函数导数公式及证明
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函数导数公式及证明
1．证明幂函数()a f x x =的导数为''1()()a a f x x ax -==
证：
'
00()()()()lim lim n n
x x f x x f x x x x f x x x
→→+-+-==V V V V V V
根据二项式定理展开()n
x x +V
011222110(...)lim n n n n n n
n n
n n n n n x C x C x x C x x C x x C x x x
----→+++++-=V V V V V V 消去0n n
n C x x -
11222110...lim n n n n n n
n n n n x C x x C x x C x x C x x
----→++++=V V V V V V 分式上下约去x V
112211210
lim(...)n n n n n n n n n n x C x C x x C x x C x -----→=++++V V V V 因0x →V ，上式去掉零项
111
n n n C x
nx
--==
12210()[()()...()]lim n n n n x x x x x x x x x x x x x x
----→+-+++++++=V V V V V V 12210
lim[()()...()]n n n n x x x x x x x x x x ----→=+++++++V V V V
1221...n n n n x x x x x x ----=++++g g
1n n x -=g
2．证明指数函数()x f x a =的导数为'ln ()x x a a a =
证：
'
00()()()lim lim x x x
x x f x x f x a a f x x x
+→→+--==V V V V V V
0(1)lim x x x a a x
→-=V V V 令1x
a
m -=V ，则有log (1)a x m =-V ，代入上式
00(1)lim lim
log (1)
x x x x x a a a a m
x m →→-==+V V V V
1000
ln ln lim lim lim ln(1)1ln(1)ln(1)ln x x x x x x m
a m a a a a m m m a m
→→→===+++V V V 根据e 的定义1lim(1)x
x e x
→∞
=+ ，则1
0lim(1)m x m e →+=V ，于是
1
ln ln lim
ln ln ln(1)
x x x x m
a a a a a a e
m →===+V
3．证明对数函数()log a f x x =的导数为''1
()(log )ln a f x x x a
==
证：
'0
0log ()log ()()
()lim
lim a a x x x x x f x x f x f x x x →→+-+-==V V V V V V
00log log (1)ln(1)
lim
lim lim ln a
a x x x x x x x x x x x x x a
→→→+++===V V V V V V V V V
00ln(1)ln(1)lim lim ln ln x
x
x x x x x
x x x x a x a
→→++==V V V V V V
根据e 的定义1lim(1)x
x e x
→∞
=+ ，则0lim ln(1)x
x x x e x →+
=V V V ，于是
0ln(1)ln 1lim ln ln ln x
x
x x e x x a x a x a
→+===
V V V
4．证明正弦函数()sin f x x =的导数为''()(sin )cos f x x x ==
证：
'0
0()()sin()sin ()lim
lim x x f x x f x x x x
f x x x
→→+-+-==V V V V V V 根据两角和差公式sin()sin cos cos sin x x x x x x +=+V V V
00sin()sin sin cos cos sin sin lim
lim x x x x x x x x x x x x
→→+-+-==V V V V V V V
因0
lim(sin cos )sin x x x x →=V V ，约去sin cos sin x x x -V ，于是
0cos sin lim
x x x
x
→=V V V
因0sin lim
1x x
x →=V V V ，于是
sin lim(cos )cos x x
x
x x
→==V V V
5．证明余弦函数()cos f x x =的导数为''()(cos )sin f x x x ==-
证：
'0
0()()cos()cos ()lim
lim x x f x x f x x x x
f x x x
→→+-+-==V V V V V V 根据两角和差公式cos()cos cos sin sin x x x x x x +=-V V V
00cos()cos cos cos sin sin cos lim
lim x x x x x x x x x x x x
→→+---==V V V V V V V
因0
lim(cos cos )cos x x x x →=V V ，约去cos cos cos x x x -V ，于是
0sin sin lim
x x x
x
→-=V V V