线性代数习题及答案4

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(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案

第四章线性方程组1．线性方程组的基本概念(1)线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式：向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0).即[]n a a ,,a 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a 如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=121111m a a a α ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222122m a a a α，………，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n a a a 21α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21 线性表示。

矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0).⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β其中A 为m n ⨯矩阵，则：① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。

(完整版)线性代数练习册第四章习题及答案

第四章线性方程组§4-1 克拉默法则一、选择题1．下列说法正确的是（ C ）A.n 元齐次线性方程组必有n 组解；B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解；C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）A 。

当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解;B 。

当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解;C 。

若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =; D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题1．已知齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解,则λ= 1 ，μ= 0 。

2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程组有唯一解i x =iD D. 三、用克拉默法则求解下列方程组 1．832623x y x y +=⎧⎨+=⎩解：832062D ==-≠123532D ==-,2821263D ==-所以，125,62D Dx y D D====- 2．123123123222310x x x x x x x x x -+=-⎧⎪+-=⎨⎪-+-=⎩解：213112112122130355011101r r D r r ---=--=-≠+---11222100511321135011011D r r ---=-+-=---,212121505213221310101101D r r --=-+-=-----， 3121225002112211511110D r r --=+=---所以, 3121231,2,1D D Dx x x D D D ======3．21241832x z x y z x y z -=⎧⎪+-=⎨⎪-++=⎩解：132010012412041200183583D c c --=-+-=≠-13110110014114020283285D c c -=-+=，2322112102112100123125D c c -=-+=--, 31320101241204120182582D c c =-=--所以, 3121,0,1D D Dx y z D D D ====== 4．12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩解：2131412131111111111214012322315053733121102181231235537013814222180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---3214212325111511102221422518231523528110121101005110010525182733214210252823522c c D c c c c c c --------=----------+=-----=----212314113231511151112140723222150123733021101518723230132123733031284315181518r r D r r r r r r r r -----=--------------=----=------12342213111512151031224522182325111132283101101002510200251521852974265211228115127c c D c c c c c c -------=---------+=-----=----12432322111152115312125252223121135231200100215215552502714251152604c c D c c r r r r --------=----------+=----=---所以， 312412341,2,3,1D D D Dx x x x D D D D========-§4-2 齐次线性方程组一、选择题1．已知m n ⨯矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX =的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0AX =的通解为（ D ）。

线性代数习题四作业参考解答

习题四作业参考解答１．求下列齐次线性方程组的一个基础解系：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x 解：系数矩阵104018102312451014438620000A ⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭初等行变换（行最简形）所以同解方程组为：1323443144x x x x x =-⎧⎪⎨=+⎪⎩，令341,0x x ==，带入同解方程组求出12x x 和，得一个解向量143410η-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；再令340,1x x ==，带入同解方程组求出12x x 和，得一个解向量201401η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，故齐次线性方程组的基础解系为12,ηη。

(2) 仿（1）(3) 0543254321=++++x x x x x ．解：同解方程组为：123452345x x x x x =----，令23451,0,0,0x x x x ====，得解向量()12,1,0,0,0Tη=-，令23450,1,0,0x x x x ====，得解向量()23,0,1,0,0T η=-，令23450,0,1,0x x x x ====，得解向量()34,0,0,1,0T η=-，令23450,0,0,1x x x x ====，得解向量()45,0,0,0,1T η=-，所以，齐次线性方程组的基础解系为：1234,,,ηηηη ２．求下列非齐次线性方程组的一般解：（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432321321321321x x x x x x x x x x x x解：增广矩阵231410211245011238213000041960000A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭初等行变换，()()24R A R A ==<，所以有无穷多组解。

线性代数考试题库及答案(四)

线性代数考试题库及答案一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分）1、设n 阶方阵A B 与等价，则必有（） (A) 当(0)A a a B a =≠=时， (B) 当(0)A a a B a =≠=-时， (C) 当0A B ≠=0时， (D) 当00A B ==时，2、设,A B 为同阶可逆矩阵，则（） (A) 矩阵A 与B 等价 (B) 矩阵A 与B 相似 (C) 矩阵A 与B 合同 (D) 矩阵A 与B 可交换3、向量组Ⅰ：12,,,r ααα；可由向量组Ⅱ：12,,,s βββ线性表示，则（）(A) 当r s <时，向量组Ⅱ必线性相关 (B) 当r s >时，向量组Ⅰ必线性相关 (C) 当r s <时，向量组Ⅰ必线性相关 (D) 当r s >时，向量组Ⅱ必线性相关4、已知1β和2β是非奇次线性方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是对应导出组的基础解系，12,k k 为任意常数，则方程组Ax b =的通解（一般解）为（） (A) 1211212()2k k ββααα-+++(B) 1211212()2k k ββαββ-+++(C) 1211212()2k k ββααα++-+ (D) 1211212()2k k ββαββ++-+5、若方阵110101011C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则C 的特征值为（）(A) 1，0，1 (B) 1，1，2 (C) -1，1，2 （D ）-1，1，1 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分）1、已知12αα，为2维列向量，矩阵121212(2,),(,)A B αααααα=+-=，若行列式6,A B =-=则。

2、设3阶方阵500012,011A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭则A 的逆矩阵1A -= 。

3、设210120001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B 满足2ABA BA E **=+，其中A *为A 的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵，则B 的行列式B = 。

(完整word版)线性代数经典试题4套及答案

线性代数经典试题4套及答案试卷1一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

《线性代数》(陈维新)习题答案(第4章)

⇔ 矩阵 [α1 α 2 α 3 ] 的秩是否与矩阵 [α1 α 2 α 3
解对矩阵 [α1
β ] 的秩相同.
α 2 α 3 β ] 作初等行变换化为阶梯形:
[α1
1 2 3 1 7 1 2 −1 α2 = α 3 β ] 3 7 −6 − 2 → 0 1 −3 − 5 . 5 8 1 a 0 0 0 a − 1 5
证明设�� ≠ �� ∈ �� ，则��，2��， ⋯ ，��， ⋯ ∈ �� 。下证当�� ≠ ��时，�� ≠ ��。 (反证) 若�� = ��，则(�� − ��)�� = ��，因�� ≠ ��，则�� − �� = 0，这与 �� ≠ ��矛盾，所以�� 中至少有无穷多个向量��，2��， ⋯ ，��， ⋯。
第四章线性空间和线性变换
习题 4.1
1．检验以下集合关于所指定的运算是否构成实数域��上的线性空间： (1) ��阶实对称矩阵的全体，关于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘； (2) 次数等于��(�� ≥ 1)的实系数一元多项式的全体，关于多项式的加法和实数与多项式的数乘； (3) 有理数的全体��，关于数的加法和实数与有理数的乘法；： (4) 平面上全体向量��2 ，关于通常的向量加法和如下定义的数量乘法“∘” 解 (1) 是因为任意两个��阶实对称矩阵和是��阶实对称矩阵，任意一个实数乘以��阶实对称矩阵也是��阶实对称矩阵，所以��阶实对称矩阵的全体关于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘运算是封闭的。下面验证八条运算规律成立。记��阶零矩阵为��，显示��是实对称矩阵，且对任意的��阶实对称矩阵��都有�� + �� = ��。对任意的��阶实对称矩阵��，显然−��也是��阶实对称矩阵，且�� + (−��) = ��。其它 6 条运算规律显然成立，这里就不证。由此可知，��阶实对称矩阵的全体，关于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘否构成实数域 ��上的线性空间。 (2) 否因为零多项式的次数不是��，所以这个集合不含零向量，因此次数等于��(�� ≥ 1)的实系数一元多项式的全体，关于多项式的加法和实数与多项式的数乘不能构成实数域��上的线性空间。或者说：因为两个任意的次数等于��(�� ≥ 1)的实系数一元多项式和的多项式次数不一定等于��，有可能小于��，所以关于多项式的加法不封闭，因此次数等于��(�� ≥ 1)的实系数一元多项式的全体，关于多项式的加法和实数与多项式的数乘不能构成实数域��上的线性空间。 �� ∘ �� = ��，∀�� ∈ ��，∀�� ∈ ��2

线性代数第4章习题答案(48p)

k 1 k 1 −1 = k 2 − 3k − 4 = (k − 4)(k + 1) ≠ 0 1
由于 D = 1
2 −1
⇒ k ≠ 4且k ≠ −1. 故应选 (C) .
(2) 线性方程组 Am×n X = b 有唯一解的条件是 B ). 有唯一解的条件是( (B) R(A) = R(A b) = n ; (A) m = n ; ) 都不对. 都不对 (C) Ax = θ 只有零解只有零解; (D) (A),(B),(C)都不对解: 线性方程组 Am×n X = b 有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且为n 选项(A)只系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且为 . 选项只表明方程组中方程的个数与未知量个数相同, 表明方程组中方程的个数与未知量个数相同此时系数矩阵的秩与增广矩阵的秩未必相等且为n 数矩阵的秩与增广矩阵的秩未必相等且为 , 故选项 (A)不正确选项成立的条件是系数矩阵的秩为 , 不正确. 选项(C)成立的条件是系数矩阵的秩为成立的条件是系数矩阵的秩为n 不正确也不正确. 但此时增广矩阵的秩未必为n, 故选项(C)也不正确但此时增广矩阵的秩未必为故选项也不正确由排除法知选项(B)正确因此应选(B). 由排除法知选项正确, 因此应选正确
四. 求方程组
x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = 5 的特解. x1 − x2 + x3 + x4 = 1 的特解
解: B = 1 2 3 4 5 → 1 2 3 4 5 1 −1 1 1 1 0 −3 −2 −3 −4
∴ R( A) = R( B) = 2 < 4 = n.
α 4. 设Ax = b为四元齐次线性方程组，R(A)=3，1 , α 2 , α 3 为四元齐次线性方程组，为四元齐次线性方程组，

线性代数课后习题解答第四章习题详解

第四章向量组的线性相关性1．设T T T v v v )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===, 求21v v -及32123v v v -+. 解 21v v -T T )1,1,0()0,1,1(-=T )10,11,01(---=T )1,0,1(-=32123v v v -+T T T )0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3-+=T )01203,41213,30213(-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯= T )2,1,0(=2．设)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-其中T a )3,1,5,2(1=, T a )10,5,1,10(2=,T a )1,1,1,4(3-=,求a . 解由)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-整理得)523(61321a a a a -+=])1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[61T T T --+=T)4,3,2,1(=3. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明由 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------971820751610402230421301~r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------531400251552000751610421301 ~r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----000000531400751610421301~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明由⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1, a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2, a 3线性表示. (2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A ,所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关.8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1, a 2线性表示的表示式.解因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使 λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0,由此得 2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=, 设211λλλ+-=c , 则 b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之. 解不一定.例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有 a 1+b 1=(1, 2)T +b 1=(0, 1)T , a 2+b 2=(2, 4)T +(0, 0)T =(2, 4)T , 而a 1+b 1, a 2+b 2的对应分量不成比例, 是线性无关的.10．举例说明下列各命题是错误的:(1) 若向量组m a a a ,,,21 是线性相关的,则1a 可由,,2m a a 线性表示.(2) 若有不全为0的数m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ 成立, 则m a a ,,1线性相关, m b b ,,1 亦线性相关. (3) 若只有当m λλλ,,,21 全为0时,等式01111=+++++m m m m b b a a λλλλ 才能成立,则m a a ,,1 线性无关, m b b ,,1 亦线性无关.(4) 若m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关,则有不全为0的数, m λλλ,,,21 使.0 ,01111=++=++m m m m b b a a λλλλ 同时成立.解 (1) 设)0,,0,0,1(11 ==e a , 032====m a a a满足m a a a ,,,21 线性相关, 但1a 不能由,,,2m a a 线性表示.(2) 有不全为零的数m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ原式可化为 0)()(111=++++m m m b a b a λλ取 m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111 . 其中m e e ,,1 为单位向量,则上式成立,而m a a ,,1 ,m b b ,,1 均线性相关.(3) 由01111=+++++m m m m b b a a λλλλ (仅当01===m λλ )m m b a b a b a +++⇒,,,2211 线性无关取021====m ααα , 取m b b ,,1 为线性无关组. 满足以上条件,但不能说是m ααα,,,21 线性无关的.(4) Ta )0,1(1= Ta )0,2(2= Tb )3,0(1= Tb )4,0(2=⎪⎭⎪⎬⎫-=⇒=+-=⇒=+21221121221143020λλλλλλλλb b a a 021==⇒λλ与题设矛盾.11．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组4321,,,b b b b 线性相关. 证明设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++b x b x b x b x 则0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k ,411x x k +=; 212x x k +=; 323x x k +=; 434x x k +=;由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相关. (2) 若4321,,,a a a a 线性无关, 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒x x x x 由01100011000111001= 知此齐次方程存在非零解. 则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证.12．设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211,,,,且向量组r a a a ,,,21 线性无关,证明向量组r b b b ,,,21 线性无关.证明设02211=+++r r b k b k b k 则++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故⎪⎩⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001001101121 r k k k因为0110011011≠= 故方程组只有零解. 则021====r k k k . 所以r b b b ,,,21 线性无关13．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41211a ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41010092a ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=82423a ; (2) )3,1,2,1(1=T a ,)6,5,1,4(2---=T a ,)7,4,3,1(3---=Ta .解 (1) 3131,2a a a a ⇒=-线性相关.由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛824241010094121321T T Ta a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000032198204121~秩为2,一组最大线性无关组为21,a a .(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛743165143121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------10550189903121~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000189903121~ 秩为2,最大线性无关组为TT a a 21,.14．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组,并把其余列向量用最大无关组线性表示:(1) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125; (2) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---14011313021512012211.解 (1) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛482032251345494751325394754317312514131233~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛531053103210431731252334~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0003100321043173125 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1401131302151201221114132~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------222001512015120122114323~rr r r ↔+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000222001512012211，所以第1、2、3列构成一个最大无关组．15. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T的秩为2, 求a , b .解设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5200111031116110111031113111332221) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5.16．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,已知n 维单位坐标向量n e e e ,,,21 能由它们线性表示,证明n a a a ,,,21 线性无关.证明 n 维单位向量n e e e ,,,21 线性无关. 不妨设:nnn n n n nn n n a k a k a k e a k a k a k e a k a k a k e +++=+++=+++= 22112222121212121111所以 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T Tnn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e ee 2121222211121121两边取行列式，得T n T T nn n n n nTnTTa a a k k k k k k k k k e e e2121222211121121= 由 002121≠⇒≠T nT T T n T T a a a e e e 即n 维向量组n a a a ,,,21 所构成矩阵的秩为n . 故n a a a ,,,21 线性无关.17．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n 维向量都可由它们线性表示.证明设n εεε,,,21 为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量T n k k k a ),,,(21 =则有n n k k k a εεε+++= 2211即任一n 维向量都可由单位向量线性表示.必要性⇒n a a a ,,,21 线性无关，且n a a a ,,,21 能由单位向量线性表示，即nnn n n n nn n n k k k k k k k k k εεεαεεεαεεεα+++=+++=+++= 22112222121212121111故 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n T T T nn n n n n T n T T k k k k k k k k k a aa εεε2121222211121121 两边取行列式，得 TnTTnn n n n n TnTTk k k k k k k k k a a a εεε2121222211121121=由 0021222211121121≠⇒≠nnn n nn T n T T k k k k k k k k k a a a令 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯nn n n n n n n k k k k k k k k k A212222111211 . 由⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-T n T T T n T TT n T T T n T Ta a a A A a a a εεεεεε 212112121即n εεε,,,21 都能由n a a a ,,,21 线性表示，因为任一n 维向量能由单位向量线性表示，故任一 n 维向量都可以由n a a a ,,,21 线性表示.充分性⇐已知任一n 维向量都可由n a a a ,,,21 线性表示，则单位向量组：n εεε,,,21 可由n a a a ,,,21 线性表示，由16题知n a a a ,,,21 线性无关.18. 设向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, 且a 1≠0, 证明存在某个向量a k (2≤k ≤m ), 使a k 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a k -1线性表示.证明因为a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, 所以存在不全为零的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅,λm , 使λ1a 1+λ2a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m =0,而且λ2, λ3,⋅ ⋅ ⋅, λm 不全为零. 这是因为, 如若不然, 则λ1a 1=0, 由a 1≠0知λ1=0, 矛盾. 因此存在k (2≤k ≤m ), 使λk ≠0, λk +1=λk +2= ⋅ ⋅ ⋅ =λm =0,于是λ1a 1+λ2a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λk a k =0,a k =-(1/λk )(λ1a 1+λ2a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λk -1a k -1),即a k 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a k -1线性表示.19．设向量组:B r b b ,,1 能由向量组:A s a a ,,1 线性表示为K a a b b s r ),,(),,(11 =，其中K 为r s ⨯矩阵，且A 组线性无关。

线代习题答案(4)线性代数答案北京邮电大学出版社戴斌祥主编)

习题四（A 类）1. 用消元法解下列方程组.(1) 12341241234123442362242322312338;x x x x ,x x x ,x x x x ,x x x x +-+=⎧⎪++=⎪⎨++-=⎪⎪++-=⎩ (2) 1231231232222524246;x x x ,x x x ,x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩【解】(1)412213223123(1)14236142362204211021()322313223112338123381423603215012920256214236012920321502562r r r r r r r r r r -⋅---⋅↔--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥−−−−→⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦A b 32434243324142360129200426100112614236142360129201292,001126001126004261007425r r r r r r r +↔++-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦得12342343444236 292 126 7425x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+=⎪⎨+=⎪⎪=⎩ 所以1234187,74211,74144,7425.74x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩(2)解②①×2得23③① 得 2x 3=4 得同解方程组由⑥得 3=2,由⑤得 x 2=2x 3=4,由④得 x 1=22x 3 2x 2 = 10,得 (x 1,x 2,x 3)T =(10,4,2)T. 2. 求下列齐次线性方程组的基础解系.(1) 123123123 320 5 03580;x x x ,x x x ,x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ (2) 12341234123412345 0 2303 8 0 3970;x x x x ,x x x x ,x x x x ,x x x x -+-=⎧⎪+-+=⎪⎨-++=⎪⎪+-+=⎩(3) 1234512341234 22702345 03568 0;x x x x x ,x x x x ,x x x x ++++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ (4) 123451234512345 222 0 2 320247 0.x x x x x ,x x x x x ,x x x x x +-+-=⎧⎪+-+-=⎨⎪+-++=⎩【解】(1)123123123320503580.x x x ,x x x ,x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 32213123132132132151021021358042000r r r r r r +--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A得同解方程组1323123232333723,23201,202,x x x x x x x x x x x x x ⎧=--=-⎪++=⎪⎧⇒⎨⎨=-=⎩⎪⎪=⎩得基础解系为T71122⎛⎫- ⎪⎝⎭. (2) 系数矩阵为32213142413211511151112302743181027413970414811510274() 2.00000000r r r r r r r r r r r ---------⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A∴ 其基础解系含有4()2R -=A 个解向量.1342123434342343344331225077222227400110x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-=-⎧⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⇒==+⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=⎢⎥⎩⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦基础解系为31272,.20110⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦(3)213132232112271122723450010114356800202211122701011400007r r r r r r ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥−−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A得同解方程组12345245552270,140,700.x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+-=⎨⎪=⇒=⎩取3410,01x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得基础解系为 (2，0，1，0，0)T,(1，1，0，1，0).(4) 方程的系数矩阵为2131322312221122211213200111247110033312221()2,0011100000r r r r r r R --+----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎢⎥−−−→=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A∴ 基础解系所含解向量为n R (A )=52=3个取245x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦为自由未知量 245010,,,001100x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 得基础解系 324010,,.101001100--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦3. 解下列非齐次线性方程组.(1) 123123121232122423442;x x x ,x x x ,x x ,x x x ++=⎧⎪-+=⎪⎨-=⎪⎪++=⎩ (2) 12341234123421422221;x x x x ,x x x x ,x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩(3) 123412341234212125;x x x x ,x x x x ,x x x x -++=⎧⎪-+-=-⎨⎪-++=⎩ (4) 12345123452345123457323222623543312x x x x x ,x x x x x ,x x x x ,x x x x x .++++=⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩【解】（1）方程组的增广矩阵为32213142414324121121112121240322()120303224142034211211121032203220000001200240000r r r r r r r r r r r r ------↔⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥−−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦A b得同解方程组3123323231232,21223222,3212 1.x x x x x x x x x x x x =⎧++=⎧⎪+⎪⎪--=⇒==-⎨⎨-⎪⎪=⎩⎪=--=-⎩ (2) 方程组的增广矩阵为312122*********()42212000102111100020r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦A b得同解方程组123444421,00,20,x x x x x x x +-+=⎧⎪⇒=-=⎨⎪-=⎩即123421,0.x x x x +-=⎧⎨=⎩令130x x ==得非齐次线性方程组的特解x T =(0，1，0，0)T .又分别取2310,01x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得其导出组的基础解系为TT1211;,,1,0,0,0,1,022⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ∴ 方程组的解为121211022110.,001000x k k k k ⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦R(3) 2131121111211112111000221211500004r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦()()R R ≠A A ∴ 方程组无解.(4) 方程组的增广矩阵为31413242351111171111173211320122623()01226230122623543311201226231111170122623,000000000000r r r r r r r r --+-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥=−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥-----⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦A b分别令345010,,001100x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 得其导出组12345234502260x x x x x x x x x ++++=⎧⎨----=⎩的解为123123511622,,.010001100k k k k k k R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦令3450x x x ===,得非齐次线性方程组的特解为：x T=(16,23,0,0,0)T,∴ 方程组的解为1231651123622001000010100x k k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中123,,k k k 为任意常数.4. 某工厂有三个车间，各车间相互提供产品（或劳务），今年各车间出厂产量及对其它车间三车间0.1万元，0.2万元，0.5万元的产品；第二列，第三列类同，求今年各车间的总产量.解：根据表中数据列方程组有112321233130.10.20.4522,0.20.20.30,0.50.1255.6,x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪--=⎩即 123123130.90.20.4522,0.20.80.30,0.50.8855.6,x x x x x x x x --=⎧⎪-+=⎨⎪-=-⎩解之 123100,70,120;x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩5. λ取何值时，方程组12312321231,,,x x x x x x x x x λλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ (1)有惟一解，(2)无解，(3)有无穷多解，并求解.【解】方程组的系数矩阵和增广矩阵为211111;,11111111λλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B|A |=2(1)(2)λλ-+.(1) 当λ≠1且λ≠2时，|A |≠0，R (A )=R (B )=3.∴ 方程组有惟一解212311(1),,.22(2)x x x λλλλλ--+===+++（2）当λ=2时，312121221111212121221111124112412121212,0333033303360003r r r r r r -↔+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦BR (A )≠R (B ),∴ 方程组无解.(3) 当λ=1时2131111111111111000011110000r r r r B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦R (A )=R (B )<3,方程组有无穷解.得同解方程组123223 3.1,,x x x x x x x =--+⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ 得通解为1212123111, ,.100010x x k k k k R x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦6. 齐次方程组0020x y z ,x y z ,x y z λλ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩当λ取何值时，才可能有非零解?并求解. 【解】方程组的系数矩阵为1111211λλ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A|A |=(4)(1)λλ-+当|A |=0即λ=4或λ=1时，方程组有非零解.(i) 当λ=4时,21213123234215134111411411414110155211211093141141031031031000r r r r r r r r r r ↔--⋅-⋅--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−→−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A得同解方程组112322331340.13031x x x x x k k R x x x ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤+-=⎢⎥⎡⎤⎢⎥⇒=∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦(ii) 当λ=1时,2121312111111111111111000211211013r r r r r r ↔+------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A得131232323332,03,30x x x x x x x x x x x=-⎧--=⎧⎪⇒=-⎨⎨+=⎩⎪=⎩ ∴ (123,,x x x )T=k ·(2,3,1)T.k ∈R7. 当a ,b 取何值时，下列线性方程组无解，有惟一解或无穷多解？在有解时，求出其解.（1） 123412341234123423123132236x x x x x x x x x x x x a x x x bx ++-=⎧⎪+++=⎪⎨---=⎪⎪+-+=-⎩ (2) 123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨----=⎪⎪+++=-⎩【解】方程组的增广矩阵为(1)213132414237212311123111123101140()311207101323160172812311123110114001140003273003273006280r r r r r r r r r r a a b b a a b b -------⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥----+-⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎢⎥----⎢⎥−−→⎢⎥------⎢⎥---+⎣⎦A b .5222a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(i) 当b ≠52时,方程组有惟一解12344(1)326(1),,352352318(1)2(1),.35252a a a a x x b b a a a x x b b +-+=-=-++-++=-+=-++(ii) 当b =52,a ≠1时，方程组无解.(iii) 当b =52，a =1时，方程组有无穷解. 得同解方程组123423434231403274x x x x x x x x x ++-=⎧⎪--+=⎨⎪--=-⎩(*) 其导出组123423434230403270x x x x x x x x x ++-=⎧⎪--+=⎨⎪--=⎩的解为1412423434442,21313.9,91.x x x x x x k k x x x x x x =⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥=⎪⎢⎥⎢⎥=∈⎨⎢⎥⎢⎥=--⎪⎢⎥⎢⎥⎪=⎣⎦⎣⎦⎩R 非齐次线性方程组（*）的特解为取x 4=1, 12345335.32331x x x x ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴ 原方程组的解为5323513.3923131x k k ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+∈⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦R(2)32414231111001221()01(3)23211111100122100101012311111001221.0010100010r r r r r r a b a a b a a b a +-+⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−→⎢⎥---⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥-+⎢⎥----⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥-⎣⎦A b (i) 当a 1≠0时，R (A )=R (A )=4,方程组有惟一解.12342123.1110b a a x a b x a x b x a -+⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦(ii) 当a 1=0时,b ≠1时，方程组R (A )=2<R (A )=3,∴ 此时方程组无解.(iii) 当a =1，b = 1时，方程组有无穷解. 得同解方程组12342340,22 1.x x x x x x x +++=⎧⎨++=⎩ 取13423433441,221,,,x x x x x x x x x x =+-⎧⎪=--+⎪⎨=⎪⎪=⎩∴ 得方程组的解为12121234111221.,100010x x k k k k x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦R8. 设112224336⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，求一秩为2的3阶方阵B 使AB =0.【解】设B =(b 1 b 2 b 3),其中b i (i =1,2,3)为列向量,由123123()(1,2,3)i i =⇒=⇒==⇒AB A b b b Ab b b b 00为Ax =0的解.求123112224336x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=0的解.由 213123112112224000336000r r r r --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A得同解方程组12322332,,,x x x x x x x =--⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ 其解为121212312.,1001x x k k k k R x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦取123120;;,100010--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦b b b则120100010--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B9.已知123,,ηηη是三元非齐次线性方程组Ax =b 的解，且R (A )=1及122313111,,,011001⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ηηηηηη求方程组Ax =b 的通解.【解】Ax =b 为三元非齐次线性方程组R (A )=1⇒Ax =0的基础解系中含有3R (A )=31=2个解向量.131223121323110()(),01100110()(),110101-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=+-+==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=+-+==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ηηηηηηηηηηηη由123,,ηηη为Ax=b 的解1312,⇒--ηηηη为Ax=0的解,且1312(),()--ηηηη线性无关1312,⇒--ηηηη为Ax =0的基础解系. 又[]11223131()()()211112111,011022200112ηηηηηηη=+-+++⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦∴ 方程组Ax=b 的解为11132121212()()1002.,0101012k k k k k k =+-+-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++∈-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦x ηηηηηR10. 求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成.(1) 1223==;1001,-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξξ(2) 123121232==,=021352132,.⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ξξξ【解】(1) 1223==1001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξξ设齐次线性方程组为Ax =0由12,ξξ为Ax =0的基础解系，可知11121222133223231001x x k k k k x x k x x k -+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦x令 k 1=x 2 , k 2=x 3⇒Ax =0即为x 1+2x 23x 3=0.(2) A (123ξξξ)=0⇒A 的行向量为方程组为12345121232()0021352132x x x x x ⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦的解. 即124512345123452302325302220x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-++-=⎨⎪-++-=⎩的解为 31212120311203123253012111212200111r r r r ------⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦得基础解系为1η=( 5 1 1 1 0)T2η=( 1 1 1 0 1)TA =5111011101--⎡⎤⎢⎥--⎣⎦方程为1234123550,0.x x x x x x x x --++=⎧⎨--++=⎩ 11. 证明：线性方程组121232343454515x x a x x a x x a x x ax x a -=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪-=⎪⎩有解的充要条件是510i i a ==∑.【解】215212345123415123412511000011000011000011100011100001100001100001101011100001100001100001100101r r r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=-−−−→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-−−−→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-−−→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦A 1234511100011000011000011001i i a a a a a =-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ 方程组有解的充要条件，即R (A )=4=R (A )510i i a =⇔=∑得证.12. 设*η是非齐次线性方程组Ax=b 的一个解，12n r ,,,-ξξξ 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明（1）1*n r ,,-,ξξ η线性无关；（2）1++***n r ,,-,ξξ ηηη线性无关. 【证明】(1) 1*n r ,,-,ξξ η线性无关⇔110*n r n r k k k --+++=ξξ η成立,当且仅当k i =0(i =1,2,…,n r ),k =01111()00*n r n r *n r n r k k k k k k ηη----+++=⇒+++=A ξξA A ξA ξ∵12n r ,,,-ξξξ 为Ax =0的基础解系0(1,2,,)i i n r ξ⇒==-A*0k ⇒=A η由于*0b =≠A η00.k b k ⇒⋅=⇒=.由于12n r ,,,-ξξξ 为线性无关112200(1,2,,)n r n r i k k k k i n r --+⋅++⋅=⇔==-ξξξ∴121*n ,,,-,ξξξ η线性无关.(2) 证1++***n r ,,-,ξξ ηηη线性无关.***11()()0n r n r k k k --⇔+++++=ξξ ηηη成立当且仅当k i =0(i =1,2,…,n r ),且k =0***11()()0n r n r k k k --+++++=ξξ ηηη即*111()0n r n r n r k k k k k ---++++++=ξξ η由(1)可知，11*n ,,-,ξξ η线性无关. 即有k i =0(i =1,2,…,n r ),且100n r k k k k -++=⇒=∴1++***n r ,,-,ξξ ηηη线性无关.（B 类）1.B2. C3. D4. C5. t= 36. R(A)=2；2；27. 设η1,η2,…,ηs 是非齐次线性方程组Ax=b 的一组解向量，如果c 1η1+c 2η2+…+c s ηs 也是该方程组的一个解向量，则c 1+c 2+…+c s = .解：因为η1, η2,…, ηs 是Ax=b 的一组解向量，则A η1=b, A η2=b,…, A ηs =b,又 C 1η1+ C 2η2+…+ C s ηs 也是Ax=b 的一解向量，所以A(C 1η1+…+ C s ηs )=b ，即C 1A η1+ CA η2+…+ C s A ηs =b,即C 1b+ C 2b+…+ C s b=b,(C1+…+C s )b=b,所以C 1+…+ C s =1.8. 设向量组1α=（1，0，2，3），2α=（1，1，3，5），3α=（1，1，a +2，1），4α=（1，2，4，a +8），β=（1，1，b +3，5）问：（1） a ，b 为何值时，β不能由1α，2α，3α，4α线性表出？（2） a ，b 为何值时，β可由1α，2α，3α， 4α惟一地线性表出？并写出该表出式. （3） a ，b 为何值时，β可由1α，2α，3α，4α线性表出，且该表出不惟一？并写出该表出式. 【解】11223344x x x x =+++βαααα (*)314132422321111101121()232433518511111111110112101121012100100225200010r r r r r r r r a b a a b a b a a ----⎡⎤⎢⎥-⎢⎥==−−−→⎢⎥++⎢⎥+⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦A A b(1) β不能由1α，2α，3α，4α线性表出⇔方程组（*）无解,即a +1=0,且b ≠0.即a =1,且b ≠0.(2) β可由1α，2α，3α，4α惟一地线性表出⇔方程组(*)有惟一解，即a +1≠0，即a ≠1.(*) 等价于方程组12342343443231123121(1)(1)01011111210111121111x x x x x x x a x b a x b b a b x x x x a a a b b b x a a a b a b ba a a βααα+++=⎧⎪-+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩++⇒===+=+=+++⎛⎫=---=-+ ⎪+++⎝⎭++∴=-+++++(3) β可由1α，2α，3α，4α线性表出，且表出不惟一⇔方程组（*）有无数解，即有a +1=0,b =0⇒a =1,b =0.方程组（*）12112342122343142212121x k k x x x x x k k x x x x k x k =-⎧⎪+++==-+⎧⎪⇔⇒⎨⎨-+==⎩⎪⎪=⎩1234,,,k k k k 为常数.∴2111221324(2)(21)k k k k k k =-+-+++βαααα9. 设有下列线性方程组（Ⅰ）和(Ⅱ)（Ⅰ）1241234123264133x x x x x x x x x x +-=-⎧⎪---=⎨⎪--=⎩ (Ⅱ) 123423434521121x mx x x nx x x x x t +--=-⎧⎪--=-⎨⎪-=-⎩(1) 求方程组（Ⅰ）的通解；(2) 当方程组（Ⅱ）中的参数m,n,t 为何值时，（Ⅰ）与(Ⅱ)同解？解：（1）对方程组（Ⅰ）的增广矩阵进行行初等变换11026110261102641111051725001253110304162101014100120101400125 ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦由此可知系数矩阵和增广矩阵的秩都为3，故有解.由方程组142434020x x x x ⎪-=⎨⎪-=⎩ （*）得方程组（*）的基础解系11121⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ令40x =，得方程组（Ⅰ）的特解 2450-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦η于是方程组（Ⅰ）的通解为k =+ηξx ，k 为任意常数。

线性代数复习题带参考答案(四)

线性代数试题集与答案解析一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

第1题A. A的主子式全大于零B. A没有负的特征值C. 负惯性指数为零D. 正惯性指数为n【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第2题A. 1B. 12C. -24D. 24【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第3题【正确答案】 C【你的答案】本题分数2分第4题【正确答案】 C【你的答案】本题分数2分第5题A. k≠-1B. k≠3C. k≠-1且k≠3D. k≠-1或k≠3【正确答案】 C【你的答案】本题分数2分第6题实对称矩阵A正定的充分必要条件为（）A. |A|＞0B. A的所有顺序主子式非负C. A的正惯性指数为nD. A的负惯性指数为0【正确答案】 C第7题A. 0或1B. 1或2C. 0或2D. 2【正确答案】 C【你的答案】本题分数2分第8题初等矩阵（）A. 都是可逆阵B. 所对应的行列式值为1C. 相乘仍是初等阵D. 相加仍是初等阵【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第9题【正确答案】 C第10题【正确答案】 C二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

第1题题中空白处答案应为：___【正确答案】 3【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第2题题中空白处答案应为：___【正确答案】【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第3题题中空白处答案应为：___【正确答案】 -5【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第4题题中空白处答案应为：___【正确答案】 3【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第5题题中空白处答案应为：___【正确答案】 a＞1【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第6题图中空白处应填的答案为：________【正确答案】k≠-2且k≠1【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第7题 ___【正确答案】【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第8题 ___【正确答案】【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第9题 ___【正确答案】【你的答案】本题分数2分你的得分修改分数第10题 ___【正确答案】三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）第1题【正确答案】【你的答案】本题分数9分你的得分修改分数第2题【正确答案】【你的答案】本题分数9分你的得分修改分数第3题【正确答案】【你的答案】本题分数9分你的得分修改分数第4题【正确答案】提示：k=5.【你的答案】本题分数9分你的得分修改分数第5题【正确答案】【你的答案】本题分数9分你的得分修改分数第6题【正确答案】【你的答案】四、证明题（本题6分）第1题【正确答案】【你的答案】一、填空题（共6小题，每小题 3 分，满分18分）1. 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=*8030010000100001A ，则A ＝ .2. A 为n 阶方阵,T AA =E 且=+<E A A 则,0 .3．设方阵12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶非零矩阵，且AB=O ，则=t . 4. 设向量组m ααα,,,21 线性无关，向量β不能由它们线性表示，则向量组,,,,21m ααα β 的秩为 .5．设A 为实对称阵，且|A |≠0，则二次型f =x T A x 化为f =y T A -1 y 的线性变换是x = ．６．设3R 的两组基为()T11,1,1a =，()21,0,1a T=-，()31,0,1a T=；),1,2,1(1=βT，()()232,3,4,3,4,3ββ==TT，则由基123,,a a a 到基123,,βββ的过渡矩阵为 .二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1. 设D n 为n 阶行列式，则D n ＝0的必要条件是[ ].(A ) D n 中有两行元素对应成比例； (B ) D n 中各行元素之和为零；(C) D n 中有一行元素全为零；(D)以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解．2．若向量组α，β，γ 线性无关，α，β，σ 线性相关，则[ ]. (A) α必可由β，γ，σ 线性表示；(B) β必可由α，γ，σ 线性表示； (C) σ必可由β，γ，α 线性表示； (D) γ必可由β，α，σ 线性表示.３．设3阶方阵A 有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P 1，P 2，P 3，令P ＝(P 1，P 2，P 3)，则P －1AP ＝[ ].(A)100010000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (B) 000010001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (C) 000010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－； (D)100000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－．４．设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[ ].(A)α1，α2，α3 - α1； (B)α1，α1+α2，α1+α3； (C)α1+α2，α2+α3，α3+α1； (D)α1-α2，α2-α3，α3-α1. ５．若矩阵A 3×4有一个3阶子式不为0，则A 的秩Ｒ(A ) =[ ]. (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4．６．实二次型f ＝x T Ax 为正定的充分必要条件是 [ ].(A) A 的特征值全大于零； (B) A 的负惯性指数为零； (C) |A | > 0 ； (D) R (A ) = n .三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分）1.求112233100110011011b b b D b b b --=----的值.２. 求向量组)4,1,1,1(1=α,)5,3,1,2(2=α,)2,3,1,1(3--=α,)6,5,1,3(4=α的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.３.设A 、P 均为3阶矩阵，且T 100010,000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P AP=若P =(α1,α2,α3), Q =(α1+α2,α2,α3),求Q T AQ ．4．设A 是n 阶实对称矩阵，O A A =+22，若)0()(n k k R <<=A ，求E A 3+.5.设矩阵22082006a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A=相似于对角矩阵Λ，求a . 四、（本题满分10分）对线性方程组23112131231222322313233323142434.x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，，，(1) 若4321,,,a a a a 两两不等，问方程组是否有解，为什么？(2)若b a a ==31, b a a -==42 (b ≠0)，且已知方程的两个解T 1(1,1,1)=-ξ, T 2(1,1,1)=-ξ，试给出方程组的通解．五、（本题满分8分）设二次曲面方程122=++byz xz axy （0>a ）经正交变换x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q ，化成12222=-+ζηξ，求a 、b 的值及正交矩阵Q .六、（本题满分6分）设A 为n 阶实矩阵，α为A 的对应于实特征值λ的特征向量，β为A T 的对应于实特征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α与β正交．卷参考答案一、填空题（共6小题，每小题 3 分，满分18分）1. 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=*8030010000100001A ，则A ＝ 2 .2. A 为n 阶方阵,T AA =E 且=+<E A A 则,0 0 .3．设方阵12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶非零矩阵，且AB=O ，则=t -3 . 4. 设向量组m ααα,,,21 线性无关，向量β不能由它们线性表示，则向量组,,,,21m ααα β 的秩为 m +1 .5．设A 为实对称阵，且|A |≠0，则二次型 f =x T A x 化为f =y T A -1 y 的线性变换是x =____y 1-A __ ．６．设3R 的两组基为()T11,1,1a =，()21,0,1a T=-，()31,0,1a T=；T 1(1,2,1,)=β,()()232,3,4,3,4,3ββ==TT，则由基123,,a a a 到基123,,βββ的过渡矩阵P =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---101010432．二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1. 设n D 为n 阶行列式，则n D ＝0的必要条件是[ D ].(A) n D 中有两行元素对应成比例； (B) n D 中各行元素之和为零；(C)n D 中有一行元素全为零；(D)以n D 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解． 2．若向量组α，β，γ 线性无关，α，β，σ 线性相关，则[ C ].(A) α必可由β，γ，σ 线性表示. (B) β必可由α，γ，σ 线性表示.(C) σ必可由β，γ，α 线性表示. (D) γ必可由β，α，σ 线性表示.３．设3阶方阵A 有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P 1，P 2，P 3，令P ＝(P 1，P 2，P 3)，则P －1AP ＝[ B ].(A)100010000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (B) 000010001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (C) 000010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－；(D) 100000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－．４．设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[ D ]．（A ）α1，α2，α3 - α1；（B ）α1，α1+α2，α1+α3；（C ）α1+α2，α2+α3，α3+α1；（D ）α1-α2，α2-α3，α3-α1. ５．若矩阵43⨯A 有一个3阶子式不为0，则[ C ].（A ）Ｒ(A )=1；（B ）Ｒ(A )=2；（C ）Ｒ(A )=3；（D ）Ｒ(A )=4 ．６．实二次型f ＝x 'Ax 为正定的充分必要条件是 [ A ]． (A) A 的特征值全大于零； (B) A 的负惯性指数为零； (C) |A | > 0 ； (D) R (A ) = n .三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分）1.求1122331001100110011b b b D b b b --=----的值解：111222233333100100100010010010 1.01100100101101101b b b b b b D b b b b b b ====------２. 求向量组)4,1,1,1(1=α,)5,3,1,2(2=α,)2,3,1,1(3--=α,)6,5,1,3(4=α的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.解：极大无关组12,αα， 12332ααα-=，1242ααα-=.３.设A 、P 均为3阶矩阵，且T 100010,000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P AP=若 P =(α1,α2,α3),Q =(α1+α2,α2,α3),求Q T AQ ．解：由于Q =(α1+α2,α2,α3)= (α1,α2,α3) 100100110110,001001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P 于是Q T AQ =TT 100100110100110110010110001001001001⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭ P A P P AP 110100100210010010110110.001000001000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4．设A 是n 阶实对称矩阵，O A A =+22，若)0()(n k k R <<=A ，求E A 3+.解: 由O A A =+22知, A 的特征值-2或0,又)0()(n k k R <<=A ,且A 是n 阶实对称矩阵,则22~00-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A (k 个-2)，故E A 3+3n k-=． 5.设矩阵22082006a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A=相似于对角矩阵Λ，求a . 解：由|A -λE |=0，得A 的三个特征值λ1=λ2=6，λ3= -2.由于A 相似于对角矩阵，R （A -6E ）=1，即42021084~00000000a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，显然，当a =0时，R （A-6E ）=1，A 的二重特征值6对应两个线性无关的特征向量．四、（本题满分10分）对线性方程组23112131231222322313233323142434.x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，，，(1) 若4321,,,a a a a 两两不等，问方程组是否有解，为什么？(2)若b a a ==31, b a a -==42 (b ≠0)，且已知方程的两个解T 1(1,1,1)=-ξ, T 2(1,1,1)=-ξ，试给出方程组的通解．解：（1）因为0))()()()()((111134241423131234244332333222231211≠------=a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，故()()R R ≠A b A ，无解．（2）2)(=A R ，3=n ，故通解21121()01,()21k k k -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=+∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦x ξξξR ．五、（本题满分8分）设二次曲面的方程122=++byz xz axy ）0>a 经正交变换x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q ，化成12222=-+ζηξ，求a 、b 的值及正交矩阵Q .解：设0120210a ab b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，由0,20-=+=A E A E 知1,2-==b a ．当1λ=时，111111111~000111000---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦A E ，t )0,1,1(1=ξ，T )2,1,1(2-=ξ 当2λ=-时，1012~011000⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A E T 3(1,1,1).=-ξ故正交阵0=⎢⎢⎣Q .六、（本题满分6分）设A 为n 阶实矩阵，α为A 的对应于实特征值λ的特征向量，β为A T 的对应于实特征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α与β正交．证：依题意得Aα=λα， A T β=μβ，将Aα=λα的两边转置得，αT A T =λαT ，在上式的两边右乘β得，αT A T β =λαT β，即μαT β=λαT β，亦即（μ-λ）αT β=0，由于λ≠μ，所以αT β=0，故α与β正交．线性代数考试练习题带答案说明：本卷中，A T表示方阵A 的转置钜阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设101350041A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则TAA =（）A ．-49B ．-7C ．7D ．492．设A 为3阶方阵，且4A =，则2A -=（） A ．-32B ．-8C ．8D ．323．设A ，B 为n 阶方阵，且A T=-A ，B T=B ，则下列命题正确的是（） A ．（A +B ）T=A +B B ．（AB ）T=-AB C ．A 2是对称矩阵D ．B 2+A 是对称阵4．设A ，B ，X ，Y 都是n 阶方阵，则下面等式正确的是（） A ．若A 2=0，则A =0 B ．（AB ）2=A 2B 2C ．若AX =AY ，则X =YD ．若A +X =B ，则X =B -A5．设矩阵A =1131021400050000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则秩（A ）=（） A ．1 B ．2 C ．3D ．46．若方程组02020kx z x ky z kx y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则k =（）A ．-2B ．-1C ．0D ．27．实数向量空间V={（x 1，x 2，x 3）|x 1 +x 3=0}的维数是（） A ．0 B ．1 C ．2D ．38．若方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解，则λ=（）A ．1B ．2C ．3D ．49．设A =100010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则下列矩阵中与A 相似的是（） A ．100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ B ．110010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ C ．100011002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦D ．101020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10．设实二次型2212323(,,)f x x x x x =-，则f （）A ．正定B ．不定C ．负定D ．半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

线性代数第四章综合练习及参考答案

第四章综合练习及参考答案1. n 元非齐次线性方程组Ax b =与其对应的齐次线性方程组0Ax =满足（ B ）. (根据性质可得)A. 若12,x x 为0Ax =的解，则12x x +为Ax b =的解；B . 若12,x x 为Ax b =的解，则121()2x x +也为Ax b =的解； C . 若0Ax =有非零解，则Ax b =只有零解；D . 若0Ax =只有零解，则Ax b =无解.2. 设A 为m n ⨯矩阵，0AX =是非齐次线性方程组AX b =对应的齐次线性方程组，则以下结论中正确的是( D ) .A. 若0AX =只有零解，则AX b =有惟一解；(()R A n = 不能推出(,)()R A b R A =，所以AX b =可能无解)B. 若0AX =有非零解，则AX b =有无穷多解； (AX b =有可能无解)C. 若AX b =有无穷多解，则0AX =只有零解；((,)()R A b R A n =<→0AX =有非零解)D. 若AX b =有无穷多解，则0AX =有非零解.3．m ×n 型齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是（ A ）．A ．A 的列向量线性无关B ．A 的行向量线性无关C ．A 的列向量线性相关D ．A 的行向量线性相关解：Ax=0只有零解⇔()R A n =⇔ A 的列向量线性无关.4．设21ββ,是非齐次线性方程组b Ax =的两个解，则下列向量中哪个也是方程组b Ax =的解（ A ）．A ．312+2ββB ．21ββ-C ．2221ββ+D ．52321ββ+ 5. 设(1,3,2),(1,2,0)T T 是3阶非齐次线性方程组Ax b =的解，()2R A =，则A x b =的通解是（ C ）.A . (1,3,2)(1,2,0)T T k +，k 为任意常数;B . (0,1,2)(1,2,0)T T k + ，k 为任意常数;C . (1,2,0)(0,1,2)T T k +，k 为任意常数;D . (1,2,0)(1,3,2)T T k +，k 为任意常数.6．若齐次线性线性方程组m n A X b ⨯=只有唯一解，则A 的秩为____n______. 解：m n A X b ⨯=只有唯一解，则()m n R A ⨯=未知数的个数=n.7．已知矩阵222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，伴随矩阵*0A ≠，且*0A x =有非零解，则____-4_____. 解：*0A x =有非零解，则*()3R A <或*0A =，即32*110A A AA A A -====，所以0A =. 2222222022(2)(4)022222a a A a a a a a a a a ==--=-+=⇒=(舍去，因为此时*0A =) 或4a =-.8. 设线性方程组12342341234022321x x x x x x x a x x x x +++=⎧⎪++=⎨⎪+++=-⎩，则a 取何值时: 1）该方程组无解？ 2）该方程组有无穷多解，并用基础解系表示其所有解. 解：对增广矩阵作初等行变换得313111101111011110012201220122321110122100001r r A b (,)αααα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦，（1）1α≠时，()23(,)R A R A b =≠=，所以方程组无解；（2）1α=时，()2(,)R A R A b ==，所以方程组有无穷多解，且12111101011101221012210000000000r r A b (,)----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即同解方程组为 1342341221x x x x x x =+-⎧⎨=--+⎩ （34,x x 为自由未知量），令340x x ==，则得方程组的一个特解为 (1,1,0,0)T η=-，分别令3410x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和01⎛⎫ ⎪⎝⎭，则得导出方程组的一个基础解系为： 1(1,2,1,0)T ξ=-，2(1,2,0,1)T ξ=-，于是，原方程组的通解为：121234111221100010x x k k R x x (,).-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案.doc

充 1：当 A 列秩 ( 或 A 可逆 ,A 在矩乘法中有左消去律AB=0 B=0；AB=AC B=C.明B =(1,, ⋯,t ), AB = Ai =0,i=1,2, ⋯,s., , ⋯ , t 都是 AX =0212的解 . 而 A 列秩 , AX =0 只有零解 ,i=0,i=1,2,⋯ ,s, 即 B =0.同理当 B 行秩（或 B 可逆），AB 0 B T A T0 A T0A 0AB CB A C充 2如果 A 列秩（或 A 可逆） , r( AB )=r( B ).分析 : 只用明次方程ABX =0 和 BX =0 同解 .( 此矩 AB 和 B 的列向量有相同的性关系, 从而秩相等 .)明：是 ABX = 的解 AB = B =0( 用推 ) 是 BX = 的解 .于是 ABX =0 和 BX =0 确同解 .同理当 B 行秩（或B 可逆）， r( AB )=r( A ).例题一 . 填空1.A m 方 , 存在非零的 m × n 矩 B, 使 AB = 0 的充要条件是 ______.解： Ax 0 有非零解， r Am2.A n 矩 , 存在两个不相等的n 矩 B, C, 使 AB = AC 的充要条件是解： A B C 0 ， B, C 不相等， Ax0 有非零解， r An3.若 n 元性方程有解, 且其系数矩的秩r, 当 ______, 方程有唯一解;当 ______ , 方程有无多解 .解：假方程A m × n x = b, 矩的秩 r ( A) r .当 r n , 方程有惟一解 ; 当 r n , 方程有无多解 .4. 在次性方程 A m ×n x = 0 中 , 若秩 (A) = k 且 1, , ⋯ , r 是它的一个基解2系 ,r = _____; 当 k = ______ , 此方程只有零解。

线性代数练习册第四章习题及答案（本）

线性代数练习册第四章习题及答案（本）第四章线性方程组§4-1 克拉默法则一、选择题1．下列说法正确的是（ C ）A.n 元齐次线性方程组必有n 组解；B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解；C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）A.当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解；B.当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解；C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =；D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题1．已知齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=??++=??++=?有非零解，则λ= 1 ，μ= 0 .2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x =i D D.三、用克拉默法则求解下列方程组1．832623x y x y +=??+=?解：832062D ==-≠123532D ==-，2821263D ==-所以，125,62D D x y D D ====-2．123123123231x x x x x x ?+-=??-+-=?解：2131121121221303550111010r r D r r ---=--=-≠+--- 1122210511321135011011D r r ---=-+-=---，212121505213221310101101D r r --=-+-=-----，31212250021122115110110D r r --=+=---所以， 3121231,2,1D D D x x x DDD======3．21241832x z x y z x y z -=??+-=??-++=?解：132010012412041200183583D c c --=-+-=≠-13110110014114020283285D c c -=-+=，2322112102112100123125D c c -=-+=--，31320101241204120182582D c c =-=--所以， 3121,0,1D D D x y z DDD======4．1234123412341234242235232110x x x x x x x x x x x x ?+-+=-??---=-??+++=?解：21314121311111111112140123223150537331211 2181231235537013814222180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---321421232511151110222142251823152352811012110105110010525182733214210252823522c c D c c c c c c --------=----------+=-----=----21231411323151115111214072322215012373302111518723230132123733031284315181518r r D r r r r r r r r -----= --------------=----=------12342213111512151031224522182325111132283101101002510200251521852974265211228115127c c D c c c c c c -------=---------+=-----=----12432322111152115312125252223121135231201021521555250271425115264c c D c c r r r r --------=----------+=----=---所以， 312412341,2,3,1D D D D x x x x DDDD========-§4-2 齐次线性方程组一、选择题1．已知m n ?矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX = 的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0AX =的通解为（ D ）.A.1k α；B.2k α；C.12()k αα+；D.12()k αα-.解：因为m n ?矩阵A 的秩为1n -，所以方程组0AX =的基础解系含1个向量。

《线性代数》习题四答案

《线性代数》习题四答案1习题四(A)1.解:(1)EA23456(6)(1)023得特征值16,21.对于16,解对应的齐次线性方程组6EA某0,可得它的一个基础解系1(1,1)T,所以,A的属于特征值6的全部特征向量为c11,(c10,为任意常数)对于21,解对应的齐次线性方程组EA某0,T可得它的一个基础解系2(4,3),所以,A的属于特征值1的全部特征向量为c22,(c20,为任意常数)2(2)EA00110(2)(1)02211得特征值122,31,对于122,解对应的齐次线性方程组2EA某0,TT可得它的一个基础解系1(1,0,0),2(0,1,1),所以,A的属于特征值2的全部特征向量为c11c22,(c1,c2为不全为零的任意常数)对于31,解对应的齐次线性方程组EA某0,T可得它的一个基础解系3(1,0,1),所以,A的属于特征值1的全部特征向量为c33,(c30,为任意常数).1(3)EA36333(2)(4)02564得特征值122,34对于122,解对应的齐次线性方程组2EA某0,可得它的一个基础解系1(1,1,0)T,2(0,1,1)T,所以,A的属于特征值2的全部特征向量为c11c22,(c1,c2为不全为零的任意常数)对于34,解对应的齐次线性方程组4EA某0,T可得它的一个基础解系3(1,1,2),所以,A的属于特征值4的全部特征向量为c33,(c30,为任意常数).(4)010(1)(1)02EA0110得特征值121,31对于121,解对应的齐次线性方程组EA某0,TT可得它的一个基础解系1(0,1,0),2(1,0,1),所以,A的属于特征值1的全部特征向量为c11c22,(c1,c2为不全为零的任意常数)对于31,解对应的齐次线性方程组EA某0,T可得它的一个基础解系3(1,0,1).,所以,A的属于特征值1的全部特征向量为c33,(c30,为任意常数).2.解:(1)A0,EA0n得特征值0(n重),解齐次线性方程组(0E0)某0,可知某可取任一向量,特征向量为任一非零n维列向量.a(2)AaE,EaE(a)0na得特征值a(n重),解齐次线性方程组(aEaE)某0,可知某可取任一向量,特征向量为任一非零n维列向量.3.解:detA1234,trA1232.4.解:设是A1的对应于特征值的特征向量,即A1,则3AAA,即A,从而5111111,1kk13k可得,解之得,k5或k1.5k1k5.证明:设是A的对应于特征值0的特征向量(1)A0(kA)k(A)k(0)(k0).即k0是kA的一个特征值.(2)当m2时,AAAAA22即是A2的一个特征值.2设0m1是矩阵Am1的一个特征值,则Am10m1,于是AA(Amm1)0m1mA0.即0是矩阵A的一个特征值.mm(3)A可逆,故00又A0,A1AA10,0A1,A1110.即0是矩阵A1的一个特征值(4)A某AA,由(1),(3)可得A某1detA0,即detA0是矩阵A某的一个特征值,(5)A0kEAk0(kEA)(k0).即k0是矩阵kEA的一个特征值.6.证明:设A,则TATTTTAA,0,2TT2TT2T(1)00,01201.7.证明：（反证法）假设c11c22是A的属于特征值的特征向量，则A(c11c22)(c11c22).A(c11c22)c1A1c2A2c111c222，(c11c22)c11c22，c111c222c11c22c1(1)1c2(2)20.12，1,2线性无关.于是，c11c220.c1,c20，120,12，矛盾.▍8.证明:AB可逆P使得P1APB(1)BP1APP1APA(2)rBrP1APrAPrA(3)BTP1APPTATP1PTATPT(4)B1P1AP1TT1,从而ATBT.P1A1P11,从而A1B1.9.证明:AB可逆P使得P1APB,CD可逆Q使得QCQD,1P100A1Q00PC00P1APQ0B1QCQ000D10.解:均可对角化1P(1)取143P11AP00.61(2)取P001(3)取P1001101011210121PAP2.1.421PAP20111(4)取P100P1AP1.011111.解:(1)EA11213(2)0,得2对于2,解对应的齐次线性方程组2EA某0,可得它的一个基础解系1(1,1)T,从而不可对角化.423(2)EA212(3)(1)2012可得13,231,r(EA)21,从而不可对角化.111(3)EA242(2)2(6)0335可得122,36,对于122,解对应的齐次线性方程组2EA某0,可得它的一个基础解系(1,1,0)T,T12(1,0,1),对于36,解对应的齐次线性方程组6EA某0,可得它的一个基础解系T3(1,2,3).1112令P102,可得P1AP2013.63(4)EA1271000034(2)0143531可得2(四重).r(2EA)10,从而不可对角化.12.解:矩阵D是对角矩阵,而各选项中的矩阵与D有相同的特征值122,33,故只需判断各矩阵能否对角化.（1）显然，A1,从而与D相似（2）r2EA221,故矩阵A2不可对角化,从而不可能与D相似.(3)r2EA31,故矩阵A3可对角化,从而与D相似(4)r2EA421,故矩阵A4不可对角化,从而不可能与D相似13.解:(1)ABdetAdetB,trAtrB从而detA2detB2y,trA2某trB2y1解得某0,y1(2)AB,A,B有相同的特征值,从而A的特征值为2,1,1当2时,解对应的齐次线性方程组2EA某0,得基础解系11,0,0.当1时,解对应的齐次线性方程组EA某0,得基础解系T20,1,1当1时,解对应的齐次线性方程组EA某0,得基础解系T30,1,1T1令P0001101,则P1APB.1214.解:EA00110(2)(1)0,2211可得122,31当122时,解对应的齐次线性方程组2EA某0,可得它的一个基础解系1(1,0,0)T,2(0,1,1)T,当31时,解对应的齐次线性方程组EA某0, T可得它的一个基础解系3(1,0,1).1令P0001110,121PAP211,则P0012nP001212nnn111n1012n则(P1AP)nP1AnPP12n12210.115.解:令P1,2,31111010111,则PAP12,3其中P11011101111AP13AP211P22311P263263111124717726.342316.证明:AB,从而存在可逆矩阵P1,使得P1APB所以B2P1APP1APP1A2PP1APB.17.解:(1)EA01010110可得10,21,31,对于10,解对应的齐次线性方程组0EA某0,得其基础解系1(0,1,0).T对于21,解对应的齐次线性方程组EA某0,得其基础解系2(1,0,1).T对于31,解对应的齐次线性方程组EA某0,得其基础解系3(1,0,1).12111,,0,3222T将向量2,3单位化可得2,0,令Q1,2,3010120220210,则QAQ121111(2)EA11111(3)0.2111可得120,33对于120,解对应的齐次线性方程组0EA某0,得其基础解系1(1,1,0),21,0,1.TT对于23,解对应的齐次线性方程组3EA某0,得其基础解系3(1,1,1).TT把向量1,2正交化,有11,1,0再将向量1,2,3单位化,有121,0,2212120T11,2,,122T1,16161626,12111,,,,366333TT令Q1,2,313011,则QAQ3130.3 1(3)EA20222(1)(2)(5)0.223可得11,22,35对于11,解对应的齐次线性方程组EA某0,得其基础解系1(2,2,1).T对于22,解对应的齐次线性方程组2EA某0,得其基础解系2(2,1,2).T对于35,解对应的齐次线性方程组5EA某0,得其基础解系3(1,2,2).T将向量1,2,3单位化可得113(2,2,1)T,213(2,1,2)T,313(1,2,2)T.11令Q(1,2,3),则QAQ2.52(4)EA111111111(1)(5)0.3211212可得1231,45对于1231,解对应的齐次线性方程组EA某0,得其基础解系1(1,1,0,0),21,0,1,0,31,0,0,1TTT对于45,解对应的齐次线性方程组5EA某0,得其基础解系4(1,1,1,1)T把向量1,2,3正交化,有T11,1,0,011111,2,,1,0,3,,,122333TT将向量1,2,3,4单位化可得112111,,0,0,2,,,0,26626T31111,,,,4222232323232,,,12120016162 6012312312332312112,则Q1AQ1212T1113TT令Q11.518.解:(1)设与向量1正交的向量为某1,某2,某3,则某1T10,1,1某2某3某2某30,TT解此线性方程组,可得其基础解系21,0,0,30,1,1从而A对应于特征值1的特征向量为21,0,0,30,1,1.TT(2)将1,2,3单位化:1111T10,,,1,0,0,0,,23222201212011,212TT100令Q1,2,311则Q为正交矩阵,且Q1AQ,所以10000101.0AQQ1QQT19.解:由于A中各行元素之和小于1,由定理4.17,A的所有特征值的模小于1,再由定理4.15,可知limA0.nnRt1.120.解:(1)Ft0.11.1某(t)0.10.15Rt10.85Ft10.151.1某(t1),令A0.850.1t0.15.0.85(2)某(t)A某(t1)A某(0),EA(1)(0.95)0可得11,20.95,当11时,解对应的齐次线性方程组EA某0,得基础解系1(3,2)T当20.95时,解对应的齐次线性方程组0.95EA某0,得基础解系2(1,1).T令P(1,2),P11AP000.95t330.95t230.951AP0tt01320.95tPt0.95220.95t 10640.95某(t)At8440.95.6(3)lim某(t)相互依存,使数量趋于稳定.t40.121.解:(1)A0.20.10.9(2)EA0.20.10.10.40.10.10.3.00.10.3102082561.10.10.60.121某(EA)Y51。

高等数学线性代数习题答案第四章

习题 4-11.验证函数f (x )=lnsin x 在[π5π,66]上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使f ′(ξ)=0.解: 显然()ln sin f x x =在5π,66x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续,在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭内可导,且π5π()()ln 266f f ==-,满足罗尓定理的条件. 令cos ()cot 0sin x f x x x '===,则π2x = 即存在ππ5π(,)66ξα=∈,使()0f ξ'=成立.2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件?有没有满足定理结论中的ξ ?[][][]2(1)()1,;(2)(),;1,10,21sin ,0π(3)()0,π1,0e x f x f x x x x f x x =-=--<≤⎧=⎨=⎩解: (1) 2()1e x f x =-在[]1,1-上连续,在()1,1-内可导,且(1)1,(1)1,e e f f -=-=- 即 (1)(1)f f -= () f x ∴在[]1,1-上满足罗尓定理的三个条件. 令 2()20ex f x x '==得 0x =,即存在0(1,1)ξ=∈-,使()0f ξ'=.(2) 101()1112x x f x x x x -≤<⎧==-⎨-≤≤⎩显然()f x 在(0,1),(1,2)内连续,又1111(10)lim ()lim(1)0,(10)lim ()lim(1)0,(10)(10)(1)0,即x x x x f f x x f f x x f f f --++→→→→-==-=+==-=-=+==所以()f x 在1x =处连续,而且22(00)lim ()lim(1)1(0),(20)lim ()lim(1)1(2),x x x x f f x x f f f x x f ++--→→→→+==-==-==-==即()f x 在0x =处右连续,在2x =处左连续,所以()f x 在[]0,2 上连续.又1111()(1)1(1)lim lim 1,11()(1)1(1)lim lim 111x x x x f x f xf x x f x f xf x x --++-→→+→→--'===-----'===--(1)(1)()f f f x -+''∴≠∴在1x =处不可导,从而()f x 在(0,2)内不可导.又 (0)(2)1f f == 又由 101()112x f x x -<<⎧'=⎨<<⎩知 ()0f x '≠综上所述,函数()f x 满足罗尓定理的条件(1),(3)不满足条件(2),没有满足定理结论的ξ.(3) 由0(00)lim sin 0(0)1x f x f +→+==≠=知()f x 在0x =不右连续, () f x ∴在[]0,π上不连续, 显然()f x 在()0,π上可导,又(0)1,(π)0f f ==,即(0)(π)f f ≠,且()cos (0,π) f x x x '=∈,取π(0,π)2ξ=∈,有π()cos cos 02f ξξ'===. 综上所述,函数()f x 满足罗尓定理的条件(2),不满足条件(1),(3),有满足定理结论的ξ,ξ=π2.3. 不用求出函数()(1)(2)(3)f x x x x =---的导数，说明方程()0f x '=有几个实根，并指出它们所在的区间.解: 显然()f x 在[]1,2上连续,在()1,2内可导,且(1)(2)0f f ==,由罗尓定理知,在()1,2内至少存在一点1ξ,使1()0f ξ'=,即()0f x '=在()1,2内至少有一个实根.同理 ()0f x '=在()2,3内也至少有一个实根2ξ.又()0f x '=是二次方程,最多有两个实根,故()0f x '=有两个实根,分别在区间()1,2和()2,3内.4. 验证拉格朗日中值定理对函数3()2f x x x =+在区间［0，1］上的正确性.解: 显然3()2f x x x =+在［0，1］上连续,在()0,1内可导,满足拉格朗日中值定理的条件.若令2(1)(0)()32310f ff x x -'=+==-则x =,取ξ=,即存在(0,1)3ξ=∈,使得(1)(0)()10f f f ξ-=-成立. 从而拉格朗日中值定理对函数3()2f x x x =+在［0，1］上成立.5. 已知函数f (x )在［a ,b ］上连续，在(a ,b )内可导，且f (a )=f (b )=0,试证：在(a ,b )内至少存在一点ξ，使得f (ξ)+f ′(ξ) = 0，ξ∈(a ,b ). 证: 令()()e xF x f x =,则()()()e e xxF x f x f x ''=+由e x 在(),-∞+∞上连续,可导,()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,知()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,而且()()0,()()0,()()e e 即abF a f a F b f b F a F b =====,由罗尓定理至少存在一点(,)a b ξ∈使()0F ξ'=. 即 ()()0e e f f ξξξξ'+= 而0e ξ≠ 故 ()()0f f ξξ'+=即在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()()0f f ξξ'+=. 6.若方程10110n n n a x a x a x --+++= 有一个正根x 0,证明方程12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=必有一个小于0x 的正根. 证: 令1011()…nn n f x a x a xa x --=+++,显然()f x 在[]00,x 连续,在()00,x 内可导,且(0)0f =,依题意知0()0f x =.即有0(0)()f f x =.由罗尓定理,至少存在一点0(0,)x ξ∈,使得()0f ξ'=成立,即12011(1)0…n n n a n a n a ξξ---+-++=成立,这就说明ξ是方程12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++= 的一个小于0x 的正根.7. 设f (a ) = f (c ) = f (b ),且a ＜c ＜b , f ″(x )在［a ,b ］上存在，证明在(a ,b )内至少存在一点ξ，使f ″(ξ)= 0.证: 显然()f x 分别在[],a c 和[],c b 上满足罗尓定理的条件,从而至少存在1(,)a c ξ∈,2(,)c b ξ∈,使得12()()0f f ξξ''==.又由题意知()f x '在[]12,ξξ上满足罗尓定理的条件,从而至少存在一点12(,)(,)a b ξξξ∈⊂,使得()0f ξ''=.即在(,)a b 内至少存在一点ξ,使()0f ξ''=.习题4-21.利用洛必达法则求下列极限：(1) sin3lim tan5x xxπ→; (2) 0e 1lim (e 1)x x x x x →---;(3)lim m m n n x a x a x a →--； (4) 20()lim x xx a x a x →+-,(a ＞0)； (5) 0ln lim cot x xx+→； (6) 0lim sin ln x x x +→; (7) 1ln(1)lim arccot x x x →+∞+; (8) 0e 1lim()e 1x x x x →--; (9) 10lim(1sin )xx x →+; (10) 2lim (arctan )πx x x →+∞(11) c s c 03e lim()2x x x x →-+ ; (12) 2120lim e x x x →;(13) lim )x x →+∞; (14) 1101lim (1)e xxx x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦.解:222000011sin 33cos33(1)limlim lim cos3cos 5tan 55sec 5533(1)(1)5511(2)lim lim lim (1)111lim 22(3)lim lim lim πππe e e e e e e e e x x x x x xx x x x x xx x x x m m m n n n x a x a x a x x x x x x x x x x x x a mx x a nx →→→→→→→--→→→==⋅=⋅-⋅-=----==--+++==+-==-.m n m nm m x a n n --=2002220()ln ln()()(4)lim lim 21()()()ln ln()()lim2x xxxx x x x x x x a x a a a x a x a a x x xa x a x a x a a a x a x a x a x →→→⎡⎤+-++⎢⎥+-+⎣⎦=⎡⎤++++-++⎢⎥+++⎣⎦=[]200021()ln ln 012 aa a a aa a a a ++-⋅+==2200000000001ln sin 2sin cos (5)lim lim lim lim cot csc 12sin 0cos 001ln sin (6)lim sin ln lim lim lim tan csc csc cot sin lim lim tan 100x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x xxx x ++++++++++→→→→→→→→→→==-=--=-⋅====-⋅-=-⋅=-⨯=222221111ln(1)111(7)lim lim lim lim 111cot 11arc x x x x xx x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞-++++====+-++ 20002200001(1)(8)lim()lim lim 1(1)21443limlim 12022e e e e e e e e e e e e e e e e e e e x x x x x x x x x x x xxxxx x x x x x x xx x x x x x →→→→→-----==-------====+-++0002cos 11ln(1sin )cos 1sin ln(1sin )lim limlim 11sin 12112ln(arctan )arctan 1limlim 112ln(arctan )(9)lim(1sin )lim 2(10)lim (arctan )lim πππee =e ee ee eeπx x x x x xx xx x xxxxx x x x x x x x xxx x x x →→→→+∞→+∞++++→→⋅⋅+-→+∞→+∞+========221lim12lim(1)arctan (1)arctan πeeex x x xx xx→+∞→+∞--+-+===020033lnln322csc ln lim csc 2sin sin 0002(2)(3)33(2)limlim 1(3)(2)cos cos 3(11)lim()lim lim 21e e e e e e e e eee ee exxxx x x x x x x x e e e x x x x xxxxx x x x x x x x xxx →→→---+++→→→+-+--⋅----+--+-===+====2221111220000221()(12)lim lim lim lim 11()e e ee x xx x x x x x x x x x→→→→'⋅====∞'202211ln(1)1ln(1)1limlim lim 0(13)lim )lim1111lim31(14)lim (1) eeee x x x x x x x x xx xxx x x x x →→→+∞→+∞+-+-→=++===⎡⎤===+⎢⎥⎣⎦00111211lim2(1)2eex x xx →→-+--+==2.设 21lim 1x x mx nx →++-=5,求常数m ,n 的值.解: 1lim(1)0, x x →-= 而21lim 51x x mx n x →++=-21lim()0 x x mx n →∴++= 且21()lim 5(1)x x mx n x →'++='-即 10m n ++= 且 1l i m (2)5x x m →+= 即 1m n +=- 且 25m += 于是得 3,4m n ==-. 3.验证极限sin lim x x xx→∞+存在，但不能由洛必达法则得出.解: sin 1limlim(1sin )1x x x x x x x→∞→∞+=+=,极限存在,但若用洛必达法则,有sin lim lim(1cos )x x x xx x→∞→∞+=+因lim cos x x →∞不存在,所以不能用洛必达法则得出.4.设f (x )二阶可导，求2()2()()limh f x h f x f x h h →+-+-.解: 这是型未定式,利用洛必达法则有 [][]200000()2()()()()limlim2()()()()1lim 21()()1()()11lim lim ()()2222().h h h h h f x h f x f x h f x h f x h h hf x h f x f x h f x hf x h f x f x h f x f x f x h h f x →→→→→''+-+-+--=''''-+---=''''+---''''=+=+-''=5.设f (x )具有二阶连续导数，且f (0) = 0,试证g (x ) = (),0'(0),0f x x x f x ⎧≠⎪⎨⎪=⎩可导，且导函数连续. 证: 当0x ≠时,2()()()()()f x xf x f x g x x x '-''==当0x =时,由200000()(0)()(0)()(0)lim lim lim 00()(0)1()(0)1lim lim (0)2202x x x x x f x f g x g f x xf x x x x f x f f x f f x x →→→→→'-'--==--''''--''===- 即 1(0)(0)2g f '''=所以 2()(),0()1(0),02xf x f x x xg x f x '-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩由(),()f x f x '的连续性知()g x '在0x ≠处连续,又20000()()()()()lim ()limlim211lim ()(0)(0)22x x x x xf x f x f x xf x f x g x x xf x fg →→→→'''''-+-'=='''''===故()g x '在0x =处连续,所以()g x '在(),-∞+∞内处处连续.综上所述,(),0()(0),0f x xg x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪'=⎩可导,且导函数连续.习题4-31.求函数f (x ) =e x x 的n 阶马克劳林公式.解:()()(1),()(1)(2),()()…x x x x x x k x f x e xe e x f x e x e e x f x e k x '=+=+''=++=+=+()()(0)1(0),(1,2,3,)!!(1)!k k f k fk k k k k ∴====-又 (0)0f =321(1)()(01)2!(1)!(1)!n x n x x e n x f x x x x n n θθθ+++∴=+++++<<-+2.当01x =-时，求函数f (x ) = 1x的n 阶泰勒公式. 解:()()[]23()2341()1()112212!3!!()(1),()(1),()(1),,()(1)!(1)(1)!(1)(1)!1,(0,1,2,)!!(1)()(1)1(1)111(1) … n n n n n n n n n nn n f x f x f x f x x x x x n f n f n n n n x f x x x x x θ-++++''''''=-=-=-=-∴-=-⋅=----==-=+∴=-+-⎡⎤+++++++⎣⎦-++ (01)θ<<3.按(4)x -的乘幂展开多项式432()53 4.f x x x x x =-+-+解: 函数432()534f x x x x x =-+-+,根据泰勒公式按(4)x -的幂的展开式是2(4)34(4)()(4)(4)(4)(4)2!(4)(4)(4)(4)3!4! f f x f f x x f f x x '''=+-+-'''+-+- 而[][][]432324244(4)(4)454434456,(4)21,41523(4)137,123022!2(4)111,24303!3!(4)12414!4!x x x f f x x x f x x f x f ====-⨯+-⨯+=-'==-+-''==-+'''==-=⨯=所以,234()5621(4)37(4)11((4)(4)f x x x x x =-+-+-+-+-.4.利用泰勒公式求下列极限:(1) 30sin limx x x x →-; (2) 21lim ln(1)x x x x →+∞⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦. 解: (1) 利用泰勒公式,有34sin ()3!x x x o x =-+所以 343300430()sin 3!lim lim 1()1lim()66x x x x o x x x x x o x x →→→--==-= (2) 利用泰勒公式,有221111ln(1)()2o x x x x+=-+,所以222222221111lim lim ln(1)(())21()1111lim lim .()1222x x x x x x x x o x x x x o x x o x x →+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤=-+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 习题4-41. 求下面函数的单调区间与极值：(1)32()26187f x x x x =---； (2)()ln f x x x =-； (3)23()1(2)f x x =--； (4)()(4)f x x x =-. 解: (1) 2()612186(1)(3),f x x x x x '=--=+-令()0f x '=得驻点121,3,x x =-=-在()(),,13,-∞-+∞上,()0f x '>,在()1,3-上()0f x '< ∴ ()f x 在(,1],[3,)-∞-+∞上单调增加,在[]1,3-上单调减少.当 1x =-时, ()f x 有极大值,极大值为(1)3f -=, 当 3x =时, ()f x 有极小值,极小值为(3)61f =-.(2) 11()1x f x x x-'=-=,令()0f x '=得驻点1x = 在()0,1上,()0f x '<;在()1,+∞上,()0f x '> ∴ ()f x 在(0,1]上单调递减;在[1,)+∞上单调递增. 当1x =时,()f x 有极小值,极小值为(1)1f =. (3)()()0f x f x ''=≠ 但当2x =时,()f x '不存在, 在(,2)-∞上,()0f x '>;在(2,)+∞上,()0f x '<, ∴ ()f x 在(,2]-∞上单调递增;在[2,)+∞上单调递减. 当2x =时, ()f x 有极大值,极大值为(2)1f =.(4) 2240()40x xx f x x xx ⎧-≥=⎨-+<⎩ ,则 240()240x x f x x x ->⎧'=⎨-+<⎩且当 0x =时,()f x '不存在,又令()0f x '=得2x = 在(,0),(2,)-∞+∞上,()0f x '>,在(0,2)上()0f x '< ∴ ()f x 在(,0],[2,)-∞+∞上单调递增;在[0,2]上单调递减; 当0x =时,()f x 有极大值,极大值为(0)0f =; 当2x =时, ()f x 有极小值,极小值为(2)4f =-. 2. 试证方程sin x = x 只有一个根.证: 显然0x =是方程sin x x =得一个根(亦可将()sin f x x x =-运用零点定理).令()sin f x x x =-,则()cos 10f x x '=-≤,而()0f x '=的点不是单调区间的分界点,故()f x 在(,)-∞+∞内单调下降,所以()f x 在(,)-∞+∞内只有一个零点,即方程sin x x =只有0x =一个根.3. 已知()([0,))f x C ∈+∞，若f (0) = 0, f ′(x )在[0,)+∞内存在且单调增加，证明()f x x在［0,＋∞)内也单调增加.解: 0 x ∀>,由题意知()f x 在[]0,x 上满足拉格朗日中值定理的条件,利用拉格朗日中值定理得,(0,) x ξ∃∈,使()(0)()f x f xf ξ'-=, 因 ()f x '在[0,)+∞单调增加,且(0)0f =,所以()()()f x xf xf x ξ''=≤ 即 ()()0xf x f x '-≥令 ()()(0) f x F x x x=>,则 2()()()0xf x f x F x x '-'=≥ 所以()F x 单调递增,即 ()f x x在(0,)+∞内单调增加.4. 证明下列不等式：(1) 1+12x x ＞0； (2)2ln(1)(0)2 x x x x x -<+<>.证: (1) 令 1()12f x x =+则1()(12f x '=, 当 0x >时1,()0f x '<>即()f x 单调递增,从而()(0)0f x f >=,故112x +>. (2) 令 2()ln(1)2x f x x x =+-+,则 21()111x f x x x x'=-+=++当 0x >时,有()0f x '>,即()f x 单调递增,从而()(0)0f x f >= ,即2ln(1)2x x x +>-又令 ()ln(1)g x x x =-+,则1()111xg x x x'=-=++ 当 0x >时,()0g x '>,即 ()g x 单调递增,从而()(0)0g x g >=,即ln(1)x x >+.综上所述,当0x >时有2ln(1)2x x x x -<+<. 5. 试问a 为何值时，f (x ) = a sin x +13sin ３x 在x =3π处取得极值?是极大值还是极小值?并求出此极值.解: ()cos cos3f x a x x '=+若3πx =为极值点,则cos cos 03ππa +=,所以2a =.又()2sin 3sin 3,()03πf x x x f ''''=--=<故函数在3πx =处取得极大值,极大值为()3πf =习题4 - 51. 某个体户以每条10元的价格购进一批牛仔裤，设此批牛仔裤的需求函数为402Q P =-,问该个体户应将销售价定为多少时，才能获得最大利润? 解: 利润2()10260400L P PQ Q P P =-=-+-, ()460L P P '=-+,令 ()0L P '=得 P =15所以应将销售价定为每条15元,才能获得最大利润.2.设 f (x ) = cx α (c ＞0,0＜α＜1)为一生产函数，其中c 为效率因子，x 为投入量，产品的价格P 与原料价格Q 均为常量，问：投入量为多少时可使利润最大? 解: 依题意,总利润()()()L x Pf x Q x P cx Qx α=-=⋅- 则 1()L x Pc xQ αα-'=- 令 ()0L x '=得 11Q x Pc αα-⎛⎫=⎪⎝⎭所以,投入量为11Q Pc αα-⎛⎫⎪⎝⎭时利润最大.3. 某产品的成本函数为23()156C Q Q Q Q =-+，(1) 生产数量为多少时，可使平均成本最小?(2) 求出边际成本，并验证边际成本等于平均成本时平均成本最小. 解: (1) 2()()156C Q C Q Q Q Q==-+ 令 260()Q C Q '=-=⎡⎤⎣⎦得Q =3 故生产数量3Q =时,可使平均成本最小. (2) 2()15123MC C Q Q Q '==-+当 3Q =时,15123396MC =-⨯+⨯= 2()156336C Q =-⨯+=即边际成本等于平均成本时平均成本最小. 4. 已知某厂生产Q 件产品的成本为C ＝25000＋2000Q ＋1402Q （元). 问：(1) 要使平均成本最小，应生产多少件产品?(2) 若产品以每件5000元售出，要使利润最大，应生产多少件产品? 解: (1) 平均成本 250001()200040C Q Q Q =++ 边际成本1()200020C Q Q '=+. 当()()C Q C Q '=时,平均成本最小,由()()C Q C Q '=即2500011200020004020Q Q Q ++=+ 得1000Q =(负值不合题意已舍去). 所以要使平均成本最小,应生产1000件产品.(2)221()5000()500025000200040130002500040L Q Q C Q Q Q Q Q Q =-=---=-+-令 1()3000020L Q Q '=-+=, 得60000Q =(件) 所以应生产60000件产品.5. 某厂全年消耗(需求)某种钢材5170吨，每次订购费用为5700元，每吨钢材单价为2400元，每吨钢材一年的库存维护费用为钢材单价的13.2%，求： (1) 最优订购批量； (2) 最优批次； (3) 最优进货周期； (4) 最小总费用.解: 由题意 215170,5700,1,240013.2%316.8 R C T C ====⨯= 则(1)最优订购批量70*431.325q === (2)最优批次 5170*12*431.325R n q ==≈(次)(3)最优进货周期 36530.452*12T t n ===(天) (4)最小总费用*136643.9E ==≈(元)6. 用一块半径为R 的圆形铁皮，剪去一圆心角为α的扇形后，做成一个漏斗形容器，问α为何值时，容器的容积最大?解: 设漏斗的底面半径为r ,高为h ,为了计算方便令2ϕπα=-,则2,,2ππR r R r h ϕϕ====漏斗的容积2322123(83)πππV hr V ϕϕ==<<'=-令 0V '=得10ϕ=(舍之),2ϕ=,34222237),40,9πππV V ϕϕϕ''=-+-⎫''=-<⎪⎭故当ϕ=时漏斗得容积最大.由2πϕα=-得2π2πα==, 所以,当2πα=-时,容积最大. 7. 工厂生产出的酒可即刻卖出，售价为k ；也可窖藏一个时期后再以较高的价格卖出.设售价V 为时间t 的函数V = k (k ＞0)为常数.若贮存成本为零，年利率为r ，则应何时将酒售出方获得最大利润(按连续复利计算). 解: ()e rtrtA t k k -=⋅=令()0rt r A t k ⎫'-==⎪⎭得214t r = 所以,应窖藏214r 时以后售出可获得最大利润. 8. 若火车每小时所耗燃料费用与火车速度的三次方成正比，已知速度为20km/h ，每小时的燃料费用40元，其他费用每小时200元，求最经济的行驶速度. 解: 设火车每小时所耗燃料费为Q ,则 3Q k v = (k 为比例常数) 依题意得 34020k =⋅, 解得 1200k =, 又设火车行驶()km s 后,所耗费用为, 32200(200)()s E kv kv s v v=+⋅=+ 令 2200()0100v E s v'=-=, 得27.14v =≈ (km/h), 所以,最经济得行驶速度为27.14 km/h.习题 4-61. 讨论下列函数的凸性，并求曲线的拐点：(1) y =2x －3x ； (2) y = ln(1+2x )； (3) y = x e x； (4) y = 4(1)x +＋e x； (5) y =2(3)x x +； (6) y=arctan e x. 解: (1)223,126,0.3令得 y x x y x y x '=-''''=-==当13x <时,0y ''>; 当13x >时,0y ''<,且12()327f = 所以,曲线23y x x =-在1(,)3-∞内是下凸的,在1(,)3+∞内是上凸的,点12(,)327是曲线的拐点.(2) 222222222(1)222(1),1(1)(1)x x x x x y y x x x +-⋅--'''===+++, 令0y ''=得,121,1x x =-=,这两点将定义域(,)-∞+∞分成三个部分区间,列表考察各部分区间上二阶导数得符号.所以,曲线2l n (1)y x =+在(,1)-∞-及(1,)+∞内是上凸的,在(1,1)-内是下凸的,点(1,ln 2)±是曲线的拐点.(3) 324(1),12(1)0xxy x e y x e '''=++=++> 所以,曲线在定义域(,)-∞+∞内处处下凸,没有拐点.(4) 343212,(3)(3)x x y y x x --'''==++,令 0y ''=得6x = 当 6x <时,0y ''<,当6x >时,0y ''>;又2(6)27f =,函数的定义域为(,3)(3,)-∞--+∞ ;所以曲线在(,3),(3,6)-∞--内上凸,在(6,)+∞内下凸,点2(6,)27是拐点. (6)arctan 2arctan arctan arctan 2222221112(12)(1)(1)(1)x x x x y e x x x ey e e x x x '=⋅+-''=⋅-⋅=+++令 0y ''= 得 12x =当 12x <时,0y ''>,当12x >时,0y ''<,且 1arctan 21()2e f =,所以曲线在1(,)2-∞内向下凸,在1(,)2+∞内向上凸,点1arctan 21(,)2e是拐点. 2. 利用函数的凸性证明下列不等式：(1) e e 2x y +＞2e x y+， x ≠y ;(2) x ln x +y ln y ＞(x +y )ln2x y +,x ＞0,y ＞0,x ≠y .证: (1) 令()e x f x =,则()e x f x '=,()0e xf x ''=>,所以函数()f x 的曲线在定义域(,)-∞+∞内是严格下凸的,由曲线下凸的定义有: ()(),()()22x y f x f y x y f x y ++∀≠<≠ 即 22e e ex y x y ++< 即2()2e e e x yx y x y ++>≠.(2) 令()ln f x x x =,则1()1ln ,()f x x f x x'''=+=当 0x >时,恒有()0f x >,所以()f x 的曲线在(0,)+∞内是严格下凸的,由曲线下凸的定义有, 0,0,,x y x y ∀>>≠有()()()22f x f y x y f ++>即ln ln ()ln222x x y x y x y+++> 即 ln ln ()ln 2x yx x y y x y ++>+.3. 当a ，b 为何值时，点(1，3)为曲线y =a 3x +b 2x 的拐点. 解: 因为32y ax bx =+是二阶可导的,所以在拐点处0y ''=,而232,62y a x b x y a x b'''=+=+ 所以 620a b += 又拐点(1,3)应是曲线上的点,所以3a b +=解方程6203a b a b +=⎧⎨+=⎩ 得 39,22a b =-=所以当39,22a b =-=时,点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点. 4. 求下列曲线的渐近线：(1) y = ln x ; (2)y =22x -; (3) y = 23xx -； (4) y = 221x x -.解: (1) 0lim lim ln x x y x ++→→==-∞,所以ln y x =有垂直渐近线 0x =. 又 lim x y →+∞=+∞,但1ln lim lim lim 01x x x y xx y x x→+∞→+∞→+∞====,lim (0)x y x →+∞-⋅=∞,所以不存在水平或斜渐近线.(2) 220x x -=,所以有水平渐近线0y =,又2lim 0x x x y x -→∞→∞== ,所以没有斜渐近线,又函数22x y -=没有间断点,因而也没有垂直渐近线. (3) 221limlim 0331x x xxx x →∞→∞==--,所以有水平渐近线0y =,又函数23x y x ==-有两个间断点x x ==,且22,,3x x x xx x=∞=∞--所以有两条垂直渐近线x =x =又 21lim lim 3x x y x x →∞→∞==∞-,所以没有斜渐近线.(4) 2lim lim 21x x x y x →∞→∞==∞- ,所以没有水平渐近线,又函数221x y x =-有间断点12x =,且212lim 21x x x →=∞-,所以有垂直渐近线12x =. 又 1limlim 212x x y x x x →∞→∞==- 2111l i m ()l i m ()l i m 22122(21)4x x x x x y x x x x →∞→∞→∞-=-==-- 所以有斜渐近线1124y x =+. 5.作出下列函数的图形： (1) f (x ) =21xx+； (2) ()2arctan f x x x =- (3) ()2,(0,)e xf x x x -=∈+∞. 解: (1) (i) 定义域为(,)-∞+∞.()()f x f x -=- ,故曲线关于原点对称.(ii) 21lim limlim 012x x x x y x x→∞→∞→∞===+ ,故曲线有渐近线0y =.(iii) 222222121,(1)(1)x x x x y x x +-⋅-'==++ 22223322423232(1)(1)2(1)222442(3)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x y x x x -+--⋅+⋅---+-''===+++,令0y '=即210x -=得驻点1x =±,又使0y ''=的点为0,x =.图4-1(2) (i) 定义域为(,)-∞+∞.又 ()arctan y x x x y -=-+=-,故为奇函数.(ii) 2arctan lim ,limlim (1)1,x x x y x y x x→±∞→±∞→±∞=∞=-=πlim ()lim (2arctan )(2)()π2x x y x x →±∞→±∞-=-=-±= 所以有渐近线πy x = .(iii) 222211,11x y x x -'=-=++ 2222222(1)(1)24,(1)(1)x x x x x y x x +--⋅''==++令 0y '=得驻点1x =±,又使0y ''=的点为0x =. 列表如下:图4-2(3) (i) 定义域为(,)-∞+∞,且()((,))f x C ∈-∞+∞. (ii) ()2(1),()2(2),e e xxf x x f x x --'''=-=-由()0f x '=得1x =,由()0f x ''=得2x =,把定义域分为三个区间 (,1),(1,2),(2,);-∞+∞(iv) lim ()0x f x →+∞=,故曲线()y f x =有渐近线0y =,lim ()x f x →+∞=-∞.(v) 补充点(0,0)并连点绘图,如图所示:图4-3。

线性代数练习4

T
S ABC
x1 1 x2 2 x3
y1 1 y2 1 . y3 1
证明：因为 AB x2 x1 , y 2 y1 ,0
AC x3 x1 , y3 y1 ,0，从而
x x1 AB AC 0,0 2 x3 x1
y 2 y1 y3 y1
y 5 x 1, 点，直线 y 2 x 3 .
2
2、将 xOz 坐标面上的抛物线 z 5 x 绕 x 轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程. 解：抛物线 z 5 x 绕 x 轴旋转一周所生成的曲面方程为：
2
( y 2 z 2 ) 5x
3、将 xOy 坐标面上的双曲线 4 x 9 y 36 分别绕 x 轴及 y 轴旋转一周，求生成的两个旋
6 求下列直线的方程： (1) 经过 A( 1，0，-1)，B( 1，1，3)两点.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2) 过点 A( 1，-1，2)与直线
x y 2z 1 0 平行. x 2 y 3z 2 0
解：（1）方向向量为 AB 0,1,4 所以直线的方程为
x 1 y z 1 0 1 4
4、说明下列旋转曲面是怎样形成的：（1） x
2
y2 z2 1； 4 4
5,1,0 ,
也即点 M0( 4，-3，1)在平面 x+2y -z-3=0 上的投影点.
习题 4—5
1、指出下列方程在平面直角坐标系与空间直角坐标系中各表示什么图形：（1） x y 2 y 0 ；圆，圆柱面
2 2
（2） x 2 y ；抛物线，抛物柱面
2
（3） 4 x 2 y 1；直线，平面（4）

大学专业课程《线性代数》试题及答案(四)

大学专业课程《线性代数》试题及答案（四）1．填空题（1）若齐次方程组只有零解，则参数应满足.解：只有零解；有非零解；且.（2）若方程组有解，则常数满足.解：有解；则.（3）若方程组无解，则.解：则无解；，则当时，，此时无解.123123123000x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩λ12λλ≠≠-且0n A x =()0A R A n ⇔≠⇔=0n A x =()0A R A n ⇔=⇔<()()21111120111A λλλλλλ==-+≠⇒≠2λ≠-121232343144x x a x x a x x a x x a +=-⎧⎪+=⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩1234,,,a a a a 12340a a a a +++=m n A xb ⨯=()()()R A R A b R A ⇔==1112223331234414110011001100011001100110001100110011000010010101a a a a a a A a a a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪--- ⎪⎪⎪+++-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()12340R A R A a a a a =⇔+++=12312112313120x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭a =32±()()R A R A <Ax b=2121112111211231301110111120023100313A a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+---- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭2310a a a --=⇒=a =()()23R A R A =<=Ax b =（4）若方程组有无穷多解，则 -2 .解：，则有一解；有0，解；当时，，，故无解；当时，，，故有无穷解；综上所述：.（5）若方程组有惟一解，则满足.解：，对无要求，即.（6）若阶矩阵的每一行元素之和为零，且，则齐次线性方程组的基础解系为.解：，即为的非零解向量；记为的解空间，则，则的任何一个线性无关的解向量均是的基础解系，从而的基础解系是.123111111112x a a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭a =n n A x b ⨯=0A Ax b ≠⇔=0A =⇔Ax b =∞()()()()0R A R A R A R A ⎧=∞⎪⎨<⎪⎩有解有解，，()()211111201211a A a a a a a==-+=⇒=-或1a =111111111111000011120003A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()()12R A R A =<=2a =-3121322211111221122121112110333112221110000r r r r r r A +-+-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()23R A R A ==<2a =-1231202231334x x a b x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,a b 2, a b R≠∀∈202A a a =-+≠⇒-b 2, a b R ≠∀∈n A ()1R A n =-0Ax =(1,1,,1)T1111010n j j n nj j a A a ==⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭∑∑11⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0Ax ={}0A S x Ax ==0Ax =()()dim 11AS n R A n n =-=--=A S A S 0Ax =(1,1,,1)T（7）设为非齐次线性方程组的两个不同解，其中为矩阵，且，则的通解为.解：记为的解空间，则，则的任何一个线性无关的解向量均是的基础解系，为非齐次线性方程组的两个不同解，则是的一个非零解，从而线性无关，那么是的基础解系，则的通解为：或者.（8）设为矩阵，则非齐次线性方程组有惟一解的充要条件是.解：有唯一解；无解；有无穷解.（9）设为阶方阵，若齐次线性方程组的解都是齐次线性方程组的解，则.解：记为的解空间，为的解空间，由已知，则.（10）若，且三条不同直线相交于一点，则矩阵的秩满足.解：三条不同直线相交于一点有唯一解，，令则12,ααAx β=A m n ⨯()1R A n =-Ax β=112212() (),x k x k k R αααααα=+-=+-∈或者A S 0Ax =()()dim 11AS n R A n n =-=--=A S A S 12,ααAx β=12αα-0Ax =12αα-12αα-A S Ax β=112()x k ααα=+-212 (),x k k R ααα=+-∈A m n ⨯Ax β=()()R A R A nβ==m n A x β⨯=()()()R A R A R An β⇔===m n A x β⨯=()()()R A R A R A β⇔<=m n A x β⨯=()()()R A R A R A n β⇔==<,A B n 0Ax =0Bx =()R A ≥()R B {}0A S x Ax ==0Ax ={}0B S x Bx ==0Bx =A B S S ⊂()()()()dim dim AB S n R A S n R B R A R B =-≤=-⇒≥111112222233333,a b a b c A a b B a b c a b a b c ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0 (1,2,3)i i i a x b y c i ++==,A B ()()2R A R B ==0 (1,2,3)i i i a x b y c i ++==111222333a x b y c a x b y c a x b y c+=-⎧⎪⇔+=-⎨⎪+=-⎩()()2R A R A n ⇔===()111222333a b c A a b c A a b c β-⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭()123B ααα=，则与等价，从而，则 .2．选择题（1）齐次线性方程组仅有零解的充要条件是( A ) （A ）矩阵的列向量组线性无关；（B ）矩阵的列向量组线性相关；（C ）矩阵的行向量组线性无关；（D ）矩阵的行向量组线性相关.解：只有零解线性无关，故选（A ）.（2）设是矩阵，是与非齐次线性方程组相对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( D )（A ）若仅有零解，则有惟一解；（B ）若有非零解，则有无穷多解；（C ）若有无穷多解，则仅有零解；（D ）若有无穷多解，则有非零解.解：只有零解；有非零解；对，若，则有解，且有唯一解，有无穷解；对，有：有零解或唯一解（可能无解，当），有无穷解或零解（可能无解，当）.（A ）仅有零解有零解或唯一解，故（A ）错误；（B ）有非零解有无穷解或零解，故（B ）错误；（D ）有无穷解有非零解，故（D ）正确. (3) 设是矩阵，且，则( A ) (A) 时，非齐次线性方程组有解； (B) 时，非齐次线性方程组有惟一解；()123A ααα=-123,,ααα123,,ααα-()()R B R A =()()2R B R A ==0Ax =A A A A 0Ax =()()11,,,,n n R A n R n αααα⇔=⇔=⇔A m n ⨯0Ax =Ax β=0Ax =Ax β=0Ax =Ax β=Ax β=0Ax =Ax β=0Ax =0m n A x ⨯=()R A n ⇔=0m n A x ⨯=()R A n ⇔<m n A x β⨯=()()R A R A =m n A x β⨯=()R A n Ax β=⇔=()R A n Ax β<⇔=m n A x β⨯=()R A n Ax β=⇔=()()R A R A ≠()R A n Ax β<⇔=()()R A R A ≠0Ax =()R A n Ax β⇔=⇔=0Ax =()R A n Ax β⇔<⇔=Ax β=()()0R A R A n Ax ⇔==⇒=A m n ⨯()R A r =r m =Ax β=r n =Ax β=(C) 时，非齐次线性方程组有解； (D) 时，非齐次线性方程组有无穷解.解：（A ）且有解，故（A ）正确；（B ）有零解或唯一解；（C ）当时，无解；（D ）有无穷解或零解.(4) 设为非齐次线性方程组的两个不同解，则( B )是的解. (A)； (B) ； (C) ； (D) .解：，（A ）；（B ），故选（B ）；（C ）；（D ）.(5) 当矩阵等于( A )时，都是齐次线性方程组的解.(A) ； (B) ； (C)； (D) . 解：显然，线性无关，记为的解空间，则，故（A ）正确.m n =Ax β=r n <Ax β=()()R A R A r m ≥==()()()R A m R A R A m Ax β≤⇒==⇒=()R A n Ax β=⇔=()()R A R A ≠Ax β=()R A n Ax β<⇔=12,ααAx β=Ax β=12αα+122133αα+12αα-1122, , 1,2i k k k R i αα+∈=1A αβ=2A αβ=()122A ααβββ+=+=2121212121333333A A A ααααβββ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭()120A ααββ-=-=()()112211*********A k k k A k A k k k k k k ααααββββ+=+=+=+=⇔+=A 12100,121ξξ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭0Ax =(2,1,1)-201011-⎛⎫⎪⎝⎭102011-⎛⎫⎪-⎝⎭011422011-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭1102ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭{}0A S x Ax ==0Ax =()()dim 21A S n R A R A =-≥⇒≤可简单验证：，.(6) 设矩阵的秩为，为阶单位矩阵，则下列结论正确的是( C ) (A) 矩阵的任意个列向量必线性无关；(B) 矩阵的任意阶子式必不等于0； (C) 若矩阵满足，则必有；(D) 矩阵通过初等行变换，必可化成的形式.解：，，则线性无关，线性相关.（A ）（B ）存在阶子式不等于0，设此子式对应矩阵为，，则线性无关；（D ）行最简形标准形；（C ）方法一：由，不妨设，且可逆，；方法二：，则线性无关；方法三：由书16题知，记，则，即可逆，（两边右乘）（两边右乘）.()1211002⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭()0211101⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭m n ⨯A ()R A m n =<m E m A m A m B 0BA =0B =A (,0)m E ()m n R A m n ⨯=<()11n m A αββα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭()11,,mm R R A m αααα⎛⎫⎪==⇒ ⎪ ⎪⎝⎭()()11,,n n R R A n ββββ=<⇒()R A m =⇒m 1A ()11,,i im A ββ=110,,i im A ββ≠⇒()m AE C 初等行变换()mE O 初等列变换()R A m n =<()12mn mA A A -=1A ()()11211m n mk m m n k n k m k m B A B A A O O O BA O B OA O --⨯⨯⨯⨯⨯===⇒=⇒==k m m nk n B A O ⨯⨯⨯=111111111100mj j j m n mk km m n kj j j b b b O b b O b αααα=⨯⨯=⎧=⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪=⇒⎨⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪=⎪⎩∑∑()1,,m R A m αα=⇒10,,0,1,,j kj k m b b j m B O ⨯⇒===⇒=()()TR A A R A m ==TB A =TA B =()()()()()()()()T T T T T n n m m R A A R B B R B R A R A R A R A A R AA ⨯⨯⎡⎤⎡⎤====⇒==⎣⎦⎣⎦0,0,T T m n A A AA =<⇒=≠T AA T T BA O BAA OA O =⇒==T A ()1T B O AA O -⇒==()1T AA -综上：（C ）正确.(7) 设为阶方阵，且，而为非齐次线性方程组的两个不同解，为任意实数，则齐次线性方程组的通解为( C ) (A) ； (B) ； (C) ； (D) .解：，则的任何一个非零解向量均为的基础解系，由是的两个不同解是的非零解，则是的基础解系，的通解为：，选（C ）.(8) 设为非齐次线性方程组的两个不同解，而为对应的齐次线性方程组的基础解系，为任意实数，则的通解为( AB ) (A) ； (B) ；(C) ； (D) .解：非齐次方程组通解=非齐次方程组特解+齐次方程组通解非齐次方程组特解可选：（）齐次方程组通解可选择：注意：不一定是的通解，因为可能与相关综上：选（A ）（B ）.(9) 设为矩阵，为矩阵，对于齐次线性方程组，以下结论正确的是( D )(A) 当时仅有零解； (B) 当时必有非零解； (C) 当时仅有零解； (D) 当时必有非零解.解：（A ）（B ），则有非零解，只有零解，故有非零解或者只有零解均有可能，故（A ）（B ）错误；（C ）（D ）有非零解，故（D ）正确. 3．求解以下方程组A n ()1R A n =-12,ααAx β=k 0Ax =1k α2k α12()k αα-12()k αα+()()dim 11A S n R A n n =-=--=0Ax =0Ax =12,ααAx β=12αα⇒-0Ax =12αα-0Ax =0Ax =()12,k k R αα-∈12,ββAx β=12,αα0Ax =12,k k Ax β=1211212()2k k ββααα++++1211212()2k k ββααα++-+1211212()2k k ββαββ-+++1211212()2k k ββαββ++-+1212,,2ββββ+()1212122AA A βββββ+=+=()()11221121211212,,k k k k k k αααααααα++++-()11212k k αββ+-0Ax =12ββ-1αA m n ⨯B n m ⨯()0AB x =n m >n m >m n >m n >()()m n m m R AB R A m n ⨯⨯⎡⎤≤≤<⎣⎦()0AB x =()R AB m ⇔<()0AB x =()R AB m ⇔=()0AB x =()()m n m m R AB R A n m ⨯⨯⎡⎤≤≤<⎣⎦()0AB x ⇒=(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)解：（1），方程组有无穷多解同解方程组为，即得通解；（2），方程组无解；1234123412342121255x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+-=-⎨⎪-++=⎩123123123123312213231x x x x x x x x x x x x +-=-⎧⎪+-=⎪⎨++=⎪⎪+-=⎩12312312312322355723314x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎨++=-⎪⎪+-=⎩123412341234123412323132123122215522x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎪⎪+++=⎨⎪++-=⎪⎪++=⎩12341234123420202220x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩12341234123420363051050x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩1231231242232101138x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩2344538213496x y z x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=-⎪⎨+-=⎪⎪-+=-⎩31222221x y z w x y z w x y z w +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩1234123412342132344352x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=-⎩2131121111211112100121110002200011121550004400000r rr r -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()24R A R A ==<∴1232233421x x x x x x x x =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩12121234021010, ,001100x x x k k k k R x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11311131212101431113004412310102----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭()()34R A R A =≠=∴（3），方程组有唯一解；（4），同解方程组为即得通解；（5）同解方程组为，通解为；23411311211111121122002112222131502412010201261157190012001122082223314000000002412r r r r r r r ---⎛⎫⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭-⎝⎭()()3R A R A ==∴123122x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭123111231112311321110482201531231110153100651222110241100121025520205135300000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---- ⎪⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭311202201531006510000000000⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎪⎪⎝⎭1422433444312223515166x x x x x x x x x x⎧=-+⎪⎪=-+⎪⎨⎪=+⎪⎪=⎩123415171, 15606x x x k k R x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪==+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭54110100112111213321110131010301032212003400340034⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1424344443343x x x x x x x x⎧=⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪=⎩123449,43x x x k k R x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪==∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（6）同解方程组为，通解为；（7），方程组无解；（8），方程组有唯一解；（9），同解方程组为，通解为；（10） 1211121112013613004000105101500400000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1422234420x x x x x x x x =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩121212342110,,0001x x x k k k k R x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111124224242125111751117312100024224211308511500060242⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪-⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭- ⎪ ⎪-⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()23R A R A =≠=∴231405714114510031145114505714010038213011142801000012419601371402000000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()3R A R A ==∴302x y z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭322123311113111131111441412221200111333342111170112100004r r r r --⎛⎫⎪--⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭---⎝⎭⎪-⎝⎭100000110100010⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭010x y z z z w =⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩0011,0100x y k k R z w ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1323232111107595321340141018101435214352r rr r -----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭同解方程组为，通解为.4．求参数取何值时，下列方程组有惟一解、无解或有无穷多个解. 当有无穷多个解时，求其一般解.(1) (2)(3) (4)(5) (6)解：（1）116107771435259507595017770000000000⎛⎫--⎪--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭1342343344611777559777x x x x x x x x x x ⎧=++⎪⎪⎪=-+-⎨⎪=⎪⎪=⎩121212346115591,,0707007x x x k k k k R x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,a b λ1231231234324ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩12312321232222x x x x x x x x x λλ⎧-++=-⎪-+=⎨⎪+-=⎩123412341234212427411x x x x x x x x x x x x λ-++=⎧⎪+-+=⎨⎪+-+=⎩123123123(2)2212(5)4224(5)1x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩1234512345234512345132322635433x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x b++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩123123123(21)(1)1(2)(1)(2)(21)(1)(21)x x x x x x x x x λλλλλλλλλλλλ+-++=-⎧⎪-+-+-=⎨⎪-+-+-=⎩()11111121aA bb a b ==--当且时，，由克莱姆法则知方程组有唯一解：；当时，，，无解；当时，若，即时，，无解；若时，，有无穷多解，此时，通解为：.（2）当，即且时，无解.当，即或时，有无穷多解，且：时，，通解为：； 1a ≠0b ≠0A ≠12312(1)1421(1)b b a x x b x b ab b a -⎛⎫ ⎪-⎪⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭-- ⎪⎪-⎝⎭0b =1141141013101310140001a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()R A R A ≠1a =322111141114111411301010101121400100011r r r r b b b b b b b --⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ ⎪-⎝⎭101b b +≠-12b ≠()()R A R A ≠12b =()()2R A R A ==1114101210010102200000000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1232120,01x x k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23132222222211221121121210330113112033220002r r r r λλλλλλλλλλλ-+⎛⎫-⎛⎫---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪+-⎝⎭220λλ+-≠1λ≠2λ≠-220λλ+-=1λ=2λ=-1λ=112110110110011000000000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1231101,01x x k k R x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭时，，通解为：；（3）当时，，无解；当时，有无穷多解，同解方程组为，通解为：；（4）当时，，无解；当时，方程组有无穷多解，此时，通解为：；当且时，有唯一解，此时：2λ=-112410120112011200000000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1232121,01x x k k R x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭211110537312142121421214205373174110537200005λλλ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭5λ≠()()R A R A ≠5λ=123443224273355x x x x x x x =-+-+⎧⎪-⎨=+⎪-⎩12124163371, ,0505005x k k k k R --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=++∈ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()3212222760211222122542254224510111r r r r λλλλλλλλλλλλλ+--⎛⎫-+--- ⎪--⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪ ⎪⎪--------⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭()()()()()()()()254225420111011101641210010141λλλλλλλλλλλλλλλλ----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭10λ=()()R A R A ≠1λ=244212210000000000000000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1212123122010,,001x x k k k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1λ≠10λ≠()()()()2542254201110111001014100104λλλλλλλλλλλ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭方程组解为：；（5）当或时，，无解；当且时，有无穷多解，，通解为：；（6）当且时，有唯一解；当时，，无解；当时，，，无解；123316104x x x λλλ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭1111111111113211301226301226301226354331012265a a b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪------ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪------⎝⎭⎝⎭23432311111101226300000000002r r r r r r a b ++↔⎛⎫ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭0a ≠2b ≠()()R A R A ≠0a =2b =101152012263000000000000----⎛⎫⎪----⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123123211532260100, ,,00100001x k k k k k k R -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2211212122101211212110A λλλλλλλλλλλλλλλλλλ+-++--=---=--=------0λ≠1λ≠±0λ=101110111011212001020102111001010001---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()R A R A ≠1λ=312031201011101110110002--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()R A R A ≠当时，有无穷多解，通解为：.5．对于向量组；试讨论参数满足什么条件时，(1) 可由线性表出，且表示方式惟一； (2) 可由线性表出，但表示方式不惟一； (3) 不能由线性表出.且（1）可由线性表出，且表达式唯一且；（2）当时，，，此时有无穷解，可由线性表出，且表达式不唯一；1λ=-3101110211025323105350535323100000000⎛⎫⎪---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭12335131,501x x k k R x ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-+-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭123211101,1,1,111λααλαβλλλ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭λβ123,,αααβ123,,αααβ123,,ααα()2111111300111A λλλλλλ+=+=+≠⇔≠+3λ≠-β123,,ααα0λ⇔≠3λ≠-0λ=111011101110000011100000A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()13R A R A ==<Ax β=β∴123,,ααα（3）当时，，此时无解，不能由线性表出.6．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩是2，并已知该方程组的三个解向量是求该方程组的通解.解：，则的任何两个线性无关的解向量均是它的一组基础解系；由为非齐次方程组的三个解向量知：，为的两个线性无关的解向量，故为的一组基础解系；故的通解为. 7．设三元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为1，且已知它的三个解满足：求该方程组的通解.解：，故的任何两个线性无关的解向量均是它的一组基础解系；，，，3λ=-211011291129121303312033121129033180006A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=------ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()23R A R A =<=Ax β=β∴123,,ααα123123234,,344455ηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()dim 422A S n R A =-=-=0Ax =123,,ηηηAx β=1312211ξηη⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭2211111ξηη⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭0Ax =0Ax =Ax β=12121234121221,,311411x x k k k k R x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123,,ηηη1223131012,1,0311ηηηηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭()dim 312A S n R A =-=-=0Ax =121123ηηα⎛⎫ ⎪+== ⎪ ⎪⎝⎭232011ηηα⎛⎫ ⎪+=-= ⎪ ⎪⎝⎭133101ηηα⎛⎫⎪+== ⎪ ⎪-⎝⎭则，又，为非齐次方程组特解；，为的两个线性无关的解向量，故为的一组基础解系；故为的通解.注意：此题中非齐次方程组的特解、齐次方程组的基础解系找法不唯一.8．设矩阵，矩阵为3阶非零矩阵，且，求的值. 解：，由P110例9知：，又是非零矩阵，，，则；.9．设矩阵，为三阶非零矩阵，且满足，求及.解：，由P110例9知：，又是非零矩阵，，，即不满秩，则；或；当时，，与不能同时为0，，此时，；()12312312ηηηααα++=++133ηηα+=()21230112252ηααα⎛⎫⎪∴=+-= ⎪ ⎪⎝⎭11213132ξααηη⎛⎫ ⎪=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭21323024ξααηη⎛⎫⎪=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭0Ax =0Ax =2112212,,x k k k k R ηξξ=++∈Ax β=12243311A t-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B 0AB =t 0AB =()()3R A R B +≤B ()1R B ∴≥()2R A ∴≤0A =122437210311A tt -==+=-3t ∴=-1111131a A b b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B 0AB =, a b ()R B 0AB =()()3R A R B +≤B ()1R B ∴≥()2R A ∴≤A 0A =()11111111210131020a a A bbb a b b ===-=1a ∴=0b =1a =111111110101310310A b b b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1b -31b -()2R A ∴=()11R B ≤≤()1R B ∴=当时，，此时，.10．设是非齐次线性方程组的个解，为实数，满足，证明也是方程组的解.证明：由已知：故也是方程组的解.11．试证方程组有解的充要条件是，并在有解的情况下，求出它的全部解.证明：有解；当时，同解方程组为，通解为.0b =12121111101101101011101000000r rr ar a a A a ↔-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2R A ∴=()11R B ≤≤()1R B ∴=12,,,s ηηηAx b =s 1s k k ,,121=+++s k k k 1122s s x k k k ηηη=+++Ax b =,1,2,,,i A b i s η==()()1111111s s s s s s Ax A k k k A k A k b k b k k b b b ηξηη=++=++=++=++=⋅=1122s s x k k k ηηη=+++Ax b =121232343454515x x a x x a x x a x x ax x a -=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎪-=⎩054321=++++a a a a a 5123411223314451511111111111111111100r r r r r a a a a A a a A a a a a a ++++--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=⎪ ⎪--⎪ ⎪⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭Ax b =()()()1123450R A R A R A a a a a a ⇔==⇔++++=123450a a a a a ++++=3423121234234134411111111000r r r r r r a a a a a a a A a a a +++-+++⎛⎫⎪-++ ⎪ ⎪-+ ⎪- ⎪⎪⎝⎭15123425234353445455x x a a a a x x a a a x x a a x x a x x =++++⎧⎪=+++⎪⎪=++⎨⎪=+⎪=⎪⎩123423434411,1101a a a a a a a x k k R a a a +++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+∈+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．设为元非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明： (1) 向量组线性无关；(2) 向量组线性无关.证明：（1）设，则，，为的基础解系，有，，是非齐次方程组，即，，代入有，线性无关，，即，线性无关；（2）设，则，由（1）知：线性无关，，，线性无关.13．设元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，且是它的个解，证明： (1)是齐次方程组的一个基础解系；(2) 的通解为，其中.证明：（1）首先我们证明是的解.，，为解；其次我们证明线性无关.*ηn Ax β=12,,,n r ξξξ-0Ax =*12, , ,, n r ηξξξ-****12, , ,, n r ηηξηξηξ-+++0110n r n r k k k ηξξ*--+++=()0110n r n r A k k k ηξξ*--+++=0110n r n r k A k A k A ηξξ*--∴+++=1,,n r ξξ-0Ax =0,1,,i A i n r ξ==-000k A k ηβ*∴==Ax β=0β≠00k ∴=110n r n r k k ξξ--++=1,,n r ξξ-10n r k k -∴===010n r k k k -====1,,,n r ηξξ*-∴()()0110n r n r k k k ηηξηξ***--+++++=()01110n r n r n r k k k k k ηξξ*---++++++=1,,,n r ηξξ*-0110n r n r k k k k k --∴+++====00k ∴=∴****12, , ,, n rηηξηξηξ-+++n Ax β=r 121,,,,n r n r ηηηη--+1n +11211, ,, n r n r n r n r ηηηηηη-+-+--+---0Ax =Ax β=112211n r n r n r n r x k k k k ηηηη---+-+=++++111n r ii k-+==∑11211, ,, n r n r n r n r ηηηηηη-+-+--+---0Ax =121n r A A A ηηηβ-+====()()()112110n r n r n r n r A A A ηηηηηηββ-+-+--+∴-=-==-=-=11211,,,n r n r n r n r ηηηηηη-+-+--+∴---11211,,,n r n r n r n r ηηηηηη-+-+--+---设，则，线性无关，，线性无关，为的一个基础解系；（2）由（1）知：的解为：，取，则. 证毕.14．设A 为n 阶矩阵()，证明.证明： ①若，则，，；②若，不可逆，则，有一个阶子式不为0，于是有一个代数余子式不为0，. 因为，所以【见书P110：例9】，，故；③若，则的所有阶子式全为0，于是所有代数余子式全为0，，. 证毕.15．设为阶矩阵，且，证明.证明：，可逆，设，则，，()()()11122110n r n r n r n r n r k k k ηηηηηη-+-+---+-+-++-=()11110n r n r n r n r k k k k ηηη----+++-++=121,,,n r ηηη-+110n r n r k k k k --∴===++=11211,,,n r n r n r n r ηηηηηη-+-+--+∴---11211,,,n r n r n r n r ηηηηηη-+-+--+∴---0Ax =Ax β=()()()11122111n r n r n r n r n r n r x k k k ηηηηηηη-+-+---+-+=-+-++-+()11111n r n r n r n r x k k k k ηηη----+∴=+++---111n r n r k k k -+-=---111n r ii k-+==∑2≥n *,()()1,()10,()1n R A n R A R A n R A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩当当当()R A n =0A ≠10n A A-*=≠()R A n *∴=()1R A n =-A 0A =A ()1n -A ()1R A *≥0AA A E *==()()R A R A n *+≤()1R A *∴≤()1R A *=()2R A n ≤-A ()1n -A n n A O *⨯=()0R A *=A n 2A E =()()R A E R A E n ++-=()()()()20A E A E A E R A E R A E n =⇒+-=⇒++-≤2210A A E A A ===⇒≠⇒()()1,,n R A R n αα⇒==()1,,n E e e =()11,,n n A E e e αα+=++()11,,n n A E e e αα-=--设，，易知可由线性表示，故，综上：.16．设为矩阵，证明.证明：由方程解与秩的关系知：只须证明与同解即可.事实上，，若，则，的解必为的解；反之，，若，则，即，为列向量，，的解必为的解；与同解，，证毕.17．设为维列向量，证明齐次线性方程组与有公共非零解的充要条件是：.证明：与有公共非零解，使，使，即有非零解. 18．若阶方阵，其中为矩阵，为矩阵，且，证明齐次线性方程组只有零解.证明：只有零解.， ()R A E r +=()R A E s -=1,,n αα1111,,,,,n n n n e e e e αααα++--()()11111,,,,,,,n n n n n n R R e e e e αααααα=≤++--()()()()1111,,,,n n n n R e e R e e R A E R A E αααα≤+++--=++-()()R A E R A E n ++-=A m n ⨯()()TR A A R A =0Ax =0TA Ax =x R ∀∈0Ax =0TA Ax =0Ax ∴=0TA Ax =x R ∀∈0TA Ax =0TT x A Ax =()0TAx Ax =m Ax R ∈0Ax ∴=0TA Ax ∴=0Ax =∴0Ax =0T A Ax =()()T R A R A A ∴=x n 0Ax =0Bx =A R n B ⎛⎫< ⎪⎝⎭0Ax =0Bx =00x ⇔∃≠000000Ax x Bx =⎧⇔∃≠⎨=⎩000000Ax A x Bx B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0A x B ⎛⎫= ⎪⎝⎭A R n B ⎛⎫⇔< ⎪⎝⎭n A BC =B n k ⨯C k n ⨯||0A ≠0TB x =0TB x =()()TR B R B n ⇔==n n n k k n A B C ⨯⨯⨯=()()111111111,,,,,,n kkn k j j jn j j j k kn c c c c c c ααββββ==⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭⎪⎝⎭∑∑故能由线性表示，则，得，，又，. 证毕.1,,n αα1,,k ββ()()()()11,,,,n k R A R R R B ααββ=≤=0A ≠()R A n =()R B n ∴≥()R B n ≤()R B n ∴=。

线性代数习题答案4

a2 + b2 3 (a2 + b2 3)(a2 − b2 3) a22 − 3b22
a22 − 3b22
3,
a1 ± a2 , b1
± b2;
a1a2
+ 3b1b2 , a1b2
+ a2b1;
a1a2 a22
− 3b1b2 − 3b22
,
(a2b1 − a1b2 a22 − 3b22
)
都是有理数,故 K2 是数域.
x + y = (x1 + y1, x2 + y2 , x3 + y3 )T , 2(x1 + y1) + 3(x2 + y2 ) − (x3 + y3 ) = 0 ⇒ x + y ∈W4 , kx = (kx1, kx2 , kx3)T , 2(kx1) + 3(kx2 ) − (kx3) = 0 ⇒ kx ∈W4 故W4 对 R3 中的加法与数乘运算封闭, 它是 R3 的子空间. (5) W5 = {x ∈ R3 | 2x1 + 3x2 − x3 = 1}; 【解】W5 不是 R3 的子空间. 显然W5 中不含有零向量, 故W5 不是 R3 的子空间. (6) W6 = {x ∈ R3 | x1 − x22 = 0}.
=
a1a2 a22
+ b1b2 + b22
+
(a2b1 a22
− a1b2 ) + b22
i,
a1
± a2 , b1
± b2;
a1a2
− b1b2 , a1b2
+ a2b1;
a1a2 + b1b2 a22 + b22