斐波那契法论文

1 方法原理介绍及最优性证明
1.1 斐波纳契法
对于一维搜索，斐波那契数列法【1】
曾作为一种算法而呈现它在计算过程中的最优性，
下面我先介绍一下此算法。

假定f(x)在区间[a,b]上是单峰函数，即f(x)在[a,b]上只有一个极值点x *，若它是极小点，则f(x)在x *左边严格单减，而f(x)在x *右边严格单增。

如果我们打算通过某种取点方式只计算n 次函数值，就将f(x)在[a,b]上的近似极小点求出来（严格地讲是把极小点存在的区间长度缩到最小），那么我们可以按照下面的办法即斐波那契（数列）法：
取x 1=a +
F n−2F n (b −a ) ，x 1̃=a +F n−1
F n
(b −a )，计算f (x 1)和f(x 1̃) 若f (x 1)≤f (x 1̃)，则置a 1=a ，b 1=x 1̃；若f (x 1)>f (x 1̃)，则置a 1=x 1，b 1=b 我们在新区间[a 1,b 1]上仿上面办法插入点x 2=a 1+F
n−3F n−1
(b 1−a 1) ，x 2̃=a 1+
F n−2F n−1
(b 1−a 1)，重复上面的做法可得[a 2,b 2]，如此做下去。

我有必要指出以下三点：
（1）每迭代一次新区间的长度为原来区间长的
F n−k
F n−k+1
(k =1,2……n −1)
比如第一次迭代，注意到x 1̃−a =
F n−1F n
(b −a )，
b −x 1=b −[
F n−2F n (b −a )+a]=F n −F n−2F n (b −a )=F n−1
F n
(b −a) 结论便是显然的了，对于后面的计算，道理同上。

（2）每迭代一步，区间缩小后保留的点，在下步迭代中还可使用。

在第二步迭代中，必有下面四种情况之一发生x 1=x 2，x 1̃=x 2，x 1=x 2̃，x 1̃=x 2̃ 容易验证：当f (x 1)≤f (x 1̃)时，x 2̃=x 1；当f (x 1)>f (x 1̃)时，x 2=x 1̃。

这说明保留的点与新插入的点之一重合，即在第二步迭代中只需计算3个点的值。

类似的，第n-1步迭代只需计算n 个点的函数值，而且容易算出，这是区间[a n-1，b n-1]的长b n−1−a n−1=
F n−1F n
∙F n−2F n−1
∙⋯⋯∙F 1F 2
(b −a )=F 1F n
(b −a )=1
F n
(b −a )
（3）进行n-1步迭代时，x n−1=a n−2+F 0F 2
(b n−2−a n−2) ，x n−1̃=a n−2+F
1
F 2
(b n−2−a n−2)
这样x n−1=x n−1̃=1
2(a n−2+b n−2)，这时无法比较函数值f (x n−1)与f (x n−1̃)来确定最后的区间[a n-1，b n-1]。

为此取{x n−1=1
2(a n−2+b n−2)
x n−1̃=x n−1+δ，其中δ是一个很小的正数，这样就可以比较f (x n−1)
与f (x n−1̃)的值以确定最后的区间[a n-1，b n-1]，取1
2(a n−1+b n−1)为近似极小点，相应的函数
值为近似极小值。

1.2 斐波那契法最优性证明
对于单峰函数来讲，它是最优的
【2】。

设L n 为某区间的长度：它使按某种取点方式求n
次函数值后，在可能遇到的各种情况下，总能把新区间（又称搜索区间）的长度缩为1，最优取点方式应保证使L n 最大。

设L k 的上确界为u k （k=1,2……，n ）。

显然，u k 就是计算第k 次函数值总能把搜索区间缩短到1的最大区间长度，由于要计算两次函数值后才能缩短区间，故u 0=u 1=1。

今估计对应于计算n 次函数值的上界u n . 设最初的两个试探点为x 1和x 2（x 1< x 2），则余下来还可以计算n-2次函数值。

极小点可能位于区间[a ，x 1]，也可能位于区间[x 1，b]。

当极小点位于[a ，x 1]时，我们必须借助于在其中计算n-2次函数值，把该区间缩短为1，故应有x 1−a ≤u n−2。

当极小点位于[x 1，b]上时，除了可再计算n-2次函数值外，还能利用其中已计算的一点x 2处的函数值，所以总共可以利用（n-2）+1=n-1次函数值，故应有b −x 1≤u n−1
于是我们有L n =b −a ≤u n−2+u n−1 ， 故u n =u n−2+u n−1
由斐波那契数列取点法及上面的推算，知该算法经n 次函数求值解保证把搜索区间缩为原来的1
F n ，从而它是最优的。

我们有必要说明一点，以上所谓的斐波那契法最优性的证明，是指取点方式为两个试探点的情况下，斐波那契法是最优的。

1.3 黄金分割法
斐波那契法可以衍生到黄金分割法
【3】
，为什么这么说呢，如果我们用斐波那契法以n
个试点来缩短某一区间时，缩短率分别为F n−1
F n
，F n−2F n−1
，⋯⋯，F
1F 2。

我们知道，当n →∞时，
lim
n→∞F n−1
F n
=0.6180339874189848，于是，我们不妨以不变的区间缩短率0.618代替斐波那契
法每次不同的缩短率，就得到黄金分割法，也称0.618法，它可以看成斐波那契法的近似，实现起来较容易。

下面我给出一个直观的说明
【4】
：
为了方便起见，我们把区间长度（试验范围）视为1，即区间[0，1]。

如下图所示
为比较结果，我们至少要取两点c ，c 1， 计算函数值后，可能去掉区间[0，c]或[c 1,1]， 因去掉的区间希望是相等的，这样下一次比 较时可少算一点的函数值，故应适合关系式 c=1- c 1，此即说c ，c 1是两个对称点。

若计算比较后去掉（c 1，1]，留下[0，c 1]，而点c 应为[0，c 1]中位置与c 1在[0，1]中所
处位置的点，即它们的比应相等，即： 1：c 1=c 1:c ⇒c 12
=c
又由c=1- c 1，从而有c 12
+c 1−1=0。

解得c 1=
√5−1
2
（只取正根）。

1.4 算例分析
例：用多种一维搜索方法（如斐波那契法、黄金分割法、二次插值法、二分法）求函数f (x )=x 4−4x 3−6x 2−16x +4在区间[-1，6]上的极小点，并要求误差不超过10−3。

解：用斐波那契法的程序见附录1
迭代次数为20次，极小点x=3.9996。

用黄金分割法的程序见附录2 迭代次数为21次，极小点x=3.9966。

用二次插值法的程序见附录5 迭代次数为15次，极小点x=3.9981。

用二分法的程序见附录6
迭代次数为13次，极小点x=4.0001。

下面我们换个角度再来看一下此问题，我们固定迭代次数，比较各个方法的误差，得到如下图1所示图像。

迭代次数
误差
1
0 C 1 C
在上图中，横坐标代表迭代次数，纵坐标代表误差。

从上往下看，第一条线表示用黄金分割法的情形，第二条线表示用斐波那契法的情形，第三条线表示用二次插值法的情形，第四条线表示用二分法的情形。

我们从图中也可以看出，对于每一步插入两个试探点的情况，斐波那契法略好于黄金分割法，至于二分法，因其每一步只插入一个试探点，收敛速度为(12)n
，其图像也是位于以上所有图像的最下端，故它优于其他三种方法。

1.5 优缺点
一维搜索方法有很多，斐波那契法和黄金分割法以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，且对函数除要求是单峰函数外，不做其他要求，可以不可微，甚至可以不连续，从而适用面较广。

但它也有劣势，如收敛效率较低，一旦函数可微，用牛顿法、共轭梯度法等其他搜索方法收敛速度将快很多。