平面的概念--平面的基本性质

（无所谓面积） （没有质量）
2. 平面的画法: (1)通常用平行四边形表示,有时也 可根据需要用其它平面图形表示, 如:矩形;菱形;三角形;圆(椭圆)等 等;
(2) 通常画平行四边形表示平面，当 平面是水平放置的时候，通常把平行四 边形的锐角画成45°横边画成邻边长的 2倍。 （3）画直立平面时，要有一组对边为铅 垂线。
文字语言这条直线在此平面内。
图形语言
判断直线是否在 平面内，点是否 在平面内 。
AB
l
α
如图：直尺所在的直线会在桌面 所在的平面内吗？
直尺
观察下面图片，你能得到什么结论？
天花板α
墙面γ
P 墙面β
β
a
α
P
（二）平面的基本一相是交性判的质定依两据个，平只面 要是 两否 个 公共公理点共2，直如那线果么。两它个们不平可相线有重面以交，且有判于二合只一定过是的有个这这判平公两点断一共个的点面条点 平 一 在有过， 面 条 直一就 必 直 线该个点公的
平静的湖面
光滑的桌面、地面
一望无垠的大海
平静的湖面
这些画面给你 留下怎样的印 象？
光滑的桌面、地面
平面的基本性质
1.平面的基本概念: 平面是一个只描述而不定义的最基 本的概念,它是从日常生活中见到的具 体的平面抽象出来的理想化的模型.
点评：几何里的平面的特征:
1.无限延展
（没有边界）
2.不计大小 3.不计厚薄
B
B A
3.直线与平面的位置关系： 直线a上的所有点都在平面α内，称直线a
在平面α内，或称平面α通过直线a.记为：a α
直线a与平面α只有一个公共点A时，称直 线a与平面α相交。 记为：a∩α＝A
直线a与平面α没有公共点时，称直线a与 平面α平行。 记为：a∩α＝φ 或 a∥α.
a
a
a
A
α
α
α
a B
水平平面：
铅直平面
（4）在画图时，如果图形的一部分被另 一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线， 也可以不画。
M
M
N
N
3、平面的表示法
α 平面α
A
C B
平面ABC
ß
平面 ß
A
D
B
C
平面AC或平面BD
在立几何体中通常把直线和 平面看作是点的集合，你能否借 助集合中的符号表示点与线、点 与面、线与面的关系呢?
已知:如图,a∥b,l∩ a =A, l ∩b =B
求证:a,b,l三线共面
证明:∵ a∥b,
α
∴直线a,b确定一个平面α
又A∈a,a α,∴ A∈ α,同理B∈α,
由公理1有:l α
∴ a,b,l三线共面于α
Hale Waihona Puke Baidu
Al a
Bb
证明三线共面,可先证其中两条直线共面,再证第三 条直线也在此平面内.
小结
四.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
1.点与直线的位置关系：
⑴点A在直线a上： 记为：A∈a
a
点B不在直线a上： 记为：B∈a A ⑵直线a经过点A，直线a不过点B 2.点与平面的位置关系： ⑴点A在平面α上： 记为：A∈α
点B不在平面α上：记为：B∈ α ⑵平面α经过点A，平面α不过点B α
1.空间中点线面的位置关系 2.三个公理 公理1 公理2 公理3 3.平面的确定方法
4.文字语言、图形语言、符号语言 的相互转化
A
A∈a
B∈a
B
α
A
A∈α B∈α
b
a
aA
α
α
a α
b∩α＝A
a∩α＝φ 或 a∥α
练习
如图，用符号表示以下各概念：
①点A、B在直线a上 A a, B a ；
②直线a在平面内 a ；
点C 在平面内 C ；
③点D不在平面内 D ；
直线b不在平面内 b ． b D
上，点是两个平面的公 共点，线是这两个平面 的公共交线，则这点在 交线上。
l
P
用手指头将一本书平衡地摆放在空 间某一位置，至少需要几个手指头？
这些手指需要满足什么条件？
根据这个实验你能得到什么结论？
公理3 过不在一条直线上的三点，有且只 有一个平面。
一是确定平 面，二是证 明点、线共 面。
B
αA
C
A、B、C三点不共线 有且只有一个 平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。
有且只有一个的含义:
至少有一个
“有” “只有一个”
说明图形是存在的！ 说明图形是唯一的！
至多有一个
一扇门用两个合页加一把锁就固定了， 这是依据什么原理？
你能证明下列三个命题吗？
1.经过直线和这条直线外一点，有 且只有一个平面。
A
l
α
B
C
2.经过两条相交直线有且只有一个平
面。
3.经过两条平行直线有且只有一个平面
确定平面的方法
公理3.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
B
αA
C
推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。
A
l
α
B
C
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。
例1.一条直线和两条平行线都相交,求证:这三条直线共面.
C A B a
如果把桌面看作一个平面，把你的笔看作 是一条直线的话，你觉得在什么情况下， 才能使你的笔所代表的直线上所有的点都 能在桌面上？
根据这个实验你能得到什么结论？
(二)平面的基本性质
符 号
Al, Bl且A, B l
语 言
公理1 如果一条直线上的
两点在一个平面内，那么