函数导数公式及证明
导数公式证明大全
导数公式证明大全导数是微积分中的重要概念，它描述了函数变化率的性质。
在这篇文章中，我们将给出一些导数的常用公式的证明。
1.一次函数的导数证明：我们考虑一条一次函数的图像，其方程为y = ax + b，其中a和b是常数。
假设我们有两个点(x, y)和(x + h, y + kh)在图像上，其中h是一个趋近于0的非零常数。
由直线的斜率公式知道，两点之间的斜率为k = (y + kh - y) / (x + h - x) = k。
函数的导数定义为函数曲线上任意一点切线的斜率，我们需要证明这个斜率与常数a相等。
根据定义，导数为dy / dx = lim(h -> 0) [(y + kh - y) / (x + h - x)] = lim(h -> 0) (kh / h) = a。
因此，一次函数y = ax + b的导数为dy / dx = a。
2.幂函数的导数证明：考虑一个幂函数y=x^n，其中n是常数。
我们仍然用限制h趋近于0的两个点(x, y)和(x + h, y + kh)来证明这个导数。
根据定义，导数为dy / dx = lim(h -> 0) [(y + kh - y) / (x + h - x)] = lim(h -> 0) [(x + h)^n - x^n] / h。
我们可以使用二项式定理展开(x + h)^n = x^n + nx^(n-1)h + ... + h^n，并取消掉所有除以h的项：dy / dx = lim(h -> 0) [nx^(n-1)h + ... + h^n] / h = lim(h -> 0) [nx^(n-1) + ... + h^(n-1)] = nx^(n-1)。
因此，幂函数y = x^n的导数为dy / dx = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数证明：考虑一个指数函数y=a^x，其中a是常数。
我们仍然使用限制h趋近于0的两个点(x, y)和(x + h, y + kh)来证明导数。
求导公式知识点总结
求导公式知识点总结一、求导的基本概念1. 导数的定义在微积分中，函数f(x)在点x0处的导数定义为：f'(x0) = lim┬(h→0)〖(f(x0+h) - f(x0))/h 〗其中f'(x0)表示函数在点x0处的导数，h表示x的增量。
这个定义可以理解为，当x的增量趋向于0时，函数在点x0处的变化率趋向于某个确定的值，这个值就是函数在点x0处的导数。
2. 导数的几何意义导数的几何意义是函数曲线在某一点处的斜率。
换句话说，导数告诉我们函数在某一点处的变化率，即函数曲线在这一点的切线斜率。
3. 求导的符号表示通常情况下，函数f(x)的导数可以表示为f'(x)，也可以表示为dy/dx或者y’。
这些符号都代表函数对自变量x的导数。
二、求导的公式1. 常数函数的求导公式对于常数函数c，它的导数为0，即：(d/dx)(c) = 0这个公式的含义是，常数函数的斜率始终为0，因为它在任何点处都保持不变。
2. 幂函数的求导公式对于幂函数x^n，它的导数为nx^(n-1)，即：(d/dx)(x^n ) = nx^(n-1)这个公式可以通过极限的定义进行证明，其中利用了幂函数的导数的推导过程。
3. 指数函数的求导公式对于指数函数e^x，它的导数依然是e^x，即：(d/dx)(e^x ) = e^x这个公式的含义是，指数函数的斜率始终等于自己，这是指数函数独特的性质。
4. 对数函数的求导公式对数函数ln(x)的导数为1/x，即：(d/dx)(ln(x)) = 1/x这个公式可以通过对数函数的定义和求导的推导过程来证明。
5. 三角函数的求导公式三角函数sin(x)和cos(x)的导数分别为cos(x)和-sin(x)，即：(d/dx)(sin(x)) = cos(x)(d/dx)(cos(x)) = -sin(x)这两个公式可以通过三角函数的定义和求导的推导过程来证明。
6. 复合函数的求导公式对于复合函数f(g(x))，它的导数可以通过链式法则进行求导，即：(d/dx)(f(g(x))) = f’(g(x)) * g’(x)这个公式是复合函数求导的基本公式，它告诉我们如何对复合函数进行求导。
求导数的方法
求导数的方法（1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：①求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)②求平均变化率③取极限，得导数。
（2）几种常见函数的导数公式：①C'=0(C为常数)；②(x^n)'=nx^(n-1) (n∈Q)；③(sinx)'=cosx；④(cosx)'=-sinx；⑤(e^x)'=e^x；⑥(a^x)'=a^xIna （ln为自然对数）⑦(Inx)'=1/x（ln为自然对数）（3）导数的四则运算法则：①(u±v)'=u'±v'②(uv)'=u'v+uv'③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2（4）复合函数的导数复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。
导数是微积分的一个重要的支柱！导数公式及证明[编辑本段] 这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.f(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)y=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。
16个基本导数公式推导过程
16个基本导数公式推导过程推导过程如下：1.常数函数：f(x)=c求导结果：f'(x)=0。
证明过程：由导数定义可得，当函数为常数时，无论x取任何值，函数的增量都为0，即f(x + Δx) - f(x) = 0。
所以，f'(x) =lim(Δx→0) [f(x + Δx) - f(x)] / Δx = 0。
2.幂函数：f(x)=x^n，其中n为正整数。
求导结果：f'(x) = nx^(n-1)。
证明过程：利用定义求导。
计算f(x + Δx) = (x + Δx)^n与f(x) = x^n的差值，然后除以Δx，当Δx趋于0时求极限。
利用二项式展开，可以得出f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数：f(x)=e^x。
求导结果：f'(x)=e^x。
证明过程：由指数函数的性质可知，e^0 = 1，且(d(e^x)/dx) = e^x。
因此，可以据此推导出f'(x) = e^x。
4. 对数函数：f(x) = ln(x)。
求导结果：f'(x)=1/x。
证明过程：由导数定义可得f'(x) = lim(Δx→0) [ln(x + Δx) - ln(x)] / Δx。
利用对数的性质，将差值化简为ln((x + Δx)/x)，再除以Δx并取极限，最终得出f'(x) = 1/x。
5. 正弦函数：f(x) = sin(x)。
求导结果：f'(x) = cos(x)。
证明过程：利用极限定义求导。
计算f(x + Δx) - f(x) = sin(x + Δx) - sin(x)，然后除以Δx并取极限。
应用三角函数的合角公式并利用三角恒等式可得f'(x) = cos(x)。
6. 余弦函数：f(x) = cos(x)。
求导结果：f'(x) = -sin(x)。
证明过程：同样应用极限定义。
计算f(x + Δx) - f(x) = cos(x + Δx) - cos(x)，然后除以Δx并取极限。
导数公式证明大全
导数公式证明大全导数的定义是函数变化率的极限。
下面将给出导数的一些重要公式的证明。
1.常数函数的导数：设常数函数$f(x)=c$，其中$c$为常数。
由导数的定义可知：\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{c-c}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}0 \\ &= 0\end{aligned}\]因此，常数函数的导数为0。
2.幂函数的导数：设幂函数$f(x)=x^n$，其中$n$为正整数。
由导数的定义可知：\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} \end{aligned}\]将$(x+h)^n$展开为二项式，有：\[(x+h)^n = x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \ldots + \binom{n}{n-1}xh^{n-1} + h^n\]代入上式，消去$x^n$，并除以$h$，得：\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to0}\left(\binom{n}{1}x^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}h + \ldots +\binom{n}{n-1}xh^{n-2} + h^{n-1}\right) \\ &= \binom{n}{1}x^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}\cdot 0 + \ldots + \binom{n}{n-1}x\cdot 0 + 0^{n-1} \\ &= n\cdot x^{n-1} \end{aligned}\]因此，幂函数的导数为$n$倍的$x$的$n-1$次方。
高中数学导数公式、定义证明、运算法则，实用干货，收藏好！
高中数学导数公式、定义证明、运算法则，实用干货，收藏好！导数，也叫导函数值。
那么，高中数学导数公式及运算法则有哪些呢？高中数学导数公式有哪些1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x加（减）法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)'乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x)除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2根据导数定义证明数学导数运算法则由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
导数的计算方法函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。
计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。
在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。
只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。
导数公式大全
导数公式大全导数是微积分中一个重要的概念，用于描述函数的变化率。
在实际应用中，导数广泛用于求解最优化问题、曲线拟合、物理问题以及其他各种工程和科学领域。
下面是一些常用的导数公式，它们可以帮助我们计算各种函数的导数。
1.基本函数的导数公式（1）常数函数：f(x)=C，其中C为常数，导数为0。
（2）幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数，导数为f'(x) =nx^(n-1)。
（3）指数函数：f(x)=e^x，导数为f'(x)=e^x。
（4）对数函数：f(x) = ln(x)，导数为f'(x) = 1/x，其中x大于0。
（5）三角函数：正弦函数：f(x) = sin(x)，导数为f'(x) = cos(x)。
余弦函数：f(x) = cos(x)，导数为f'(x) = -sin(x)。
正切函数：f(x) = tan(x)，导数为f'(x) = sec^2(x)。
（6）反三角函数：反正弦函数：f(x) = arcsin(x)，导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)，其中-1<x<1反余弦函数：f(x) = arccos(x)，导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)，其中-1<x<1反正切函数：f(x) = arctan(x)，导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
2.基本运算法则（1）和差法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则有(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
（2）常数倍法则：若f(x)是可导函数，则有(k·f(x))'=k·f'(x)，其中k为常数。
（3）乘积法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则有(f(x)·g(x))'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)。
反三角函数求导公式的证明1
反三角函数求导公式的证明1反三角函数求导公式的证明1要证明反三角函数的导数公式，可以采用以下步骤：1. 首先，定义反三角函数以及其对应的三角函数。
这是为了确保我们在证明过程中使用的函数具有明确的意义。
例如，我们可以定义反正弦函数 sin⁻¹(x) 为满足 sin(sin⁻¹(x)) = x 的唯一值，并定义反三角函数的定义域为 [-1, 1]。
2.接下来，我们将需要使用三角函数的导数公式，所以我们先回顾一下这些公式。
以下是一些基本的三角函数导数公式：- d/dx(sin(x)) = cos(x)- d/dx(cos(x)) = -sin(x)- d/dx(tan(x)) = sec²(x)- d/dx(csc(x)) = -csc(x)cot(x)- d/dx(sec(x)) = sec(x)tan(x)- d/dx(cot(x)) = -csc²(x)3. 现在我们来证明反正弦函数的导数公式：d/dx(sin⁻¹(x)) =1/√(1-x²)。
为了证明这个公式，我们使用复合函数求导法则，即导数链式法则。
首先，令 y = sin⁻¹(x)，则根据反正弦函数的定义，sin(y) = x。
接下来，我们对两边同时求导数：- d/dx(sin(y)) = d/dx(x)- cos(y) * dy/dx = 1然后，我们可以解出 dy/dx：- dy/dx = 1/cos(y)现在，我们可以通过三角恒等式来将 cos(y) 进一步转化为 x 的表达式：- cos²(y) = 1 - sin²(y)- cos²(y) = 1 - x²由于cos(y)≥0，我们可以取平方根：- cos(y) = √(1 - x²)将这个结果代入 dy/dx = 1/cos(y) 中：- dy/dx = 1/√(1 - x²)因此，我们得出了反正弦函数的导数公式：d/dx(sin⁻¹(x)) =1/√(1 - x²)。
常见导数公式
常见导数公式：① C'=0（C为常数函数)；② (x^n)'= nx^(n-1) （n∈Q*）；③ （sinx)' = cosx；（cosx）' = — sinx；(tanx)’=1/（cosx）^2=(secx)^2=1+（tanx）^2-（cotx)'=1/（sinx)^2=（cscx）^2=1+（cotx）^2(secx）’=tanx·secx（cscx)'=—cotx·cscx④ (sinhx)'=hcoshx（coshx)’=-hsinhx（tanhx）’=1/（coshx)^2=(sechx）^2(coth)'=—1/（sinhx）^2=-(cschx)^2(sechx)'=—tanhx·sechx(cschx)’=-cothx·cschx⑤ (e^x)' = e^x；(a^x)' = a^xlna （ln为自然对数）(Inx)' = 1/x（ln为自然对数）（logax)’ =（xlna)^（—1），(a〉0且a不等于1）（x^1/2）’=［2（x^1/2）]^(—1）（1/x)'=—x^（-2）另外就是复合函数的求导：①（u±v)’=u'±v'②（uv）'=u'v+uv'③（u/v)'=(u'v—uv')/ v^2后面这些高中用不到，但是多掌握点遇到时就可以直接写出来，不用再换算成常见函数来求解,(arcsinx）’=1/(1—x^2）^1/2（arccosx）’=—1/（1—x^2）^1/2(arctanx）'=1/（1+x^2)（arccotx）'=-1/（1+x^2）(arcsecx)'=1/（|x｜(x^2—1)^1/2)（arccscx)'=—1/（|x|(x^2—1)^1/2）（arsinhx）’=1/(x^2+1）^1/2(arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2(artanhx)’=1/(x^2—1） (|x｜〈1)(arcothx）'=1/（x^2—1） (|x|>1)（arsechx)'=1/（x(1-x^2）^1/2）(arcschx）'=1/（x（1+x^2)^1/2）1、x→0,sin(x）／x →12、x→0，（1 + x）^（1／x）→ex→∞ ，(1 + 1／x）^（1/x）→ 1（其中e≈2.7182818。
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
题型一： 题型一：导数公式及导数运算法则的应用
(1) y = x − 2 x + 3 1 2 (2) y = − 2 ; x x x (3) y = ; 2 1− x (4) y = tan x;
3 2
求下列函数的导数: 例2:求下列函数的导数 求下列函数的导数
答案: 答案 (1) y′ = 3x2 − 2;
1 4 + 3; 2 x x 1 + x2 (3) y′ = ; 2 2 (1 − x ) (2) y′ = −
1 (4) y ′ = ; 2 cos x
2
(5) y = (2 x − 3) 1 + x ; 1 (6) y = 4 ; x (7) y = x x ;
(5) y′ =
6 x3 + x 1+ x
解：(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′ ′ ′ ＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′ ′ ′ ′ ′ 4 2 ＝5x －9x －10x. 2 2 法一： 解：(2)法一：y′＝(2x ＋3)′(3x－2)＋(2x ＋3)(3x－2)′ 法一 ′ ′ － ＋ － ′
＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3 － ＋ ＝18x2－8x＋9. ＋ (2)法二 ∵ ＝ 法二： 解： 法二： y＝(2x2＋3)·(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， － ＝ － ，
( Cu )′ = C u ′.
u u′v − uv′ 法则3 )′ = ( (v ≠ 0) 2 v v
u(x + ∆x) u(x) − ∆y v(x + ∆x) v(x) = ∆x ∆x u ( x + ∆ x )v ( x ) − u ( x )v ( x + ∆ x ) = v ( x + ∆ x )v ( x )∆ x u(x + ∆x) − u(x) v(x + ∆x) − v(x) v(x) − u(x) ∆x ∆x = v ( x + ∆ x )v ( x )
3.3导数的基本公式与运算法则
dy 1 sin( e x ) x = ⋅ ( − sin v ) ⋅ e x = − ⋅ e = − e x tan(e x ). dx u cos(e x )
例13
解
y=e
sin
sin
1 x
1 x
, 求 y′.
sin 1 x
1 y′ = (e )′ = e (sin )′ x 1 1 sin sin 1 1 1 1 x x = e ⋅ cos ⋅ ( )′ = − 2 e cos . x x x x
= f ′( u) g′( x ).
例9
解
dy y = e ,求 . dx
x3
y = e 可看作 y = e u , u = x 3复合而成，因此 复合而成，
x3
dy dy du u 2 2 x3 = ⋅ = e ⋅ 3x = 3x e . dx du dx 2x dy , . 例10 y = sin 2 求 dx 1+ x
( uvw )′ = [( uv )w ]′= ( uv )′ w + ( uv )w′ = ( u′v + uv′ )w + uvw′ = u′vw + uv′w + uvw′
特别 ( Cu )′ = C u ′ , 其中 C 是常数 .
y = 2 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 7 , 求 y′ . 例1
所以 在 I x = (−1,1)内有 −
1 1 1 1 = (arcsin x)′ = = = . 2 2 (sin y)′ cos y 1−sin y 1− x
1 (arccos x)′ = − . 2 1− x
例7 求函数 y = arctan x的导数 .
导数的公式及证明
1.常函数（即常数）y=c(c为常数) y'=0 2.幂函数y=x^n,y'=nx^(n-1)(n∈Q*) 熟记1/X的导数 3．指数函数(1)y=a^x,y'=a^xlna ；(2)熟记y=e^x y'=e^x唯一一个导函数为本身的函数 4．对数函数(1)y=logaX,y'=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0) ；熟记y=lnx,y'=1/x 5．正弦函数y=(sinx ）y'=cosx 6．余弦函数y=（cosx） y'=-sinx 7．正切函数y=(tanx） y'=1/(cosx)^2 8．余切函数y=（cotx） y'=-1/(sinx)^2 9．反正弦函数y=（arcsinx） y'=1/√1-x^2 10．反余弦函数y=（arccosx） y'=-1/√1-x^2 11．反正切函数y=（arctanx） y'=1/(1+x^2) 12．反余切函数y=（arccotx） y'=-1/(1+x^2) 为了便于记忆，有人整理出了以下口诀： 常为零，幂降次，对导数（e为底时直接导数，a为底时乘以lna），指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）；正变余，余变正，切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方），割乘切，反分式 在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到： 1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x)‘f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量’ 2．y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2 3． 原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x' 证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0。 2．这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况，只能证其为整数Q。主要应用导数定义与N次方差公式。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。 3．y=a^x, Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1) Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx 如果直接令Δx→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：Δx=loga(1+β)。 所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 显然，当Δx→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。 把这个结果代入limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna。 可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。 4．y=logax Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x 因为当Δx→0时，Δx/x趋向于0而x/Δx趋向于∞，所以limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)=logae,所以有 limΔx→0Δy/Δx=logae/x。 也可以进一步用换底公式 limΔx→0Δy/Δx=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1) 可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。 这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx, 所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1)。 5.y=sinx Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2) Δy/Δx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2) 所以limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0cos(x+Δx/2)·limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx 6．类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx。 7．y=tanx=sinx/cosx y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x 8．y=cotx=cosx/sinx y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x 9．y=arcsinx x=siny x'=cosy y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2 10．y=arccosx x=cosy x'=-siny y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2 11．y=arctanx x=tany x'=1/cos^2y y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2 12．y=arccotx x=coty x'=-1/sin^2y y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2 另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与 4．y=u土v,y'=u'土v' 5．y=uv,y=u'v+uv' 均能较快捷地求得结果。 对于y=x^n y'=nx^(n-1) ，y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求导方法。 y=x^n 由指数函数定义可知，y>0 等式两边取自然对数 ln y=n*ln x 等式两边对x求导，注意y是y对x的复合函数 y' * (1/y)=n*(1/x) y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1) 幂函数同理可证 导数说白了它其实就是曲线一点斜率，函数值的变化率 上面说的分母趋于零，这是当然的了，但不要忘了分子也是可能趋于零的，所以两者的比就有可能是某一个数，如果分子趋于某一个数，而不是零的话，那么比值会很大，可以认为是无穷大,也就是我们所说的导数不存在。 x/x,若这里让X趋于零的话，分母是趋于零了，但它们的比值是1,所以极限为1. 建议先去搞懂什么是极限。极限是一个可望不可及的概念，可以很接近它，但永远到不了那个岸. 并且要认识到导数是一个比值。
导数基本公式
导数基本公式导数是微积分中的重要概念，它反映函数在某一点上的斜率或变化率。
导数的计算在微积分中有很多应用，比如求极值、解微分方程、求曲线的凸凹性等。
在本文中，我们将介绍导数的基本公式以及它们的证明。
一、导数的定义先来回顾一下导数的定义。
设函数y=f(x)，在点x0处有定义，若函数在该点极限存在，即：lim（Δx→0）[f(x0+Δx)－f(x0)]/Δx存在，则称函数在点x0处可导，并将这个极限值称为函数在点x0处的导数，记作f'(x0)或dy/dx| x=x0。
这个定义可以理解为：在点x0处，函数在x0处近似展开，忽略高阶项，化简后得到的系数就是导数。
二、导数基本公式1. 常数函数的导数公式对于常数函数y=c（c为常数），其导数等于0，即：dy/dx=0证明：设常数为c，则f(x)=c，f(x+Δx)=c，f(x0)=c;因此，[f(x+Δx)-f(x0)]/Δx=c-c=0显然，Δx趋近于零的过程中，商永远为零，即：dy/dx=lim（Δx→0）[f(x+Δx)-f(x0)]/Δx=02. 幂函数的导数公式对于幂函数y=x^n（n为正整数），其导数等于nx^(n-1)，即：dy/dx=nx^(n-1)证明：以y=x^2的导数为例。
因为f(x+Δx)=(x+Δx)^2=x^2+2xΔx+Δx^2，所以有：[f(x+Δx)-f(x)]/Δx=[(x+Δx)^2-x^2]/Δx=(2x+Δx)当Δx趋近于0时，商的极限即为2x，即dy/dx=lim（Δx→0）[f(x+Δx)-f(x)]/Δx=2x因此，y=x^2的导数为dy/dx=2x同理，可以证明幂函数的导数公式：dy/dx=nx^(n-1)3. 指数函数的导数公式对于指数函数y=a^x（a>0，且a≠1），其导数等于a^x*lna，即：dy/dx=a^x*lna证明：以y=2^x的导数为例。
因为f(x+Δx)=2^(x+Δx)，f(x)=2^x，所以有：[f(x+Δx)-f(x)]/Δx=[2^(x+Δx)-2^x]/Δx=2^x[(2^Δx-1)/Δx]当Δx趋近于0时，商的极限即为2^x*ln2，即dy/dx=lim（Δx→0）[f(x+Δx)-f(x)]/Δx=2^x*ln2因此，y=2^x的导数为dy/dx=2^x*ln2同理，可以证明指数函数的导数公式：dy/dx=a^x*lna4. 对数函数的导数公式对于对数函数y=logaX（a>0，且a≠1），其导数等于1/(xlna)，即：dy/dx=1/(xlna)证明：以y=log2x的导数为例。
导数公式的证明(最全版)
导数的定义：f'(x)=lim Δy/ΔxΔx→0（下面就不再标明Δx→0了）用定义求导数公式（1）f(x)=x^n证法一：（n为自然数）f'(x)=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx=lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx =lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)=nx^(n-1)证法二：（n为任意实数）f(x)=x^nlnf(x)=nlnx(lnf(x))'=(nlnx)'f'(x)/f(x)=n/xf'(x)=n/x*f(x)f'(x)=n/x*x^nf'(x)=nx^(n-1)（2）f(x)=sinxf'(x)=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx=lim cosxsinΔx/Δx=cosx（3）f(x)=cosxf'(x)=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx=lim -sinxsinΔx/Δx=-sinx（4）f(x)=a^x证法一：f'(x)=lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx（设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)）=lim a^x*m/loga^(m+1)=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]=lim a^x*lna*m/ln(m+1)=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]=lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)]=lim a^x*lna/lne=a^x*lna证法二：f(x)=a^xlnf(x)=xlna[lnf(x)] '=[xlna] 'f' (x)/f(x)=lnaf' (x)=f(x)lnaf' (x)=a^xlna若a=e，原函数f(x)=e^x则f'(x)=e^x*lne=e^x（5）f(x)=loga^xf'(x)=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx=lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx=lim loga^(1+Δx/x)/Δx=lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx)=lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)=lim (x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna)=lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna)=lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx则f'(x)=1/(x*lne)=1/x（6）f(x)=tanxf'(x)=lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx=lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim(sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2（7）f(x)=cotxf'(x)=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim(cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2（8）f(x)=secxf'(x)=lim (sec(x+Δx)-secx)/Δx=lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx=lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)=lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=sinx/(cosx)^2=tanx*secx（9）f(x)=cscxf'(x)=lim (csc(x+Δx)-cscx)/Δx=lim (1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx=lim (sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim (sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim -sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx（10）f(x)=x^xlnf(x)=xlnx(lnf(x))'=(xlnx)'f'(x)/f(x)=lnx+1f'(x)=(lnx+1)*f(x)f'(x)=(lnx+1)*x^x（12）h(x)=f(x)g(x)h'(x)=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx =lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（13）h(x)=f(x)/g(x)h'(x)=lim (f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x（14）h(x)=f(g(x))h'(x)=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx=lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx（另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu）=lim (f(u+Δu)-f(u))/Δx=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu)=lim f'(u)*Δu/Δx=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1)（15）y=f(x)=arcsinx则siny=x(siny)'=cosy所以(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy =1/√1-(siny)^2(siny=x)=1/√1-x^2即f'(x)=1/√1-x^2 (16)y=f(x)=arctanx则tany=x(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2 所以(arctanx)'=1/1+x^2即f'(x)= 1/1+x^2总结一下（x^n）'=nx^(n-1) （sinx）'=cosx（cosx）'=-sinx（a^x）'=a^xlna（e^x）'=e^x（loga^x）'=1/(xlna)（lnx）'=1/x(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2(cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2 (secx)'=tanx*secx(cscx)'=-cotx*cscx(x^x)'=(lnx+1)*x^x(arcsinx)'=1/√1-x^2(arctanx)'=1/1+x^2[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x)) [f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)。
基本初等函数导数推导
基本初等函数导数推导定义1：设函数 f(x) 在 x_{0} 附近有定义，对应自变量的改变量 \Delta x ，有函数的改变量 \Deltay=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) ，若极限 \underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{\Delta y}{\Delta x} 存在，则称该极限为f(x) 在 x_{0}的导数，记作 f'(x_{0}) 。
引理1(导数公式1):常数函数的导数处处为零。
证明：设 f(x)=C 。
f'(x)=\underset{\Delta x \rightarrow0}\lim\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Deltax}=\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{C-C}{\Delta x}= \underset{\Delta x \rightarrow0}\lim\frac{0}{\Delta x}=0引理2：部分三角函数和差化积公式\sin\alpha-\sin\beta=\sin(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2})-\sin (\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2})=(\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})+\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alp ha-\beta}{2}))-(\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})-\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2}))=2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})\cos\alpha-\cos\beta=\cos(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2})-\cos(\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2})=(\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})-\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2}))-(\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})+\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alp ha-\beta}{2}))=-2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})引理3：部分等价无穷小（1） \sin x\sim x(x\rightarrow 0)（2） e^{x}-1\sim x(x\rightarrow0)（3） \ln(1+x)\sim x(x\rightarrow0)（1）的证明略去，（2）（3）的证明见以下文章：引理4：导数的四则运算，设 u(x) 和 v(x) 可导。
导数公式的证明最全版
导数公式的证明最全版导数的定义是函数在特定点处的变化率，即斜率。
要证明导数的定义，需要使用极限的概念和微分的概念。
假设函数f(x)在点x=a处有导数，记为f'(a)。
我们可以通过极限定义来证明导数的公式。
1.导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记为f'(a)，定义为：f'(a) = lim┬(h→0)〖(f(a+h)-f(a))/h〗2.应用极限的性质：根据极限的性质，我们可以将上述公式改写为：f'(a) = lim┬(h→0)〖f(a+h)-f(a))/lim┬(h→0)h〗3.差商：我们可以将差商(f(a+h)-f(a))/h理解为两点(x,y)间的斜率。
根据微积分的思想，我们可以通过使用两点间的切线来近似表示曲线的斜率。
4.切线近似：在点(x,y)处，我们可以使用切线来近似表示曲线的斜率，该切线与曲线相切于点(x,y)处，并且与曲线在该点的切线斜率相同。
5.切线方程：曲线在点x=a处的切线方程为：y=f(a)+f'(a)(x-a)其中，f'(a)表示导数，(x-a)表示函数的自变量变化量。
6.近似函数：对于足够小的自变量变化量h，我们可以使用切线方程近似表示函数f(x)在点x=a+h处的函数值：f(a+h)≈f(a)+f'(a)h7.导数公式推导：根据近似函数的表示，我们可以将差商(f(a+h)-f(a))/h表示为：(f(a)+f'(a)h-f(a))/h化简得到：f'(a) = lim┬(h→0)(f(a+h)-f(a))/h8.推导细节：进一步化简上述式子，得到：f'(a) = lim┬(h→0)(f(a+h)/h - f(a)/h)根据极限的性质，推出：f'(a) = lim┬(h→0)(f(a+h)/h) - lim┬(h→0)(f(a)/h)化简得到：f'(a) = lim┬(h→0)(f(a+h)-f(a)/h)这与导数的定义一致，因此我们证明了导数的定义公式。
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函数导数公式及证明1．证明幂函数()a f x x =的导数为''1()()a a f x x ax -==证：'00()()()()lim lim n nx x f x x f x x x x f x x x→→+-+-==V V V V V V根据二项式定理展开()nx x +V011222110(...)lim n n n n n nn nn n n n n x C x C x x C x x C x x C x x x----→+++++-=V V V V V V 消去0n nn C x x -11222110...lim n n n n n nn n n n x C x x C x x C x x C x x----→++++=V V V V V V 分式上下约去x V112211210lim(...)n n n n n n n n n n x C x C x x C x x C x -----→=++++V V V V 因0x →V ，上式去掉零项111n n n C xnx--==12210()[()()...()]lim n n n n x x x x x x x x x x x x x x----→+-+++++++=V V V V V V 12210lim[()()...()]n n n n x x x x x x x x x x ----→=+++++++V V V V1221...n n n n x x x x x x ----=++++g g1n n x -=g2．证明指数函数()x f x a =的导数为'ln ()x x a a a =证：'00()()()lim lim x x xx x f x x f x a a f x x x+→→+--==V V V V V V0(1)lim x x x a a x→-=V V V 令1xam -=V ，则有log (1)a x m =-V ，代入上式00(1)lim limlog (1)x x x x x a a a a mx m →→-==+V V V V1000ln ln lim lim lim ln(1)1ln(1)ln(1)ln x x x x x x ma m a a a a m m m a m→→→===+++V V V 根据e 的定义1lim(1)xx e x→∞=+ ，则10lim(1)m x m e →+=V ，于是1ln ln limln ln ln(1)x x x x ma a a a a a em →===+V3．证明对数函数()log a f x x =的导数为''1()(log )ln a f x x x a==证：'00log ()log ()()()limlim a a x x x x x f x x f x f x x x →→+-+-==V V V V V V00log log (1)ln(1)limlim lim ln aa x x x x x x x x x x x x x a→→→+++===V V V V V V V V V00ln(1)ln(1)lim lim ln ln xxx x x x xx x x x a x a→→++==V V V V V V根据e 的定义1lim(1)xx e x→∞=+ ，则0lim ln(1)xx x x e x →+=V V V ，于是0ln(1)ln 1lim ln ln ln xxx x e x x a x a x a→+===V V V4．证明正弦函数()sin f x x =的导数为''()(sin )cos f x x x ==证：'00()()sin()sin ()limlim x x f x x f x x x xf x x x→→+-+-==V V V V V V 根据两角和差公式sin()sin cos cos sin x x x x x x +=+V V V00sin()sin sin cos cos sin sin limlim x x x x x x x x x x x x→→+-+-==V V V V V V V因0lim(sin cos )sin x x x x →=V V ，约去sin cos sin x x x -V ，于是0cos sin limx x xx→=V V V因0sin lim1x xx →=V V V ，于是sin lim(cos )cos x xxx x→==V V V5．证明余弦函数()cos f x x =的导数为''()(cos )sin f x x x ==-证：'00()()cos()cos ()limlim x x f x x f x x x xf x x x→→+-+-==V V V V V V 根据两角和差公式cos()cos cos sin sin x x x x x x +=-V V V00cos()cos cos cos sin sin cos limlim x x x x x x x x x x x x→→+---==V V V V V V V因0lim(cos cos )cos x x x x →=V V ，约去cos cos cos x x x -V ，于是0sin sin limx x xx→-=V V V因0sin lim1x xx →=V V V ，于是sin sin lim()sin x x xx x→=-=-V V V6．证明正切函数()tan f x x =的导数为''21()(tan )cos f x x x==证：'00()()tan()tan ()limlim x x f x x f x x x xf x x x→→+-+-==V V V V V V00sin()sin sin()cos sin cos()cos()cos lim lim cos()cos x x x x xx x x x x x x x xx x x x x →→+-+-++==+V V V V V V V V V根据两角和差公式sin()sin cos cos sin x x x x x x +=+V V V , cos()cos cos sin sin x x x x x x +=-V V V代入上式0(sin cos cos sin )cos sin (cos cos sin sin )limcos()cos x x x x x x x x x x x x x x x→+--=+V V V V V V V00cos cos sin (sin sin sin )sin (cos cos sin sin )limlim cos()cos cos()cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x→→--+==++V V V V V V V V V 因22cos sin 1x x +=0sin limcos()cos x xx x x x →=+V V V V因0sin lim1x xx →=V V V ，0lim cos()cos x x x x →+=V V ，上式为20sin 11lim cos()cos cos x x x x x x x →⎡⎤==⎢⎥+⎣⎦V V V V7．证明余切函数()cot f x x =的导数为''21()(cot )sin f x x x==-证：'00()()cot()cot ()limlim x x f x x f x x x xf x x x→→+-+-==V V V V V V00cos()cos cos()sin cos sin()sin()sin lim lim sin()sin x x x x xx x x x x x x x xx x x x x →→+-+-++==+V V V V V V V V V根据两角和差公式sin()sin cos cos sin x x x x x x +=+V V V , cos()cos cos sin sin x x x x x x +=-V V V代入上式0(cos cos sin sin )sin cos (sin cos cos sin )limsin()sin x x x x x x x x x x x x x x x→--+=+V V V V V V V222200sin sin cos sin sin (sin cos )lim lim sin()sin sin()sin x x x x x x x x x x x x x x x x x→→---+==++V V V V V V V V V 因22sin cos 1x x +=,且0sin lim1x xx →=V V V ，0lim sin()sin x x x x →+=V V ，代入上式20sin 11lim sin()sin sin x x x x x x x →⎡⎤=-=-⎢⎥+⎣⎦V V V V8．证明复合函数()()f x g x +的导数为[]'''()()()()f x g x f x g x +=+证:[]'()()()()()()lim x f x x g x x f x g x f x g x x →+++--⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦V V V V0()()()()lim x f x x f x g x x g x x x →+-+-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦V V V V V''()()f x g x =+9．证明复合函数()()f x g x 的导数为[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x =+证:[]'()()()()()()lim x f x x g x x f x g x f x g x x →++-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦V V V V[][]0()()()()()()()()lim x f x x f x f x g x x f x g x x g x x g x x →⎡⎤++-+++-+-=⎢⎥⎣⎦V V V V V V[][]0()()()()()()()()()()lim x f x x f x g x x f x g x x f x g x x f x g x x g x x →⎡⎤+-+++-+++-=⎢⎥⎣⎦V V V V V V V [][]0()()()()()()lim x f x x f x g x x f x g x x g x x →⎡⎤+-+++-=⎢⎥⎣⎦V V V V V0()()()()lim ()()x f x x f x g x x g x g x x f x x x →+-+-⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦V V V V V V''()()()()f x g x f x g x =+10．证明复合函数()()f x g x 的导数为'''2()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦g g 证:'0()()()()()lim ()x f x x f x f x g x x g x g x x →+⎡⎤-⎢⎥⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦V V V V 0()()()()lim ()()x f x x g x f x g x x xg x g x x →⎡⎤+-+=⎢⎥+⎣⎦V V V V V [][]0()()()()()()()()lim ()()x f x x f x f x g x f x g x x g x g x xg x g x x →⎡⎤+-+-+-+=⎢⎥+⎣⎦V V V V V[][]0()()()()()()()()()()lim ()()x f x x f x g x f x g x f x g x x g x f x g x xg x g x x →⎡⎤+-+-+--=⎢⎥+⎣⎦V V V V V[][]0()()()()()()lim ()()x f x x f x g x f x g x x g x xg x g x x →⎡⎤+--+-=⎢⎥+⎣⎦V V V V V[][]0()()()()()()lim ()()x f x x f x g x x g x g x f x x x g x g x x →⎡⎤+-+--⎢⎥=⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦V V V V V V'''2()()()()()f xg x f x g x g x -=g g11．证明复合函数[]()f g x 的导数为[]'''()(())()f g x f g x g x =g证:[]'(())(())(())lim x f g x x f g x f g x x →+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦V V V令()u g x = ,则有()()u g x x g x =+-VV0())()lim x f u u f u x →+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦V V V 0())()lim x f u u f u u u x →+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦V V V V V0())()()()lim x f u u f u g x x g x u x →+-+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦V V V V V ''()()f u g x =g''(())()f g x g x =g12．证明复合函数[]ln ()f x 的导数为[]''()ln ()()f x f x f x =证:令()u f x =,[][]'''ln ()ln f x u u =g''1()()f x u u f x ==g 13．求复合函数x x 的导数解: 令xu x =ln ln u x x =等式左边求导为()''ln u u u=等式右边求导为()'''1ln ln (ln )ln ln 1x x x x x x x xx x=+=+=+于是有'ln 1u x u=+,'(ln 1)u x u =+则'()(ln 1)x xx x x =+14. 证明反三角函数arcsin x 的导数为'(arcsin )x =证:令arcsin y x =,则sin y x =对上式两边求导,等式右边'1x =等式左边(根据复合函数求导公式),其导数为''(sin )(cos )y y y =g 于是有'(cos )1y y =g'1(cos )y y ==再将arcsin y x =代入上式'(arcsin )x ==15. 证明反三角函数arccos x 的导数为'(arccos )x =证:令arccos y x =,则 cos y x =对上式两边求导,等式右边'1x =等式右边(根据复合函数求导公式),其导数为()''cos (sin )y y y =-g于是有'(sin )1y y -=g ,整理后如下：'1(sin )y y =-=再将arccos y x =代入上式'(arccos )x == 16. 证明反三角函数arctan x 的导数为'21(arctan )1x x =+ 证:令arctan y x =,则tan y x =对上式两边求导,等式右边'1x =等式右边(根据复合函数求导公式),其导数为()'2'tan (1tan )y y y =+g于是有2'(1tan )1y y +=g ,整理后如下： '211tan y y=+ 再将arctan y x =代入上式'2211(arctan )1tan arctan 1x x x==++ 17. 证明:反函数的导数为原函数导数的倒数'1''1(),(()0)()f y f x f x -⎡⎤=≠⎣⎦ 如果函数()x y ϕ= 在某区间y I 内单调、可导且'()0y ϕ≠ ，那么它的反函数()y f x =在对应区间 x I 内也可导，并且''1()()f x y ϕ=。