第五章 ——第五次课自动控制理论

对应于闭环幅频值不低于-3dB的频率范围 0 < w ≤wb，通常称为系 统的频带宽度。
系统的频带宽度反映系统复现输入信号的能力，频带越宽，系 统瞬态响应速度越快，对输入信号的跟随性能越好，调整时间 越短，但是系统抑制高频的能力会降低。
例：设有两个控制系统，他们的传递函数分别为
C1 s 1 R1 s s 1
wg
j
② 若 Kg = 1 ，闭环系统处 于临界稳定；
③ 若 Kg < 1 ，表明闭环系 统不稳定。
0
1
G(jw)
言不可能选得非常大。
越大，Kg越大，则系统的相对稳定性越好。但对实际系统而
一般可取在 30°～60°，Kg > 6dB相对稳定性较好。
对于开环不稳定的系统，不能用增益裕量和相位裕量来判断其 闭环系统的稳定性。 下图同时给出了奈氏图和博德图表示稳定和不稳定系统的相位 裕量。
频率响应法是通过系统的开环频率特性和闭环频率特性 的一些特征量间接的表征系统的瞬态响应的性能，因而这些 特征量又被称为频域性能指标。闭环系统的频域性能指标反 映控制系统跟踪控制输入信号和抑制干扰信号的能力。

频域性能指标：幅值穿越频率，相位交界频率，相位裕量， 增益裕量， 谐振峰值， 系统带宽和截止频率。
28 dB 20lg Kg L(wg ) 28dB
10 10 L(wg ) 20lg1 20lg10 20lg 1 ( ) 2 20lg 1 ( ) 2 5 20
K 1 ，wc 1 (wc ) 90 arctan 0.2 arctan 0.05 104.17
令 w1 < w 部分的斜率为-20dB/dec ， w > w3 部分的斜率为40dB/dec，且设
则：1）当w2 < w < w3，斜率为-20dB/dec ， w1 < w < w2，斜率为 -40dB/dec时，则对应的系统的开环频率特性为
wc w3 3 w2 wc
它在wc处的相角为
w K 1 j w2 G ( jw ) 2 w jw 1 j w1
它在wc处的相角为
wc wc (wc ) 90 2arctan arctan w1 w2
90 (144 ~ 180) 72 162 ~ 198
180 (wc ) 76
• 三、相对稳定性与对数幅频特性中频段斜率的关系
为使系统具有良好的相对稳定性，一般要求在wc处的开 环对数幅频渐近线的斜率为-20dB/dec。
如果该处的斜率小于-20dB/dec，则对应的系统可能为不 稳定。或者即使能稳定，但其相位裕量一般会较小。因 而稳定性也较差。
1 2 2 2 2 2 (w n wb ) (2w bwn )
2 wn
wb wn 1 2 2 (1 2 2 ) 2 1 wr wn
即相位裕量 在 18 ~ 18 之间
[说明]：条件只是必要而非充分的。
作业
pp.218-219: 5-13
第五章 频率响应法
• • • • • • • 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 系 频率特性 对数坐标图 极坐标图 用频率法辨识线性定常系统的数学模型 奈奎斯特稳定判据 相对稳定性分析 频域性能指标与时域性能指标之间的关
即相位裕量 在 72 ~ 54 之间
2）当w2 < w < w3，斜率为 -20 dB/dec ， w1 < w < w2，斜率为 -60 dB/dec时，则对应的系统的开环频率特性为
w K 1 j w2 G ( jw ) 2 w w jw 1 j 1 j w1 w3
说明：0型与I型及以上系统零频值M(0)的差异，反映了它们跟随阶 跃输入时稳态误差的不同，前者有稳态误差，后者没有稳态误差。
2.频带宽度
图为M(0)=1时闭环 对数幅频特性的一 般形状。
当闭环对数幅频 特性下降到零频 值以下3 dB时， 对应的频率称为 截止频率（或称 带宽频率）， 即有
G( jwb ) C ( j0) 3dB R( jwb ) R( j0)
j -1
对于开环稳定的系统：

wc
0
1
① 若 > 0，系统的 越大， 系 统的相对 稳定性越好； ② 若 = 0，系统处于稳定边界； ③ 若 < 0，表明闭环系统不稳 定。
G(jw)
= (wc) + 180º
对于最小相位系统： ① 若 Kg > 1，闭环系统稳 定；
G(jwg) -1
第五章 频率响应法
• • • • • • • 5.1 频率特性 5.2 对数坐标图 5.3 极坐标图 5.4 用频率法辨识线性定常系统的数学模型 5.5 奈奎斯特稳定判据 5.6 相对稳定性分析 5.6 5.7 相对稳定性分析 频域性能指标与时域性能指标之间的关 系

为了使控制系统尽可能地工作，不但要求它能稳定，而且还
wr wn 1 2 2
Mr 1 2 1 2 1 1 1 2 Mr2
M p exp 2 1
M p , M r 都是 的函数，均随 减小而增大， 显然，对于同一个系统 时域内的M p 频域内M r
Mr
和
C2 s 1 R2 s 3s 1
试比较两个系统带宽的大小，并比较一下其相应速度及对信号 的跟随能力。
• 二、二阶系统时域响应与频率响应的对应关系
如图所示，二阶系统的 闭环传递函数为
2 wn C ( s) 2 2 R(s) s 2wn s wn
对应的频率特性为
[例] 某单位反馈系统的开环传递函数为
G( s) K s(1 0.2s)(1 0.05s)
试求：K = 1时的 Kg 和 解 基于在wg处开环频率特性的相角为
(wg ) 90 arctan 0.2wg arctan 0.05wg 180
arctan0.2wg arctan0.05wg 90
当频率特性曲线穿过(-1, j0)点时， 系统处于临界稳定状态。这时： A(wg)=1, (wc)=－180°,wg=wc 。 最小相位系统稳定的条件为： 当A(wc)=1时，(wc)＞－180° 当(wg)=－180°时， A(wg)＜1
w→0
• 二、增益裕量Kg和相位裕量
定义：相位交界频率时幅频特性的倒数称为增益裕量，用Kg表示
• 一、幅值穿越频率wc与相位交界频率wg
j G(s平面 Awg -1 wg wc w→∞ 0
定义：极坐标图穿过负实轴(此 时(w)=－180° )对应的频率为相位 交界频率，用wg表示；
wc
定义：幅值A(w)=1对应的频率为 幅值穿越频率，用wc表示。又称为剪 切频率或者增益交界频率。
希望有足够的稳定裕量即具有一定的相对稳定性。相对稳定性 也称为稳定裕度。

对于开环稳定的系统，度量其闭环系统的相对稳定性的方法
是通过开环频率特性 G(jw)H(jw) 曲线与( －1，j0)点的接近程度 Im 来表征。 G(s)平面
wc3 wg3 -1 wg1 wc2=wg2 wc1 Re
K3
K2
K1

二阶系统时域性能指标与频域性能指标的关系
• 一、闭环频率特性及其特征量
对于单位反馈系统，其闭环传递函数为
G ( s) ( s) 1 G ( s)
R( s )
G (s)
1
C (s)

对应的闭环频率特性为
G ( jw ) ( jw ) M (w )e j (w ) 1 G ( jw )
1 1 Kg A(wg ) G( jwg ) H ( jwg )
j
G(s平面 Awg -1 wg wc w→∞ 0
在对数坐标图上，采用Lg表示Kg的分贝值
Lg 20lg K g 20lg A(w g )
wc
Lg称为对数幅值稳定裕度或增益稳定裕度， 由于Lg应用较多，通常直接被称为幅值稳 w→0 定裕度。 定义：幅值穿越频率时的相频特性与－180°之差称为相位裕 量，用 表示。即
C jw R jw
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1
式中
w wn 1 M (w ) ， arctan 2 w2 w 2 w 2 1 2 (1 2 ) (2 ) wn wn wn
w2 w (1 2 ) j2 wn wn
Me j
1: 超调量和谐振峰值
1 当0 时，有 2
w K (1 j ) w2 G ( jw ) w w jw (1 j )(1 j ) w1 w3
wc wc wc (wc ) 90 arctan arctan arctan w1 w2 w3
90 (72 ~ 90) 72 18 108 ~ 126
0.2wg 0.05wg 1 0.2wg 0.05wg

1 0.2wg 0.05wg 0
Kg 1 1
wg 10
K G ( jw ) jw (1 0.2jw )(1 0.05jw )
10 2 10 2 10 1 ( ) 1 ( ) 5 20 25
它在wc处的相角为
2
wc wc wc (wc ) 90 2arctan 2arctan arctan w1 w2 w3
90 (144 ~ 180) 144 18 108 ~ 144
即相位裕量 在 72 ~ 36 之间
3）当w > w2，斜率为 -40 dB/dec ， w1 < w < w2，斜率为 -60 dB/dec时，则对应的系统的开环频率特性为
当v = 0时，闭环幅 频特性的零频值为 当v = 1时，闭环幅 频特性的零频值为
KG0 ( jw ) K M (0) lim <1 0 w 0 (jw ) KG ( jw ) 1 K 0 KG0 ( jw ) M (0) lim 1 1 w 0 (jw ) KG ( jw ) 0
上式描述了开环频率特性与闭环频率特性之间的关系。
1.闭环幅频特性的零频值
设单位反馈系统的开环传递函数为
G ( s) KG0 ( s ) sv
G0 ( s ) 1 式中，G0(s)不含有积分和比例环节，且 lim s
则有
KG0 (s) C ( s) v R(s) s KG0 (s)
(wc ) (180) 180 (wc )
j G(s平面 Awg -1 wg wc w→∞ 0
L(w)
0
Lg wc
w
wc
(w ) -90
-180
wg
w
w→0
-270
显然，当Lg＞0时，即A(wg)＜1和 ＞0时，闭环系统是稳定的； 否则是不稳定的。对于最小相位系统，Lg＞0和 ＞0是同时发生 或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕量来表示系统的稳 定裕度。常用相位裕量。
[增益裕量的理意义]：稳定系统在相位交界频率处将幅值增加Kg 倍(奈氏图)或增加Lg分贝(波德图)，则系统处于临界状态。若增 加的倍数大于Kg倍(或Lg分贝)，则系统变为不稳定。增益裕量是 闭环系统达到不稳定前允许开环增益增加的分贝数。 [相位裕量的物理意义]：稳定系统在幅值穿越频率wc处将相角减 小 度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。相位 裕量是闭环系统达到不稳定前系统开环频率特性在wc点所允许 增加的最大相位滞后。
1 2 1
2
1 1 1 2
Mr2
M p exp 2 1
2 M M 1 r r M p exp M r M r2 1
2: 调整时间和峰值时间与谐振频率和截止频率
当w wb时，