九年级上册数学知识点总结【最新整理】

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九年级上册数学知识点归纳

九年级上册数学知识点归纳

九年级上册数学知识点归纳一、二次函数二次函数是九年级数学的重点内容之一。

一般地,形如\(y = ax^2 + bx + c\)(\(a\)、\(b\)、\(c\)是常数,\(a ≠ 0\))的函数,叫做二次函数。

二次函数的图象是一条抛物线。

当\(a >0\)时,抛物线开口向上;当\(a < 0\)时,抛物线开口向下。

抛物线的对称轴是直线\(x =\dfrac{b}{2a}\),顶点坐标是\(\left(\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac b^2}{4a}\right)\)。

求二次函数解析式的方法有一般式、顶点式和交点式。

一般式为\(y = ax^2 + bx + c\);顶点式为\(y = a(x h)^2 + k\)(其中\((h,k)\)为顶点坐标);交点式为\(y = a(x x_1)(x x_2)\)(其中\(x_1\)、\(x_2\)是抛物线与\(x\)轴交点的横坐标)。

二次函数的应用也非常广泛,例如在解决最值问题、抛物线型的实际问题等方面都有重要作用。

二、一元二次方程一元二次方程的一般形式是\(ax^2 + bx + c = 0\)(\(a ≠0\))。

解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。

其中,公式法是求解一元二次方程的通用方法,对于方程\(ax^2+ bx + c = 0\),其解为\(x =\dfrac{b ±\sqrt{b^2 4ac}}{2a}\)(其中\(b^2 4ac\)称为判别式,当\(b^2 4ac > 0\)时,方程有两个不相等的实数根;当\(b^2 4ac = 0\)时,方程有两个相等的实数根;当\(b^2 4ac < 0\)时,方程没有实数根)。

一元二次方程在实际生活中有很多应用,比如增长率问题、面积问题等。

三、旋转图形的旋转是指在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度。

这个定点称为旋转中心,转动的角度称为旋转角。

九年级上册数学总结知识点

九年级上册数学总结知识点

九年级上册数学总结知识点一、集合的概念与运算1. 集合的定义和表示方法2. 集合间的包含关系3. 集合的运算:并集、交集、差集、补集4. 集合的性质:全集、空集、互斥集、互不相交集二、函数与方程1. 函数的定义和性质2. 函数图像的基本性质3. 一次函数与二次函数4. 方程的基本概念:根、解、方程的种类5. 方程的解法:代入法、消元法、配方法、因式分解法三、三角形与相似1. 三角形的分类与性质:等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形2. 直角三角形的勾股定理和斜边定理3. 相似三角形的判定条件4. 相似三角形的性质:比例关系、类比比例、全等定理四、函数的图像与性质1. 函数图像的基本变换:平移、伸缩、翻转2. 二次函数的图像特征:顶点、对称轴、开口方向3. 绝对值函数和分段函数的图像特征4. 函数的单调性与极值点的求解五、平面坐标系与图形1. 平面直角坐标系的建立与使用2. 线段的长度计算3. 点和直线的位置关系:同一直线、垂直、平行、相交等4. 常见图形的性质与计算:矩形、正方形、三角形、圆六、数据的处理与统计1. 数据的收集和整理2. 统计量的计算:平均数、中位数、众数、极差3. 数据的图表展示:条形图、折线图、散点图4. 概率的基本概念与计算七、圆的性质与计算1. 圆的基本概念与性质:圆心、半径、直径、弧长、扇形面积2. 圆的相关角和切线的性质3. 弧度制与度数制的换算4. 圆的计算问题:弧长问题、扇形面积问题八、空间图形与几何体1. 空间图形的投影与视图2. 空间中的点、线、面的性质与判定3. 空间中的几何体:正方体、长方体、圆柱体、圆锥体、球体4. 空间几何体的计算:体积、表面积等以上是九年级上册数学的主要知识点总结,通过掌握这些知识,可以帮助学生更好地理解和应用数学知识,提升数学解题能力。

通过反复练习和思考,相信学生们能够更加熟练地掌握这些知识,取得更好的成绩。

人教版九年级上册数学知识点汇总

人教版九年级上册数学知识点汇总

一、一元二次方程1. 定义•等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。

一般形式为:ax² + bx + c = 0(a ≠ 0)。

2. 解法•配方法:通过配成完全平方形式来解一元二次方程。

步骤包括:移项、除二次项系数、配方、开平方。

•公式法:利用一元二次方程的求根公式x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)(当b² - 4ac ≥ 0时)求解。

•因式分解法:将方程的一边化为0,另一边分解为两个一次因式的积,从而转化为求解两个一元一次方程。

3. 根与系数的关系•若一元二次方程x² + px + q = 0的两个根为x₁和x₂,则有:x₁ + x₂ = -p,x₁x₂ = q。

二、实际问题与一元二次方程1. 应用步骤•审:读懂题目,弄清题意,明确已知量和未知量以及它们之间的等量关系。

•设:设出未知数。

•列:列出方程,这是关键步骤,需找出能够表达应用题全部含义的相等关系,并列出含有未知数的等式。

•解:解方程,求出未知数的值。

•验:检验方程的解是否保证实际问题有意义,符合题意。

•答:写出答案。

2. 常见类型•数字问题:如三个连续整数、连续偶数(奇数)的表示。

•增长率问题:设初始量为a,终止量为b,平均增长率或降低率为x,则经过两次的增长或降低后的等量关系为a(1±x)² = b。

•利润问题:常用关系式有总利润=总销售价-总成本,或总利润=单位利润×总销售量,或利润=成本×利润率。

•图形的面积问题:根据图形的面积与图形的边等高等相关元素的关系,将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来,建立一元二次方程。

三、二次函数1. 定义•一般地,形如y = ax² + bx + c(a, b, c是常数,a ≠ 0)的函数,叫做二次函数。

2. 性质•抛物线的开口方向由a的符号决定:a > 0时,开口向上;a < 0时,开口向下。

九年级上册数学知识点总结

九年级上册数学知识点总结

九年级上册数学知识点总结九年级上册数学知识点总结总结就是对一个时期的学习、工作或其完成情况进行一次全面系统的回顾和分析的书面材料,它可以提升我们发现问题的能力,为此要我们写一份总结。

那么总结应该包括什么内容呢?以下是小编为大家收集的九年级上册数学知识点总结,欢迎阅读,希望大家能够喜欢。

九年级上册数学知识点总结1aa(a0,b0)bb5、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的`运算顺序一样,先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里的(或先去括号)。

第二单元一元二次方程一、一元二次方程1、一元二次方程含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式ax2bxc0(a0),它的特征是:等式左边十一个关于未知数x的二次多项式,等式右边是零,其中ax叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项,b叫做一次项系数;c叫做常数项。

二、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如(xa)2b的一元二次方程。

根据平方根的定义可知,xa是b的平方根,当b0时,xab,xab,当b 一元二次方程ax2bxc0(a0)中,b4ac叫做一元二次方程2ax2bxc0(a0)的根的判别式,通常用“”来表示,即b24ac四、一元二次方程根与系数的关系如果方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是x1,x2,那么x1x2b,ax1x2c。

也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次a项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

九年级上册数学知识点总结2第一单元二次根式1、二次根式式子a(a0)叫做二次根式,二次根式必须满足:含有二次根号“必须是非负数。

2、最简二次根式若二次根式满足:被开方数的因数是整数,因式是整式;被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式叫做最简二次根式。

新人教版九年级数学上册知识点归纳

新人教版九年级数学上册知识点归纳

新人教版九年级数学上册知识点归纳
一. 整式的加减法和乘法
- 整式的加减法
- 同类项的加减法原则
- 不同类项的加减法原则
- 整式的乘法
- 单项式乘法
- 多项式乘法
二. 因式分解与整式的乘法
- 因式分解
- 公因式提取法
- 平方差公式
- 立方差公式
- 和差化积公式
- 整式的乘法
- 定积分法
- 化简法
三. 一次函数与二次函数
- 一次函数
- 函数的概念和表示方法
- 函数的图象
- 函数的性质和应用
- 二次函数
- 函数的概念和表示方法
- 函数的图象
- 函数的性质和应用
四. 几何图形的认识
- 点、线和面的基本概念
- 几何图形的分类
- 几何图形的性质和判定方法
五. 平面坐标系
- 平面直角坐标系
- 平面直角坐标系中的点及其坐标- 平面直角坐标系中的线段及其长度- 平面直角坐标系中的图形
六. 相交与平行线
- 直线的概念和表示方法
- 直线的性质和判定方法
- 直线间的位置关系
- 平行线判定的方法
七. 形状与变换
- 图形的相似关系和判定方法
- 图形的全等关系和判定方法
- 图形的对称关系和判定方法
- 图形的平移、旋转和翻转
八. 数据的收集和处理
- 数据的收集和整理方法
- 数据的图表表示
- 数据的统计分析
以上是新人教版九年级数学上册的知识点归纳,包括整式的加减法和乘法、因式分解与整式的乘法、一次函数与二次函数、几何
图形的认识、平面坐标系、相交与平行线、形状与变换,以及数据的收集和处理。

九年级数学上册知识点总结

九年级数学上册知识点总结
九年级数学上册知识 点总结
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第21章 一元二次方程
1.一元二次方程:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知 数的最高次数是2(二次).
一般形式:ax2+bx+c=0 (a≠0)
• 二次项:ax2
• 二次项系数:a
• 一次项:bx
• 一次项系数:b
• 常数项:c
2.根:一元二次方程的解
个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称
• 对称中心:O 对称点:旋转后能够重合的对应点 •4
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23章 旋转
• 5.中心对称图形:把一个图形绕着某一点O旋转180°,旋转后的图形
能够与原来的图形重合,那么这个图形就是中心对称图形
• 6.关于原点对称的点的坐标
• P(x,y)
减小
增大
<0
向下
y轴
原点
y随x增大而 y随x增大而
增大
减小
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22章 二次函数
• 3.y=a(x-h)2+k的图象和性质(与y=ax2具有相同的形状)
a
ห้องสมุดไป่ตู้
开口 h>0
h<0
k>0
k<0
顶点 对称轴 对称轴 对称轴
左侧 右侧
>0
向上 右移 左移 上移 下移 (h,k) x=k
y随x增 y随x增
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24章 圆

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概率初步

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初三上册数学知识点总结

初三上册数学知识点总结

初三上册数学知识点总结1. 理性数的加减乘除运算•加法:两个有理数相加,将它们的绝对值相加,再根据它们的正负号确定结果的符号。

•减法:两个有理数相减,可以转化为它们的加法运算,即被减数加上减数的相反数。

•乘法:两个有理数相乘,将它们的绝对值相乘,再根据它们的正负号确定结果的符号。

•除法:有理数的除法运算可以转化为乘法运算,即被除数乘以除数的倒数。

2. 分式的加减乘除运算•分式的加减运算:将分式的分子通分后相加(或相减),再将结果化简为最简分式。

•分式的乘法:将两个分式的分子和分母分别相乘,再将结果化简为最简分式。

•分式的除法:将除法转化为乘法,即将被除数乘以除数的倒数。

3. 正数、负数与绝对值•正数:大于0的数,用“+”表示。

•负数:小于0的数,用“-”表示。

•绝对值:数轴上点到原点的距离,表示数的大小而不考虑正负号。

4. 数的比较与排序•比较两个数的大小:可以根据它们的正负号和绝对值进行比较。

•比较多个数的大小:可以通过比较任意两个数的大小,得出整体的排序关系。

5. 倍数、约数与最大公约数、最小公倍数•倍数:一个数是另一个数的倍数,即能被另一个数整除。

•约数:一个数能被另一个数整除,即是另一个数的约数。

•最大公约数:两个数的公共约数中最大的一个数。

•最小公倍数:两个数的公倍数中最小的一个数。

6. 分式与整数的关系•混合数:由整数部分和分数部分组成的数。

•假分数:分子大于分母的分数,可以改写为带分数或混合数。

•真分数:分子小于分母的分数。

7. 分数的乘除法运算•分数的乘法:将两个分数的分子和分母分别相乘,再将结果化简为最简分数。

•分数的除法:将除数倒置后与被除数进行乘法运算,再将结果化简为最简分数。

8. 分数的加减法运算•分数的加法:将两个分数的分母通分后,将分子相加,再将结果化简为最简分数。

•分数的减法:将两个分数的分母通分后,将分子相减,再将结果化简为最简分数。

9. 数的单位和换算•常用长度单位:米(m)、分米(dm)、厘米(cm)、毫米(mm)、千米(km)。

九年级上册数学知识点归纳

九年级上册数学知识点归纳

九年级上册数学知识点归纳一、代数基础1.1 代数式与多项式•代数式的概念和基本性质•多项式的定义、次数、最高次项、最高次系数和降次1.2 整式运算•基本运算法则(加、减、乘、除)•多项式的因式分解1.3 方程与不等式•一元一次方程的定义、解法及应用一元二次方程的定义、解法及应用•一元一次不等式和一元二次不等式的定义、解法及应用二、平面几何2.1 点、直线、角、三角形•点、直线、射线、线段的定义•角的概念、性质和分类•三角形的定义、分类、性质(三角形角度定理、三角形边长关系定理)2.2 四边形和多边形•四边形的定义、性质(平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形)•多边形的定义和性质(对称性、全等性、相似性)2.3 圆的基本性质•圆的定义、圆心、半径、直径、弦、弧、圆周角•圆的切线和切点的概念和性质三、立体几何3.1 空间图形的概念和性质•空间图形的分类(点、线、面、体)•空间图形的基本性质(包括线段长度、角度大小、面积和体积)3.2 空间坐标系的建立和应用•空间坐标系的建立(右手法则)•空间坐标系中点、距离、中点公式、斜率公式3.3 空间几何体的计算•立体图形的表面积和体积的计算方法(包括长方体、正方体、棱锥、棱台、球)四、数与函数4.1 实数的概念和性质•实数的分类、基本性质(包括代数性质、有序性、完备性)4.2 一次函数的概念和性质•一次函数的定义、函数图像、图像特征、斜率、截距、变化规律和应用4.3 二次函数的概念和性质•二次函数的定义、函数图像、图像特征、参数的关系及其应用•二次函数解析式的确定方法五、统计与概率5.1 数据的收集和整理•数据的收集方法及其优缺点•数据的整理方法(频率分布表、直方图、折线图、饼图)5.2 概率的概念和基本性质•随机性和概率、概率的基本性质•事件及其概率的计算方法、频率和概率5.3 统计量•数值型数据的统计量(包括极差、平均数、中位数、众数、标准差)•统计推断的基本思想和应用(区间估计、假设检验)以上是九年级上学期数学知识点的归纳,希望对大家有所帮助。

九年级数学上学期重点知识点总结(8篇)

九年级数学上学期重点知识点总结(8篇)

初三数学知识点第一章二次根式1二次根式:形如a(a0)的式子为二次根式;性质:a(a0)是一个非负数;aaa0;2a2aa0。

2二次根式的乘除:ababa0,b0;aaa0,b0。

bb3二次根式的加减:二次根式加减时,先将二次根式华为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并。

4海伦-秦九韶公式:S是三角形的面积,Sp(p)(pb)(pc),p为pabc。

2第二章一元二次方程1一元二次方程:等号两边都是整式,且只有一个未知数,未知数的最高次是2的方程。

2一元二次方程的解法配方法:将方程的一边配成完全平方式,然后两边开方;bb24ac公式法:某2a因式分解法:左边是两个因式的乘积,右边为零。

3一元二次方程在实际问题中的应用4韦达定理:设某1,某2是方程a某2b某c0的两个根,那么有某1某2,某1某2第三章旋转1图形的旋转旋转:一个图形绕其中一点转动一个角度的图形变换性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角旋转前后的图形全等。

2中心对称:一个图形绕一个点旋转180度,和另一个图形重合,则两个图形关于这个点中心对称;中心对称图形:一个图形绕其中一点旋转180度后得到的图形能够和原来的图形重合,则说这个图形是中心对称图形;3关于原点对称的点的坐标第四章圆1圆、圆心、半径、直径、圆弧、弦、半圆的定义2垂直于弦的直径圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴;垂直于弦的直径平分弦,并且平方弦所对的两条弧;平分弦的直径垂直弦,并且平分弦所对的两条弧。

3弧、弦、圆心角在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所baca对的弦也相等。

4圆周角在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半;半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90度的圆周角所对的弦是直径。

5点和圆的位置关系点在dr点在圆上d=r点在圆内d相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

九年级上册数学知识点归纳

九年级上册数学知识点归纳

九年级上册数学知识点归纳一、实数1. 有理数与无理数的定义- 有理数:可以表示为两个整数的比的数,如分数、整数。

- 无理数:不能表示为两个整数的比的数,如√2、π。

2. 实数的运算- 加法、减法、乘法、除法- 乘方、开方- 绝对值的计算3. 实数的性质- 相反数、倒数- 有理数和无理数的性质4. 科学记数法- 表示非常大或非常小的数5. 实数的比较- 大小比较的方法- 不等式的表示和性质二、代数表达式1. 单项式- 单项式的定义- 系数、次数2. 多项式- 多项式的定义- 项、次数、系数- 多项式的加减法3. 代数式的简化- 合并同类项- 分配律、结合律、交换律4. 因式分解- 提公因式法- 公式法(平方差、完全平方等) - 十字相乘法三、方程与不等式1. 一元一次方程- 方程的建立- 解方程的步骤2. 二元一次方程组- 代入法- 消元法(加减消元、代数消元)3. 不等式- 不等式的性质- 解一元一次不等式- 解一元一次不等式组4. 绝对值不等式- 绝对值的性质- 解绝对值不等式四、平面图形1. 平行线与线段- 平行线的性质- 线段的中点、平行线之间的距离2. 角- 角的分类- 角的度量- 角的和差3. 三角形- 三角形的基本性质- 等边三角形、等腰三角形的性质 - 三角形的内角和外角4. 四边形- 四边形的分类- 矩形、菱形、正方形的性质- 四边形的面积计算5. 圆- 圆的基本性质- 圆的面积和周长- 切线的性质五、立体图形1. 立体图形的基本概念- 点、线、面、体- 立体图形的分类2. 棱柱和棱锥- 棱柱和棱锥的性质- 棱柱和棱锥的体积计算3. 圆柱和圆锥- 圆柱和圆锥的性质- 圆柱和圆锥的体积和表面积计算4. 球- 球的性质- 球的体积和表面积计算六、统计与概率1. 统计- 数据的收集和整理- 频数和频率- 统计图表(条形图、折线图、饼图)2. 概率- 随机事件的概率- 概率的计算方法- 条件概率和独立事件请注意,以上内容仅为九年级上册数学知识点的一个概括性归纳,具体的教学内容和深度可能会根据不同地区的教学大纲和教材有所差异。

九年级上册数学知识点总结(最新最全)

九年级上册数学知识点总结(最新最全)

九年级上册数学知识点总结(最新最全)单元1:整数- 整数的概念- 整数的比较和运算法则- 整数的加减乘除运算- 整数的乘方运算- 整数的分数和小数的关系单元2:有理数- 有理数的概念- 有理数的相反数和绝对值- 有理数的加减运算法则- 有理数的乘除运算法则- 有理数的幂运算- 有理数的分数和小数的关系单元3:代数式与整式- 代数式与整式的概念- 代数式的运算法则- 整式的合并同类项和提取公因式- 整式的加减运算- 整式的乘除运算单元4:一元一次方程与一次不等式- 一元一次方程的概念- 一元一次方程的解的性质- 列方程解问题- 一元一次不等式的概念- 一元一次不等式的解的性质单元5:图形的基本概念与性质- 平面直角坐标系- 点、线、面的基本概念- 图形的相似形与全等形- 图形的位置关系和判定- 图形的旋转、平移和翻折单元6:图形的表示与变换- 图形的平移和旋转表示- 图形的对称变换表示- 图形的全等判定和性质- 图形变换的综合应用单元7:函数的概念与表示- 函数的概念- 函数的自变量和函数值- 函数的表示方法- 函数的性质- 函数的实际应用单元8:一元一次函数- 一元一次函数的概念- 一元一次函数的函数图象- 一元一次函数的性质- 一元一次函数的应用以上是九年级上册数学的知识点总结,包括整数、有理数、代数式与整式、一元一次方程与一次不等式、图形的基本概念与性质、图形的表示与变换、函数的概念与表示以及一元一次函数。

希望对你的学习有所帮助!。

九年级上册数学知识点总结归纳

九年级上册数学知识点总结归纳

九年级上册数学知识点总结归纳一、一元二次方程。

1. 定义。

- 只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程,叫做一元二次方程。

一般形式为ax^2+bx + c = 0(a≠0),其中ax^2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。

2. 一元二次方程的解法。

- 直接开平方法。

- 对于方程x^2=p(p≥0),解得x=±√(p)。

例如方程(x - 3)^2=4,则x - 3=±2,解得x = 1或x = 5。

- 配方法。

- 步骤:先将方程化为ax^2+bx = - c的形式,然后在方程两边加上一次项系数一半的平方((b)/(2a))^2,将左边配成完全平方式(x+(b)/(2a))^2,再用直接开平方法求解。

例如对于方程x^2+6x - 7 = 0,移项得x^2+6x = 7,配方得x^2+6x+9 = 7 + 9,即(x + 3)^2=16,解得x = 1或x=-7。

- 公式法。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0),其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

其中b^2-4ac叫做判别式,记作Δ。

当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ = 0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根。

例如方程2x^2-3x - 2 = 0,其中a = 2,b=-3,c = - 2,Δ=(-3)^2-4×2×(-2)=9 + 16 = 25>0,则x=(3±√(25))/(4)=(3±5)/(4),解得x = 2或x=-(1)/(2)。

- 因式分解法。

- 把方程化为一边是零,另一边是两个一次因式积的形式,然后使每个因式分别为零,从而求出方程的解。

例如方程x^2-3x+2 = 0,因式分解得(x - 1)(x - 2)=0,则x - 1 = 0或x - 2 = 0,解得x = 1或x = 2。

人教版九年级数学上册知识点整理完整版

人教版九年级数学上册知识点整理完整版

人教版九年级数学上册知识点整理完整版一、代数与函数1.代数简介①常数:数值不变的量。

②变量:数量可能改变的量。

③代数式:由数、字母、加减乘除号、括号等符号组成的式子。

④同类项:指含有相同字母并且指数相同的项。

⑤合并同类项:指将同类项合并成一个项。

⑥因式分解:将代数式表示成幂或较简单的代数式,叫做因式分解。

⑦方程式&方程:一个代数式与另一个代数式在等号两边,称为方程式,且方程式构成了等式。

2.一次函数①函数:将自变量的某个取值代入函数中得到唯一的因变量的值,称为函数。

②自变量:输入的值③函数表达式:用代数式表示函数的式子称为函数表达式④一次函数:函数表达式中,最高次项是一次幂的函数叫一次函数,也叫线性函数。

⑤斜率:函数: y = kx + b ,函数图象的斜率 k,即为直线的斜率。

3.二次函数①二次函数:函数表达式中,最高次项是二次幂的函数,叫做二次函数。

②二次函数的一般式:f(x) = ax² + bx + c(a≠0)③二次函数的顶点:二次函数图象的转折点,称为顶点。

④二次函数的对称轴:图象关于 x = -b/ 2a 对称的直线,称为二次函数的对称轴。

⑤二次函数的最小值/最大值:二次函数)的顶点纵坐标所对应的函数值,是二次函数的最小值或最大值。

4.函数的研究①函数图象的基本性质:函数的零点、函数值的正负、单调性、奇偶性、周期性、对称性、渐近线等。

②函数的零点:函数 f(x) = 0 的解叫做函数的零点。

即 f(x) = 0 时 x 的解。

③函数类型:函数分类标准通常有函数的定义域和值域、图象、函数表达式等。

二、图形的认识1.图形的一些概念①线段:由两个端点所组成的线段,叫做线段。

②射线:在一个端点处向一个方向上延伸的线段,叫做射线。

③直线:没有端点,在一个方向上延伸的线段,称为直线。

④平行线:永远不会相交的两条直线叫做平行线。

⑤垂直平分线:在一条直线上,垂直于该线段、且等分该线段的线,称为垂直平分线。

九级上册数学知识点总结

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九级上册数学知识点总结Let's learn positive psychology to make our life happier.九年级上册数学知识点总结归纳2第二十一章一元二次方程第二十二章二次函数第二十三章旋转第二十四章圆第二十五章概率初步第二十一章一元二次方程知识点1:一元二次方程的概念一元二次方程:只含有一个未知数,未知数的最高次数是2,且系数不为 0,这样的方程叫一元二次方程.一般形式:ax2+bx+c=0a≠0.注意:判断某方程是否为一元二次方程时,应首先将方程化为一般形式.知识点2:一元二次方程的解法1.直接开平方法:对形如x+a2=b b≥0的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法.X+a=±b∴1x=-a+b2x=-a-b2.配方法:用配方法解一元二次方程:ax2+bx+c=0k≠0的一般步骤是:①化为一般形式;②移项,将常数项移到方程的右边;③化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数;④配方,即方程两边都加上一次项系数的一半的平方;化原方程为x+a2=b的形式;⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解;如果b<0,则原方程无解.3.公式法:公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通过配方推导出来的.一元二次方程的求根公式是a acbbx24 2-±-=b2-4ac≥0.步骤:①把方程转化为一般形式;②确定a,b,c的值;③求出b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时代入求根公式.4.因式分解法:用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法.理论根据:若ab=0,则a=0或b=0.步骤是:①将方程右边化为0;②将方程左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式等于0,得到两个一元一次方程乘积的形式,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解.因式分解的方法:提公因式、公式法、十字相乘法.5.一元二次方程的注意事项:⑴在一元二次方程的一般形式中要注意,强调a≠0.因当a=0时,不含有二次项,即不是一元二次方程.⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意:①先化方程为一般形式再确定a,b,c的值;②若b2-4ac<0,则方程无解.⑶利用因式分解法解方程时,方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如-2x+42 =3x+4中,不能随便约去x+4.⑷注意:解一元二次方程时一般不使用配方法除特别要求外但又必须熟练掌握,解一元二次方程的一般顺序是:开平方法→因式分解法→公式法.6.一元二次方程解的情况⑴b2-4ac≥0⇔方程有两个不相等的实数根;⑵b2-4ac=0⇔方程有两个相等的实数根;⑶b2-4ac≤0⇔方程没有实数根.解题小诀窍:当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时,往往首先考虑用b2-4ac解题.主要用于求方程中未知系数的值或取值范围.知识点3:根与系数的关系:韦达定理对于方程ax 2+bx+c=0a ≠0来说,x1 +x2 =—a b ,x1●x2= a c.利用韦达定理可以求一些代数式的值式子变形,如2122122212)(x x x x x x-+=+21212111x x x x x x +=+.解题小诀窍:当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时,可以用韦达定理. 知识点4:一元二次方程的应用 一、考点讲解:1.构建一元二次方程数学模型,常见的模型如下:⑴ 与几何图形有关的应用:如几何图形面积模型、勾股定理等; ⑵ 有关增长率的应用:此类问题是在某个数据的基础上连续增长降低两次得到新数据,常见的等量关系是a1±x2=b,其中a 表示增长降低前的数据,x 表示增长率降低率,b 表示后来的数据.注意:所得解中,增长率不为负,降低率不超过1.⑶ 经济利润问题:总利润=单件销售额-单件成本×销售数量;或者,总利润=总销售额-总成本.⑷ 动点问题:此类问题是一般几何问题的延伸,根据条件设出未知数后,要想办法把图中变化的线段用未知数表示出来,再根据题目中的等量关系列出方程.2.注重解法的选择与验根:在具体问题中要注意恰当的选择解法,以保证解题过程简洁流畅,特别要对方程的解注意检验,根据实际做出正确取舍,以保证结论的准确性. 一元二次方程与实际问题1、病毒传播问题2、树干问题3、握手问题单循环问题4、贺卡问题双循环问题5、围栏问题6、几何图形道路、做水箱7、增长率、降价率问题8、利润问题注意减少库存、让顾客受惠等字样9、数字问题10、折扣问题第二十二章二次函数一、二次函数概念:1.二次函数的概念:一般地,形如2=++a b cy ax bx ca≠的函数,,,是常数,0叫做二次函数. 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a≠,而b c,可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数2y ax bx c=++的结构特征:⑴等号左边是函数,右边是自变量x的二次式,x的最高次数是2.⑵a b c,,是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式:2=的性质:y axa 的绝对值越大,抛物线的开口越小.2.2y ax c=+的性质: 上加下减.3.()2y a x h =-的性质:左加右减.4. ()2y a x h k=-+的性质:三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤:方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+,确定其顶点坐标 ;⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下:【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字“左 右 ,上 下 ”. 方法二:⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上下平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2或m c bx ax y -++=2⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左右平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2或c m x b m x a y +-+-=)()(2四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看,()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a-=-=,.五、二次函数2y axbx c =++图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,若与x 轴没有交点,则取两组对称轴对称的点. 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.六、二次函数2y axbx c =++的性质1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a=-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,. 当2b x a<-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a>-时,y 随x 的增大而增大;当2bx a=-时,y 有最小值244ac b a -.2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a=-,顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大;当2bx a >-时,y 随x 的增大而减小;当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a -.七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式:2y ax bx c =++a ,b ,c 为常数,0a ≠; 2. 顶点式:2()y a x h k =-+a ,h ,k 为常数,0a ≠;3. 两根式两点式:12()()y a x x x x =--0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y axbx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠.⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大;⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大.总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小.2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下,当0b >时,02b a -<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧; 当0b =时,02b a -=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02ba->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧.⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即当0b >时,02b a ->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧; 当0b =时,02b a -=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02ba-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧.总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置.ab 的符号的判定:对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0<ab ,概括的说就是“左同右异” 总结:3. 常数项c⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正;⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0;⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负.总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.总之,只要a b c ,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 二次函数解析式的确定:根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大小值,一般选用顶点式;3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达1. x 轴对称 2y axbx c =++x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---;()2y a x h k =-+x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =---;2. y 轴对称 2y axbx c =++y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+;()2y a x h k =-+y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++;3. 原点对称 2y axbx c =++原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-;()2y a x h k=-+原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k=-+-;4. 顶点对称即:抛物线绕顶点旋转180°2y ax bx c =++顶点对称后,得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-;()2y a x h k=-+顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k=--+.5. 点()m n ,对称()2y a x h k=-+点()m n ,对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线或表达式已知的抛物线的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程:1. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与x 轴交点情况:一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数: ① 当240bac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ,,,12()x x ≠,其中的12x x ,是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根.这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点; ③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >; 2'当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <.2. 抛物线2y axbx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ;3. 二次函数常用解题方法总结:⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑵ 求二次函数的最大小值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y axbx c =++中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ,c 的符号判断图象的位置,要数形结合;⑷ 二次函数的图象对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式2(0)++≠本身就是所含ax bx c a字母x的二次函数;下面以0a>时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:图像参考:y=-2x22y=3(x+4)2(x-2)2y=3x2y=-2(x-3)2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1.考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点, 则m 的值是2-322.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如:如图,如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内,那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是xA B C D3.考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如:已知一条抛物线经过0,3,4,6两点,对称轴为35=x ,求这条抛物线的解析式.4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如:已知抛物线2y axbx c =++a ≠0与x 轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y轴交点的纵坐标是-错误!1确定抛物线的解析式;2用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题. 例题经典由抛物线的位置确定系数的符号例1 1二次函数2y axbx c =++的图像如图1,则点),(ac b M 在A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2已知二次函数y=ax 2+bx+ca ≠0的图象如图2所示,•则下列结论:①a 、b 同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x 的值只能取0.其中正确的个数是 A .1个 B .2个 C .3个 D .4个1 2点评弄清抛物线的位置与系数a,b,c 之间的关系,是解决问题的关键.例2.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点-2,O 、x 1,0,且1<x 1<2,与y 轴的正半轴的交点在点O,2的下方.下列结论:①a<b<0;②2a+c>O;③4a+c<O;④2a -b+1>O,其中正确结论的个数为 A 1个 B. 2个 C. 3个 D .4个 会用待定系数法求二次函数解析式例3.已知:x 的一元二次方程ax 2+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为A2,-3 B.2,1 C2,3 D .3,2例4、如图单位:m,等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动,直到AB 与CD 重合.设x 秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为ym 2.1写出y 与x 的关系式; 2当x=2,时,y 分别是多少 3当重叠部分的面积是正方形面积的一半时, 三角形移动了多长时间求抛物线顶点坐标、对称轴.例5、已知抛物线y=12x 2+x-52.1用配方法求它的顶点坐标和对称轴.2若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B,求线段AB 的长.点评本题1是对二次函数的“基本方法”的考查,第2问主要考查二次函数与一元二次方程的关系.例6.已知:二次函数y=ax 2-b+1x-3a 的图象经过点P4,10,交x 轴于)0,(1x A ,)0,(2x B 两点)(21x x ,交y 轴负半轴于C 点,且满足3AO=OB .1求二次函数的解析式;2在二次函数的图象上是否存在点M,使锐角∠MCO>∠A CO 若存在,请你求出M 点的横坐标的取值范围;若不存在,请你说明理由.1的图象经过点Ac,-2,例7、“已知函数c+=2y+xbx求证:这个二次函数图象的对称轴是x=3.”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字.1根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象;若不能,请说明理由.2请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整.点评:对于第1小题,要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用,再结合条件“图象经过点Ac,-2”,就可以列出两个方程了,而解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数解析式.对于第2小题,只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第1小题中的解析式就可以了.而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标,可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等.用二次函数解决最值问题例1 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x元•与产品的日销售量y 件之间的关系如下表:x元1523…y件2521…若日销售量y是销售价x的一次函数.1求出日销售量y件与销售价x元的函数关系式;2要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元•此时每日销售利润是多少元点评解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有两点:1设未知数在“当某某为何值时,什么最大或最小、最省”的设问中,•“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数;2•问的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程.例2.你知道吗平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5 m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5 m,则学生丁的身高为建立的平面直角坐标系如右图所示A.1.5 m B.1.625 mC.1.66 m D.1.67 m分析:本题考查二次函数的应用第二十三章旋转一、旋转1、定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,其中O 叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角.2、性质1对应点到旋转中心的距离相等.2对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.二、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.2、性质1中心对称的两个图形是全等形.2中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分.3中心对称的两个图形,对应线段平行或在同一直线上且相等.3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形这一点对称.4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个店就是它的对称中心.考点五、坐标系中对称点的特征 3分1、原点对称的点的特征两个点原点对称时,它们的坐标的符号相反,即点Px,y原点的对称点为P’-x,-y2、x轴对称的点的特征两个点x轴对称时,它们的坐标中,x相等,y的符号相反,即点Px,yx轴的对称点为P’x,-y3、y轴对称的点的特征两个点y轴对称时,它们的坐标中,y相等,x的符号相反,即点Px,yy轴的对称点为P’-x,y第二十四章圆一、知识回顾圆的周长: C=2πr或C=πd、圆的面积:S=πr2圆环面积计算方法:S=πR2-πr2或S=πR2-r2R 是大圆半径,r 是小圆半径二、知识要点 一、圆的概念集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;固定的端点O 为圆心.连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径.圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧.2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线;3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线. 二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C在圆内;A2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上;3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外;三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点;2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点;3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点;四、圆与圆的位置关系外离图1⇒无交点⇒d R r>+;外切图2⇒有一个交点⇒d R r=+;相交图3⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+;内切图4⇒有一个交点⇒d R r=-;内含图5⇒无交点⇒d R r<-;图4图5五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧.推论1:1平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;2弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; 3平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论. 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.即:在⊙O 中,∵AB ∥CD∴弧AC =弧BD六、圆心角定理顶点到圆心的角,叫圆心角.圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等. 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,BD只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,即:①AOB DOE ∠=∠;②AB DE =;③OC OF =;④ 弧BA =弧BD七、圆周角定理顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫圆周角. 1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半.即:∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论:推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;即:在⊙O 中,∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径.即:在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径BA推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 即:在△ABC 中,∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.八、圆内接四边形圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角.即:在⊙O 中,∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒DAE C ∠=∠九、切线的性质与判定定理1切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:∵MN OA ⊥且MN 过半径OA外端∴MN 是⊙O 的切线 2性质定理:切线垂直于过切点的半径如上图推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点.BAO推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心. 以上三个定理及推论也称二推一定理:即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.十、切线长定理 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.即:∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠十一、圆幂定理1相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等.即:在⊙O 中,∵弦AB 、CD 相交于点P , ∴PA PB PC PD ⋅=⋅2推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.即:在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥, ∴2CE AE BE =⋅DBA3切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.即:在⊙O 中,∵PA 是切线,PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅4割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如上图. 即:在⊙O 中,∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦. 如图:12O O 垂直平分AB .即:∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式:1公切线长:12Rt O O C ∆中,221ABCO ==2外公切线长:2CO 是半径之差; 内公切线长:2CO 是半径之和 .十四、圆内正多边形的计算。

九年级上册数学各章节知识点总结(最新最全)

九年级上册数学各章节知识点总结(最新最全)

九年级上册数学各章节知识点总结(最新
最全)
1. 有理数与整式有理数与整式
- 有理数的概念及表示方法
- 有理数的大小比较
- 有理数的加法、减法、乘法、除法运算法则
- 整式的定义和基本运算
2. 方程与不等式方程与不等式
- 一元一次方程的概念、解法及应用
- 恒等方程和条件方程
- 一元一次不等式的概念及解法
- 一元一次方程与不等式的综合应用
3. 函数与图像函数与图像
- 函数的概念及表示
- 函数的增减性和奇偶性
- 函数的概率和函数的平移、翻折、对称变换
- 函数图像的特点和简单的函数图像绘制
4. 图形的性质图形的性质
- 平行线与相交线
- 三角形的定义及分类
- 三角形的性质与判定
- 常见四边形的性质及判定
5. 相似与全等相似与全等
- 相似的概念及相似三角形的判定
- 相似比的计算
- 全等的概念及全等三角形的判定
- 全等三角形的性质和应用
6. 三角函数三角函数
- 角的概念及角的度量
- 反义函数、同角三角函数特殊值
- 三角函数的图像
- 三角函数的性质及简单的计算与应用7. 圆圆
- 圆的定义和性质
- 圆上的弧和弦
- 切线与圆的位置关系
- 圆的周长和面积的计算
以上是九年级上册数学各章节知识点的总结,请根据具体情况进行查阅和复习。

最全数学九年级上册重点知识点

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最全数学九年级上册重点知识点(经典版)编制人:__________________审核人:__________________审批人:__________________编制单位:__________________编制时间:____年____月____日序言下载提示:该文档是本店铺精心编制而成的,希望大家下载后,能够帮助大家解决实际问题。

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初三数学上册知识点汇总(文库)

初三数学上册知识点汇总(文库)

初三数学上册必背知识点默写版+解析版专题01一元二次方程(解析版)知识点1:一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念:通过化简后,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般式:3.一元二次方程的解:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根.知识要点:判断一个方程是否为一元二次方程时,首先观察其是否是整式方程,否则一定不是一元二次方程;其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0,看是否具备另两个条件:①一个未知数;②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目,要充分考虑定义的三个特点,不要忽视二次项系数不为0.知识点2:一元二次方程的解法1.基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程2.基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.知识要点:解一元二次方程时,根据方程特点,灵活选择解题方法,先考虑能否用直接开平方法和因式分解法,再考虑用公式法.知识点3:一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式,通常用“∆”来表示,即acb 42-=∆(1)当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根;(2)当△=0时,一元二次方程有2个相等的实数根;(3)当△<0时,一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ,,那么a b x x -=+21,acx x =21.注意它的使用条件为a≠0,Δ≥0.知识要点: 1.一元二次方程的根的判别式正反都成立.利用其可以解决以下问题:(1)不解方程判定方程根的情况;(2)根据参系数的性质确定根的范围;(3)解与根有关的证明题.2.一元二次方程根与系数的应用很多:(1)已知方程的一根,不解方程求另一根及参数系数;(2)已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数;(3)已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.知识点4:列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节:一是整体地、系统地审题;二是把握问题中的等量关系;三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤:审(审题目,分清已知量、未知量、等量关系等);设(设未知数,有时会用未知数表示相关的量);列(根据题目中的等量关系,列出方程);解(解方程,注意分式方程需检验,将所求量表示清晰);验(检验方程的解能否保证实际问题有意义);答(写出答案,切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.知识要点:列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题(列方程),然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.专题02二次函数(解析版)知识点01:二次函数的定义一般地,如果是常数,,那么叫做的二次函数.知识要点:如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0),那么y 叫做x 的二次函数.这里,当a=0时就不是二次函数了,但b、c 可分别为零,也可以同时都为零.a 的绝对值越大,抛物线的开口越小.知识点02:二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①;②;③;④,其中;⑤.(以上式子a≠0)几种特殊的二次函数的图象特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴)(0,0)(轴)(0,)(,0)(,)()2.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向:当时,开口向上;当时,开口向下;相等,抛物线的开口大小、形状相同.(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地,轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中,,,a b c 的作用:(1)决定开口方向及开口大小,这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故:①时,对称轴为轴;②(即、同号)时,对称轴在轴左侧;③(即、异号)时,对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时,,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0,):①,抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴;③,与轴交于负半轴.以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧,则.4.用待定系数法求二次函数的解析式:(1)一般式:(a≠0).已知图象上三点或三对、的值,通常选择一般式.(2)顶点式:(a≠0).已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”:已知图象与轴的交点坐标、,通常选用交点式:(a≠0).(由此得根与系数的关系:).求抛物线2y ax bx c =++(a≠0)的对称轴和顶点坐标通常用三种方法:配方法、公式法、代入法,这三种方法都有各自的优缺点,应根据实际灵活选择和运用.知识点03:二次函数与一元二次方程的关系函数,当时,得到一元二次方程,那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标,因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点,这时,则方程有两个不相等实根;(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点,这时,则方程有两个相等实根;(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点,这时,则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系:的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解知识要点二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点,这时,则方程有两个不相等实根;(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点,这时,则方程有两个相等实根;(3)当二次函数的图象与x轴没有交点,这时,则方程没有实根.知识点04:利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题,要建立数学模型,即把实际问题转化为二次函数问题,利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系,建立函数关系式,再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是:(1)建立适当的平面直角坐标系;(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来;(3)用待定系数法求出抛物线的关系式;(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.知识要点常见的问题:求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系,把实际问题转化为函数问题,列出相关的函数关系式.专题03旋转(解析版)知识点01:旋转1.旋转的概念:把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′,那么,这两个点叫做这个旋转的对应点.知识要点:旋转的三个要素:旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等(OA=OA′);(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;''').(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C知识要点:图形绕某一点旋转,既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图:在画旋转图形时,首先确定旋转中心,其次确定图形的关键点,再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度,然后连接对应的部分,形成相应的图形.知识要点:作图的步骤:(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心;(2)把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角);(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离,得到各点的对应点;(4)连接所得到的各对应点.知识点02:特殊的旋转—中心对称1.中心对称:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.知识要点:(1)有两个图形,能够完全重合,即形状大小都相同;(2)位置必须满足一个条件:将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的,而中心对称的两个图形一定是全等的).2.中心对称图形:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.知识要点:(1)中心对称图形指的是一个图形;(2)线段,平行四边形,圆等等都是中心对称图形.知识点03:平移、轴对称、旋转平移、轴对称、旋转之间的对比平移轴对称旋转相同点都是全等变换(合同变换),即变换前后的图形全等.不同点定义把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换.把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换.把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换.图形要素平移方向平移距离对称轴旋转中心、旋转方向、旋转角度性质连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等.任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分.对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角.对应线段平行(或共线)且相等.任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分.*对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角,即:对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等.专题04圆(解析版)知识点01:圆的定义、性质及与圆有关的角1.圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线,叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.知识要点:①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;确定一个圆应先确定圆心,再确定半径,二者缺一不可;②圆是一条封闭曲线.2.圆的性质(1)旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形,对称中心是圆心.在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称:圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论:①垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.要点诠释:在垂经定理及其推论中:过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧,在这五个条件中,知道任意两个,就能推出其他三个结论.(注意:“过圆心、平分弦”作为题设时,平分的弦不能是直径)3.两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形,对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦,相切两圆的连心线经过切点.4.与圆有关的角(1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质:圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角:顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质:①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角.知识要点:(1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上;②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.知识点02:与圆有关的位置关系1.判定一个点P是否在⊙O上设⊙O的半径为,OP=,则有点P在⊙O外;点P在⊙O上;点P在⊙O内.知识要点:点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的,即知道位置关系就可以确定数量关系;知道数量关系也可以确定位置关系.2.判定几个点A1、A2...An在同一个圆上的方法当时,在⊙O上.3.直线和圆的位置关系设⊙O半径为R,点O到直线的距离为.(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4.切线的判定、性质(1)切线的判定:①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质:①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长:从圆外一点作圆的切线,这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理:从圆外一点作圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5.圆和圆的位置关系设的半径为,圆心距.(1)和没有公共点,且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点,且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点,除这个点外,每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点,除这个点外,的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.知识点03:三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1.三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心:是三角形三条角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“I”表示.(2)三角形的外心:是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心,锐角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用O表示.(3)三角形重心:是三角形三边中线的交点,在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍,通常用G表示.(4)垂心:是三角形三边高线的交点.知识要点:(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆,但任意一个圆都有无数个外切三角形;(2)解决三角形内心的有关问题时,面积法是常用的,即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半,即(S为三角形的面积,P为三角形的周长,r为内切圆的半径).(3)三角形的外心与内心的区别:名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC;(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等;(2)OA、OB、OC 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB;(3)内心在三角形内部.2.圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形,圆内接四边形对角互补,外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形,圆外切四边形对边之和相等.知识点04:圆中有关计算1.圆中有关计算圆的面积公式:,周长.圆心角为、半径为R 的弧长.圆心角为,半径为R,弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形,底面半径为R,母线长为的圆柱的体积为,侧面积为,全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形,底面半径为R,母线长为,高为的圆锥的侧面积为,全面积为,母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.(1)对于扇形面积公式,关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的,即。

数学九年级上册知识点归纳总结

数学九年级上册知识点归纳总结

数学九年级上册知识点归纳总结
一、代数
1.1 有理数
•有理数的概念
•有理数的比较
•有理数的加减乘除
1.2 代数式及规律性计算
•代数式的概念
•代数式的运算
•代数式的应用
二、方程与不等式
2.1 一元一次方程
•一元一次方程的概念
•一元一次方程的解法
•一元一次方程的应用
2.2 一元一次不等式
•一元一次不等式的概念
•一元一次不等式的解法
•一元一次不等式的应用
三、图形与几何
3.1 平行线与相交线
•平行线的性质
•相交线的性质
•平行线与相交线的应用
3.2 三角形
•三角形的分类
•三角形的性质
•三角形的应用
四、概率与统计
4.1 概率
•随机事件与概率
•试验与事件
•概率的计算与应用
4.2 统计
•数据的收集与整理
•数据的分析与表示
•统计调查与应用
五、综合运用
5.1 应用题
•数学知识点的综合运用
•实际问题的数学建模
•解决实际问题的数学方法
以上是数学九年级上册的知识点归纳总结,希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这些知识。

人教版九年级数学上册知识点整理(完整版)

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人教版九年级数学上册知识点整理(完整版)人教版九年级数学上册知识点整理一、有理数有理数是整数和分数的集合。

有理数的数轴上,0的左侧是负有理数,右侧是正有理数。

加、减、乘、除有理数的运算规则。

二、立方根如果一个数的立方等于另一个数,那么这个数叫做另一个数的立方根。

三、代数式由数、变量及运算符号组成的式子叫做代数式。

其中数叫做常数项,变量叫做一次项。

四、图形的基本要素和运动绿色的箭头表示平移,红色的箭头表示旋转,蓝色的箭头表示对称。

五、全等三角形若两个三角形的三边和三角形的三个角分别相等,则称这两个三角形全等。

六、相似三角形若两个三角形的三个角分别相等,则称这两个三角形相似。

七、平移与旋转1、平移:用平移将一个点沿一个方向移动到另一个位置,移动的距离及方向相同,不改变点的属性。

2、旋转:以一个点为中心旋转某个图形的每个点,旋转的角度相同,不改变图形的形状和大小。

八、直线和角两条不共线的直线分别与一条直线相交所形成的两个相邻角互为补角。

九、相反数两个数互为相反数,当且仅当它们的和为0。

十、分数的意义和性质1、通分:将几个分数化成分母相同的分数。

2、分数的约分、化分;十一、用比例表示实际问题利用比例,确定两个量之间的等比关系,以解决实际问题。

十二、扇形和弧1、扇形是由两条半径及其所夹的圆周构成。

2、弧是圆上任意两点之间的弧。

3、圆心角,切线和弦的关系。

十三、比例和类比1、比例含义:比例是两个量之间的等比关系。

2、异比例的解决方法:设比例系数为k,则两个量之间的关系为y=kx或xy=k。

十四、平行四边形和直角梯形1、平行四边形的性质:对角线互相平分;一个角的补角等于它的邻角。

2、直角梯形:有两条平行的底和两个底的夹角为90°的四边形。

十五、直角三角形1、勾股定理:直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和。

2、定比分点定理:在一条线段上,任意三点A、B、C,如果AC:CB=k:1,则称B为AC上的k:1分点。

九年级上册知识点大全数学

九年级上册知识点大全数学

九年级上册知识点大全数学一、有理数1. 整数的概念和性质2. 正负数的比较和大小3. 有理数的加减法运算4. 有理数的乘法运算5. 有理数的除法运算6. 有理数的混合运算7. 有理数的运算定律二、代数式与方程式1. 代数式的定义和性质2. 代数式的加减法运算3. 代数式的乘法运算4. 一元一次方程的概念和解法5. 一元一次方程的应用6. 一元一次方程组的概念和解法7. 一元一次方程组的应用三、几何图形1. 点、线、面的概念2. 平行线和垂直线的性质3. 三角形的分类和性质4. 四边形的分类和性质5. 五线图形的分类和性质6. 直角三角形和勾股定理7. 圆的概念和性质四、图形的相似与等腰三角形1. 图形的相似性判定2. 相似三角形的性质和判定3. 图形的放缩与相似比例4. 等腰三角形的概念和性质5. 等腰三角形的判定和性质应用五、数列与函数1. 数列的概念和性质2. 数列的通项公式和前n项和公式3. 等差数列与等差数列的求和公式4. 等比数列与等比数列的求和公式5. 函数的概念和性质6. 一次函数和一次函数图像7. 一次函数的斜率和截距六、数据统计与概率1. 统计调查和数据收集2. 数据的整理、分析和展示3. 平均数和中位数的计算4. 概率的基本概念和计算5. 事件的概率与互斥事件6. 概率分布和频率分布7. 抽样和抽样调查在九年级上册数学学习中,这些知识点的掌握对于解决数学问题和应用数学知识具有重要意义。

通过对整数、代数式和方程式、几何图形、相似与等腰三角形、数列与函数、数据统计与概率等知识的学习,可以锻炼学生的逻辑思维能力、问题解决能力和数学运算技巧。

同时,在学习的过程中,要注意理论与实践的结合,通过大量的练习和实际问题的应用,培养学生的数学思维和实际解决问题的能力。

此外,在学习数学的过程中,要注重培养学生的数学思维方法和逻辑推理能力,提高解决问题的能力和创新意识。

九年级上册数学知识点的掌握将为学生在中学和高中的数学学习打下坚实的基础,为今后对数学的深入研究和应用打下良好的基础。

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九年级上册数学知识点总结归纳
第二十一章 一元二次方程
知识点1:一元二次方程的概念
一元二次方程:只含有一个未知数,未知数的最高次数是2,且系数不为 0,这样的方程叫一元二次方 程. 一般形式:ax 2
+bx+c=0(a ≠0)。

注意:判断某方程是否为一元二次方程时,应首先将方程化为一般形式。

知识点2:一元二次方程的解法
1.直接开平方法:对形如(x+a )2
=b (b ≥0)的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。

X+a=±
b
∴1x =-a+b 2x =-a-b
2.配方法:用配方法解一元二次方程:ax 2
+bx+c=0(k ≠0)的一般步骤是:①化为一般形式;②移项,将常数项移到方程的右边;③化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数;④配方,即方程两边都加上一次项系数的一半的平方;化原方程为(x+a )2
=b 的形式;⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解;如果b<0,则原方程无解. 3.公式法:公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通过配方推导出来的.一元二次方程的求根公式
是a
ac b b x 242-±-=(b 2
-4ac ≥0)。

步骤:①把方程转化为一般形式;②确定a ,b ,c 的值;③求出b 2
-4ac 的值,当b 2
-4ac ≥0时代入求根公式。

4.因式分解法:用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法.理论根据:若ab=0,则a=0或b=0。

步骤是:①将方程右边化为0;②将方程左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式等于0,得到两个一元一次方程乘积的形式,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解. 因式分解的方法:提公因式、公式法、十字相乘法。

5.一元二次方程的注意事项:
⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意,强调a ≠0.因当a=0时,不含有二次项,即不是一元二次方程.
⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意:①先化方程为一般形式再确定a ,b ,c 的值;②若b 2
-4ac <0,则方程无解.
⑶ 利用因式分解法解方程时,方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如-2(x +4)2
=3(x +4)中,不能随便约去x +4。

⑷ 注意:解一元二次方程时一般不使用配方法(除特别要求外)但又必须熟练掌握,解一元二次方程的一般顺序是:
开平方法→因式分解法→公式法. 6.一元二次方程解的情况
⑴b 2
-4ac ≥0⇔方程有两个不相等的实数根;
⑵b 2
-4ac=0⇔方程有两个相等的实数根;
⑶b 2
-4ac ≤0⇔方程没有实数根。

解题小诀窍:当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时,往往首先考虑用b 2
-4ac 解题。

主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。

知识点3:根与系数的关系:韦达定理
对于方程ax 2
+bx+c=0(a ≠0)来说,x1 +x2 =—a b ,x1●x2= a c。

利用韦达定理可以求一些代数式的值(式子变形),如212
2122212)(x x x x x x -+=+
2
121211
1x x x x x x +=+。

解题小诀窍:当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时,可以用韦达定理。

知识点4:一元二次方程的应用 一、考点讲解:
1.构建一元二次方程数学模型,常见的模型如下:
⑴ 与几何图形有关的应用:如几何图形面积模型、勾股定理等;
⑵ 有关增长率的应用:此类问题是在某个数据的基础上连续增长(降低)两次得到新数据,常见的等量关系是a(1±x )2=b ,其中a 表示增长(降低)前的数据,x 表示增长率(降低率),b 表示后来的数据。

注意:所得解中,增长率不为负,降低率不超过1。

⑶ 经济利润问题:总利润=(单件销售额-单件成本)×销售数量;或者,总利润=总销售额-总成本。

⑷ 动点问题:此类问题是一般几何问题的延伸,根据条件设出未知数后,要想办法把图中变化的线段用未知数表示出来,再根据题目中的等量关系列出方程。

2.注重解法的选择与验根:在具体问题中要注意恰当的选择解法,以保证解题过程简洁流畅,特别要对方程的解注意检验,根据实际做出正确取舍,以保证结论的准确性. 一元二次方程与实际问题 1、 病毒传播问题 2、 树干问题
3、 握手问题(单循环问题)
4、 贺卡问题(双循环问题)
5、围栏问题
6、几何图形(道路、做水箱)
7、增长率、降价率问题
8、利润问题(注意减少库存、让顾客受惠等字样)
9、数字问题
10、折扣问题
第二十二章二次函数
一、二次函数概念:
1.二次函数的概念:一般地,形如2
=++(a b c
y ax bx c
a≠)的函数,叫做二次函数。

这里
,,是常数,0
需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0
a≠,而b c
,可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
2. 二次函数2
y ax bx c
=++的结构特征:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.
⑵a b c
,,是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式:2
=的性质:
y ax
a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

=+的性质:
y ax c
上加下减。

3. ()2
y a x h =-的性质:
左加右减。

4.
()2
y a x h k =-+的性质:
三、二次函数图象的平

1. 平
移步骤:
方法一:⑴
将抛物线解析式转
化成顶点

()2
y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ;
⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,
处,具体平移方法如下:
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左 右 ,上 下 ”. 方法二:
⑴c bx ax y ++=2
沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2
变成
m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)
⑵c bx ax y ++=2
沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2
变成c m x b m x a y ++++=)()(2
(或
c m x b m x a y +-+-=)()(2)
四、二次函数()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较
从解析式上看,()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2
2424b ac b y a x a a -⎛⎫=++
⎪⎝
⎭,其中2424b ac b h k a a -=-=,. 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,
(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.
六、二次函数2y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b
x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
,.
当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b
x a =-时,y 有最小值244ac b a -.
2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
,.当2b
x a <-
时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b
x a
=-时,y 有最大值244ac b a -.
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);
2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);
3. 两根式(两点式):12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x。

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