切比雪夫不等式的一个推广形式

∫[ C
a
-
Ag ( y)
-
Bf ( y )
45
[
( f ( x) g ( x)
-
f ( x ) g ( y)
-
∑ a i bn+ 1-
bi t i ) . i ti ≤ ( ∑ a i t i ) ( i∑ i=1 =1
f ( y ) g ( x ) + f ( y) g ( y) ) dx ] dy ≥ 0 ,
参考文献 : 1. 《中学 数学竞赛 导引》 , 上 海教育 出版 + (b 社 ,1992 年 .
≤ ∑ a i bi t i . i =1 注 :若所有的 t i = 1 , 上述不等式即为切
n
比雪夫不等式 . 为证明所述的不等式 , 我们转而证明下述 更为广泛的积分不等式 ; 积分不等式 :设 f 和 g 都在区间 [ a , b ] 上单 调增加且分段连续 ,则
b
.
由已知条件知 f 和 g 在区间 [ 0 ,1] 上都单 调增加 ,于是有积分不等式 :
n
=
∑ a i bi t i ,
证明 : 令 A =
C =
f ( x ) dx , ∫
a
∫g ( x) dx ,
a
1
∫
1 f ( x) g ( x) dx ,要证 : C ≥ AB . 由于 a b - a
∫
0
f ( x) dx =
n
∑
∫
0
g ( x ) dx =
n
i =1
∑ bi t i . 由
f 和 g 都在区间 [ a , b ] 上单调增加 ,所以对于任
b a b a
则 g1 在区间 [ 0 ,1] 上单调减少 . 同前 ,对 f 和 g1 关于 区 间 [0 ,1 ] 应 用 积 分 不 等 式 即 得 :
n n n i=1
∫ ∫( f ( x)
b
- f ( y ) ) ( g ( x ) - g ( y ) ) dxdy ≥0 ,
b
即
b
∫∫
a a
n
a ) f ( y ) g ( y) ] dy ≥0 , C ( b - a ) - AB - AB + C ( b - a ) ≥0. 于
是 ,C ≥
1
b - a
AB .
Fra Baidu bibliotek
注 :由上述证明过程可知 , 若 f 和 g 一个为 单调增加而另一个为单调减少时 , 则积分不等
b
0 < ti < 1 , ∑ ti = 1 i=1
y = - 4Π 7 x + 64Π 7. 可知校门最大高度为 64Π 7,
2
分析 :该题涉及数学基础知识是勾股定理 和一元二次方程解的运用 , 不妨设 B 滑动的速 度为 x 米 / 秒 , 即可得方程 ( 8 - a ) 2 + ( x + 6) 2 = 102 化简得 : x + 12 x + a - 16 a = 0 当 a = 1 时 x2 + 12 x - 15 = 0 得 x ≈ 1. 4. 可见 ,底端 B 下滑的速度比 A 端下滑的速 度快 . 【例 7】 某大学校门是一抛 物线水泥建筑 物 , 大门地面宽度为 8 米 , 两侧距地面 4 米高处 各有一个挂校名匾额用的铁环 , 铁环之间水平 距离为 6 米 ,以校门地面宽度中点为原点 ,建立 直角坐标平面 , (1) 求校门的最大高度 ; (2) 该 大学将近几年教研成果装在汽车上到校外展示 厅展示 , 汽车宽度为 7 米 , 那么汽车与成果共高 小于多少米 , 汽车方能通过校门 ?( 精确到 0. 1 米)
1 1 1
f ( x ) g ( x ) dx ∫
a
≥
1 f ( x ) dx b - a a
b
b
∫
0 b
f ( x) g ( x ) dx ≥
1
∫
0 1
f ( x ) dx
∫g ( x) dx.
0 n i=1 n
∫
b
g ( x ) dx . ∫
a b
易 知
B =
∫
0 n i =1
f ( x ) g ( x ) dx a i ti ,
此即得 : ( ∑ a i t i ) ( ∑ bi t i ) ≤ ∑ ai b i t i . i=1 i =1 i=1 令 g 1 ( x) =
b n , x ∈ [ x 0 , x1 ] b n- 1 , x ∈ ( x1 , x i+1 ] ,1 ≤ i
意的 x , y ∈ [ a , b ] 有 ( f ( x ) - f ( y ) ) ( g ( x ) - g ( y ) ) ≥0. 对上式两边关于区间 [ a , b ] 进行积分 ,得
专题研究
切比雪夫不等式的一个推广形式
上海师范大学数理信息学院 (200234) 许庆祥
切比雪夫不等式是一个重要的不等式 , 它 44
在中学数学竞赛中有一些很重要的应用 , 它的
一个初等的证明见文献 [1] 第 236 页 . 本文用全 新的方法给 出切比雪夫不等式的 一个推广形 式 . 值得指出的是 , 文献 [1 ] 的方法已不再适用 于证明下述不等式 : 推广的切比雪夫不等式 : 设 a 1 ≤ a2 ≤ … ≤ a n , b1 ≤ b2 ≤ … ≤ bn ,
斜靠在墙上 , 梯子的顶端 A 距地面 8 米 , 如果 A 以 a 米 / 秒速度下滑 ,猜猜 , 底端 B 也以相同的 速度滑动吗 ?并计算当 A = 1 时 B 滑动的速度 .
(图 7)
分析 :该题实际上是求二次函数的顶点和
(图 6 )
函数值的问 题 , 由 题意得 A ( - 4 ,0) , B ( 4 ,0) , C ( 3 ,0) ,可得二次函数解析式
2 2
然后把 x = 7Π 2 代入解析式 ,即可求得 . 总之 , 数学问题解决的一条基本思路是 “将 未知的问题转化为已知问题 , 并将复杂的问题 转化为简单的问题 . 多年的教学经验也清楚地 告诉我 :由于未知 (复杂 ) 问题与已知 ( 简单) 问 题之间 ,数与形之间问题 , 实际问题与数学问题 之间往往没有明显联系 , 因此需要我们教师通 过探究型的教 , 才能全面提高学生基础学力 、 探 究型学力 、 拓展型学力 . 同时需要设置一些过程 性变化在两者之间进行适当铺垫 , 架起两者之 间无数桥梁 , 逐步培养学生掌握数学转化的思 想方法 , 全面地提高学生分析问题和解决问题 的能力 .
n n n
式要变向 , 即 f ( x ) g ( x ) dx
∫
a
则 ∑ a i b n+ 1- i t 1 ≤ ( ∑ a i t i ) ( ∑ bi t i ) i=1 i =1 i =1
n
≤
1 f ( x ) dx b - a a
b
b
∫
∫g ( x) dx.
a
推广的切比雪夫不等式的证明 : 分划区间 [ 0 ,1] :0 = x0 < x1 < … < xn = 1 ,使得 x i x i- 1 = t i , 1 ≤ i ≤ n . 定义阶梯函数 f 和 g 如下 : f ( x) = g ( x) = a 1 , x ∈ [ x 0 , x1 ] a i+ 1 , x ∈ [ x i , xi +1 ] ,1 ≥ i b 1 , x ∈ [ x0 , x1 ] b i+ 1 , x ∈ ( xi , x i+ 1 ] , i ≥1