数据库范式相关证明

第三范式具有如下性质：

1．如果R3NF，则R也是2NF。

证明：3NF的另一种等价描述是：对于关系模式R，不存在如下条件的函数依赖，X→Y （Y X），Y→Z，其中X是键属性，Y是任意属性组，Z是非主属性，Z Y。在此定义下，令Y X，Y是X的真子集，则以上条件X→Y，Y→Z就变成了非主属性对键X的部分函数依赖，X Z。但由于3NF中不存在这样的函数依赖，所以R中不可能存在非主属性对键X的部分函数依赖，R必定是2NF。

2．如果R2NF，则R不一定是3NF。

例如，我们前面由关系模式SCD分解而得到的SD和SC都为2NF，其中，SC3NF，但在SD中存在着非主属性MN对主键SNO传递依赖，SD3NF。对于SD，应该进一步进行分解，使其转换成3NF。

BCNF具有如下性质：

1．满足BCNF的关系将消除任何属性（主属性或非主属性）对键的部分函数依赖和传递函数依赖。也就是说，如果R BCNF，则R也是3NF。

证明：采用反证法。设R不是3NF。则必然存在如下条件的函数依赖，X→Y（Y X），Y→Z，其中X是键属性，Y是任意属性组，Z是非主属性，Z Y，这样Y→Z函数依赖的决定因素Y不包含候选键，这与BCNF范式的定义相矛盾，所以如果R BCNF，则R也是3NF。

2．如果R3NF，则R不一定是BCNF。

现举例说明。设关系模式SNC（SNO，SN，CN0，SCORE），其中SNO代表学号，SN代表学生姓名并假设没有重名，CNO代表课程号，SCORE代表成绩。可以判定，SNC 有两个候选键（SNO，CNO）和（SN，CNO），其函数依赖如下：

SNO SN

(SNO，CNO)→SCORE

(SN，CNO)→SCORE

唯一的非主属性SCORE对键不存在部分函数依赖，也不存在传递函数依赖。所以SNC 3NF。

但是，因为SNO SN，即决定因素SNO或SN不包含候选键，从另一个角度说，存在着主属性对键的部分函数依赖：（SNO，CNO)SN，（SN，CNO）SNO，所以SNC不是BCNF。

正是存在着这种主属性对键的部分函数依赖关系，造成了关系SNC中存在着较大的数据冗余，学生姓名的存储次数等于该生所选的课程数。从而会引起修改异常。

比如，当要更改某个学生的姓名时，则必须搜索出现该姓名的每个学生记录，并对其姓名逐一修改，这样容易造成数据的不一致问题。

解决这一问题的办法仍然是通过投影分解进一步提高SNC的范式等级，将SNC规范到BCNF。

（1）任何一个二目关系是属于3NF的（正确）

设任何一个二目关系为R（A，B），现分二种情况进行讨论：

a)若关系R中A或B为键码，不妨设A为键码，则F={A→B}。根据第二范式和第三范式的定义，显然R∈3NF。

b)若关系R中（A，B）为键码，则F={（A，B）→（A，B）}。根据第二范式和第三范式的定义，显然R∈3NF。

综上所述，任何一个二目关系是属于3NF的。

（2）任何二个二目关系是属于BCNF的（正确）

设任何一个二目关系为R（A，B），现分二种情况进行讨论：

a)若关系R中A或B为键码，不妨设B为键码，则F={B→A}。根据BC范式的定义，显然R∈BCNF。

b)若关系R中（A，B）为键码，则F={（A，B）→（A，B）}。根据BC范式的定义，显然R∈BCNF。

综上所述，任何一个二目关系是属于BCNF的。

（3）任何一个二目关系是属于4NF的（正确）

设任何一个二目关系为R(X,Y)，如果X→→Y（即X、Y之间存在平凡的多值依赖），则R∈4NF。

（4）X是R的码，那么关系模式R是3NF的（错误）

假设有关系S(X,A,B),函数依赖F={X→A,A→B},由于B传递函数依赖于X，所以R∉3NF。（5）只有一个候选码的3NF关系模式，也必是BCNF的（正确）如果R是只有一个候选码的3NF关系模式，则关系模式R必定具有以下形式：

R（K,A1,A2,……,An），F={K→A1, K→A2, ……,K→An}

根据BC范式的定义，显然R∈BCNF。

（6）由全部属性组成码的关系模式是3NF的，也是BCNF的（正确）根据第（1）、（2）小题中情况（b）的证明方法，可以同理得到结果。