF t ∴=+=+．36212AD AQ QD t t ∴=+=++=， 65t ∴=．当四边形PQDC 为平行四边形时（如图3），过点Q 作QM BC ⊥于点M ，同理，得：36AQ BM BP PM t ==-=-， 36212AD AQ DQ t t ∴=+=-+=， 185t ∴=．∴当605t ≤<或1865t <≤时，P 与Q 外离；当65t =或185t =时，P 与Q 外切；当61855t <<时，P 与Q 相交．【总结】本题主要考查梯形背景下的两元位置关系的讨论，综合性较强，主要从外切的关系入手，求出相应的值，再进行讨论，同时注意动点所处的问题的讨论．ABCDEQ P图1ABCDF Q P 图2A B CDM Q图3【作业1】如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，∠ABC = 90°，AB = 4，AD = 3，25sin 5BCD ∠=，点P 是对角线BD 上一动点，过点P 作PH ⊥CD ，垂足为H ．（1）求证：∠BCD = ∠BDC ；（2）如图，若以P 为圆心、PB 为半径的圆和以H 为圆心、HD 为半径的圆外切时，求DP 的长．【答案】见解析．【解析】（1）过点D 作DG ⊥BC ，垂足为G ．∵在Rt ABD ∆中，∠ABC = 90º，AB = 4，AD = 3， ∴BD=5．在Rt DCG ∆中，∠DGC = 90º，25sin 5BCD ∠==DGDC， ∵AD // BC ，∴AB = DG = 4，AD = BG = 3， ∴DC = 25，∴CG = 2， ∴BC = 3 + 2 = 5，∴BD = BC ， ∴∽BCD =∽BDC ．．（2）设DP =x ，则R P =PB =5x -．∵∽BCD =∽BDC ，∴25sin sin 5BCD BDC ∠=∠=．在Rt PDH ∆中，∠PHD = 90º，25sin 5BDC ∠==PH PHPD x=， ∴PH =255x ，∴DH =55x ，∴R H = HD =55x ． ∵P 与H 外切，∴P H R R PH +=． ∴525555x x x -+=，解得：25554x -=．即25554DP -=．【总结】本题主要考查直角梯形背景下的锐角三角比与两圆相切的综合运用，由于本题强调的是外切，因此只要考虑一种情况即可．课后作业ABCD PHG【作业2】如图，Rt ABC ∆中，∠ACB = 90°，AC = 4厘米，BC = 3厘米，O 为ABC ∆的内切圆．（1）求O 的半径；（2）动点P 从点B 沿BA 向点A 以每秒1厘米的速度匀速运动，以P 为圆心，PB 为半径作圆．设点P 运动的时间为t 秒，若P 与O 相切，求t 的值．【答案】见解析．【解析】解：（1）如图1，设O 与AB 、BC 、CA 分别相切于点D 、E 、F ，连接OD 、OE 、OF ，则AD = AF ，BD = BE ，CE = CF ．O 为ABC ∆的内切圆，OF AC ∴⊥，OE BC ⊥，即90OFC OEC ∠=∠=．90C ∠=，∴四边形CEOF 是矩形．OE OF =，∴四边形CEOF 是正方形．设O 的半径为rcm ，则FC EC OE rcm ===．在Rt ABC ∆中，∠ACB = 90°，AC = 4cm ，BC = 3cm ， =5AB cm ∴．43AD AF AC FC r BD BE BC EC r ==-=-==-=-，， 4+3=5r r ∴--，解得：=1r ．即O 的半径为1cm ．（2）如图2，过点P 作PG BC ⊥，垂足为G ． 90PGB C ∠=∠=， ∴PG //AC ．∴PBG ∆∽ABC ∆，PG BG BPAC BC BA∴==． BP t =，43==55AC BC PG BP t BG BP t BA BA ∴=⨯=⨯，．若P 与O 相切，则可分为两种情况，P 与O 外切和P 与O 内切．当P 与O 外切时，如图3．连接OP ，则1OP t =+，过点P 作PH OE ⊥，垂足为H ． 90PHE HEG PGE ∠=∠=∠=， ∴四边形PHEG 是矩形，HE PG ∴=，PH GE =，DEF 图1ABC OPABC OPDEF G 图2AB COPE 图3415OH OE HE t ∴=-=-， 3331=255PH GE BC EC BG t t ==--=---．在Rt OPH ∆中，由勾股定理，得：22243(1)(2)(1)55t t t -+-=+，解得：23t =．当P 与O 外切时，如图4．连接OP ，则1OP t =-，过点O 作OM PG ⊥，垂足为M ．90MGE OEG OMG ∠=∠=∠=， ∴四边形OEGM 是矩形，MG OE ∴=，OM EG =，415PM PG MG t ∴=-=-，3331=255OM GE BC EC BG t t ==--=---．在Rt OPM ∆中，由勾股定理，得：22243(1)(2)(1)55t t t -+-=-，解得：2t =．综上所述，P 与O 相切时，23t =s 或2t =s ．【总结】本题综合性较强，考查的知识点也比较多，解题时注意利用相应的性质，同时综合运用数形结合思想及分类讨论思想．BCO P E G图4M。

初二数学两圆相切定理解析

初二数学两圆相切定理解析两圆相切是初中数学中的一个重要定理，它在几何学中具有广泛的应用。

本文将对初二数学中的两圆相切定理进行解析，介绍其基本概念、证明过程和相关例题。

通过学习本文内容，读者将能够深入理解两圆相切定理的原理，并能够熟练应用于解决实际问题。

1. 两圆相切定理的基本概念两圆相切定理指的是两个圆之间的关系，即它们的外切线与两圆的切点恰好只有一个。

要理解这个定理，首先需要了解圆的基本要素。

在数学中，圆是由平面上与一个给定点的距离保持不变的所有点组成。

圆由圆心和半径来确定，其中圆心是圆上所有点到该点的距离相等的点，半径是圆心到圆上任意一点的距离。

当两个圆相切时，它们的切点与两圆的外切线成为关键。

这意味着外切线正好接触两个圆，并且只有一个切点。

此时，我们可以利用两圆相切定理来解决与相切有关的几何问题。

2. 两圆相切定理的证明过程二圆相切定理的证明可以通过几何推理和直线方程的运用来完成。

以下是证明的过程：假设有两个圆，一个是圆O1，圆心为O1，半径为r1；另一个是圆O2，圆心为O2，半径为r2。

两圆相切于点P。

首先，连接圆心O1和O2，并使其交于点M。

根据定理可以知道，OM垂直于O1P，OM垂直于O2P。

设O1M=a，O1P=b，O2M=c，O2P=d。

通过勾股定理，可以得到以下关系：a^2 + b^2 = r1^2 (1)c^2 + d^2 = r2^2 (2)由于O1P与O2P相切于点P，所以O1P与O2P平行。

根据平行线性质，我们可以得到以下关系式：O1M / O2M = O1P / O2P通过类似三角形的等比关系性质，我们可以得到：a / c =b / d (3)由(1)，(2)，(3)可以推导出以下关系：r1^2 / r2^2 = b^2 / d^2进一步推导可以得到：r1 / r2 = b / d由于b和d分别是O1P和O2P的长度，它们都是半径的一部分，所以r1和r2之间的比例等于b和d之间的比例。

初三两圆相切的存在性问题

ABCOxy【例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线224y ax ax =--与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点C ，其中点A 的坐标为（3-，0），点D 在线段AB 上，AD = AC ．如果以DB 为半径的⊙D 与⊙C 外切，求⊙C 的半径．两圆相切的存在性问题一：以函数为背景的两圆相切问题xyABCO 【例2】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是等腰梯形，其中OA = AB = BC = 4，tan 3BCO ∠=．（1）若点P 在第四象限，且POC ∆与AOB ∆相似，求满足条件的所有点P 的坐标；（2）在（1）的条件下，若P 与以OC 为直径的D 相切，请直接写出P 的半径．DBAC OP【例3】如图，线段P A = 1，点D 是线段P A 延长线上的点，AD = a （a > 1），点O 是线段AP 延长线上的点，2OA OP OD =，以O 圆心，OA 为半径作扇形OAB ，90BOA ∠=︒，点C 是弧AB 上的点，联结PC 、DC ．（1）联结BD 交弧AB 于E ，当a = 2时，求BE 的长；（2）当以PC 为半径的P 和以CD 为半径的C 相切时，求a 的值；（3）当直线DC 经过点B ，且满足PC OA BC OP =时，求扇形OAB 的半径长．ABCDMP【例4】如图，已知：在ABC ∆中，射线AM // BC ，P 是边BC 上一动点，∠APD =∠B ，PD 交射线AM 于点D ，联结CD ．AB = 4，BC = 6，∠B = 60°．（1）求证：2AP AD BP =；（2）如果以AD 为半径的A 与以BP 为半径的B 相切，求线段BP 的长度．二：以几何图形为背景的两圆相切问题ABCEF【例5】如图，在ABC ∆中，AB = AC = 10，BC = 12，点E 、F 分别在边BC 、AC 上（点F不与点A 、C 重合），EF // AB ．把ABC ∆沿直线EF 翻折，点C 与点D 重合，设FC = x ．（1）求∠B 的余切值；（2）当点D 在ABC ∆的外部时，DE 、DF 分别交AB 于M 、N ，若MN = y ，求y 关于 x 的函数关系式并写出定义域；（3）（直接写出结果即可）以点E 为圆心，BE 为半径的E 与边AC○1有公共点时，求x 的取值范围； ②一个公共点时，求x 的取值范围；○3个公共点时，求x 的取值范围．。

运动中的两圆相切问题

运动中的两圆相切问题两圆相切是一个普遍存在的数学问题，它涉及到圆的半径、圆心坐标以及圆的运动轨迹。

在这个问题中，两个圆在运动中相切，并且圆心的坐标和半径都是可变的。

首先，我们来看一下两圆相切的基本原理。

两个圆的半径之和等于两个圆心之间的距离，即：R1 + R2 = d，其中R1和R2分别为两个圆的半径，d为两个圆心之间的距离。

其次，我们来看一下两圆相切的运动轨迹。

当两个圆在运动中相切时，它们的运动轨迹是一个椭圆，其中一个圆的圆心在椭圆的焦点处，另一个圆的圆心在椭圆的另一个焦点处。

最后，我们来看一下两圆相切的解法。

首先，我们需要确定两个圆的半径和圆心坐标，然后根据上面提到的两圆相切的基本原理，计算出两个圆心之间的距离d，最后根据d的值，计算出两个圆的运动轨迹。

总之，两圆相切是一个普遍存在的数学问题，它涉及到圆的半径、圆心坐标以及圆的运动轨迹。

两个圆的半径之和等于两个圆心之间的距离，当两个圆在运动中相切时，它们的运动轨迹是一个椭圆，其中一个圆的圆心在椭圆的焦点处，另一个圆的圆心在椭圆的另一个焦点处。

要解决这个问题，首先要确定两个圆的半径和圆心坐标，然后根据两圆相切的基本原理，计算出两个圆心之间的距离d，最后根据d的值，计算出两个圆的运动轨迹。

两圆相切的问题是一个普遍存在的数学问题，它涉及到圆的半径、圆心坐标以及圆的运动轨迹。

它的解法也很简单，只要确定两个圆的半径和圆心坐标，根据两圆相切的基本原理，计算出两个圆心之间的距离d，最后根据d的值，计算出两个圆的运动轨迹即可。

因此，两圆相切的问题是一个比较容易解决的数学问题，只要掌握了基本原理，就可以轻松解决。

圆中常见的“两解”问题失误剖

圆中常见的两解问题失误剖析圆中有两解的问题较多，如弦所对的圆周角就有两个，这两个圆周角互补.由于圆的对称性，圆中的两条平行弦与圆心也有两种位置关系等，解答这些问题时稍有不慎，就会造成下列失误.1. 忽视对点与圆的位置关系的分类例1若点P 到⊙O 的最长距离为10㎝，最短距离为2㎝，则⊙O 的半径为____㎝. 错解:填6.剖析:错解只考虑了点在圆内的情况，却忽视了点在圆外的情况. 正解:(1)若点P 在⊙O 内如图1，过点P 作直径AB,则PA=10㎝,PB=2㎝.∴AB=PA ＋PB=12㎝. ∴⊙O 的半径为6㎝. (2) 若点P 在⊙O 外如图2，连接OP 交⊙O 于B,延长PO 交⊙O 于A.则PA=10㎝,PB=2㎝.∴AB=PA －PB=8㎝.∴⊙O 的半径为4㎝. 所以填6㎝或4㎝.2.忘记两圆半径的大小关系造成失误例2 已知⊙O 1与⊙O 2内切，⊙O 1的半径为5㎝，若两圆的圆心距为2㎝，则⊙O 2的半径为____㎝.错解:填3.剖析:两圆内切，圆心距等于两圆半径之差.因为本题两圆半径大小关系不明确，所以圆心距等于两圆半径之差的绝对值.正解:设⊙O 2的半径为r ㎝,则∣r －5∣=2.∴r －5=±2. ∴r =3或r =7. 或分类讨论：(1)若r ＞5 ，则r －5=2. ∴r =7. (2)若r ＜5 ，则5－r =2. ∴r =3. 所以填3或7.3.因两圆相切的关系不具体导致漏解例3 若⊙O 1与⊙O 2相切，⊙O 1的半径为5㎝，⊙O 2的半径为8㎝，则两圆的圆心距为____㎝.错解:填13.剖析:两圆相切，分内切、外切两种.正解:(1)当两圆内切时，圆心距为两圆半径之差，即3㎝. (2)当两圆外切时，圆心距为两圆半径之和，即13㎝. ∴填3㎝或13㎝.4.忽视对弦(不是直径)所对的弧的分类例 4 已知,AB 是⊙O 中一条非直径的弦，∠AOB=80°，点C 是⊙O 上一点(不与A 、B 重合)，则圆周角∠ACB 的度数为____.错解:填40°.剖析:很明显，弦AB 所对的弧一条是优弧，另一条是劣弧.因此，它所对的圆周角有两解，其和为180°.图3C ′OCB A图2 图1正解:如图3,若点C 在优弧上,则∠ACB=21∠AOB =40°. 若点C ′在劣弧上,则∠AC ′B=180°－ ∠ACB=140°. 所以填40°或140°. 5.忽视对平行弦与圆心的位置的讨论例5已知⊙O 的半径为13㎝,弦AB ∥CD ，AB=24㎝，CD=10㎝，则弦AB 与CD 的距离是( ).A.7㎝B.17㎝C.12㎝D. 7㎝或17㎝错解:选A 或选B.剖析:由于平行弦与圆心的位置关系有两种：(1)两条弦在圆心同侧,(2) 两条弦在圆心异侧.所以要分类讨论.正解：过O 作EF ⊥CD 于E,交AB 于F,连接OA 、OC,则CE=21CD=5㎝,AF=21AB =12㎝.在Rt △COE 中,OE=22CE OC -=12㎝.同理 OF=5㎝.(1)当弦AB ，CD 在圆心O 同侧时，如图4，则EF= OE －OF=7㎝.(2)当弦AB ，CD 在圆心O 异侧时，如图5，则EF= OE ＋OF=17㎝. 所以选D.6.忘记对圆周角与圆心的位置的分类例6已知⊙O 的半径为2，若弦AB 与AC 的长分别为32、22，则∠BAC 的度数为____.错解:填75°.剖析:圆周角与圆心有三种位置关系，应分类讨论.本题不存在圆心在圆周角一边上的情况，错解只考虑了圆心在圆周角内部的情况，却忽略了圆心在圆周角外部的情况.正解:(1)当圆心O 在∠BAC 内部时，如图6，作直径AD ，连接BD 、CD.，则∠ACD=∠ABD=90°.在Rt △ABD 中，AD=4，AB=32.由勾股定理得BD=22AB AD -=2，∴BD=21AD.∴∠BAD=30°. 在Rt △ACD 中，AD=4，AC=22.由勾股定理得CD=22.∴AC=CD. ∴∠CAD=45°.∴∠BAC=∠CAD+∠BAD=75°.(2)当圆心O 在∠BAC 外部时，如图7，作直径AD ，连接BD 、CD ，则∠ACD= ∠ABD=90°。