蒙特卡洛方法和拟蒙特卡洛方法在期权定价中应用的比较研究

1926
科 学 技 术 与 工 程
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9卷
的值有 m = 2 或者 M ersenne 素数 m = 2 - 1。为满
1 基本概念与随机数的生成原理
蒙特卡洛方法 (Monte Carlo method 又称 MC ) , 也称统计模拟方法 , 是 20 世纪 40 年代中期由于科 学技术的发展和电子计算机的发明 , 而被提出的一 种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值 计算方法 。它把问题看成一个黑箱 , 输入伪随机数 流 ,通过分析输出 ,得到感兴趣的估计值 。 随着拟随机序列的出现 , 蒙特卡洛方法也已经 发展到拟蒙特卡洛方法 ( Quasi2 Monte Carlo m ethod 又称 QMC ) 。两者虽然方法相似但理论基础不同 。 拟蒙特卡洛方法对估计效果的改进取决于拟随机 序列在抽样样本空间中分布的均匀性 。序列分布 得越均匀 ,其改进效果越明显 。通常用偏差率来表 示这种均匀性 , 均匀程度越高 , 其偏差率越低 。因 此拟随机序列有时也称为低偏差率序列 , 拟随机序 列的模拟也可称为低偏差率序列的模拟 。 蒙特卡洛方法成功与否 , 很大程度上取决于随 机数序列的选取 。产生随机数序列有多种不同的 方法 。这些方法被称为随机数发生器 。随机数最 重要的特性是它产生的后面的那个数与前面的那 个数毫无关系 。现实生活中不可能产生绝对随机 的随机数 , 计算机也只能生成相对的随机数 , 即伪 随机数 。
1. 1 伪随机数序列
足更高精度的计算需求 , m 的值也会取 2 。线性同 余生成器可以达到的最长周期为 m - 1, 我们可以通 过适当的选择 m 和 a, 使无论选取怎样的初值 y0 , 都 可以达到最大周期 。
1. 2 拟随机数序列
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差异性是对点的分布均匀性的一种说明 , 低差 异指分布较均匀 。拟随机数具有低差异性的特点 。 好的均匀分布很需要低差异性 。在多维均匀分布 中 , 低差异表示点之间没有大的距离及大的聚集 现象 。 拟随机数序列是低偏差的确定性序列 , 这些随 机数就是实际问题中需要模拟的概率分布的样本 。 这些序列的任意长的子序列都能均匀的填充在空 间中 。满足这个要求的常见的序列有 Halton 序列 、
C0 = e
- rT
上式中的⊕代表二进制的按位或运算 , 其基本 运算规则为
1 ⊕ 0 = 0 ⊕ 1 ≡1, 1 ⊕ 1 = 0 ⊕ 0 ≡0。
通过 以 上 的 随 机 数 生 成 方 法 生 成 的 都 是 U
( 0, 1 )的均匀分布的随机数 , 它是生成其他概率分
EQ ( max ( S T - K, 0 ) ) , 其中 EQ 为风
q
价格 , 在 B lack 2Schloes的条件下 , 标的资产的股票价 格 S ( t) , 采用几何布朗运动建模 , 即 :
B ( t) = exp ( rt) , S ( t) = S0 exp
来自百度文库
对于 i . > q, 利用递归公式
vi = c1 vi - 1⊕ c2 vi - 2⊕ … ⊕ cq vi - q⊕ vi - q / 2 。
一维的 Halton序列 , 即以一个大于等于 2 的数 ∈ I 0, 1 , n = 0, 1, …。 为基的序列就是著名的 Van der Corput 序列 , 是最 简单也是最基本的拟随机序列 。
1. 2. 2 Sobol′ 序列 Sobolπ 序列的每个维度都是以 2 为基的 Van der
( 2008 ) [ 3 ] 评价了蒙特卡洛模拟的三个改进方向 : 基
本方差减少技术 、 拟蒙特卡洛模拟 、 随机化的拟蒙 特卡洛模拟 ,提出了利用超均匀序列 Ha1 ton 序列的 拟蒙特卡洛模拟技术 。
作者简介 : 牟旷凝 , E 2 maiL : kuangning . mu@ gmail . com。
[2] 切实可行的方法 。李亚妮 ( 2007 ) 对比了拟蒙特
假设 。实际上 ,该定价模型中的一些不确定因素是 很难事先确定的 。为了解决期权定价中不确定因 素产生的影响 ,有学者把蒙特卡洛模拟方法应用到 期权定价中 。该方法可以有效地通过统计方法消 除不确定性对价值计算的影响 。在用蒙特卡洛方 法进行计算时产生的序列为伪随机数序列 。伪随 机数序列由确定的算法生成 , 看似具有随机性 , 实 则无法做到真正的随机 , 无论伪随机数用什么方法 产生 ,它的局限性在于这些随机数总是一个有限长 的循环集合 , 而且序列偏差的上确界达到最大值 ,
第 10 卷 第 8 期 2010 年 3 月 1671 21815 (2010) 08 21925 205
科 学 技 术 与 工 程
Science Technology and Engineering
Vol110 No18 M ar12010
2010 Sci1 Tech1 Engng1
蒙特卡洛方法和拟蒙特卡洛方法 在期权定价中应用的比较研究
牟旷凝
(上海交通大学安泰经济与管理学院 ,上海 200030)
摘 要 在期权的交易中 ,最关键的问题是期权定价 。蒙特卡洛模拟作为期权定价的有效的数值方法之一 , 近年来发展迅 速 。然而蒙特卡洛方法产生的随机数为伪随机数有收敛速度慢 、 计算量大等缺陷 。拟蒙特卡洛模拟是采用拟随机数序列代 替伪随机数序列的蒙特卡洛模拟 。通过考察线性同余发生器 ; Halton 序列 、 Sobolπ 序列等拟随机数序列的特点 ,以欧式看涨期 权为对象研究了蒙特卡洛方法和拟蒙特卡洛方法的有效性 。对比实验显示了拟蒙特卡洛模拟明显优于蒙特卡洛模拟 。 关键词 蒙特卡洛模拟 拟蒙特卡洛模拟 随机序列 期权定价 中图法分类号 F830. 9; 文献标志码 A
( t)为债券在 t时刻的价格 , T 为到期时间 , K为执行
的数 vi 而构造的 。设 m i 是小于 2 的正奇数 , 有
vi = mi
i
2
i
。
数 vi (同时 m i ) 的生成借助于简单多项式 x + c1 x
q q- 1
+ … + cq - 1 x + 1, ci ∈ 0, 1 。
B 2S定价模型为实物期权进行定价时 , 作了很多的
因此低偏差的确定性序列非常有用 。随着 Halton 序列 、 Faure序列 、 Sobolπ 序列等拟随机序列的产生 , 蒙特卡洛模拟也发展到了拟蒙特卡洛模拟 。
[1] 雷桂媛 ( 2003 ) 认为我们经常要面临一些有
非常高维数的问题 。因为蒙特卡洛方法是对问题 进行采样 , 所以它不是严格的 、 精确的解法 。但是 我们能用相对于问题的维数而言相当小的样本得 到近似精确解 。事实上 , 虽然蒙特卡洛和拟蒙特卡 洛方法可能比较耗时 , 但它们是解决高维问题唯一
险中性的数学期望 。 其具有封闭的定价方程 :
C0 = S0 N ( d1 ) - K exp ( - rT ) N ( d2 ) ; d1 = d1 =
布随机数的基础 。然而在实际的金融计算中 , 多使 用的是正态分布函数 。现已得到了 U ( 0, 1 ) 分布 , 主要有两种将 U ( 0, 1 ) 随机数转换为其他分布的随 机数的方法 : 逆变换法和舍取方法 。这一过程在
yn + 1 ≡ayn + cmodm , n = 0, 1, …。
点得到一个序列 h = ( 01100012 , 012213 , 01235 ) , 即
h = ( 01501 953, 01925 926, 01520 000 ) 。
于是线性同余伪随机数就可以用这些数除以 m 得到
xn = yn m
M atlab 可以使用相应函数实现 , 在此不再累述 。
σ2 ) T lg ( S0 / K ) + ( r + 1 / 2 σ T σ T
[5 ]
; ;
σ2 ) T lg ( S0 / K ) + ( r - 1 / 2 。
2 期权定价
期权按照买者的权利划分 , 期权可分为看涨期 权和看跌期权 。凡是赋予期权买者购买标的资产 权利的合约 , 就是看涨期权 ; 而赋予期权买者出售 标的资产权利的合约就是看跌期权 。显然看涨期 权的购买者预期标的资产价格上涨 , 而看跌期权的 购买者预期标的资产价格下跌 。期权按照买者执 行期权的时限划分 , 期权可分为欧式期权和美式期 权 . 欧式期权的买者只能在期权到期日才能执行期 权 。而美式期权允许买者在期权到期前的任何时 间执行期权 。尽管欧式期权更易于定价 , 但实际交 易的期权大多都是美式期权
的位数的形式 , 然后将这些数位反序排列再在前面 加小数点而得到的值 。将 n 维的 Halton 序列表示 成 h1 , h2 , …, 其中每一个随机数都是 n 维向量 , 即
hi = ( hi1 , hi2 , …, hin ) 。通常的步骤如下 , 首先选择 n
个基 b1 , b2 , …, bn , 通常会选择前 n 个素数 , 对于一个 整数 m , 可以将 m 表示为基于 bj 的形式 , 然后再将这 些数按反序排列再在前面加上小数点得到的新的值 , 表示成十进制位数就是序列中某个向量的第 j个元 素 。举个例子 , 比如取 n = 3, 即是 3维的随机序列 , 基 于前三个素数 2, 3, 5。取数为 17, 即把其分别表示为
对于 m i , 对应的递归公式为
m i = 2 c1 m i - 1⊕ 2 c2 m i - 2⊕ … ⊕ 2 cq m i - q⊕ m i - q 。
2
p
μ-
1 2 σ t +σ Wt , 2
其中 W = W t , t≥0 , 为标准布朗运动 , r为无风险 利率 。 在风险中性的条件下 , 欧式看涨期权的定价公 式为 :
这里 , m 被称作模 , a 被称作乘数 。模的选择通 常是根据计算机的字长 , 通常选择 m 为质数 。典型
8期
牟旷凝 : 蒙特卡洛方法和拟蒙特卡洛方法在期权定价中应用的比较研究
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Corput 序列 。 Sobolπ 序列是基于一组叫做“ 直接数 ”
期权定价问题就是求 V T = V ( S T , T ) 。 根据 B S 市场模型 : 假定进入市场由两项资产 构成 ; 债券市场 (无风险资产 ) 和股票市场 (风险资 产 ) 。设 S ( t) 为标的资产股票在 t 时刻的价格 , B
2009 年 12 月 2 日收到
卡洛方法与蒙特卡洛方法在误差估计方面的差异 , 结合已有文献的实证结果分析了拟蒙特卡洛方法 应用于期权定价应注意的问题 。利用 ( t, m , d ) — 网 格与 ( t, d ) — 序列的知识说明了低偏差序列的均匀 性并指出低偏差序列起始点选择与高维聚丛效应 ; 讨论了最新的研究方向 : 随机化拟蒙特卡洛和降低 有效维的布朗桥与主成分技术 。向文彬 , 向开理
17 = 100012 , 17 = 1223 , 17 = 325 , 反序再在前面加小数
一个广泛使用的产生均匀伪随机数的方法是线 性同余方法。线性同余方法有三个参数 , 其中 m 是 值很大的正整数 , a 是满足 1 ≤a ≤m 和 gcd ( a, m ) = 1 的整数 , c 是集合 Zm = ( 0, 1, …, m - 1 ) 的任意元素 。 一旦我们选择 、 确定了初始值 y0 ∈Zm , 就可以用下列 的递归公式产生一系列的数 y0 , y1 , …∈Zm 。
随着金融市场的不断完善和发展 , 金融衍生产 品类型越来越丰富 , 期权逐渐成为一种重要的基础 性金融衍生产品 。期权 ( Op tion ) , 是指赋予其购买 者在到期日内按双方约定的价格或执行价格购买 或出售一定数量标的资产的权利的合约 。一份期 权合约的主要要素就是标的资产 、 到期日和敲定价 格 。期权定价是期权交易的首要问题 , 在期权定价 方面首推著名的 B lack 2Scholes期权定价公式 。在用
Sobolπ 序列 、 N iederreiter序列 、 Van der Corput 序列 、 Faure序列等等 。这里只介绍下文中将使用的 Hal2 ton 序列和 Sobolπ 序列 。 1. 2. 1 Halton 序列 Halton 序列是基本的低偏差序列 。 n 维的 Hal2 ton 序列是以 n 个数为基 , 将一系列数表示成某个基