两角和与差的余弦公式优质公开课精品教案

两角和与差的余弦公式

一、教材地位和作用分析：

两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授两角和与差的余弦公式的推导以及应用。

二、学情分析：

本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。他们经过一个学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。

三、教学目标：

1、理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式。

2、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。

四、教学重点和难点：

教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及应用。

教学难点：两角和与差的余弦公式的推导。

五、教学工具：多媒体

六、教学方法：讲授法，探究法

七、教学过程：

cos(12060)-︒ cos120︒ cos60︒ sin120︒ sin 60︒

12 12- 12

32 32

猜想：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=•+•？

公式推导

通过探究我们猜想得出cos()αβ-的公式，从猜想到结论还需要严格的证明。

提问：前面我们已经学习过任意角的三角比，那么该如何研究βα-的三角比呢？

设α、β是两个任意角，把它们的顶点都置于平面直角坐标系的原点，始边都与x 轴的正方向重合，如图1，它们的终边OA 、OB 分别与单位圆相交于A 、B 两点。

图1

Q1：你能用α、β的三角比表示A 、B 两点坐标吗？ Q2：AOB ∠角度能用α、β表示吗？

Q3：我们要研究AOB ∠的三角比，必须要把AOB ∠位置放在什么地方？怎样达到目的？

答：始边旋转到与x 轴的正方向重合。通过旋转达到目的。 Q4：将终边OA 、OB 绕O 旋转β-，转到A O '和B O '的位置，则A '，B '的坐标是什么？

通过一系列问题的设置找出相等的数量关系，从而推导出公式

O

y

A

)sin ,(cos αα)

sin ,(cos ββB x

β

α

图2 Q5：这两个图中，出现了α、β及αβ-的三角比，观察两图，

旋转过程中哪些量不变，两图中哪些量与我们的研究目标有关，能否找到数量关系从而确定这些三角比之间的关系？ 说明：找到||||B A AB ''=是难点，教师进行了适时点拨，

学生找到了这个关键数量关系．

证明：∵||||B A AB ''= 22

22

||(cos cos )(sin sin )22(cos cos sin sin )

||[cos()1]sin ()22cos()

AB A B αβαβαβαβαβαβαβ=-+-=-•+•''=--+-=-- ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=•+• 这个公式叫做两角差的余弦公式。它对任意角α和β都成立。 第一关：小试身手

请用特殊角分别代替公式中α、β，你能求哪些非特殊角的值呢？（选择的特殊角可以是30°60°45°等） (1) 0cos15______=； (2) 0cos105______=； (3) 0cos 75______=.

利用变量替

换的方法得

出两角和的

余弦公式

)0,1(B '))

sin(),(cos(βαβα--'A y O

x