根据MARC的含圆孔正方形薄板四周受力性能的有限元分析

基于MARC的含圆孔正方形薄板四周受

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标题：针对含圆孔的正方形板四周受力性能的有限元分析

摘要：采用通用的有限元程序MARC研究含圆孔的正方形板四周受力问题。

在工件工作时，小孔的边缘会产生应力集中的现象，极端情况下甚至

会发生破坏，导致失效。通过对该模型的分析，计算出其最大应力、

最大位移及所发生的位置，得出其承载能力和变形特征，使该力学模

型更好服务于建造等工程方面。

关键词:圆孔、正方形板、受均布力、最大应力、最大位移、位置、四分之一

Title: hole for a square plate with four weeks of the force Finite Element Analysis

Abstract: In view of daily life, building structure, mechanical steel structure of the existence of multi-shaped plate with a circular

hole is the mechanical model, its bearing capacity and design

studies and calculations of concern. In this paper, general finite

element program MARC square hole of the plate four weeks

with the force the issue. Through analysis of the model to

calculate the maximum stress, maximum displacement and the

location of occurrence, reached its carrying capacity and

deformation characteristics. So that the mechanical model to

better serve the construction and other projects.

Keywords: round hole, square plate, force, maximum stress, maximum displacement, position, deformation characteristics,horizontal

direction, vertical direction, a quarter

正文

1.引言：

鉴于日常生活中建筑结构，机械钢架等结构中多存在含圆孔的正形板的力学模型，其承载性能和设计方法的研究和计算值得关注。有限元分析在模具行业应用广泛，初步学习弹性力学及有限元的知识，分析平面应力应变问题，以解决平面薄板在受均不力时的有限元分析。从而解决了，在薄板上中心椭圆孔，在均布力的作用下产生的应力、位移的问题。

2.理论分析：

如图所示，在厚度为t=1cm的正方形板中有一只r=0.5cm的圆孔，正方形板四周受分布力p的作用。已知：E=210GPa，u=0.3，l=10cm，p=1KN/cm。计算最大应力、最大位移及所发生的位置。

(一) 小圆孔的方形板，四边受均布拉力q，如下图模型

因孔口尺寸<<模型尺寸，故孔口引起的应力扰动局限于小范围内；因孔边距边界较远（>1.5倍孔口尺寸），故孔口与边界不相互干扰。

故本模型属于“小孔口问题”。弹性体开孔时，在小孔口附近，将发生应力集中现象。小空口应力集中现象有两个特点：一是孔附近应力高度集中，即孔附近的应力远远大于远处的应力或大于无孔时的应力；二是应力集中的局限性，即由于孔的存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍空口尺寸的范围内，在此范围外可以忽略不计。

取圆孔中心为坐标原点建立如上图坐标系，为方便考察圆孔附近应力，采用极坐标。将外边界改造成为圆边界，以远大于r的某一长度为半径R作大圆，如图中虚线所示。由应力的的局部性可见，在大圆处如A点，应力情况与无孔时相同，即δx=q，δy=q，τxy=0坐标变换式（4-6）得该处极坐标应力分量为δp=q，τxy=0。因此，可以引用圆环的轴对称解答，取q2→-q，于是

2222R r -1ρr -1q δp = 2

22

2R r -1ρ

r 1q

δψ+=

因R ＞＞r ，得双向均布拉力场下圆孔应力解答

δρ=q （1-r2/ρ

2） δψ=q （1+r2/ρ2） τρψ=τψρ=0

由上可知，在孔边处，环向正应力是无孔时该处最大应力的两倍。

说明开孔后应力明显增大，且与孔径的相对大小无关。最大应力发生在孔边，ρ=r ，σφ=2q ，应力集中系数为2。

（二）单边受均布拉力，模型如下：

作为应力集中的具体说明，以带小圆孔的方形框单向受均布拉力进行分析

则有：

（1）沿着y轴，即θ=π/2或3π/2时，由上式第二式得环向应力：

由此可知，在孔边环向应力是无孔时的3倍，且随着点的位置远离孔边，应力很快趋于无孔时的应力值。

（三）薄板平面问题分析：

（1） 在平面应力问题中需考虑的应力分量有三个，应变分量有三个，位移分量

有两个。应力向量、应变向量、位移向量分别为

（2）物理方程：

()

x y z E

μσσε+=-

zx xz γγ==1

()x x y E

εσμσ=

-0

zy yz γγ==1

()

y y x E

εσμσ=-xy

yx

xy yx G

G

ττγγ=

==

{}⎪⎭

⎪

⎬

⎫⎪⎩⎪⎨⎧=xy y x εεεε{}⎭

⎬

⎫⎩⎨⎧=v u f