函数回顾与反思..doc

章末复习

【知识与技能】

通过本节课的复习，加深对常量与变量、函数等概念的理解，掌握函数的表示方法，并能运用它们解决相关的问题 .

【过程与方法】

经历问题解决过程中的建立函数模型和用图像、看图像的过程，体会函数的建模思想和数形结合的思想方法 .

【情感态度】

鼓励学生积极参与数学活动，在活动中学会思考、讨论、交流与合作 .培养学生学数学、用数学的意识 .

【教学重点】

应用函数知识解决问题 .

【教学难点】

用建立函数模型并运用函数解决实际问题（或数学问题）的方法和策略.

一、知识框图，整体把握

二、释疑解惑，加深理解

1.变量和常量

定义：在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫变量 .数值保持不变的量叫

常量 .

在实际生活中或具体问题中，往往涉及一些量，其中哪些量是不变的，哪些

量是变化的？变化的量之间存在着怎样的关系，是认识常量和变量的意义.

请举例说明一个变化过程中的常量和变量.

2.函数的概念及其应用.

函数的概念：一般地，在某个变化过程中，有两个变量

的一个值，就能相应地确定 y 的一个值，那么，我们就说

x

y 是

和 y .如果给定 x

x 的函数，其中，x 叫做自变量 .

在函数概念中，特别要强调三个要素：有一个变化过程；变量之间的对应

关系；当自变量取定一个数值时，对应的函数值唯一确定 .

函数的自变量的取值范围的确定.应注意以下两点：

（1）自变量的取值要符合实际问题；

（2）自变量的取值要使函数表达式自身有意义.

3函数的三种表示方法的选择使用

函数的表示可以用三种方法：数值表格法、图像法、表达式法，它们的优缺

点如下表：

函数的三种表示方法各有优缺点，它们之间可以互相转化 .在遇到实际问题时，就要根据具体情况、具体要求选择适当的表示方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用 .

请举例说明这三种表达形式以及它们的特点.

运用函数的图像法画函数的一般步骤：（1）列表；（2）画点；（3）连线 .

4.函数的应用

利用函数知识解决实际问题，首先分析实际问题的数量关系，从而建立函数模型，再利用函数知识解决实际问题 .

确定函数的自变量的取值范围是由两个条件所确定的：一是使函数表达式有

意义，二是使所描述的实际问题有意义 .

根据表达式和自变量的值求函数值只需将自变量的值代入表达式中计算即

可.根据表达式和函数值求自变量的值，相当于解含自变量的方

程三、典例精析，复习新知

例 1 说出下列各个过程中的变量与常量：

（1）我国第一颗人造地球卫星绕地球一周需106 分钟，t 分钟内卫星绕地球

的周数为 N，N=

t

；106

（2）铁的质量 m（g）与体积 V （ cm3）之间有关系式；

2

（3）矩形的长为 2cm，它的面积为 S（cm ）与宽 a（ cm）的关系式是 S=2a．

程中，可以取不同数值的量对各小题分析判断即可得解．

解：（1）N 和 t 是变量， 106 是常量；

（2）根据物理知识： m=ρV，（ρ =7.8）所以， m 和 V 是变量，ρ是常量；

（3）S 和 a 是变量， 2 是常量．

例2 一石激起千层浪，一枚石头投入水中，会在水面上激起一圈圈圆形涟漪，如图所示（这些圆的圆心相同）．

（1）在这个变化过程中 ____，自变量是 _____，函数是 _____．

（2）如果圆的半径为 r，面积为 S，则 S 与 r 之间的关系式是

_____．（3）当圆的半径由 1cm 增加到 5cm 时，面积增加了

_____cm2．

分析：根据函数的定义：函数中的每个值x，变量 y 按照一定的法则有一个确定的值 y 与之对应来解答．

解：（1）自变量是圆的半径，函数是圆的面积（或周长）；

（2）根据圆的面积公式，如果圆的半径为r，面积为 S，则 S 与 r 之间的关系式是 S=πr2；

（3）当圆的半径由 1cm 增加到 5cm 时，面积增加了24πcm2．

例 3（湖北黄冈中考）函数 y= x 2

中，自变量 x 的取值范围是（）x

A． x≠0 B． x≥ 2 C.x＞ 2 且 x≠0 D.x≥2 且 x≠0 分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于 0 列式计算即可得解 .

解：由题意得， x-2≥ 0 且 x≠0，∴ x≥ 2．故选： B．

点拨：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

例 4 汽车以 60 千米 /时的速度在公路上匀速行驶， 1 小时后进入高速路，继续以 100 千米 /时的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s（千米）与行驶的时间 t（时）的函数关系的大致图像是（）

分析：由题意可知 ,1 小时以前的速度是 60 千米 /时,而 1 小时之后的速度是100 千米 /时,速度越大倾斜角度越大 ,故选 C

答案： C

例 5 在烧开水时，水温达到 100℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸

腾”实验时记录的数据：

（1）上表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

（2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？

（3）时间推移 2 分钟，水的温度如何变化？

（4）时间为 8 分钟，水的温度为多少？你能得出时间为9 分钟时，水的温度吗？

（5）根据表格，你认为时间为16 分钟和 18 分钟时水的温度分别为多少？

（6）为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？

分析：（ 1）在函数中，给一个变量x 一个值，另一个变量y 就有对应的值，则x 是自变量， y 是因变量，据此即可判断；（ 2）根据表格中数据得出水的温度变化即可；（3）根据表格中数据得出水的温度变化即可；（4）根据表格中数据

得出水的温度，进而可得出时间为 9 分钟时，水的温度；（5）根据表格中数据得

出水的温度变化规律即可；（6）根据表格中数据得出答案即可．

解：（1）上表反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是

因变量；

（2）水的温度随着时间的增加而增加，到100℃时恒定；

（3）时间推移 2 分钟，水的温度增加14 度，到 10 分钟时恒定；

（4）时间为 8 分钟，水的温度是86℃，时间为 9 分钟，水的温度是93℃；

（5）根据表格，时间为16 分钟和 18 分钟时水的温度均为100℃；

（6）为了节约能源，应在10 钟后停止烧水．

例6 某礼堂共有 25 排座位，第一排有 20 个座位，后面每一排都比前一排

多1 个座位，写出每排的座位数 m 与这排的排数 n 的函数关系式并写出自变量 n 的取值范围．

上题中，在其他条件不变的情况下，请探究下列问题：

①当后面每一排都比前一排多 2 个座位时，则每排的座位数m 与这排的排数 n 的函数关系式是（1≤n≤25，且n 是正整数）