第五章条件平差

• 条件方程一般形式：
a1V1 a2V2 anVn Wa 0， Wa aL a0 b V b V b V W 0， W bL b 1 1 2 2 n n b b 0 r1V1 r2V2 rnVn Wr 0， Wr rL r0 可得矩阵形式： AV－W 0 其中： a1 b1 A r 1 a2 an V1 Wa b2 bn V2 Wb V W W V r2 rn r n
T T QF f Q f f QL ˆF ˆ ˆ dL ˆ ˆL ˆ f dL
补充：控制测量概念 一、控制测量任务 1。为测绘地形图建立控制网 2。建立施工控制网 3。建立变形监测网
二、控制网的形式（按观测值分类）
1。高程控制网－－水准网，三角高程网
2。平面控制网－－三角网，导线网，GPS网
r极 l 2 p 3 l－－测角网中的总边数 p 网中所有点数（包括已 知点）
极条件仅存在于有角度观测值的控制网中。
二、测角网按方向条件平差（独立网）
必要观测数： t=2p+设站点数M 1、单三角形 n=6 t=2+3=5 2、中点多边形 r=1 p－－待定点数
测方向网无圆周角条件。 测方向网的图形条件：
24
3 6D 9
3个 图形条件： r 5 圆周角条件： 1个 极条件(边条件)： 1个
1 8 A
5 7 C
极条件
以“D”点为极点，得平差值条件方程：
ˆ sin L ˆ sin L ˆ DB DC DA sin L 1 4 7 ＝ 1 ˆ sin L ˆ sin L ˆ DA DB DC sin L 2 5 8
二、法方程及改正数方程
将V T PV min的原则作用于条件方程 。
组成新函数:
V T PV－2k T AV W
式中
r 1
k k a , kb , k r 条件方程联系数
T
对新函数求导： T T 2V P 2k A 0 V 1 T T 得V P A k QA k ---改正数方程
T T T －1
f Q QA N AQ f
T T T －1


f QL ˆL ˆ f
求观测值的平差值函数的权逆阵过程可记忆为：
ˆ f L ˆ ，L ˆ， ˆ 设有平差值的函数： F L 1 2 n ~ ˆ 在L的真值点L 展开，得权函数式：
i


ˆ f dL ˆ f dL ˆ f dL ˆ F 1 1 2 2 n n ˆ f T dL f 其中：f i L ˆ ˆ i Li Li ˆ的权逆阵为 则F ˆ V , dL
三、平差值函数的权逆阵
ˆ f L ˆ ，L ˆ， ˆ 设有平差值的函数： F L 1 2 n ~ ˆ 在L的真值点L 展开，得权函数式：
i


ˆ f V f V f V F 1 1 1 2 2 2 n n n f TV f T V f f f 其中：f i L ˆ ˆ L i L i i
dSCD ˆ f T dL SCD ˆ SCD T 2 T ˆ f D f f QL ˆL ˆ ˆL ˆ f 0 L S CD
得测边相对中误差为： 3、大地四边形测角网
2
ˆS
CD
SCD
＝
ห้องสมุดไป่ตู้
ˆ 0 f T QL ˆL ˆ f
条件式个数：
r1－－独立网条件个数 r2－－附合条件数（强制附合条件）
强制附合条件r2一般有三种形式： （1）边长条件（基线条件） 条件方程个数=多余已知边数； （2）方位角条件（固定角条件） 条件方程个数=多余已知方位角个数； （3）纵横坐标条件 条件方程个数=多余已知点组个数的2倍
已知点组：用已知边和已知方位角将已知点连接在一起时，称为一 个已知点组。如附合导线就有两个已知点组。

n=8,t=4,r=4
图形条件： 3 极条件：1
4、混合测角网 列条件式原则－－将混合网“化整为零”，拆分成各种基本图形 （单三角形、中点多边形、大地四边形和扇形P84例5-3） 5、测角网极条件个数判断 极条件：其作用是使经过不同三角形（指推算路线）推算的同一条 边长具有相同的长度。极条件个数：
• CD边的相对中误差：
ˆ sin L ˆ sin L 2 8 ˆ ＝AB S CD ˆ sin L ˆ sin L 3 7 全微分后得： AB sin L2 sin L8 ˆ －cot L dL ˆ－ dSCD＝ （cot L2 dL 2 3 3 sin L3 sin L7 ˆ ＋cot L dL ˆ) cot L7 dL 7 8 8 SCD ˆ －cot L dL ˆ －cot L dL ˆ ＋cot L dL ˆ) ＝ （cot L2 dL 2 3 3 7 7 8 8 SCD T ˆ f dL
设
F ( f1 , f 2 , f m )
T T
G ( g1 , g 2 , g m ) 有
均为m维向量函数，且 f i、g i 均为x的函数， d F G dG F T dG T dF F G dx dx dx dx
注意：当N为满秩方阵时，才有 N 1唯一存在,法方程才有唯
数。
6、特殊矩阵产生
A=eye(n) ---- 产生n维单位阵
A=zeros(n,m) ----- 产生n×m维0矩阵 7、 B=det(A) A的行列式，A必须是方阵 B=rank(A) A的秩 B=trace(A) A的迹，A阵主元之和 8、输出格式 format shout 短格式，显示5位 。如：1.4142 format long 长格式，15位。如：1.41421356237310
（必要起算数据个数d－-－水准网：d=1，测角网：d=4，测边、 边角网： d=3）
一、独立测角网按角度坐标平差 r = n-2p = n-t p：网中待定点数
1、单三角形
V1+V2+V3-W=0
-W=(L1+L2+L3-180)－-－图形条件 2、中点多边形测角网 n=9 , t=4 , r=5 B
测方向网
测角网
测角网
三角网
测边网
测边长
测边＋测方向
边角网
（导线网） 测边＋测角
三、三角网的布设－－从高级到低级逐级布设 四、三角网平差的方法 1。严密平差 ----遵守VTPV=min原则 ； 2。近似平差
5.3 测角网条件平差
独立网（经典自由网）－-－只有必要起算数据d。
非独立网（附合网）－-－已知条件超过必要起算数据。
5.4 边角网条件平差
边角网条件方程的构成： 必要起算数据： d=3, 必要观测数据： t =P×2-1 P－－网中待定点
1 测角网图形条件 2 圆周角条件 与测角网相同 3 极条件 4 测边图形条件
常用正弦条件代替
5 正弦条件 的关系 描述观测边与观测角间 6 余弦条件
B 1、单三角形边角网： 如图：观测了三角、三边。 n=6， t =1+2=3 c a
第五章 条件平差
5.1 条件平差原理
间接平差－－对参数平差 条件平差－－对观测值平差
例：为测定三角形形状，分别测量了其三内角的值L1、L2、L3。因
有多余观测及观测误差的存在，观测值间产生矛盾。此题中
观测值个数：n=3 必要观测数：t=2 多余观测数：r = n-t =1
由于： L1＋L2＋L3 180
T T T T


T

(3)用W、k求： V PV V PQA k W k
T T T T
二、观测值 平差值及观测值改正数的权逆阵
T 1 T 1 ˆ L L V I QA N A L QA N A0


QL ˆL ˆ Q QA N AQ
T
1
V QAT k QAT N 1 AL A0 QVV QAT N 1 AQ

T


T

一解。所以，r个条件方程必须线性独立。
5.2 精度评定
一、单位权中误差
V PV V PV ˆ0 nt r T V PV的计算： （1 ）直接法：V PV pvv p v
T i 1 n 2 i i
T
T
(2) 用N和k求： V PV QA k P QA k k Nk
线性化后的极条件：
cot L1V1 cot L4V4 cot L7V7 cot L2V2 cot L5V5 cot L8V8 W 0 sin L2 sin L5 sin L8 式中闭合差为： W 1 sin L sin L sin L 1 4 7
2、矩阵的输入
A＝[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
同行的元素可用空格或逗号隔开，式中
分号也可换成击回车键。
可得：
1 2 3 A＝ 4 5 6 7 8 9
3、矩阵转置 A＝A’ 4、矩阵求逆 M＝inv(N) ---- M为N的逆阵
5、矩阵的＋、－、×用符号＋、－、*表示，运算时注意矩阵的阶
3 图形条件： n=12 t=2×2+4=8 r =4 1 极条件：
v2 v1 v6 v5 v11 v10 W1 0
3、大地四边形
r = n-t = 12-8 = 4
图3 极1
三、附合测角网（非独立网）条件平差
附合条件数＝多余已知数据个数
r n t r1 r2
产生闭合差：－ W L1＋L2＋L3 180 条件平差目的：遵循最 小二乘原则，计算出各 角
最或是值（平差值）， 使平差值和为 180，消除矛盾。 ˆ ＋L ˆ ＋L ˆ 180 平差值条件式： L 1 2 3 ˆ L V 代入上式 L i i i V1 V2 V3 W 0 条件方程
得基础方程：
V P 1 AT k AV W 0
由上式得法方程：
1 2
AP A k W 0
T
1
或 Nk W 0 kN W
1
其中，设N AP1 AT
k代入（ 1）式，可得观测值改正 数V。
得观测值的平差值为：
ˆ L＋V L
向量函数求导规律

T
T

~ ˆ , L L V
QVV QF f ˆF ˆ f Q V Q QLL Q

T
T

QV f f Q

QVV QA N AQ
T －1
QV QVV QV QF AQf ˆF ˆ f Qf f QA N
MATLAB平差应用简介
1、启动与退出
双击MATLAB图标，进入MATLAB命令窗口。
建立新文件：File－New－M-file进入编辑窗。
法1、直接编程，再用编辑窗Debug菜单中的Run运行，然后到命
令窗中看结果； 或法2、在编辑窗中编制函数，再在命令窗或另一个文件中调用。 建立文件： function[x,Qxx]=ABC(A,L,d,P); 文件名：ABC.m A,L,d,P—输入内容 x,Qxx：要求输出内容 分号：该句内容不显示
条件方程矩阵形式：
r n n1
A V W 0
r 1
r 1
一、条件方程的个数及选择
条件方程个数 = 多余观测数 = n-t = r
条件方程的选择：条件方程间应 线性无关。即条件方程
中的系数矩阵A阵应为行满秩阵。即 R A r 。
r n

平差值条件方程：
ˆA 0 AL 0
A0为已知的常数向量。