两角和与差的余弦公式优质公开课精品教案
两角和与差的余弦教学设计-精品教案(优选推荐)
课题：两角和与差的余弦重点：两角和与差的余弦公式及其推导.难点：灵活运用余弦公式进行求值、化简.一、问题情境目前可以直接写出30°，45°，60°等特殊角的三角函数值，利用诱导公式还可进一步求出120°，225°，390°等角的三角函数值.问题：不用计算器，求cos15°的值. cos15°＝cos60°－cos45°吗？ cos15°＝cos45°－cos30°吗？二、探究活动观察：cos(90°－30°)＝cos(60°－30°)＝猜想：对任意角α，β，都有 .三、建构数学如图，在坐标系内作单位圆，作角α，β，和α－β (令0≤α－β≤π)，使终边分别交单位圆于P1，P2，P3 . 此时，0P (1，0) ，1P (cos α，sin α), 3P (cos(α－β)，sin(α－β) )，2P (cos β, sin β).公式推导如下：两角差的余弦公式：cos(α－β)＝ .思考：cos(α＋β)＝？两角和的余弦公式：cos(α＋β)＝.注意：记清公式的结构特征四、数学运用例1、利用两角和（差）的余弦公式，求cos15°，cos75°.例2、化简：（1）cos100°cos40°+sin80°sin40°；（2）cos80°cos55°-cos10°cos35°.例3、233sin=cos=-cos-3252πααπββππαβ∈∈已知，（，），，（，），求（）的值.五、课堂小结1、两角和与差的余弦公式2、知识结构3、数学思想六、课后作业课本第106页，练习1-6。
两角和与差的余弦教案-许秋云
两角和与差的余弦教案-许秋云第一章：两角和与差的余弦概念引入1.1 教学目标让学生了解两角和与差的余弦概念。
能够运用三角函数的定义进行简单的计算。
1.2 教学内容两角和与差的余弦定义三角函数的定义与性质1.3 教学方法采用讲解、示例、练习的方式进行教学。
1.4 教学步骤1.4.1 引入概念通过示例，引导学生理解两角和与差的余弦概念。
1.4.2 讲解三角函数的定义与性质讲解正弦、余弦、正切函数的定义与性质。
1.4.3 练习计算让学生进行一些简单的两角和与差的余弦计算练习。
1.5 作业布置布置一些相关的练习题目，让学生巩固所学知识。
第二章：两角和与差的余弦公式推导2.1 教学目标让学生掌握两角和与差的余弦公式推导过程。
两角和与差的余弦公式公式推导过程2.3 教学方法采用讲解、示例、练习的方式进行教学。
2.4 教学步骤2.4.1 引入公式通过示例，引导学生理解两角和与差的余弦公式。
2.4.2 讲解公式推导过程讲解两角和与差的余弦公式的推导过程。
2.4.3 练习计算让学生进行一些简单的两角和与差的余弦计算练习。
2.5 作业布置布置一些相关的练习题目，让学生巩固所学知识。
第三章：两角和与差的余弦公式应用3.1 教学目标让学生能够运用两角和与差的余弦公式解决实际问题。
3.2 教学内容两角和与差的余弦公式的应用实际问题的解决方法3.3 教学方法采用讲解、示例、练习的方式进行教学。
3.4.1 引入应用通过示例，引导学生理解两角和与差的余弦公式的应用。
3.4.2 讲解实际问题的解决方法讲解如何运用两角和与差的余弦公式解决实际问题。
3.4.3 练习计算让学生解决一些实际问题，进行相关的计算练习。
3.5 作业布置布置一些相关的练习题目，让学生巩固所学知识。
第四章：两角和与差的余弦公式在三角函数图像中的应用4.1 教学目标让学生掌握两角和与差的余弦公式在三角函数图像中的应用。
4.2 教学内容三角函数图像的特点两角和与差的余弦公式在三角函数图像中的应用4.3 教学方法采用讲解、示例、练习的方式进行教学。
两角和与差的正弦余弦和正切公式市公开课一等奖省优质课获奖课件
新知导学
名称
简记符号
公式
使用条件
两角差的余弦
C(α－β)= cos αcos β ＋sin αsin β
任意角都成 cos(α－β)＝
立
温馨提示：公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名 函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．
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第2页
互动探究 探究点 当α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cos α＋cos β成立．那么 当α、β∈R时，cos(α－β)＝cos α＋cos β恒成立吗？
55，sin
β＝3
10 10 .
∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝255× 1100＋ 55×31010＝ 22.
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第13页
又sin α<sin β， ∴0<α<β<π2， ∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4.
[规律方法] 解答已知三角函数值求角这类题目，关键在于合理利 用公式并结合角范围，对所求解进行取舍，其关键步骤有两个： 一是求出所求角某种三角函数值，二是确定角范围，然后结合三 角函数图象就易求出角值．
cos
α2－β.然后利用两角差的余弦公式求cos
α＋β 2.
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第8页
解 ∵α∈π2，π，β∈0，π2，
∴α－β2∈π4，π，α2－β∈－π4，π2，
∴sinα－β2＝
1－cos2α－β2＝
1－811＝4
9
5 .
cos α2－β＝
1－sin2α2－β
高中数学人教版B版精品教案《两角和与差的余弦》
两角和与差的余弦【教学过程】一、问题导入（1）我们已经知道了30°，45°的正弦、余弦值，那么，能否根据这些值求出co15°的值呢？（2）一般地，怎样根据α与β的三角函数值求出co（α-β）的值？二、新知探究1．利用两角和与差的余弦公式化简求值【例1】（1）co 345°的值等于（）。
A．错误!B．错误!C．错误!D．－错误!（2）化简下列各式：①co（θ＋21°）co（θ－24°）＋in（θ＋21°）in（θ－24°）；②－in 167°·in 223°＋in 257°·in 313°。
思路探究：利用诱导公式，两角差的余弦公式求解。
（1）C；[co 345°＝co（360°－15°）＝co 15°＝co（45°－30°）＝co 45°·co 30°＋in 45°·in 30°＝错误!。
]（2）解：①原式＝co[θ＋21°－（θ－24°）]＝co 45°＝错误!，所以原式＝错误!；②原式＝－in（180°－13°）in（180°＋43°）＋in（180°＋77°）·in（360°－47°）＝in 13°in 43°＋in 77°in 47°＝in 13°in 43°＋co 13°co 43°＝co（13°－43°）＝co（－30°）＝错误!。
[教师小结]（一）在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体。
《两角和与差的正弦余弦和正切公式》新课程高中数学 优质课比赛教案设计
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.二、编写意图与特色本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.三、教学重点与难点1.重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础.2.难点：两角差的余弦公式的探索与证明.3.1.1 两角差的余弦公式一、三维目标1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，了解单角与复角的三角函数之间的内在联系.2.通过两角差的余弦公式的应用，会进行简单的求值、化简、证明，体会化归思想在数学中的应用，提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过本节的学习，使学生体会探究的乐趣.二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题等等.三、教学过程1.导入新课我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-=2.推进新课(1)两角差的余弦公式在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来）展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索()cos αβ-与cos α、cos β、sin α、sin β之间的关系，由此得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，认识两角差余弦公式的结构.思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：①结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？②怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？展示多媒体课件比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处.思考：()cos ?αβ+=，()()cos cos αβαβ+=--⎡⎤⎣⎦，再利用两角差的余弦公式得出()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦.（2）例题讲解例1.利用和、差角余弦公式求cos75、cos15的值.解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos75cos4530cos45cos30sin45sin30222=+=-=⨯=，()231cos15cos4530cos45cos30sin45sin3022224 =-=+=⨯+=.点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos6045=-，要学会灵活运用.例2.已知4sin5α=，π5,π,cos,213αββ⎛⎫∈=-⎪⎝⎭是第三象限角，求()cosαβ-的值.解：因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin5α=由此得3cos5α===-.又因为5cos,13ββ=-是第三象限角，所以12 sin13β===-.所以3541233 cos()cos cos sin sin51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.3.课堂练习课本第127页练习.4.课时小结（1）通过本节课学习要理解并掌握两角差的余弦公式及推导过程；（2）正确运用公式进行解题.5.布置作业：习题3.1A组2、3、4.§3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、三维目标：1.在学习余弦差角公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内部联系.2.通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生体会联系变化的观点.3.通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生分析问题的能力.二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、教学过程：1.导入新课大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？2.推进新课（1）两角和与差的正弦正切公式让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦. 让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 注意：,,()222ππππππZ k k k k αβαβ+≠+≠+≠+∈. 以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？ ()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+. 注意：,,()222ππππππZ k k k k αβαβ+≠+≠+≠+∈． （2）例题讲解例1.已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求πππsin ,cos ,tan 444ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===-，于是有πππ43sin sin cos cos sin 44455ααα⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ43cos cos cos sin sin 444252510ααα⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 两结果一样，我们能否用第一章知识证明？π3tan tan1π44tan 7π341tan tan 144ααα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭. 例2.利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）1tan151tan15+-． 分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.解：（1）()1sin 72cos 42cos 72sin 42sin 7242sin 302-=-==； （2）()cos 20cos 70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==；（3）()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--． 3.课堂练习课本第131页练习.4.课时小结本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.5.布置作业：习题3.1A 组7、8.§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式一、三维目标：1.通过让学生探索，发现并推导二倍角公式，了解它们之间以及它们与和角公式内在联系.2.通过对二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.3.通过本节学习，引导学生寻找数学规律的方法，发现和探索精神.二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式.教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、教学过程：1.复习引入大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）2.推进新课：（1）二倍角公式()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-.思考：把上述关于cos 2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--． 注意：ππ2π,π22k k αα≠+≠+()Z k ∈. （2）例题讲解例1.已知5ππsin 2,,1342αα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由ππ,42α<<得π2π2α<<． 又因为5sin 2,13α=12cos 213α==-． 于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-． 例2.在ABC ∆中，4cos 5A =，tan 2B =，求tan(22)A B +的值.本例采用两种方法来解决：一种是先求出tan 2A 和tan 2B ，从而求出tan(22)A B +，另一种是先求出tan()A B +再求出tan(22)A B +.这两种方法都是对倍角公式与和角公式的联合运用，本质上没有什么区别.值得注意的是在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含条件，如0π,πA A B C <<++=等，教学中可以在学生自己尝试解决问题后，引导他们进行适当的小结.学生基础较好的班级可以直接求tan2C的值.3.课堂练习课本第135页练习.4.课时小结本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.5.布置作业：习题3.1A组：15、16、17.。
最新两角和与差的余弦公式优质公开课精品教案
两角和与差的余弦公式一、教材地位和作用分析：两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。
本课时主要讲授两角和与差的余弦公式的推导以及应用。
二、学情分析：本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。
他们经过一个学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。
三、教学目标：1、理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式。
2、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。
四、教学重点和难点:教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及应用教学难点：两角和与差的余弦公式的推导。
五、教学工具：多媒体六、教学方法：讲授法，探究法七、教学过程：cos(120—60)。
cos120° cos60° si n120* sin 60°1 1 1灵22222猜想： cos (:; 『■) =cos ：. ・cos ，；' 1 sin ：・sin ： ?通过探究我们猜想得出cos （：. 一 ：）的公式，从猜想到结论还需要严格的证明。
提问：前面我们已经学习过任意角的三角比，那么该如何 研究：.一 ■:的三角比呢？设〉、1是两个任意角，把它们的顶点都置于平面直角坐标系的原点，始边都与x 轴的正方向重合，如图 1它们的终 边0A 、OB 分别与单位圆相交于A 、B 两点。
Q2 AOB 角度能用〉、1表示吗？Q3我们要研究• AOB 的三角比，必须要把• AOB 位置放在什 么地方？怎样达到目的？答：始边旋转到与x 轴的正方向重合。
通过旋转达到目的。
中职数学：和角公式—两角和与差的余弦公开课教案
通过多媒体演示，让学生直观理解公式的推导过程。
通过例题讲解和练习，让学生掌握公式的应用。
学 法
通过自助学习，结合理解，熟记两角和与差的余弦公式。
教学准备
教学过程
教师活动
学生活动
复习引入：回顾三角函数的定义和相关公式，为引入两角和的余弦公式做好准备。
课堂互动。
自主探究：通过问题引导，让学生自主探究两角和的余弦公式的推导过程。
多媒体演示：利用多媒体演示公式的推导过程，让学生直观理解公式的推导过程。
例题讲解：通过例题讲解，让学生掌握公式的应用。
练习巩固：通过练习巩固，让学生更好地掌握公式的应用。
实例分析与计算，纠错反思。
板书设计
教学总结
培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力。
教学重点
两角和的余弦公式的推导过程和公式形式。
解决手段
使用几何方法：通过观察和推导，使用几何方法来证明，更直观，容易理解。
教学难点
如何使用两角和的余弦公式进行三角函数式的化简和求值。
解决手段
通过大量的题目练习，使学生更好地理解公式，同时提高计算能力。
教 法
通过复习引入，让学生回忆三角函数的有关概念和公式。
教案学Biblioteka 科数学课 题和角公式—两角和与差的余弦
课 型
复习
课 时
2
年 级
三年级
设计理念
注重启发式教学，讲练结合，突破教学重点和难点。
学情分析
根据学生实际情况，重点掌握基础知识，如公式，为后续学习打下基础。
教学目标
理解两角和的余弦公式的推导过程和公式形式。
能使用两角和的余弦公式进行简单的三角函数式的化简和求值。
两角和与差的余弦公式教案
两角和与差的余弦公式教案【授课课题】 1.1.1两角和与差的余弦公式（一）【设计思想】数学源于生活，数学服务与生活，专业中需要数学。
【学情分析】本课面对旅游专业二年级的学生，旅游专业的学生对数学表达能力和逻辑推理能力比较薄弱，但他们好动，对探索未知世界有主动意识，对新事物充满探求的渴望。
经过一年半的数学学习储备了一定数学知识，掌握了一些高中的数学学习方法，为本节课的学习，建立的良好的知识基础。
【教材分析】本节内容是中等职业教育课程改革国家规划新教材，拓展模块第一章《三角公式及应用》第一节《两角和与差的余弦公式》，学生在基础模块掌握了任意角的三角函数的概念，向量坐标表示及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角三角函数表示两角和与两角差的三角函数，两角差的余弦公式在推导，采用易于教学的推导方法，及借助于单位圆中的三角函数线推导。
【教学目标】知识目标：1、理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式。
2、能正确运用公式进行简单的三角函数式的计算和化简．3、使部分学生能够从正反两个方向运用公式解决简单的问题能力目标：1、培养学生严密而准确的数学表达能力，逆向思维和发散思维能力，2、体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，及灵活选用公式解决问题的能力。
情感目标：1、通过观察对比公式体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达能力和思考能力。
2、学会从已有的知识出发，主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度【教学重点】两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用．【教学难点】难点是公式的推导【突破措施】先由特殊情形引入，再向一般性过渡，充分挖掘学生的思考和探索能力已达到对公式的深入理解和灵活运用。
【学法设计】独立思考、师生交流【知识链接】特殊角的三角函数、诱导公式、向量数乘积、向量坐标表示【教学设计】在介绍新知识之前，首先利用特殊角的三角函数值，让学生认识到cos(6030)cos60cos30︒−︒≠︒−︒，然后提出如何计算cos()αβ−的问题．利用矢量论证cos()αβ−的公式，使得公式推导过程简捷．教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例1和例2都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．推广πsin()cos 2αα−=时，用到了换元的思想，培养学生的整体观念和变换的思维．公式sin()αβ+的推导过程是，首先反向应用例3中的结论πcos()sin 2αα−=，然后再利用公式cos()αβ−，最后整理得到公式．教学关键是引导学生将()αβ+看做整体，这样才能应用公式πcos()2α−．逆向使用公式，培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．得到这些公式后，要强调公式cos()αβ−是最基本的公式，要求学生理解其他公式的推导过程，同时将公式cos()αβ±相对比进行记忆．要帮助学生总结公式中角α和角β以及函数名称排列的特点和符号的特点，教会学生利用这些特点记忆公式．抓住特点进行强化记忆的记忆能力培养是数学课程的一项重要任务．教学中要强调这两种使用方法，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，培养学生的数学思维能力．【教学备品】教学课件．课后练习题【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过 程行为行为 意图*创设情境 兴趣导入问题1：======00000060cos 60sin 45cos 45sin 30cos 30sin问题2：→→→→→→=•b a b a b a ,cos问题3：),(11y x a =→),(22y x b =→则=•→→b a问题4：单位圆上的坐标表示问题5：诱导公式()ααπ−+k 2我们知道，13cos60cos3022︒=︒=，，显然 ()cos 6030cos60cos30︒−︒≠︒︒-． 由此可知()cos cos cos αβαβ−≠-． 播放 课件 质疑观看 课件 思考引导 启发学生得出结果*动脑思考 探索新知过 程行为行为 意图在单位圆（如图11−）中，设向量OA 、OB 与x 轴正半轴的夹角分别为α和β，则点A （cos ,sin αα），点B （cos ,sin ββ）．因此向量(cos ,sin )OA αα=，向量(cos ,sin )OB ββ=，且1OA =,1OB =．于是 cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=⋅⋅−=−， 又cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=⋅+⋅，所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ−=⋅+⋅． （1） 又 []cos()cos ()αβαβ+=−−cos cos()sin sin()αβαβ=⋅−+⋅−cos cos sin sin αβαβ=⋅−⋅．（2） 利用诱导公式可以证明，(1)、(2)两式对任意角都成立（证明略）．实际上βα−为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角都可以转换到[]π2,0，使)cos(cos βαθ−=。
两角和与差的余弦公式教案
两角和与差的余弦公式教案课题：两角和与差的余弦公式授课教师：北京市陈经纶中学黎宁授课时间：2007年11月21日教学目标：1．使学生理解两角和与差的余弦公式,并能初步应用它们解决简单的三角函数求值与恒等变换问题。
2．通过教学，使学生经历从探索两角差的余弦公式结构到证明两角差的余弦公式，再由此推导两角和的余弦公式的过程,简单体会特殊与一般的思想，数形结合的思想，换元的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用，培养学生观察、联想、归纳、证明的推理能力。
3．通过教学，形成学生严谨的治学态度和锲而不舍的钻研精神。
教学重点：两角和与差的余弦公式教学难点：两角和与差的余弦公式的探究教学方式：发现式、探究式教学手段：计算机辅助教学、实物投影仪教学基本流程：创设问题情景，引入研究课题由特殊值探索公式结构引导学生证明公式通过例题体会公式的应用课堂小结布置作业例1（本节课开始时的疑问2）利用差角公式求︒15cos 的值。
（学生自行完成）解：︒15cos =cos(45°-30°)= cos45°cos30°+sin45°sin30° =21222322⨯+⨯ =426+ 通过练习使学生理解公式的简单应用。
能否用角α、β的正、余弦来表示)cos(βα+呢？学生自主研究，解决问题只要将公式)(βα-C 中的β换成β-即可得到。
也可以将βα+看成)(βα--，利用公式)(βα-C 证明。
)cos(βα+=cos αcos β-sin αsin β （)(βα+C ） 通过解决问题使学生体会“换元”的思想。
通过加法与减法互为逆运算的关系，帮助学生树立对立统一的观点，提炼问题本身蕴涵着的化归与转化的思想。
例2求值：（1）cos72°cos12°+sin72°sin12° （2）cos34°cos26°-sin34°sin26° （学生自行完成）解：(1) cos72°cos12°+sin72°sin12°=cos(72°-12°)= cos60°=21(2) cos34°cos26°-sin34°sin26°=cos(34°+26°)= cos60°=21这是公式的逆用，锻炼学生的逆向思维能力，同时也为解决本节课开始时的疑问1做好铺垫。
两角和与差的余弦教案
两角和与差的余弦教案教案标题：两角和与差的余弦教案教案目标：1. 理解两角和与差的余弦公式；2. 掌握利用两角和与差的余弦公式解决相关问题；3. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
教学准备：1. 教师准备：教案、投影仪、计算器、白板、笔；2. 学生准备：教科书、练习题、笔和纸。
教学过程：引入：1. 利用投影仪或白板展示一个直角三角形，并引导学生回顾正弦、余弦和正切的定义。
2. 提问：如果我们已知一个直角三角形的两个角度，我们能否利用余弦公式求得第三个角度呢？讲解：1. 引导学生回顾余弦公式：对于一个三角形ABC，已知边长a、b和夹角C，余弦公式为c² = a² + b² - 2abcosC。
2. 介绍两角和与差的余弦公式：- 两角和的余弦公式：cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB；- 两角差的余弦公式：cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB。
3. 解释两角和与差的余弦公式的推导过程，并与学生一起进行推导演练。
示范：1. 通过一个具体的例子来演示如何利用两角和与差的余弦公式求解问题。
2. 教师解答学生提出的疑问，并引导学生思考和讨论。
练习：1. 学生个人或小组完成练习题，巩固两角和与差的余弦公式的运用。
2. 教师巡视并指导学生，及时纠正他们的错误，解答他们的疑问。
总结：1. 教师总结本节课的重点和难点，强调两角和与差的余弦公式的重要性和应用价值。
2. 学生回答教师提出的总结问题，巩固所学知识。
拓展：1. 引导学生思考：如果我们已知三角形的两条边和夹角，能否利用两角和与差的余弦公式求解第三条边的长度？2. 鼓励学生自主学习和探索，拓展他们的数学思维。
教学反思：1. 教师根据学生的表现和反馈，对本节课的教学进行评估；2. 教师总结教学经验，为下一次的教学做好准备。
两角和与差的余弦教案许秋云
两角和与差的余弦教案-许秋云一、教学目标1. 理解两角和与差的余弦概念。
2. 掌握两角和与差的余弦公式。
3. 能够运用两角和与差的余弦公式解决实际问题。
二、教学重点与难点1. 教学重点：两角和与差的余弦概念及公式的理解和运用。
2. 教学难点：两角和与差的余弦公式的推导和灵活运用。
三、教学准备1. 教师准备：讲解稿、PPT、例题及练习题。
2. 学生准备：笔记本、笔、计算器。
四、教学过程1. 导入：通过复习单一角余弦的概念，引导学生思考两角和与差的余弦概念。
2. 讲解：讲解两角和与差的余弦概念，引导学生理解并掌握两角和与差的余弦公式。
3. 例题：给出例题，引导学生运用两角和与差的余弦公式进行计算，巩固知识点。
4. 练习：让学生自主完成练习题，检测学习效果。
五、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对两角和与差的余弦概念的理解程度。
2. 例题解答：评价学生对两角和与差的余弦公式的运用能力。
3. 练习题完成情况：评价学生对知识点的掌握程度。
六、教学拓展1. 引导学生思考：除了两角和与差的余弦公式，还有哪些相关的公式？2. 介绍二倍角公式、和差化积公式等与余弦相关的公式，让学生自主学习并尝试运用。
七、实际应用1. 给出实际问题，让学生运用两角和与差的余弦公式进行解决。
2. 引导学生思考：余弦公式在现实生活中的应用场景有哪些？八、课堂小结1. 让学生总结本节课所学的主要内容和知识点。
2. 强调两角和与差的余弦公式的运用方法和注意事项。
九、作业布置1. 让学生完成课后练习题，巩固本节课所学知识。
2. 鼓励学生自主寻找相关的实际问题进行练习，提高运用能力。
十、教学反思1. 教师对本节课的教学效果进行反思，思考哪些地方讲解得清晰，哪些地方需要改进。
2. 学生对本节课的学习效果进行反思，总结自己的学习收获和需要加强的地方。
十一、课程标准1. 了解两角和与差的余弦概念及公式。
2. 能够运用两角和与差的余弦公式解决实际问题。
两角和与差的正余弦及正切公式(优质课)教案
1.9两角和与差的正余弦、正切公式 及二倍角公式（优质课）教案教学目标：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.2、灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.教学过程：一、 两角和的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(−=+ 的推导：复习：两点间的距离公式：设),(111y x P ，),(222y x P 22122121()()PP x x y y =−+− 推导过程：由三角函数定义知：(1,0)A ， (cos ,sin )B αα, (cos(),sin())C αβαβ++， (cos(),sin())D ββ−−，由已知：AOC BOD ∠=∠;∴ DAB ABC = ∴DB AC =∴[][]2222cos cos()[sin sin()]cos()1sin ()αβαβαβαβ−−+−−=+−++∴[][]2222cos cos()[sin sin()]cos()1sin ()αβαβαβαβ−−+−−=+−++展开并整理得: 22(cos cos sin sin )22cos()αβαβαβ−−=−+∴ βαβαβαsin sin cos cos )cos(−=+上述公式称为两角和的余弦公式设角α、角β为任意角 如左图在平面直角坐标系xoy 中 作AOB α∠=,BOC β∠= 则AOC αβ∠=+ 作单位圆．．．， 设角α、角β的终边分别与单位圆交于点B ，点C 再作DOA BOC β∠=∠=记为 ():C αβ+βαβαβαsin sin cos cos )cos(−=+ 解：那么)sin ,(cos αα=OA ， )sin ,(cos ββ=OB 所以cos （α－β） =cos ><OB OA ,=||||b a b a ⋅⋅=βαβαsin sin cos cos ⋅+⋅二、两角和与差的正弦公式： sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=cos ［(2π-α)-β］=cos(2π-α)cosβ+sin(2π-α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ. sin(α-β)=sin ［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.三、两角和与差的正切公式： 当cos(α+β)≠0时，tan(α+β)=.sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(βαβαβαβββ−+=++a a如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0时,分子、分母同除以cosαcosβ得 tan(α+β)=)tan(tan 1tan tan βαβα−−+，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，则有tan(α-β)=.tan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan βαβαβαβα+−=−−−+cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα−+tan(α-β)=.tan tan 1tan tan βαβα+−四、公式汇编：1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。
苏教版两角和与差的余弦教案
3.1 两角和与差的三角函数 3.1.1 两角和与差的余弦两角和与差的余弦公式 (1)两角差的余弦公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β. (2)两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β. 思考：cos(90°－30°)＝cos 90°－cos 30°成立吗？ [提示] 不成立．1．思考辨析(1)α，β∈R 时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.( ) (2)cos 105°＝cos 45° cos 60°－sin 45°sin 60°.( )(3)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( )(4)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2α.( ) [解析] 正确运用公式．(1)中加减号错误．(2)(3)(4)正确． [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．cos 75°＝________；cos 15°＝________. 6－246＋24[cos 75°＝cos(30°＋45°) ＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°＝6－24.cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 30°sin 45°＝6＋24.] 3．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为________．32[cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝32.]两角和与差余弦公式的简单应用【例1】 求下列各式的值： (1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°； (2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°；(3)12cos 15°＋32sin 15°；(4)cos(35°－α)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)． 思路点拨：从所求式子的形式、角的特点入手，化简求值．[解] (1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝32.(2)原式＝cos(15°－8°)－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝2＋6 4.(3)∵cos 60°＝12，sin 60°＝32，∴12cos 15°＋32sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝2 2.(4)原式＝cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝1 2.1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值．提醒：要重视诱导公式在角的差异、函数名称的差异中的转化作用．1．求下各式的值(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；(2)cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°.[解](1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝1 2.(2)原式＝cos 24°cos 36°－sin 24°sin 36°＝cos(24°＋36°)＝cos 60°＝12. 已知三角函数值求角【例2】 已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α＋β的值． 思路点拨：先求出cos α，sin β，再利用两角和的余弦公式求出cos(α＋β)，最后由α＋β的范围确定α＋β的值．[解] 因为α，β为锐角，且sin α＝55，cos β＝31010， 所以cos α＝1－sin 2α＝1－15＝255，sin β＝1－cos 2β＝1－910＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22. 由0<α<π2，0<β<π2，得0<α＋β<π.因为cos(α＋β)>0，所以α＋β为锐角， 所以α＋β＝π4.已知三角函数值求角，一般分三步：第一步：求角的某一三角函数值(该函数在所求角的取值区间上最好是单调函数)；第二步：确定角的范围，由题意进一步缩小角的范围； 第三步：根据角的范围写出所求的角.2．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值． [解] 由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437. 由0<β<α<π2，得0<α－β<π2. 又∵cos(α－β)＝1314， ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314. 由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12，∴β＝π3. 给值求值问题[探究问题]1．角“α＋β”“β”及“α”间存在怎样的等量关系？ 提示：α＋β＝α＋β；α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α. 2．已知cos(α＋β)和sin β的值，如何求cos α的值？提示：由α＝(α＋β)－β可知，cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β，故可先求出sin(α＋β)及cos β的值，代入上式求得cos α的值．【例3】 已知sin α＝－45，sin β＝513，且π<α<3π2，π2<β<π，求cos(α－β)． 思路点拨：由sin α求cos α；由sin β求cos β后套用公式求值． [解] ∵sin α＝－45，π<α<3π2， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－35.又∵sin β＝513，π2<β<π，13∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝1665.1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．提醒：注意角的范围对三角函数值符号的限制．教师独具1．本节课的重点是两角和与差的余弦公式，难点是公式的推导及应用．2．要掌握两角和与差的余弦公式的三个应用(1)解决给角求值问题．(2)解决给值(式)求值问题．(3)解决给值求角问题．3．本节课的易错点是：利用两角和与差的余弦公式解决给值求角问题时，易忽视角的范围而导致解题错误．1．cos 15°＝( )A ．cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°B ．cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°C ．cos 45°sin 30°＋sin 45°cos 30°D ．cos 45°sin 30°－sin 45°cos 30°B [cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°.] 2．cos 105°＋sin 195°＝________.2－62[cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin(105°＋90°) ＝cos 105°＋cos 105° ＝2cos(135°－30°)＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×32＋22×12＝2－62.]3．若sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为________． －210 [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，∴cos α＝－45. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋22×35＝－210.] 4．化简：2cos 10°－sin 20°cos 20°.[解] 原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°＝2cos 30°cos 20°＋2sin 30°sin 20°－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝3.。
《两角和与差的正弦余弦和正切公式》教学设计一等奖
《两角和与差的正弦余弦和正切公式》教学设计一等奖《《两角和与差的正弦余弦和正切公式》教学设计一等奖》这是优秀的教学设计一等奖文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！1、《两角和与差的正弦余弦和正切公式》教学设计一等奖三角函数式的化简化简要求：1）能求出值应求值?2）使三角函数种类最少3）项数尽量少4）尽量使分母中不含三角函数5）尽量不带有根号常用化简方法：线切互化，异名化同名，异角化同角，角的变换，通分，逆用三角公式，正用三角公式。
例1、三角函数式给值求值：给值求值是三角函数式求值的重点题型，解决给值求值问题关键：找已知式与所求式之间的角、运算以及函数的差异，角的变换是常用技巧，给值求值问题往往带有隐含条件，即角的范围，解答时要特别注意对隐含条件的讨论。
例2、三角函数给值求角此类问题是三角函数式求值中的难点，一是确定角的范围，二是选择适当的三角函数。
解决此类题的一般步骤是：1）求角的某一三角函数值2）确定角的范围3）求角的`值例3.总结：解决三角函数式求值化简问题，要遵循“三看”原则：①看角，通过角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，尽量向特殊? 角和可计算角转化，从而正确使用公式。
②看函数名，找出函数名称之间的差异，把不同名称的等式尽量化成同名或相近名称的等式，常用方法有切化弦、弦化切。
③看式子结构特征，分析式子的结构特征，看是否满足三角函数公式，若有分式，应通分，可部分项通分，也可全部项通分。
“一看角，二看名，三是根据结构特征去变形”2、《两角和与差的正弦余弦和正切公式》教学设计一等奖（一）教材分析（1）地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。
（2）重点、难点。
重点：正余弦定理的'证明和应用难点：利用向量知识证明定理（二）教学目标（1）知识目标：①要学生掌握正余弦定理的推导过程和内容;②能够运用正余弦定理解三角形;③了解向量知识的应用。
(完整版)两角和与差的余弦公式教案
课题：两角和与差的余弦公式
授课教师：北京市陈经纶中学黎宁
授课时间：2007年11月21日
教学目标：
1．使学生理解两角和与差的余弦公式,并能初步应用它们解决简单的三角函数求值与恒等变换问题。
2．通过教学，使学生经历从探索两角差的余弦公式结构到证明两角差的余弦公式，再由此推导两角和的余弦公式的过程,简单体会特殊与
一般的思想，数形结合的思想，换元的思想等数学思想在三角恒等
变换中的作用，培养学生观察、联想、归纳、证明的推理能力。
3．通过教学，形成学生严谨的治学态度和锲而不舍的钻研精神。
教学重点：两角和与差的余弦公式
教学难点：两角和与差的余弦公式的探究
教学方式：发现式、探究式
教学手段：计算机辅助教学、实物投影仪
教学基本流程：。
两角和与差的余弦教案(优质教案)
两角和与差的余弦教案(优质教案)第三章：三角恒等变换第一节：两角和与差的余弦一、三维目的：1.知识与技能：学生需要理解两角和与差的余弦公式的推导过程，并掌握它的初步应用（公式的正用和逆用）。
此外，教师需要着重培养学生的代换、演绎、数形结合及逆向思维等数学思想方法。
2.过程与方法：教学过程中需要启发、讲练结合，合作交流，突破难点。
3.情感、态度与价值观：教师需要培养学生的探索与创新意识，激发学生研究兴趣，提高学生解题的灵活性。
教学重点：余弦的差角公式的推导和应用。
教学难点：余弦的差角公式的推导。
二、教学过程：一）问题情境问题一：我们已经知道30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，但如果不想查表，如何求诸如cos75°、cos15°的值？设问：cos75°=cos（45°+30°）与cos45°+cos30°是否相等？cosl5°=cos（45°-30°）与cos45°-cos30°是否相等？由于cos（45°±30°）≠cos45°±cos30°，所以我们需要研究这个问题。
问题二：一般地，cos(α-β)≠cosα-cosβ，那么cos(α-β)能否用α的三角函数与β的三角函数来表示？如何表示？我们可以把cos(α-β)看成是两个向量夹角的余弦，考虑用向量的数量积来研究。
在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α、β，其终边分别与单位圆交于P1（cosα，sinα）和P2（cosβ，sinβ）。
则∠P1OP2=α-β。
设向量a=OP1=（cosα，sinα）。
b=OP2=（cosβ，sinβ）。
则a•b=a·b·cosθ=cos(α-β)。
另一方面，a•b=x1x2+y1y2.因此，我们可以得到两角差的余弦公式。
两角和与差的正弦余弦正切公式-市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
67
tan(45
)
x
30 60
x
能否用sin 把 tan(45 )
表达出来呢？
45 67
A
C 30
3.1-1
B
一般地说，对于任意角 ， ，能不能 用 ， 旳三角函数值把 或者
旳三角函数值表达出来呢？
下面我们来研究怎样用任意角 ，
旳正弦、余弦值来表达 cos 旳问
题。
二、新课讲解
作用：知 cos ，cos ，sin ，sin 旳值可
求cos( )
例1 利用差角余弦公式求 cos15旳值。
想一想： 有几种拆 分措施？
解法一：
cos15 cos(45 30 ) cos 45 cos 30 sin 45 sin 30 2 3 21 2 2 22
6 2 4
解法二：
则 pox
过点P作PM垂直于x轴，垂
足为M，那么OM是角
y
p1
Ap
C
O BM x
旳余弦线。
思索：怎样用角 ， 旳正弦线、余
弦线来表达OM？
过点P作PA垂直于O p1 ，垂足为A，过点A作AB垂
直于x轴，垂足为B，过点P作PC垂直于AB，垂足为
C。则OA= cos ，AP= sin 而且pac p1ox
当 是任意角时，由诱导公式，
总能够找到一种角 0,2 ，使
cos cos( ) 则
当 0, 时，则OAOB cos cos( )
当 ,2 时，则 2 0, 且
OAOB cos(2 ) cos cos( )
（一）两角差旳余弦公式
对于任意角 ， 都有
c cos( ) cos cos sin sin （ ( )）
两角和与差的余弦教案许秋云
两角和与差的余弦教案-许秋云第一章：两角和与差的余弦概念引入教学目标：1. 理解两角和与差的余弦概念。
2. 掌握两角和与差的余弦公式的推导过程。
3. 能够运用两角和与差的余弦公式进行计算。
教学内容：1. 引入两角和与差的余弦概念，引导学生思考两个角和的余弦值与差的角度的关系。
2. 通过几何图形和三角函数的定义，引导学生推导出两角和与差的余弦公式。
3. 运用实例进行讲解，让学生理解并掌握两角和与差的余弦公式的运用。
教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察和思考来发现两角和与差的余弦规律。
2. 利用几何图形和实际例子，帮助学生直观地理解两角和与差的余弦概念。
3. 提供充足的练习题，让学生通过实践来巩固对两角和与差的余弦公式的理解和运用。
教学评估：1. 通过课堂提问和小组讨论，了解学生对两角和与差的余弦概念的理解程度。
2. 布置课后练习题，评估学生对两角和与差的余弦公式的掌握情况。
教学资源：1. 教学PPT，用于展示两角和与差的余弦公式的推导过程和实例。
2. 几何绘图工具，用于绘制两角和与差的余弦图示。
教学步骤：1. 引入两角和与差的余弦概念，引导学生思考两个角和的余弦值与差的角度的关系。
2. 通过几何图形和三角函数的定义，引导学生推导出两角和与差的余弦公式。
3. 运用实例进行讲解，让学生理解并掌握两角和与差的余弦公式的运用。
4. 提供练习题，让学生通过实践来巩固对两角和与差的余弦公式的理解和运用。
教学反思：在教学过程中，观察学生对两角和与差的余弦概念的理解程度，及时进行引导和解释。
关注学生的学习反馈，根据学生的实际情况进行调整和辅导。
在布置练习题时，要注意题目的难易程度，既要让学生能够巩固所学知识，又要避免过大的学习压力。
第六章：两角和与差的余弦公式的应用教学目标：1. 能够运用两角和与差的余弦公式解决实际问题。
2. 掌握两角和与差的余弦公式在不同情况下的应用。
3. 能够运用两角和与差的余弦公式进行角度的转换。
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两角和与差的余弦公式
一、教材地位和作用分析：
两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。
本课时主要讲授两角和与差的余弦公式的推导以及应用。
二、学情分析：
本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。
他们经过一个学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。
三、教学目标：
1、理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式。
2、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。
四、教学重点和难点：
教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及应用。
教学难点：两角和与差的余弦公式的推导。
五、教学工具：多媒体
六、教学方法：讲授法，探究法
七、教学过程：
cos(12060)-︒ cos120︒ cos60︒ sin120︒ sin 60︒
12 12- 12
32 32
猜想：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=•+•？
公式推导
通过探究我们猜想得出cos()αβ-的公式，从猜想到结论还需要严格的证明。
提问：前面我们已经学习过任意角的三角比，那么该如何研究βα-的三角比呢？
设α、β是两个任意角，把它们的顶点都置于平面直角坐标系的原点，始边都与x 轴的正方向重合，如图1，它们的终边OA 、OB 分别与单位圆相交于A 、B 两点。
图1
Q1：你能用α、β的三角比表示A 、B 两点坐标吗？ Q2：AOB ∠角度能用α、β表示吗？
Q3：我们要研究AOB ∠的三角比，必须要把AOB ∠位置放在什么地方？怎样达到目的？
答：始边旋转到与x 轴的正方向重合。
通过旋转达到目的。
Q4：将终边OA 、OB 绕O 旋转β-，转到A O '和B O '的位置，则A '，B '的坐标是什么？
通过一系列问题的设置找出相等的数量关系，从而推导出公式
O
y
A
)sin ,(cos αα)
sin ,(cos ββB x
β
α
图2 Q5：这两个图中，出现了α、β及αβ-的三角比，观察两图，
旋转过程中哪些量不变，两图中哪些量与我们的研究目标有关，能否找到数量关系从而确定这些三角比之间的关系？ 说明：找到||||B A AB ''=是难点，教师进行了适时点拨，
学生找到了这个关键数量关系．
证明：∵||||B A AB ''= 22
22
||(cos cos )(sin sin )22(cos cos sin sin )
||[cos()1]sin ()22cos()
AB A B αβαβαβαβαβαβαβ=-+-=-•+•''=--+-=-- ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=•+• 这个公式叫做两角差的余弦公式。
它对任意角α和β都成立。
第一关：小试身手
请用特殊角分别代替公式中α、β，你能求哪些非特殊角的值呢？（选择的特殊角可以是30°60°45°等） (1) 0cos15______=； (2) 0cos105______=； (3) 0cos 75______=.
利用变量替
换的方法得
出两角和的
余弦公式
)0,1(B '))
sin(),(cos(βαβα--'A y O
x。