切比雪夫不等式的一个推广形式
辛钦大数定律的证明-解释说明
辛钦大数定律的证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容应该对辛钦大数定律进行简要介绍，并阐述该定律在现实生活中的重要性。
可以参考以下内容：辛钦大数定律是概率论中的一个重要定理，其原理指出在独立重复试验中，随着试验次数的增加，事件发生的频率会逐渐趋近于其概率。
也就是说，当试验次数足够多时，事件发生的相对频率将会近似等于事件的概率。
该定律由苏联数学家辛钦于1930年提出，并以其名字命名。
该定律在现代概率统计学中具有重要地位，被广泛应用于各个领域的研究和实践中。
辛钦大数定律的证明主要基于概率论的数学推导和统计方法。
通过运用大数定律，我们可以在实际问题中进行数据分析，并能够更准确地预测和解释事件的发生。
在现实生活中，辛钦大数定律的重要性不言而喻。
无论是市场调研、投资决策、舆论测算还是疾病监测等领域，我们都需要依靠大数定律来分析数据和预测结果。
对于大规模样本的观测和实验，我们可以通过辛钦大数定律来获得更加可靠的结论，避免得出偏误的推论。
总之，辛钦大数定律是概率论中的一项重要成果，通过该定律我们能够更好地分析和解释随机事件发生的规律。
其在现实生活中的应用广泛而深远，为我们提供了一种科学的方法来揭示和预测事件的发生。
在接下来的篇章中，我们将详细介绍辛钦大数定律的证明要点，以及该定律的结果意义和进一步研究的方向。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以如下编写:文章结构：本文共分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，对辛钦大数定律进行了概述，并介绍了文章的结构和目的。
正文部分分为三个部分，分别是辛钦大数定律的介绍以及证明的要点1、要点2和要点3。
最后，在结论部分对辛钦大数定律的证明进行了总结，并探讨了结果的意义和应用，以及进一步研究的方向。
通过这样的结构安排，读者能够清晰地了解到整篇文章的组织框架。
引言部分让读者对辛钦大数定律有一个整体的了解，进而明确文章的目的。
正文部分则详细介绍了证明该定律的要点，展示了辛钦大数定律的证明过程和推导思路。
《概率论与数理统计》典型例题 第四章 大数定律与中心极限定理
= 0.15,
µn 为
5000
户中收视
该节目的户数，所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态 分布为极限定理。
解 ： 设 µn 为 5000 户 中 收 视 该 节 目 的 户 数 ， 则 µn ~ B(n, p) ， 其 中
n = 5000, p = 0.15 。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理， µn − np 近似服从 np(1− p)
显然需用到前一不等式，则只需算出 E(X + Y ) 与 D(X + Y ) 即可。
解：由于 E(X + Y ) = 0 ，
D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov( X , Y ) = DX + DY + 2ρ XY DX DY = 1+ 4 + 2×1× 2× (−0.5) = 3 ，
( D )服从同一离散型分布。
分析：林德伯格-列维中心极限定理要求的条件是 X 1, X 2,", X n,"相互独
立、同分布、方差存在，这时，当 n 充分大时， Sn 才近似服从正态分布。 根据 条件分析选项即可。
解：显然选项 A 与 B 不能保证 X 1, X 2 , ", X n 同分布，可排除。 选项 C 给出了指数分布，此时独立同分布显然满足，而且由于是指数分布， 方差肯定存在，故满足定理条件。 选项 D 只给出其离散型的描述，此时独立同分布显然满足。 但却不能保证 方差一定存在，因此也应排除。 故选 C 。 注：本例重在考察中心极限定理的条件。
P{ X
− EX
≥ ε}≤
E[g( X − EX )] 。 g(ε )
分析：证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似，利用切比雪夫不等式的 证明思想试试看。
4.3.1切比雪夫不等式
lim
1
→
或
lim
0
→
则称序列 依概率收敛于常数 ，记作 → .
5*
5
第六讲 切比雪夫不等式
切比雪夫 不等式
设随机变量 ，E 则∀ 0， 或
, 1
第四章 0
x
6*
6
第六讲 切比雪夫不等式 证 设~ ，
1 1
第四章
7*
7
第六讲 切比雪夫不等式
第四章
例 设随机变量 ，E
,
0
取
，则有
取 3，则有
3
当 ~ , 时,
2048
0.5005
6019
0.5016
12012
0.5005
39699
0.4923
随着重复试验次数增多，事件 出现的频率 呈现稳定性， 接近 0,1 上的某个数 ， 为事件 在一次试验中发生的概率.
2*
2
第六讲 切比雪夫不等式
这种稳定性应该怎么表示呢？
⇔ 对于∀ ⇔ 对于∀ ⇔ 对于∀
lim
→
0, ∃ ,当
31
3
1 Φ3 Φ 3
1 0.0026
9
切比雪夫不等式用于估计关于期望中心分布的情况,应用 广泛,但估计结果比较粗糙.
8*
8
第六讲 切比雪夫不等式
例 设某工厂一周的产量为 ， E
50， D
试估计一周的产量在40~60之间的概率。
25，
解 40
60
10
50 10
50 10
25
1
1
0.75
10
第四章
9*
第四章
11 *
11
切比雪夫不等式的一个推广形式
切比雪夫不等式的一个推广形式斜靠在墙上,梯子的顶端A距地面8米,如果A以a米/秒速度下滑,猜猜,底端B也以相同的速度滑动吗?并计算当A=1时B滑动的速度.(图7)分析:该题实际上是求二次函数的顶点和(图6)函数值的问题,由题意得A(-4,0),B(4,0),C(3,0),可得二次函数解析式y=-4Π7x+64Π7.可知校门最大高度为64Π7,2分析:该题涉及数学基础知识是勾股定理和一元二次方程解的运用,不妨设B滑动的速度为x米/秒,即可得方程(8-a)2+(x+6)2=102化简得:x+12x+a-16a=0当a=1时x2+12x-15=0得x≈1.4.可见,底端B下滑的速度比A端下滑的速度快.【例7】某大学校门是一抛物线水泥建筑物,大门地面宽度为8米,两侧距地面4米高处各有一个挂校名匾额用的铁环,铁环之间水平距离为6米,以校门地面宽度中点为原点,建立直角坐标平面,(1)求校门的最大高度;(2)该大学将近几年教研成果装在汽车上到校外展示厅展示,汽车宽度为7米,那么汽车与成果共高小于多少米,汽车方能通过校门?(精确到0.1米)22然后把x=7Π2代入解析式,即可求得.总之,数学问题解决的一条基本思路是“将未知的问题转化为已知问题,并将复杂的问题转化为简单的问题.多年的教学经验也清楚地告诉我:由于未知(复杂)问题与已知(简单)问题之间,数与形之间问题,实际问题与数学问题之间往往没有明显联系,因此需要我们教师通过探究型的教,才能全面提高学生基础学力、探究型学力、拓展型学力.同时需要设置一些过程性变化在两者之间进行适当铺垫,架起两者之间无数桥梁,逐步培养学生掌握数学转化的思想方法,全面地提高学生分析问题和解决问题的能力.专题研究切比雪夫不等式的一个推广形式上海师范大学数理信息学院(200234) 许庆祥切比雪夫不等式是一个重要的不等式,它44在中学数学竞赛中有一些很重要的应用,它的一个初等的证明见文献[1]第236页.本文用全新的方法给出切比雪夫不等式的一个推广形式.值得指出的是,文献[1]的方法已不再适用于证明下述不等式:推广的切比雪夫不等式:设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn,ni=1nnn则∑aibn+1-it1≤(∑aiti)(∑biti)i=1i=1i=1n≤i∑aibiti.=1注:若所有的t1i=n,上述不等式即为切比雪夫不等式.为证明所述的不等式,我们转而证明下述更为广泛的积分不等式;积分不等式:设f和g都在区间[a,b]上单调增加且分段连续,则 b∫f(x)g(x)dxa≥1bbb-a∫f(x)dxg(x)dxa∫a.bb证明:令A=∫f(x)dx,B=g(x)dx,a∫abC=∫f(x)g(x)dxa,要证:C≥1b-aAB.由于f和g都在区间[a,b]上单调增加,所以对于任意的x,y∈[a,b]有(f(x)-f(y))(g(x)-g(y))≥0.对上式两边关于区间[a,b]进行积分,得bb(f(x)-f(y))(g(x)-g(y))dxdy≥0,a∫abb即∫[∫(f(x)g(x)f(x)g(y)aa--f(y)g(x)+f(y)g(y))dx]dy≥0,b∫[CAg(y)a--Bf(y)+(b-a)f(y)g(y)]dy≥0,C(b-a)-AB-AB+C(b-a)≥0.于是,C≥1b-aAB.注:由上述证明过程可知,若f和g一个为单调增加而另一个为单调减少时,则积分不等b式要变向,即∫f(x)g(x)dxabb≤1b-a∫f(x)dxg(x)dxa∫a.推广的切比雪夫不等式的证明:分划区间[0,1]:0=x0 f(x)=a1,x∈[x0,x1]ai+1,x∈[xi,xi+1],1≥ig(x)=b1,x∈[x0,x1]bi+1,x∈(xi,xi+1],i≥1.由已知条件知f和g在区间[0,1]上都单调增加,于是有积分不等式: 111∫f(x)g(x)dx0≥∫f(x)dxdx0∫g(x)0.1n易知∫f(x)g(x)dx0=i∑aibiti,=11n1nf(x)dx=iti,(x)dx=0i∑a=1∫g0i∑biti.由=1nnn此即得:(∑aiti)(∑biti)≤∑aibiti.i=1i=1i=1令,xgn,x∈[x01]1(x)=bbn-1,x∈(x1,xi+1],1≤i则g1在区间[0,1]上单调减少.同前,对f和g1关于区间[0,1]应用积分不等式即得: nnnaibn+1-iti≤(∑aiti)(∑biti)i∑.=1i=1i=1参考文献:1.《中学数学竞赛导引》,上海教育出版社,1992年.45∫∫。
第45讲 切比雪夫不等式
概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学第45讲切比雪夫不等式1第五章大数定律及中心极限定理四川大学第45讲切比雪夫不等式3第五章大数定律及中心极限定理§0切比雪夫不等式§1 大数定律§2中心极限定理四川大学第45讲切比雪夫不等式4§5.0 切比雪夫不等式四川大学第45讲切比雪夫不等式5第45讲切比雪夫不等式四川大学牟尼沟四川大学第45讲切比雪夫不等式6切比雪夫(1821~1894)ЧебышёвChebyshev俄罗斯数学家、力学家。
他一生发表了70多篇科学论文，内容涉及数论、概率论、函数逼近论、积分学等方面。
他证明了贝尔特兰公式，自然数列中素数分布的定理，大数定律的一般公式以及中心极限定理。
四川大学第45讲切比雪夫不等式15例子四川大学第45讲切比雪夫不等式16-四川大学第45讲切比雪夫不等式24例5 证明方差的性质4 ( 教材103页(第41讲) )：设()0{()}1D X P XE X =⇔==证充分性（教材103页）{()}1P X E X ==则22[()]{}1P X E X ==2()X 2]E X=⨯2[()]E X =22()()[()]D X E X E X =-0=四川大学四川大学四川大学第45讲切比雪夫不等式26例6 设某电网有10000盏电灯，夜间每一盏灯开灯的概率都是0.7。
假设电灯开、关时间彼此独立，试估计夜晚同时开着的电灯数在6800与7200盏之间的概率。
解用X 表示在夜晚开着的电灯的盏数，则X 服从参数n =10000, p =0.7的二项分布。
(k =0, 1, …, n ){}P X k =(1)kk n k n C p p -=-{68007200}P X <<100007199100006801(0.7)(0.3)k k k k C -==∑计算量太大。
下面用切比雪夫不等式估计概率四川大学四川大学四川大学第45讲切比雪夫不等式28例7 一机床加工长为50cm 的零件，由于随机扰动，零件长度有一定误差。
5-1切比雪夫不等式
4n(n 1)(2n 1) 2 2(2n 1) 2 2 2 3n(n 1) 6n (n 1)
从而对任意给定的 0，由切比谢夫不等式得
D( Yn ) 0 P{| Yn | } 2
2(2n 1) 2 0 2 3n(n 1)
(n )
因此Yn .
P
四、小结
伯努利大数定理 四个大数定理 泊松大数定理 辛钦定理
契比雪夫大数定理
频率的稳定性是概率定义的客观基础, 而伯 努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳 定性.
第 五 章
大 数 定 律 和 中 心 极 限 定 理
概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相 同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出 来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然 的法则，应该研究大量随机现象.
研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限定理进行研究. 极 限定理的内容很广泛，其中最重要的有两 种: 大数定律 与 中心极限定理
1 n 则 对 于 任 意 正 数, 有 limP X k 0. n n k 1
关于辛钦定理的说明: (1) 与定理5.1相比, 不要求方差存在; (2) 贝努利定理是辛钦定理的特殊情况.
例如要估计某地区的平均亩产量，要 收割某些有代表性的地块，例如n 块. 计 算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它 作为整个地区平均亩产量的一个估计.
即在定理条件下, n个随机变量的算术平均, 当n 无限增加时, 几乎变成一个常数.
定理5.2（贝努利大数定理）
伯努利
设 A 是 n 次 独 立 重 复 试 验 中 事 件发 生 A 的 次 数 p 是 事 件 A 在 每 次 试 验 中 发 生 的 率, , 概 则 对 于 任 意 正 数 0, 有 A A l i mP p 0 或 l i mP p 1. n n n n
概率论第四章-切比雪夫不等式
不等式的其它形式
例1 估计 解
的概率
例2一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 6800 之间的概率 解 为同时开的灯数。 设X 为同时开的灯数。 用二项分布
P | X − µ |≥ε}≤σ /ε {
2
2
P | X −µ |<ε}≥1−σ /ε {
2
2
对未知分布X 对未知分布X，取
ε =3 , 2 , σ σ
2 2
9 2 3 2 P{| X −µ |< 2 } ≥1−σ / ( 2 ) = = 0.75 σ σ 4
P{| X −µ |< 3 } ≥1−σ / ( 3 ) = 8 = 0.89 σ σ
≤
ε
∫(x−µ)
f (x)dx
σ = 2 ε
ε
2
f (x)dx
2
是 于 P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε
2
2
P{| X −µ |≥ε}≤σ2 / ε2
P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε
2
2
切比雪夫不等式 证明切贝谢夫大数定律； 说明 （1）证明切贝谢夫大数定律； （2）表明D（X）描述了X偏离E（X）的离散程度； 表明D 描述了X偏离E 的离散程度； （3）给出X的分布未知时，事件 给出X的分布未知时， 概率的一个大致估计。 概率的一个大致估计。 大致估计 |X|X-E（X）|＜ε的
定理：（切比雪夫不等式） 定理：（切比雪夫不等式） ：（切比雪夫不等式
设随机变量X 设随机变量X 有数学期望 E = µ, 方 D =σ2 X 差 X 对任意 ε > 0, 不等式
马尔可夫不等式推导切比雪夫不等式
马尔可夫不等式推导切比雪夫不等式马尔可夫不等式推导切比雪夫不等式马尔可夫不等式和切比雪夫不等式是概率论中的两个重要不等式，它们在概率论和统计学中被广泛应用。
本文将通过推导马尔可夫不等式来进一步理解切比雪夫不等式，并探讨它们之间的联系和应用。
1. 马尔可夫不等式在概率论中，马尔可夫不等式提供了一个上界估计，它描述了一个随机变量大于某个非负实数的概率上界。
设X是一个非负随机变量，且E(X)表示X的期望值。
对于任意一个正实数a > 0，我们有以下马尔可夫不等式：P(X >= a) <= E(X) / a (1)其中P表示概率。
为了理解马尔可夫不等式的推导过程，我们先从概率的定义入手。
概率可以用随机变量X的累积分布函数（CDF）来表示，即F(x) = P(X <= x)。
对于非负的X和a，我们可以定义如下指示函数：I(x) = 1 if x >= a0 if x < a根据指示函数的定义，我们可以将条件X >= a转换为指示函数的形式：X >= a 等价于I(X) = 1我们希望得到P(X >= a)的上界估计，基于指示函数，我们可以将其等价转换为一个期望：P(X >= a) = E(I(X)) (2)2. 推导马尔可夫不等式接下来，我们考虑使用X的指示函数来表示X本身。
为此，我们将X表示为X = X * I(X)，其中X和I(X)都是非负的。
这样我们可以将X的期望表示为：E(X) = E(X * I(X)) (3)由于X * I(X)只在X >= a时取非零值，我们可以进一步将上式分为两部分：E(X) = E(X * I(X), X >= a) + E(X * I(X), X < a)(4)针对第一部分，我们有X >= a，所以X * I(X) >= a * I(X)；针对第二部分，我们有X < a，所以X * I(X) = 0。
§5.1 切比雪夫不等式
例5.2 设r.v.Ｘ和Ｙ的数学期望都是2，方 差分别为1和4，而相关系数为0.5，利用切比雪 夫不等式给出概率 P X Y 6 的下界估计．
解 若记 Z X Y , 则 EZ 0, 而
DZ D( X Y ) DX DY 2Cov( X , Y )
6
●切比雪夫不等式在概率估计方面起重要
作用．给出了概率 P X EX 的最小上
界和 P X EX 的最大下界估计．
例5.1 设r.v.Ｘ的方差为2，利用切比雪夫 不等式给出概率 P X EX 2 的上界估计．
DX 2 1 解 P X EX 2 2 2 . 2 2 2
DX DY 2 XY DX DY 3,
于是，由切比雪夫不等式得
P X Y 6 P Z EZ 6 DZ 3 11 1 2 1 . 6 36 12
8
例5.3 设电站供电网有10000盏电灯，夜 晚每一盏灯开灯概率都是0.6，而假定各盏灯 开、关彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数 在5800至6200之间的概率．
9
第 5章
大数定律与中心极限定理
1
随机现象是本门课程的研究对象，本门课 程的任务是研究随机现象的统计规律，而统计 规律是在大数次重复试验中呈现出来的． 作为概率论中最重要同时也最精彩的极限 定理就是揭示各种统计规律． 大数定律和中心极限定理是统计规律的两 种重要的表现形式，是概率论极限定理中的重
要内容，在概率论和数理统计的理论研究和实
际应用中都具有重要的意义．
2
§5.1 切比4)
3
定理5.1 若r.v.Ｘ的期望 EX 和方差 DX 都存在，则对任意的 0, 有
切比雪夫不等式高中知识推导
切比雪夫不等式1. 引言切比雪夫不等式（Chebyshev’s inequality）是概率论中一条重要的不等式，它描述了随机变量偏离其均值的程度。
切比雪夫不等式是由俄国数学家切比雪夫（Pafnuty Lvovich Chebyshev）在1867年提出的，是概率论与数理统计中常用的一个基本定理。
2. 切比雪夫不等式的表述设X是一个随机变量，其期望值为μ，方差为σ^2。
则对于任意大于0的实数k，有： P(|X-μ| >= kσ) <= 1/k^2其中，P表示概率。
3. 推导过程为了推导切比雪夫不等式，我们需要先引入马尔可夫不等式。
3.1 马尔可夫不等式马尔可夫不等式（Markov’s inequality）是概率论中另一条重要的不等式，它描述了非负随机变量大于某个正数时的概率上界。
设X是一个非负随机变量，其期望值为E(X)，则对于任意大于0的实数a，有： P(X >= a) <= E(X)/a3.2 推导步骤现在我们开始推导切比雪夫不等式。
首先，我们将随机变量X标准化，即令Y = (X-μ)/σ。
此时，Y的期望值为0，方差为1。
根据马尔可夫不等式，对于任意大于0的实数t，有： P(|Y| >= t) <= E(Y2)/t2将Y的定义代入上式，得到： P(|(X-μ)/σ| >= t) <= E(((X-μ)/σ)2)/t2化简上式得到： P(|X-μ| >= tσ) <= E((X-μ)2)/(t2σ^2)由于方差的定义为Var(X) = E((X-μ)^2)，所以上式可以进一步化简为： P(|X-μ| >= tσ) <= Var(X)/(t2σ2)将切比雪夫不等式的表述形式代入上式，得到： P(|X-μ| >= kσ) <= 1/k^24. 切比雪夫不等式的应用切比雪夫不等式在概率论和数理统计中有广泛的应用。
它可以用来估计随机变量偏离其均值的程度，并给出一个概率上界。
切比雪夫不等式及大数定律
随机变量的数字特征
切比雪夫不等式及大数定律
1.1 切比雪夫不等式
在随机变量 X 分布未知的情况下，可以利用切比雪夫不等式对随机事件 {| X E(X ) | } 的概率进行估计．例如，当 3 D( X ) 时，有
P{| X E(X ) | 3 D(X )} 8 0.888 9． 9
也就是说，随机变量 X 落在以 E(X ) 为中心，以 3 D( X ) 为半径的邻域内的概率很大，而 落在该邻域之外的概率很小．当 D( X ) 较小时，随机变量 X 的取值就越集中在 E(X ) 附 近，而这正是方差这个数字特征的意义所在．
概率论与数理统计
随机变量的数字特征
切比雪夫不等式及大数定律
随机事件在某次试验中可能发生也可能不发生， 但在大量的重复试验中随机事件的发生呈现出明显 的规律性．实际上，大量随机现象的结果均具有稳 定性，大数定律以严格的数学形式阐述了这种稳定 性，揭示了随机现象的偶然性与必然性之间的内在 联系．下面，我们先来介绍证明大数定律的重要工 具—切比雪夫（Chebyshev）不等式．
1， 在第k次试验中事件A发生， X k 0 ， 在第k次试验中事件A不发生，
其中， k 1，2， ，则
Xk
~
n
B(1，p) ，
k 1
Xk
nA
，1 n
n
Xk
k 1
nA n
，1 n
n
E(Xk )
k 1
p，
并且 X1 ，X2 ， ，Xn ， 满足切比雪夫大数定律的条件，于是由切比雪夫大数定律可证明伯努利大数 定律．
1，2 ，
)
，
由辛钦大数定律得
Yn
1 n
n k 1
切比雪夫积分不等式
切比雪夫积分不等式切比雪夫积分不等式是数学上最重要的结果之一，它有助于证明数字中的微分方程是可解的。
它重要性不言而喻，其历史可以追溯到1747年。
它是由俄国数学家切比雪夫提出的，因此得名切比雪夫积分不等式。
切比雪夫积分不等式有一个非常重要的概念，即积分不等式。
它是一个用来表达任意函数在任意一点给定的任意问题和条件下的特定积分的不等式。
它的性质取决于函数的特性，它的适用范围很广。
切比雪夫积分不等式可以用来解决积分方面的许多问题，如函数的正则性、最大和最小值也可以通过它得到解决。
因此，它在几何、微积分、科学计算和分析等多个领域都有所应用。
切比雪夫积分不等式的一般形式是：若函数f(x)在定义域D上具有n阶可导连续性，则其存在常数C使得：∫f（x）dx≤C[f（a）+f“（a）+…+f（n）（a）]其中，a为定义域D上的任意点。
切比雪夫积分不等式的应用十分广泛，它可以用来证明某些可以用微分方程解决的问题可以用它解决，也可以用来解决定积分的最大和最小值的问题。
切比雪夫积分不等式也可以用来帮助解决分部积分的问题，如果函数有分部积分，则可以使用切比雪夫积分不等式来进行处理。
切比雪夫积分不等式是研究微积分方程的重要工具，它可以证明微分方程的可解性，这是目前数学领域最重要的工作。
它也可以证明函数的有界性，它的有界性可以给出函数的定积分的最大和最小值，这对研究定积分非常有帮助。
切比雪夫积分不等式得到了许多学者的关注，其研究的进展也不断加剧。
它的实际应用也很广，它可以被用来证明函数的性质，也可以用来证明微分方程的可解性，以及求解定积分的最大和最小值。
它在科学计算和分析方面也发挥了重要作用，从而在科学领域有了很大的作用。
总的来说，切比雪夫积分不等式是数学中重要的结果之一，它不仅可以用于证明微分方程的可解性，还可以用来证明函数的性质，以及求解定积分的最大和最小值，这些应用都使它成为科学研究中重要的工具。
因此，从历史上看，切比雪夫积分不等式在数学领域里发挥了重要作用，并且仍然在现代被广泛应用。
关于Markov不等式的推广及应用介绍
密级
学
位
论
文
关于 Markov 不等式的推广及应用
作 者 姓 名 ： 樊晋军 指 导 教 师 ： 孙平 副教授 东北大学理学院 申请学位级别： 硕士 学 科 类 别 ：
学科专业名称： 概率论与数理统计 论文提交日期： 2010 年 6 月 论 文 答 辩 日 期 ： 2010 年 7 月 学位授予日期： 2010 年 7 月 答辩委员会主席： 评 阅 人 ：
第 2 章 Markov 不等式的推广 ...................................
- 8 -
2.1 概率加权和型 Markov 不等式 ................................. - 8 2.1.1 预备知识 .................................................... - 8 2.1.2 概率加权和型 Markov 不等式 ................................ - 9 -
Northeastern University January 2010
独创性声明
本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中 取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表 或撰写过的研究成果， 也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 日 期：
东北大学硕士学位论文
第 1 章 绪论
第1章 绪 论
1.1 概率不等式的发展简史
概率论是研究偶然现象（或简称随机现象）数量关系的数学分支。概率论 有着悠久的历史，对概率问题的研究起源于赌博，早在 16、17 世纪就有一些 著名的数学家探讨过掷骰子等赌博中出现的各种概率计算问题。 1654 年， Pascal 与 Fermat 在通信中认真讨论了赌博中的概率问题。他们的信件被看做 数学史上最早的概率文献。 1657 年 , Huygens 在 Pascal 与 Fermat 通信的基础 上发表了第一篇关于概率论的正式论文一《论赌博中的推理》并且 Huygens 第一次明确提出“数学期望”的概念。 在概率论的发展过程中，切比雪夫、马尔可夫和李雅普诺夫师生三人付出了 艰辛的劳动，其中尤以马尔可夫的工作最多。据统计，他生平发表的概率论方面 的文章或专著共有二十五篇（部）之多；切比雪夫和李雅普诺夫在概率论方面的 论文各为四篇和二篇。大约从 1883 年起，马尔可夫就开始考虑概率论中的基本 问题了。十九世纪的八、九十年代，他主要是沿着切比雪夫开创的方向，致力于 独立随机变量和古典极限理论的研究。 概率论中的一个基本问题就是在不知道随 机变量具体分布的时候如何估计随机变量发生的概率。为了解决这个问题，切比 雪夫早期提出了一个这样的不等式，即 切比雪夫不等式： 若 随 机 变 量
切比雪夫不等式推导
切比雪夫不等式推导切比雪夫不等式是概率论与统计学中一种重要的不等式，它描述了一个随机变量离其期望值的距离与标准差之间的关系。
通过切比雪夫不等式，我们可以得到对于任意分布的随机变量，在概率上限制其偏离期望值的范围。
为了推导切比雪夫不等式，我们先从定义入手。
令X为一个随机变量，其期望值为μ，标准差为σ。
现在我们想要知道X离μ的距离超过多少时是非常罕见的情况，即X与μ的偏差较大的概率有多小。
为了求得这个概率，我们可以利用马尔可夫不等式。
根据马尔可夫不等式，对于一个非负随机变量Y和任意t > 0，有P(Y ≥ t) ≤ E(Y)/t。
我们将Y定义为(X-μ)^2，即X与μ之间的偏差的平方。
由于Y非负，我们可以使用马尔可夫不等式得到以下不等式：P((X-μ)^2 ≥ t^2) ≤ E((X-μ)^2) / t^2。
注意到E((X-μ)^2)正好是X的方差，记作σ^2。
将其代入上述不等式中，我们得到以下形式的不等式：P((X-μ)^2 ≥ t^2) ≤σ^2 / t^2。
由于X的标准差为σ，即σ^2 = σ^2，我们可以将不等式变形为：P(|X-μ| ≥ t) ≤ σ^2 / t^2。
现在，我们将不等式改写成概率形式，就变成了切比雪夫不等式：P(|X-μ| ≥ kσ) ≤ 1/k^2，其中k = t/σ。
切比雪夫不等式的意义在于它不受随机变量分布形式的限制，适用于任意随机变量。
通过这个不等式，我们可以得到一个随机变量离其期望值一定范围内的概率上界，无论是正态分布、均匀分布还是其他分布都适用。
例如，假设X是服从任意分布的随机变量，其期望值为μ，标准差为σ。
我们可以利用切比雪夫不等式来推导X离μ的距离超过2个标准差的概率上限。
根据切比雪夫不等式，我们有P(|X-μ| ≥ 2σ) ≤ 1/2^2 = 1/4，即X离μ的距离超过2个标准差的概率不会超过1/4。
切比雪夫不等式在实际应用中具有重要意义。
它告诉我们，如果我们想要控制一个随机变量离其期望值的距离的概率，我们只需要关注该随机变量的标准差。
推荐-切比雪夫不等式及其应用 精品
第一章 绪论概率论是一门研究随机现象数量规律的科学，是近代数学的重要组成部分。
随机现象在自然界和人类生活中无处不在，因而大多数的应用研究，无论是在工业、农业、经济、军事和科学技术中，其本质都是现实过程中的大量随机作用的影响。
这个观点强有力地推动了概率论的飞速发展，使其理论与方法被广泛地应用于各个行业。
而概率论极限理论的创立更使其锦上添花，以至在近代数学中异军突起。
历史上第一个极限定理是属于雅各布·伯努利，后人称之为“大数定律”。
因其遗著《猜度术》于1713 年出版，故概率史家称1713 年为伯努利大数定律创立年。
伯努利大数定律给出了频率估计概率的理论依据，同时开创了概率论中极限理论的先河，标志着概率论成为独立的数学分支。
1837年，泊松对大数定律提出一个较宽松的条件，进而得到泊松大数定律。
之后，由于有些数学家过分强调概率论在伦理学中的应用，又加上概率论自身基础不牢固，大多数数学家往往把概率论看作是有争议的课题，排除在精密科学之外。
切比雪夫正是在概率论门庭冷落的年代从事其研究的。
切比雪夫在1866年发表的《论均值》中，提出了著名的切比雪夫大数定律。
该给出如下三个定理[1]：定理1.1：若以 ,,,c b a 表示 ,,,z y x 的数学期望，用 ,,,111c b a 表示相应的平方,,,222z y x 的数学期望，则对任何α， +++z y x 落在----+++++++222111c b a c b a c b a α和----+++-+++222111c b a c b a c b a α之间的的概率总小于211α-定理1.2：若以 ,,,c b a 表示 ,,,z y x 的数学期望，用 ,,,111c b a 表示相应的平方,,,222z y x 的数学期望，则不论t 取何值，N 个量 ,,,z y x 的算术平均值和他们相应的数学期望的算术平均值的差不超过Nc b a N c b a t+++-+++2221111 的概率对任何t 都将大于Nt 21-。
切比雪夫不等式的两种形式
切比雪夫不等式的两种形式一、切比雪夫不等式的第一种形式切比雪夫不等式是概率论中的一个重要不等式，它是指对于任意一个随机变量X，其概率分布函数的任意两个矩的差的绝对值小于等于这两个矩的乘积的两倍。
数学上，切比雪夫不等式的第一种形式可以表示为：P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1/k^2其中，X为随机变量，μ为随机变量X的均值，σ为随机变量X的标准差，k为大于0的任意实数。
这个不等式告诉我们，对于一个随机变量X，无论它的分布是怎样的，它与其均值的差的绝对值大于等于k倍标准差的概率不会超过1/k^2。
也就是说，如果我们想要计算随机变量与其均值之间的差距大于一个给定的倍数的概率，可以使用切比雪夫不等式的第一种形式进行估计。
二、切比雪夫不等式的第二种形式切比雪夫不等式的第二种形式是对于一个随机变量X，其概率分布函数的任意两个矩的差的绝对值小于等于这两个矩的乘积的两倍的概率不小于1-1/k^2。
数学上，切比雪夫不等式的第二种形式可以表示为：P(|X - μ| < kσ) ≥ 1-1/k^2其中，X为随机变量，μ为随机变量X的均值，σ为随机变量X的标准差，k为大于0的任意实数。
这个不等式告诉我们，对于一个随机变量X，无论它的分布是怎样的，它与其均值的差的绝对值小于k倍标准差的概率不会小于1-1/k^2。
也就是说，如果我们想要计算随机变量与其均值之间的差距小于一个给定的倍数的概率，可以使用切比雪夫不等式的第二种形式进行估计。
切比雪夫不等式的两种形式分别给出了随机变量与其均值之间差距的上界和下界的估计。
这两种形式的切比雪夫不等式在概率论和统计学中有着重要的应用，可以帮助我们对随机变量的分布进行估计和推断。
无论是在理论研究还是实际应用中，切比雪夫不等式都具有重要的价值，并且在概率论和统计学的发展中起到了重要的作用。
一个三角不等式链的指数推广
一
至此 ， 不等 式链 获证．
ｃ 等＋ ≥ ㈩ ｏ ｃ ｏ
＋
ｃＯ
≥ 丢 一 ． ・ ・
即 当 愚一 ２ ｎ＋ １ ，１ 式也 成立． 时 （） 综 ① 和 ② 由归纳法 原理知 ，１ 式 当 忌为奇 （）
数 时成立 ．
（ ）取 偶 数 ２
① 当 是一 １时 ， １ 式化 为— （）
等
∞ ｓｎ 百 ＋ ｉ Ｂ
Ｃｎ ≥ ｓ令 ２ ｉ ＋ ＳＣ ｎ ｉ
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ｍ 以上不 等式链一 个指 数推 广 ， 且本 文 方法 操 作性
‘ Ｔ —
ｃ ０ｓ 百
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２１ ０ ０年 第 ６期
中 学数 学教 学
５ ９
一
个 三角 不等 式链 的指 数 推 广
黄兆麟 （ 邮编 ：０ ４ ６ ３ ０５ ）
天 津市水运 高级技 工 学校
那 么 由切 比雪夫 不等式 ， 得 当 惫一 ２ ＋１ 可 ｎ ，
（ ） 左 边 一 １ 式
。 ｓｎ Ａ ＋ ６ ｓｎ Ｂ ＋ ２ ｉ ｉ
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一） 一（ ６ｎ —（ ｃｎ ｆ一） ｃ ｓ萼 ｎ ｓＢ ６ ｉ ｉ 一） 一（ ｃｎ ～（ ６ｉ ｃｎ ６一） ６～） ｓ导 ６ ｓ导 。 ｓ ｉ ｉ ｎ ［ａｂｉ ａｂｎ ］ ｎ－）女 （ ＳＡ － ＋ ｎ 譬 『ａ ｉ 一 ｎ ［６ｃ ｂ－ ｎ （ ～ ｉｅ＋６一） ｌ （ ６一） ］［ｂｃ 一 （ ｃｎ ＋６－） Ｂ ６ ｓ ｉ （ ｓ＿ ｉ
切比雪夫不等式的推广及应用
编号毕业论文（ 2013 届本科）题目：切比雪夫不等式的推广及应用学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学作者姓名：指导教师：职称：完成日期： 2013 年 5 月 24 日二○一三年五月切比雪夫不等式的推广及应用摘要本文给出切比雪夫不等式的三种形式的推广,并利用契比雪夫不等式研究随机变量落入某一区域的概率,求解证明概率方面的不等式,证明切比雪夫大数定理和特殊不等式等四个方面的应用.关键词切比雪夫不等式;推广;应用;实例.中图分类号O211.1The promotion and application of chebyshev inequalitySong Qiaoguo Instructor Zhu Fuguo(No.25,Class 1 of 2013,Specialty of Mathematics and Applied Mathematics,Hexi University,Zhangye,Gansu,734000)Abstract:Chebyshev inequality is presented in this paper the three forms of promotion, and use the chebyshev inequality study random variables into the probability of a certain area, solving the probability of inequality, prove chebyshev theorem of large number and the application of the four aspects, such as special inequalities.Abstract: chebyshev inequality;Promotion;Applications;The instance1引言概率论是一门研究随机现象数量规律的科学,而切比雪夫不等式又是概率论中介绍的极少数的重要不等式之一,尤其是在分布未知时某些事件的概率上下界常用切比雪夫不等式.又如大数定理是概率论极限理论的基础,而切比雪夫不等式又是证明它的重要途径.作为一种理论工具,切比雪夫不等式不等式有很高的地位.虽然它的证明其理论成果相对比较完善,但一般的概率论与数理统计教材对大数定律的介绍篇幅较少,但不够广泛. 我们知道,数学的各门分支之间都是有一定联系的,若我们在学习中能把这些联系点找出来并加以对比分析与应用,则既加深了对知识的理解,贯通了新旧知识的联系,又拓宽了知识的应用范围,同时也活跃了思维,无论从深度上还是从广度上都是一个飞跃.对切比雪夫不等式的应用问题的推广也是一项非常有价值的研究方向,通过对这些问题的应用推广,不仅能加深对切比雪夫不等式的理解,而且能使之更为有效的应用其他知识领域中.2 预备知识定义1[]1 (切比雪夫不等式)若随机变量X 有数学期望()E X 和方差()D X ,则对于任意的正数0ε>, 总有:{}2()()D X P X E x εε-≥≤.定义2[]2 如果函数()f x 和()g x 对于一切12,x x 均成立1212(()())(()())0f x f x g x g x--≥,则称()f x 与()g x 成似序；倘若反向的不等式成立,则称()f x 与()g x 成反序.定义3[]3 设连续型随机变量X 的概率密度函数为()f x ,若积分()x f x dx +∞-∞⎰收敛,则称()xf x dx +∞-∞⎰为X 的数学期望,则22()()()D X E X E X =-为X 的方差.3 主要结论及证明定理1[]2 切比雪夫不等式积分形式如果连续函数()f x 与()g x 在区间[],a b 上成似序,则成立如下不等式()()()()()bb baaaf x dxg x dx b a f x g x dx ≤-⎰⎰⎰相反,如果()f x 与()g x 成反序,则不等号反向.证明 引入辅助函数()()()()()()tttaaaF t t a f x g x dx f x dx g x dx =--⎰⎰⎰,()F t 求导得'()()()()()()()()()()t t taaaF t f x g x dx t a f t g t f t g x dx g t f x dx =+---⎰⎰⎰[]()()()()()()()()ta f x g x f t g t f t g x g t f x dx =+--⎰[][]()()()()taf x f tg x g t dx =--⎰.由于()f x 与与()g x 在区间[],a b 上成似序,故有[][]()()()()0f x f t g x g t --≥,于是'()0F t ≥,因此()F t 在[],a b 上单调递增, 又()0,()0F a F b =∴≥,即()()()()()0bbbaaab a f x g x dx f x dx g x dx --≥⎰⎰⎰,()()()()()b b baaaf x dxg x dx b a f x g x dx ∴≤-⎰⎰⎰.同理反序成立.定理2[]4 切比雪夫不等式有限形式若12(,,,)n l l l l = 和12(,,,)n m m m m = 是两个实序列,且满12n l l l ≤≤≤ ,12n m m m ≤≤≤ ,或12n l l l ≥≥≥ ,12n m m m ≥≥≥ ,则成立如下不等式111111()()n n ni i i i i i i l m l m n n n ===≥∑∑∑. 证明 设12,,,n l l l ,12,,,n m m m 为两个有相同次序的序列,有排序不等式得11221122n n n n l m l m l m l m l m l m ++=+++ , 112212231n n n l m l m l m l m l m l m ++≥+++ , 112213242n n n l m l m l m l m l m l m ++≥+++ ,11221211n n n n n l m l m l m l m l m l m -++≥+++ ,将这n 个式子相加得到111()()nnni i i i i i i n l m l m ===≥∑∑∑,不等式两边同时除以2n ,得111111()()n n ni i i i i i i l m l m n n n ===≥∑∑∑. 定理3[]4 设12(,,,)n a a a a = ,12(,,,)n b b b b R =∈ ,0,i λ≥则当12,n a a a ≤≤≤ 12n b b b ≤≤≤ 或者12,n a a a ≥≥≥ 12n b b b ≥≥≥ 时,有如下不等式成立1111()()()()i i i i i i i i i i i i a b a b λλλλ====⋅≤⋅∑∑∑∑ (1)当12,n a a a ≤≤≤ 12n b b b ≥≥≥ 或者12,n a a a ≥≥≥ 12n b b b ≤≤≤ 时,也有如下不等式成立1111()()()()i i i i i i i i i i i i a b a b λλλλ====⋅≥⋅∑∑∑∑ (2)并且当0i λ≥,对于任意的1,2,,i n = 时,则(1),(2)中等式成立的条件是1212n n a a a b b b ====== 或.证明 先证明1111()()()()k k k ki i i i i i i i i i i i a b a b λλλλ====⋅≤⋅∑∑∑∑成立.用数学归纳法1k =时11111111()()()a b a b λλλλ⋅=⋅则不等式成立.假设k n =时1111()()()()nnnni i i i i i i i i i i i a b a b λλλλ====⋅≤⋅∑∑∑∑成立.下证1k n =+时1111()()n n i i i i i i a b λλ++==⋅∑∑111111()()n ni i n n i i n n i i a a b b λλλλ++++===+⋅+∑∑211111111111()()n n n ni i i i n n i i n n i i n n n i i i i a b a b b a a b λλλλλλλ+++++++=====⋅+++∑∑∑∑211111111111()()n n n ni i i i n n i i n n i i n n n i i i i a b a b b a a b λλλλλλλ+++++++====≤⋅+++∑∑∑∑211111111111()()nnnni i i i n n i n n i i i n n n i i i i a b a b a b a b λλλλλλλ+++++++====≤⋅+++∑∑∑∑211111111111()()nnnni i i i n n n i n i i i n n n i i i i a b a b a b a b λλλλλλλ+++++++=====⋅+++∑∑∑∑111111()()nnin i i i n n n i i a b a b λλλλ++++===+⋅+∑∑1111()()n n i i i i i i a b λλ++===⋅∑∑.当n →∞时,两边取极限 则有1111()()()()i i i i i i i i i i i i a b a b λλλλ====⋅≤⋅∑∑∑∑成立.同理可证（2）式成立.4 切比雪夫不等式的应用4.1 利用切比雪夫不等式估计随机变量X 落入区间(),a b 内的概率()P a X b << 例1[]5 设随机变量X 的概率密度为()(0)!m xx f x e x m -=≥,用切比雪夫不等式估计[]02(1)P X m <<+解 第一步:求()E X 和()D X()!m x x E X x e dx m +∞-=⎰101!m x x e dx m +∞+-=⎰ 1(1)!(2)!!m m m m +=Γ+=1m =+. []22()()()D X E X E X =-220(1)!m x x x e dx m m +∞-=-+⎰ 21(3)(1)!m m m =Γ+-+ 2(1)(2)(1)m m m =++-+ 1m =+.第二步:将不等式02(1)X m <<+的各端同减去()1E X m =+,把待估概率[]02(1)P X m <<+化成(())P X E X ε-<的形式[][]02(1)(1)(1)1P X m P m X m m <<+=-+<-+<+(1)1P X m m =⎡-+<+⎤⎣⎦()1P X E X m =⎡-<+⎤⎣⎦.第三步:取1m ε=+,利用切比雪夫不等式估计概率[]02(1)()1P X m P X E X m <<+=⎡-<+⎤⎣⎦()P X E X ε=⎡-<⎤⎣⎦ 22()111(1)D X m m ε+≥-=-+ 1mm =+. 4.2 求解或者证明一些有关概率的不等式例2[]6 设在每次试验中,事件A 发生的概率为0.75,利用切比雪夫不等式求:n 需要多大时,才能使得在n 次独立重复试验中,事件A 出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90？解 设X 为n 次试验中,事件A 出现的次数,则X ~(,0.75)B n ,()0.75,()0.750.250.1875E X n D X n n ==⨯=.所求为满足(0.740.76)0.90XP n<<≥的最小的n . (0.740.76)XP n<<可改写为(0.740.76)P n X n <<,则 (0.740.76)(0.010.750.01)P n X n P n X n n <<=-<-<()0.01P X E X n =⎡-<⎤⎣⎦.在切比雪夫不等式中取0.01n ε=,则(0.740.76)XP n<<()0.01P X E X n =⎡-<⎤⎣⎦ 2()1(0.01)D X n ≥-20.187510.0001nn ≥-18751n≥-.依题意,取187510.90n-≥, 解得 18751875010.9n ≥=-.即n 取18750时,可以使得在n 次独立重复试验中,事件A 出现的概率在0.740.76 之间概率至少为0.90.4.3 利用切比雪夫不等式证明切比雪夫大数定理 例3[]7 设1,,n X X 是相互独立的随机事件,其数学期望和方差分分别为()i E X ,()i D X ,1,2,,,i n = 且存在常数c ,使()i D X c ≤(1,2,,,)i n = ,则对于任意给的正数0ε>,有1111lim ()1n ni i n i i p X E X n n ε→∞==⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑∑. 解 设11ni i X X n ==∑则1111()()n ni i i i E X E X n n ===∑∑, 21111()()n ni i i i KD X D X n nn===≤∑∑. 由切比雪夫不等式得:12111()11()1ninni i i i i D XnP X E X nn εε===⎧⎫-<≥-⎨⎬⎩⎭∑∑∑21K n ε≥-.所以211111()1nn i i i i KP X E X nn n εε==⎧⎫≥-<≥-⎨⎬⎩⎭∑∑.另n →∞,由两边夹定理11111()1nni i i i P X E X nn ε==⎧⎫≥-<≥⎨⎬⎩⎭∑∑1111lim ()1n ni i n i i p X E X n n ε→∞==⎧⎫∴-<=⎨⎬⎩⎭∑∑. 4.4 利用切比雪夫不等式证明不等式 例4[]7 证明22211x aaedx a -+-≥-⎰. 证明 构造一个随机变量X ,设(0,1)X N ,则22()x x ϕ-=,()0E X =,()1D X =.且{}220x aap X a dx -+--≤=⎰.由切比雪夫不等式知{}2101p X a a-≤≥-. 所以22211x aaedx a-+-≥-⎰.5 总结切比雪夫不等式不等式是概率论中的重要不等式，本文将切比雪夫不等式进行了不同形式的推广，并研究总结了切比雪夫不等式不等式在概率论中的不同应用，通过本文的研究可以将切比雪夫不等式及其推广的不同形式能灵活应用，所以研究切比雪夫不等式有很重要的研究意义.致谢本文撰写过程得到老师的悉心指导,在此对朱老师表示衷心的感谢.参考文献[1]陈希孺.概率论与数理统计[M].合肥:中国科学技术大学出版社.2009.[2]韩生,白岩,刘光清,李茂.契比雪夫不等式的一个新证明[J].长春师范学报.1995,17(1):24-25.[3]万星火.概率论与数理统计[M].北京:科学出版社,2007.[4]楼宇同.契比雪夫不等式的推广[J].曲阜师范大学学报.1992,18(4):49-54.[5]上海交通大学数学系编.概率论与数理统计[M].上海:上海科学技术出版社,2004.[6]周勇,马昀宇,谢尚宇,王晓倩译.理工科概率统计[M].北京:机械工业出版社,2009.[7]陈启浩.概率论与数理统计精讲精练[M].北京:北京师范大学出版社,2010.[8]霍玉洪.切比雪夫不等式及其应用[J].长春工业大学学报.2012,33(6):712-714.。
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≤ ∑ a i bi t i . i =1 注 :若所有的 t i = 1 , 上述不等式即为切
n
比雪夫不等式 . 为证明所述的不等式 , 我们转而证明下述 更为广泛的积分不等式 ; 积分不等式 :设 f 和 g 都在区间 [ a , b ] 上单 调增加且分段连续 ,则
b
.
由已知条件知 f 和 g 在区间 [ 0 ,1] 上都单 调增加 ,于是有积分不等式 :
y = - 4Π 7 x + 64Π 7. 可知校门最大高度为 64Π 7,
2
分析 :该题涉及数学基础知识是勾股定理 和一元二次方程解的运用 , 不妨设 B 滑动的速 度为 x 米 / 秒 , 即可得方程 ( 8 - a ) 2 + ( x + 6) 2 = 102 化简得 : x + 12 x + a - 16 a = 0 当 a = 1 时 x2 + 12 x - 15 = 0 得 x ≈ 1. 4. 可见 ,底端 B 下滑的速度比 A 端下滑的速 度快 . 【例 7】 某大学校门是一抛 物线水泥建筑 物 , 大门地面宽度为 8 米 , 两侧距地面 4 米高处 各有一个挂校名匾额用的铁环 , 铁环之间水平 距离为 6 米 ,以校门地面宽度中点为原点 ,建立 直角坐标平面 , (1) 求校门的最大高度 ; (2) 该 大学将近几年教研成果装在汽车上到校外展示 厅展示 , 汽车宽度为 7 米 , 那么汽车与成果共高 小于多少米 , 汽车方能通过校门 ?( 精确到 0. 1 米)
∫[ C
a
-
Ag ( y)
-
Bf ( y )
45
n
a ) f ( y ) g ( y) ] dy ≥0 , C ( b - a ) - AB - AB + C ( b - a ) ≥0. 于
是 ,C ≥
1
b - a
AB .
注 :由上述证明过程可知 , 若 f 和 g 一个为 单调增加而另一个为单调减少时 , 则积分不等
b
0 < ti < 1 , ∑ ti = 1 i=1
n n n
式要变向 , 即 f ( x ) g ( x ) dx
∫
a
则 ∑ a i b n+ 1- i t 1 ≤ ( ∑ a i t i ) ( ∑ bi t i ) i=1 i =1 i =1
n
≤
1 f ( x ) dx b - a a
b
b
∫
∫g ( x) dx.
a
推广的切比雪夫不等式的证明 : 分划区间 [ 0 ,1] :0 = x0 < x1 < … < xn = 1 ,使得 x i x i- 1 = t i , 1 ≤ i ≤ n . 定义阶梯函数 f 和 g 如下 : f ( x) = g ( x) = a 1 , x ∈ [ x 0 , x1 ] a i+ 1 , x ∈ [ x i , xi +1 ] ,1 ≥ i b 1 , x ∈ [ x0 , x1 ] b i+ 1 , x ∈ ( xi , x i+ 1 ] , i ≥1
斜靠在墙上 , 梯子的顶端 A 距地面 8 米 , 如果 A 以 a 米 / 秒速度下滑 ,猜猜 , 底端 B 也以相同的 速度滑动吗 ?并计算当 A = 1 时 B 滑动的速度 .
(图 7)
分析 :该题实际上是求二次函数的顶点和
(图 6 )
函数值的问 题 , 由 题意得 A ( - 4 ,0) , B ( 4 ,0) , C ( 3 ,0) ,可得二次函数解析式
专题研究
切比雪夫不等式的一个推广形式
上海师范大学数理信息学院 (200234) 许庆祥
切比雪夫不等式是一个重要的不等式 , 它 44
在中学数学竞赛中有一些很重要的应用 , 它的
一个初等的证明见文献 [1] 第 236 页 . 本文用全 新的方法给 出切比雪夫不等式的 一个推广形 式 . 值得指出的是 , 文献 [1 ] 的方法已不再适用 于证明下述不等式 : 推广的切比雪夫不等式 : 设 a 1 ≤ a2 ≤ … ≤ a n , b1 ≤ b2 ≤ … ≤ bn ,
1 1 1
f ( x ) g ( x ) dx ∫
a
≥
1 f ( x ) dx b - a a
b
b
∫
0 b
f ( x) g ( x ) dx ≥
1
∫
0 1
f ( x ) dx
∫g ( x) dx.
0 n i=1 n
∫
b
g ( x ) dx . ∫
a b
易 知
B =
∫
0 n i =1
f ( x ) g ( x ) dx a i ti ,
此即得 : ( ∑ a i t i ) ( ∑ bi t i ) ≤ ∑ ai b i t i . i=1 i =1 i=1 令 g 1 ( x) =
b n , x ∈ [ x 0 , x1 ] b n- 1 , x ∈ ( x1 , x i+1 ] ,1 ≤ i
意的 x , y ∈ [ a , b ] 有 ( f ( x ) - f ( y ) ) ( g ( x ) - g ( y ) ) ≥0. 对上式两边关于区间 [ a , b ] 进行积分 ,得
b a b a
则 g1 在区间 [ 0 ,1] 上单调减少 . 同前 ,对 f 和 g1 关于 区 间 [0 ,1 ] 应 用 积 分 不 等 式 即 得 :
n n n i=1
∫ ∫( f ( x)
b
- f ( y ) ) ( g ( x ) - g ( y ) ) dxdy ≥0 ,
b
即
b
∫∫
a a
[
( f ( x) g ( x)
-
f ( x ) g ( y)
-
∑ a i bn+ 1-
bi t i ) . i ti ≤ ( ∑ a i t i ) ( i∑ i=1 =1
f ( y ) g ( x ) + f ( y) g ( y) ) dx ] dy ≥ 0 ,
参考文献 : 1. 《中学 数学竞赛 导引》 , 上 海教育 出版 + (b 社 ,1992 年 .
2 2
然后把 x = 7Π 2 代入解析式 ,即可求得 . 总之 , 数学问题解决的一条基本思路是 “将 未知的问题转化为已知问题 , 并将复杂的问题 转化为简单的问题 . 多年的教学经验也清楚地 告诉我 :由于未知 (复杂 ) 问题与已知 ( 简单) 问 题之间 ,数与形之间问题 , 实际问题与数学问题 之间往往没有明显联系 , 因此需要我们教师通 过探究型的教 , 才能全面提高学生基础学力 、 探 究型学力 、 拓展型学力 . 同时需要设置一些过程 性变化在两者之间进行适当铺垫 , 架起两者之 间无数桥梁 , 逐步培养学生掌握数学转化的思 想方法 , 全面地提高学生分析问题和解决问题 的能力 .
n
=
∑ a i bi t i ,
证明 : 令 A =
C =
f ( x ) dx , ∫
a
∫g ( x) dx ,
a
1
∫
1 f ( x) g ( x) dx ,要证 : C ≥ AB . 由于 a b - a
∫
0ห้องสมุดไป่ตู้
f ( x) dx =
n
∑
∫
0
g ( x ) dx =
n
i =1
∑ bi t i . 由
f 和 g 都在区间 [ a , b ] 上单调增加 ,所以对于任