2017年湖北省武汉市高三四月调考数学试卷(理科)及参考答案

2017年湖北省武汉市高三四月调考数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知复数=，则复数z在复平面内的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2．（5分）已知集合A={1，3}，，则A∪B=（）A．{1，3}B．{1，2，3}C．{1，3，4}D．{1，2，3，4}

3．（5分）若等差数列{a n}的前n项和S n满足S4=4，S6=12，则S2=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3

4．（5分）在长为16cm的线段MN上任取一点P，以MP，NP为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于60cm2的概率为（）

A．B．C．D．

5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的k=（）

A．7 B．8 C．9 D．10

6．（5分）如图所示，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin （ωx+ϕ）+b，则这段曲线的函数解析式可以为（）

A．，x∈[6，14]B．，x∈[6，

C．，x∈[6，14]D．，x∈[6，14]

7．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，，若

，则数列{a n}的通项a n=（）A．B．C．D．

8．（5分）已知实数x，y满足约束条件，如果目标函数z=x+ay的最大值为，则实数a的值为（）

A．3 B．C．3或D．3或

9．（5分）四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（）

A．B．C．D．

10．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣4）2=10和点M（5，t），若圆C上存在两点A，B，使得MA⊥MB，则实数t的取值范围为（）

A．[﹣2，6]B．[﹣3，5]C．[2，6]D．[3，5]

11．（5分）已知函数f（x）=e x+a•e﹣x+2（a∈R，e为自然对数的底数），若y=f （x）与y=f（f（x））的值域相同，则a的取值范围是（）

A．a＜0 B．a≤﹣1 C．0＜a≤4 D．a＜0或0＜a≤4

12．（5分）记min{a，b，c}为a，b，c中的最小值，若x，y为任意正实数，则M=min{2x，，y+}的最大值为（）

A．1+B．2 C．2+D．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）（x2﹣）6展开式中的常数项为．（用数字作答）

14．（5分）在四面体P﹣ABC中，PA=PB=PC=BC=1，则该四面体体积的最大值为．

15．（5分）已知直线MN过椭圆的左焦点F，与椭圆交于M，N两点．直线PQ过原点O与MN平行，且PQ与椭圆交于P，Q两点，则=．16．（5分）已知△ABC的外接圆圆心为O，且∠A=60°，若

，则α+β的最大值为．

三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，3b﹣2c=7，A=60°．

（1）求b的值；

（2）若AD平分∠BAC交BC于点D，求线段AD的长．

18．（12分）某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立．

（1）求在未来的连续4天中，有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率；

（2）用ξ表示在未来4天里日销售量不低于100枝的天数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，AB=BC=2，

∠ACB=30°，∠C1CB=120°，BC1⊥A1C，E为AC的中点．

（1）求证：A1C⊥平面C1EB；

（2）求二面角A 1﹣AB﹣C的余弦值．

20．（12分）已知圆O：x2+y2=1和抛物线E：y=x2﹣2，O为坐标原点．

（1）已知直线l和圆O相切，与抛物线E交于M，N两点，且满足OM⊥ON，求直线l的方程；

（2）过抛物线E上一点P（x0，y0）作两直线PQ，PR和圆O相切，且分别交抛

物线E于Q，R两点，若直线QR的斜率为，求点P的坐标．

21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R．

（1）若，其中e为自然对数的底数，求函数的单调区间；（2）若函数f（x）既有极大值，又有极小值，求实数a的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）已知曲线C：（k为参数）和直线l：（t

为参数）．

（1）将曲线C的方程化为普通方程；

（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，且P（2，1）为弦AB的中点，求弦AB 所在的直线方程．

[选修4-5：不等式选讲]

23．（1）求不等式|x﹣5|﹣|2x+3|≥1的解集；

（2）若正实数a，b满足，求证：．

2017年湖北省武汉市高三四月调考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知复数=，则复数z在复平面内的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【解答】解：==﹣i，∴z=+i

则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．

故选：A

2．（5分）已知集合A={1，3}，，则A∪B=（）A．{1，3}B．{1，2，3}C．{1，3，4}D．{1，2，3，4}

【解答】解：集合A={1，3}，

={x|1＜x+1＜，x∈Z}

={x|0＜x＜﹣1，x∈Z}

={1，2}，

则A∪B={1，2，3}．

故选：B．

3．（5分）若等差数列{a n}的前n项和S n满足S4=4，S6=12，则S2=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3

【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和S n满足S4=4，S6=12，

S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等差数列，

∴2（S4﹣S2）=S2+（S6﹣S4），

即2（4﹣S2）=S2+8，

解得S2=0．

故选：B．