线性代数习题及答案4

线性代数测试题（四）

一、选择题（每小题5分，共25分。）

1．已知四阶行列式4D 第一行的元素依次为1，2，－1，－1，它们的余子式为2， -2，1，0，则4

D 的值为【 】A ．3-； B.；5- C.3； D.5.

2．已知n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=1..00...1.1..

101..11A ,则A 的所有元素的代数余子式之和等于 【】A ．0； B ．1；C ．-1； D ．2. 3．设A 是n m ⨯矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵AC B =的秩

1r ，则【 】A ．1r r >； B ．1r r <； C ．1r r =； D ．r 与1r 的关系依C 而定.

4．设A 为n m ⨯矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充分必要条件是【】A ．A 的列向量组线

性无关； B ．A 的列向量组线性相关； C ．A 的行向量组线性无关； D 。A 的行向量组线性相关.

5．设λ是n 阶可逆矩阵A 的特征值，ξ是A 的对应于λ的特征向量，P 是n 阶可逆矩阵，

则P A P *1-的对应于特征值λA

的特征向量是【 】A ．ξ1-P ； B ．ξP ； C ．ξT P ； D ．ξ1

)(-T P . 二、填空题（将答案写在该题横线上。每小题5分，共25分。）

1．设B A ,都是n 阶正交矩阵，若0=+B A ，则___________=+B A .2．已知A B AB =-，

其中⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=20001

2021B ，则___________=A .3．已知向量组.,,,4321a a a a 线性无关，若向量组14433221,,,a a a a a a ka a ++++线性相关，则____________=k .

4． 若线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---=+++=+-+b x x x x x ax x x x x x x 2617230324321

43214321无解，则常数b a ,应满足的条件是_____________

. 5．若4阶矩阵A 与B 相似，且A 的特征值为1，2，3，4，则矩阵E B -*

的全部特征值为___________________.

三、计算证明题（50分）1 (12分)求向量组)1,6,3,1(),3,2,1,1(),4,1,2,1(),5,0,3,1(4321--====a a a a 的一个极大线性无关组和秩.

2．(15分)设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件022

=+A A ，已知A 的秩2)(=A r

(1)求A 的全部特征值； (2)当k 为何值时，矩阵kE A +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵.

3．(15分)已知二次型)0(233232232221>+++=a x ax x x x f 通过正交变换可化为标准形2

3222152y y y f ++=，求参数a 及所用的正交变换.

4．(8分)设A 是n 阶矩阵，且满足E A =2，证明:n E A r E A r =++-)()(. 线性代数测试题（四）

一、选择题（每小题5分，共25分。）1.D ； 2.B ； 3.C ； 4.A ； 5.A.

二、填空题（每小题5分，共25分。）

1．0； 2．⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-20001210211； 3．1； 4．8-=a 且1≠b ； 5．(23,11,7,5)． 三、计算证明题1．解：设),,,(4321T T T T a a a a A =，用初等行变换将A 化为行阶梯形矩阵：

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+--0000000062101111621062106210111113456210312311112423141253r r r r r r r r A （8分） 易知，21,a a 为向量组4321,,,a a a a 的一个极大线性无关组，它的秩为2. （4分）

2．解：(1)设λ为A 的一个特征值，对应的特征向量为ξ，即λξξ=A 于是ξλλξ)2()2(22+=+A A ，由于022=+A A ，可知022=+λλ，解得0,2=-=λλ。

因为实对称矩阵A 必可对角化，又2)(=A r ，所以A 应对角矩⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--022相似.（2分） 因此的全部特征值为0,2321=-==λλλ. （1分）

(2)矩阵kE A +为实对称矩阵，其特征值为k k k ,2,2+-+-，（4分）于是当2>k 时，矩阵kE A +的特征值都为正数，因此kE A +为正定矩阵.

3.解：二次型f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=3030002a a A （1分）设所求的正交矩阵为Q ，则Λ=AQ Q T

即⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5213030002Q a a Q T ，两边取行列式，有10)9(230300022=-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a Q a a Q T （2分） 即10)9(22=-a ，解得)0(2>=a 又因为A 的特征值为5,2,1321===λλλ，故当1=λ时，

解方程组0)(=-X A E 得特征向量 T

a )1,1,0(1-= （2分）当2=λ时，解方程组0)2(=-X A E 得特征向量 T a )0,0,1(2= （2分）当5=λ时，解方程组0)5(=-X A E 得特征向量 T a )1,1,0(2= （2分）显然1a ，2a ，3a 是正交向量组，将它们单位化后得:

；⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-==21210111a a β；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==001222a a β⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛

==21210333a a β.

（3分） 故所求的正交矩阵为⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛-==2102121021010),,(321βββQ .

（1分） 4.证明：由题设E A =2得0))((=+-A E A E ,于是有 n A E r A E r ≤++-)()(由()()2E A E A E -++=,可知)()()2()(A E r A E r E r E r n ++-≤==，综上得 n A E r A E r =++-)()(. （1分）