计算方法简明教程插值法习题解析
计算方法第四章 插值法
4
3
xi 4 yi 2
9 16 3 4
2
0
4
7
9
16
第4章 插值法
应用背景
造函数表：三角函数、对数 预测：鸡蛋价格、城市用水量
《 计 算 方 法 》
数控加工：造船、飞机机翼骨架、服装 样片、模具加工、刀具 计算机辅助设计：潜水艇、汽车造型
服装样片
第4章 插值法
实际问题中，f (x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散 数据；或者f (x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数 φ(x)来逼近f (x)。
《 计 算 方 法 》
φ (x)= y0
第4章 插值法
§2 线性插值与二次插值
2.1 线性插值
线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设
《 计 算 方 法 》
给定了函数f (x)在两个互异点x0，x1的值,即
x x0值）
y y0 x0
y1
x1
x
第4章 插值法
现要用一线性函数
满足插值条件：
y( xi ) = yi , i = 0,1, 2
22
第4章 插值法 例：已知函数 y=f (x)的观测数据为
x
《 计 算 方 法 》
1 0
2 -5
3 -6
4 3
y
试求拉格朗日插值多项式。
第4章 插值法
《 计 算 方 法 》
( x 2)( x 3)( x 4) 解 ：p3 ( x ) = 0 (1 2)(1 3)(1 4) ( x 1)( x 3)( x 4) ( 5) (2 1)(2 3)(2 4) ( x 1)( x 2)( x 4) ( 6) (3 1)(3 2)(3 4) ( x 1)( x 2)( x 3) 3 (4 1)(4 2)(4 3) = x3 4 x2 3
插值法思考题
插值法思考题
1.插值法是什么？
插值法是一种数值计算方法，它将一段连续函数曲线拆分成若干段线段，利用参数值在这些线段上的结点值求出其他参数值。
这种方法以函数快速、准确的近似为目的，能够找到给定的点集的最佳拟合曲线，其结果介于最近两点之间，从而得到准确的结果。
2.插值法有哪些应用？
插值法的应用非常广泛，主要用于处理数据拟合、求解非线性方程组、求解微分方程、求解积分、计算其他异常值等问题。
它还可以用于函数解析、物理模拟、信号处理、图像处理和优化等领域。
3.插值法有哪些常见的插值方法？
常见的插值方法有：
1）拉格朗日插值法：用拉格朗日插值多项式来近似给定的点集；
2）牛顿插值法：用牛顿插值多项式来近似给定的点集；
3）双线性插值法：用双线性插值函数来近似给定的点集；
4）埃尔米特插值法：用埃尔米特插值多项式来近似给定的点集；
5）样条插值法：用样条插值多项式来近似给定的点集。
二次插值计算例题
二次插值计算例题二次插值是一种常用的数值计算方法，用于通过已知数据点的坐标，推导出两个数据点之间的某个点的值。
在二次插值中，我们假设数据具有二次多项式的形式，并通过插值公式求解未知点的值。
以下是一个用于说明二次插值的计算例题：例题：已知数据点的坐标为（1，1）、（2，3）、（3，7），求x=2.5时的y值。
解析：1. 首先，我们需要确定插值多项式的形式。
由于已知的数据点个数为3个，因此我们可以假设插值多项式为二次多项式的形式：P(x) = a*x^2 + b*x + c2. 接下来，我们需要确定多项式的系数a、b和c。
为了确定这些系数，我们可以使用已知数据点的坐标。
3. 首先，我们将已知的数据点代入多项式中，得到以下方程： P(1) = a*1^2 + b*1 + c = 1P(2) = a*2^2 + b*2 + c = 3P(3) = a*3^2 + b*3 + c = 7将方程整理为矩阵形式，得到以下方程组：⎡ 1 1 1 ⎤⎡ a ⎤⎡ 1 ⎤⎢ 4 2 1 ⎥ * ⎢ b ⎥ = ⎢ 3 ⎥⎣ 9 3 1 ⎦⎣ c ⎦⎣ 7 ⎦4. 解方程组，可以得到系数a、b和c的值。
首先，将方程组进行高斯消元法的操作：⎡ 1 1 1 ⎤⎡ a ⎤⎡ 1 ⎤⎡ 1 1 1 ⎤⎢ 4 2 1 ⎥ * ⎢ b ⎥ = ⎢ 3 ⎥ => ⎢ 0 -2 -3 ⎥⎣ 9 3 1 ⎦⎣ c ⎦⎣ 7 ⎦⎣ 0 0 -2 ⎦进行回代运算：-2c = -2 => c = 1-2b - 3c = 3 => -2b - 3 = 3 => b = -2a +b +c = 1 => a - 2 + 1 = 1 => a = 2因此，系数a、b和c的值为2、-2和1。
5. 最后，将得到的系数代入插值多项式中，求解x=2.5时的y 值：P(2.5) = 2*2.5^2 + (-2)*2.5 + 1 = 11.25 - 5 + 1 = 7.25因此，在已知数据点（1，1）、（2，3）、（3，7）的情况下，当x=2.5时，y的值为7.25。
计算方法_课后习题答案
(4.5)(0.01172)
0.00879
（2）采用 Newton 插值多项式 y x N2(x) 根据题意作差商表：
i
xi
0
4
1
6.25
f (xi ) 2 2.5
一阶差商 2 9
2
9
3
2 11
二阶差商 4 495
N2 (7) 2 29 (7 4) ( 4 495) (7 4) (7 6.25) 2.6484848
1
e2
则根据二次Lagrange插值公式得：
L2 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
y0
(x ( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
y1
(x ( x2
x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
y2
2(x 1)(x 0.5) 2x(x 0.5)e1 4x(x 1)e0.5
8. 求作 f x xn1 关于节点 xi i 0,1, , n 的 Lagrange 插值多项式，并利用
插值余项定理证明
n
n
xin1li 0 1n xi
i0
i0
式中 li x 为关于节点 xi i 0,1, , n 的 Lagrange 插值基函数。
2 02 12 4 23 4 04 14 2 3
1 x2 3x 2 x 4 3x x2 6x 8 23 x x2 5x 4 1 x x2 3x 2
8
4
8
计算方法第三章(插值法)解答
Aitken（埃特肯）算法 N 0,1,,k , p ( x) L( x) N 0,1,,k ( x)
N 0,1,,k 1, p ( x) N 0,1,,k ( x) x p xk
Neville（列维尔）算法
( x xk )
Ni ,i 1,,k ( x) L( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) Ni 1,i 2,k ( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) xk xi ( x xi )
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 )
容易求出，该函数为：
x x0 x x1 y y0 y1 x0 x1 x1 x0
一般插值问题：求过n+1个点
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ),,( xn , yn )
的不超过n次多项式 Ln ( x )。
Ln ( x) yi li ( x )
例子：求方程 x3-2x-5=0 在(2 , 3)内的根 思路: 设 y = f(x) =x3-2x-5 ，其反函数为 x=f -1(y)，则 根为x* =f -1(0) 。先用3= f -1(16)， 2= f -1(-1)插值，得 N0,1 (y) ≈f -1(y), 计算N0,1 (0)= 2.058823, f(2.058823) = -0.39 ，以-0.39为新的节点，继续……
第三章 插值法
第一节 插值多项式的基本概念
假设已经获得n+1点上的函数值
f xi yi , i 0,1,, n,
即提供了一张数据表
x
y f x
x0
y0
x1
y1
x2
xn
y2
插值法例题计算过程
插值法是一种数学方法，用于构造一个简单函数来近似地替代原函数，并满足已知的数据点。
插值法有很多种，包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、三次样条插值法等。
以牛顿插值法为例，假设我们有一组数据：当折现率为10%时，净现值为121765；当折现率为12%时，净现值为116530。
我们的目标是求出折现率为11%时的净现值。
首先，我们需要构造插值多项式：
P(x) = a_0 + a_1 * x + a_2 * x^2 + ... + a_n * x^n
其中，x是我们要求的折现率，a_i是待求的系数。
然后，我们需要将已知的数据点代入插值多项式中，得到以下方程组：
P(10%) = 121765
P(12%) = 116530
接下来，我们需要解这个方程组，求出a_i的值。
最后，我们将求得的a_i值代入插值多项式中，求解得到折现率为11%时的净现值。
这就是插值法的基本计算过程。
数值分析_第二章_插值法
１ x０
x２ ０
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
…
xn－ １ ０
…… ………
V n－ １ （ x０ ，x１ ，… ，xn－ １ ） ＝
１
xn－ ２
x２ n－ ２
…
xn－ １ n－ ２
１
xn－ １
x２ n－ １
…
xn－ １ n－ １
∏ ＝
（ xi － xj ） ．
０ ≤ j ＜ i ≤ n－ １
故 知 V n （ x） ＝ V n－ １ （ x０ ，x１ ，… ，xn－ １ ）（ x － x０ ）（ x － x１ ） … （ x －
＝ R截 ＋ R舍
＝
f″２（！ξ）（ x －
xi ）（ x －
xi＋ １ ） ＋
×
（－
０
．６９３１４７）
＋
（０ ．５４ （０ ．６
－ －
０ ０
．４）（０ ．４）（０
．５４ － ０ ．５） ．６ － ０ ．５）
× （ － ０ ．５１０８２６） ≈ － ０ ．６１５３２０ ．
４畅 解
由题设知 ０° ≤
x≤
９０° ，h ＝
xi＋ １
－
xi
＝
（
１ ６０
）°
．记
xi
处的准确值为 f i ，带有误差的值为 f i ，则
７ ，
x
∈
［１ ，２］ ，
－
１９ ２
x３
＋ ６７ x２
－
２９３ ２
x
＋
１０５ ，
x
∈
（２ ，３］ ．
四 、习题
１畅 根据范德蒙行列式的定义 ，令
V n （ x） ＝ V n （ x０ ，x１ ，… ，xn－ １ ，x）
CPA.会计第二章插值法计算
专题四资金时间价值一、资金时间价值的概念定义：资金时间价值是指一定量资金在不同时点上的价值量差额。
【提示】理解资金时间价值要把握两个要点：（1）不同时点；（2）价值量差额。
二、终值和现值的计算1.终值又称将来值，是现在一定量的资金折算到未来某一时点所对应的价值，俗称“本利和”，通常记作F。
2.现值，是指未来某一时点上的一定量资金折算到现在所对应的价值，俗称“本金”，通常记作“P”。
现值和终值是一定量资金在前后两个不同时点上对应的价值，其差额即为资金的时间价值。
生活中计算利息时所称本金、本利和的概念，相当于资金时间价值理论中的现值和终值，利率（用i表示）可视为资金时间价值的一种具体表现：现值和终值对应的时点之间可以划分为n期（n≥1），相当于计息期。
【注意】终值与现值概念的相对性。
【思考】现值与终值之间的差额是什么？两者之间的差额是利息.三、利息的两种计算方式1.单利计息方式：只对本金计算利息。
以本金为基数计算利息，所生利息不再加入本金滚动计算下期利息（各期的利息是相同的）。
2.复利计息方式：既对本金计算利息，也对前期的利息计算利息。
将所生利息加入本金，逐年滚动计算利息的方法。
（各期的利息是不同的）。
【提示】除非特别指明，否则在计算利息的时候使用的都是复利计息。
四、复利终值与现值1.复利终值复利终值的计算公式为：F=P（1＋i）n在上式中，（1＋i）n称为“复利终值系数”，用符号（F/P，i，n）表示。
这样，上式就可以写为：F=P（F/P，i，n）【提示】在平时做题时，复利终值系数可以查表得到。
考试时，一般会直接给出。
但需要注意的是，考试中系数是以符号的形式给出的。
因此，对于有关系数的表示符号需要掌握。
【例题1·计算题】某人将100元存入银行，复利年利率2%，求5年后的终值。
【答案】5年后的终值=100×（1+2%）5 =100×（F/P，2%，5）=100×1.104=110.4（元）。
Chapter 1 插值方法 习题
2
将以上代入 p( x) 中即可。 注：本题中两个节点 x0 0, x1 1 具有对称性，事实上
0 (1 x) 1 ( x),1 (1 x) 0 ( x), 0 (1 x) 1 ( x), 1 (1 x) 0 ( x)
由此特性也可简化处理过程。
f ( 4) ( ) ( x x0 )3 ( x x1 ) 。 节点，故插值余项为 f ( x) p( x) 4! 9． 解：注意到满足条件 q(1) 0, q(1) 10, q(1) 40
的插值多项式为
q( x) 10( x 1) 20( x 1)2 且 q(x)的余项因子为 ( x 1)3 ，故令所求的插值多项式为
解得 a 5, b 11 。所以，所求的插值多项式为 p( x) 10( x 1) 20( x 1)2 (5x 11)( x x0 )3 10． 解：用基函数方法完整求解问题 7 令所求的插值多项式为 0 ( x) y1 1 ( x) p( x) y00 ( x) y11 ( x) y0 (0) 0 (1) 0 。 为此要求基函数 0 ( x) 满足条件 0 (0) 1,0 (1) 0
p( x) f ( x0 ) f ( x0 , x1 )( x x0 ) f ( x0 , x1 , xห้องสมุดไป่ตู้ )( x x0 )( x x1 ) c( x x0 )( x x1 )( x x2 ) ，
f ( x1 ) f ( x0 , x1 ) 式 中 ， c f ( x0 , x1 , x2 ) x1 x0 f ( x1 , x2 ) f ( x0 , x1 ) f ( x0 , x1 , x2 ) x2 x0
计算方法 课后习题答案
y1
(x ( x2
x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
y2
2(x 1)(x 0.5) 2x(x 0.5)e1 4x(x 1)e0.5
(2 2e1 4e0.5 )x2 (4e0.5 e1 3)x 1
2)根据Lagrange余项定理，其误差为
解：由题意y x知：x0 4, x1 6.25, x2 9; y0 2, y1 2.5, y2 3
2
（1） 采用 Lagrange 插值多项式 y x L2(x) l j (x)y j j0
y 7 L2 (x) |x7
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
关于节点 xi i 0,1,..., n 满足条件 P xi yi ,i 0,1,...,n 的插值多项式 P x 就是它本
身。可见，当 k n 时幂函数 f (x) xk (k 0,1,..., n) 关于 n 1个节点 xi i 0,1,..., n 的插
4
42
（2） Newton 插值多项式
k xk f (xk )
一阶差商
二阶差商
三阶差商
00
1
11
9
8
22
23
14
3
34
3
-10
8
114
N3 (x) f (x0 ) f (x0 , x1)(x x0 ) f (x0 , x1, x2 )(x x0 )(x x1)
f (x0 , x1, x2 , x3 )(x x0 )(x x1)(x x2 )
= 2x3
插值法2010注会及答案
（2.6） （2.14）
这里 ξ ∈(a, b)且依赖于 x，ωn+1(x) 是（2.10）所定义的.
12
同理
lk (x) = (x−xk−1)( x−xk+1) . (xk −xk−1)( xk −xk+1) (x − xk −1)( x − xk ) . (xk +1 − xk −1)( xk +1 − xk )
lk +1(x) =
二次插值基函数 lk−1(x)，k (x)，k+1(x) 在区间 [xk−1, xk+1] 上的 l l 图形见图2-4.
ωn+1(x) = (x − x0 )(x − x1)L(x − xn ),
L (x) = 容易求得 yklk (x) + yk+1lk+1(x) 1
（2.10） （2.3）
（2.5） L2 (x) ωn+1k(xlk) 1(xxk+ yk0 )L)xk ykx1lk+1(x) xk+1)L(xk − xn ), =′y −1k −= ( ) − xlk (x( + − +k−1)(xk −
20
定理1 定理1 在次数不超过 n 的多项式集合 Hn 中，满足条 件(2.6)的插值多项式 Ln (x) ∈Hn是存在惟一的. 证明 公式(2.11)所表示的 Ln (x)已证明了插值多项式 的存在性， ) = y ( j = 0,1 L, n). 下面用反证法证明惟一性. （2.6） Ln (x j , j 假定还有 P(xn ∈Hn 使 P(xi+1= x) xi ), i = 0,1,L, n 成立. ) ωn ) ( f ( L (x) = ∑yk . （2.11） n ′ (x − xk )ωn+1(xk ) k= 于是有 Ln (xi ) − P(xi0) = 0对 i = 0,1,L, n 成立， 它表明多项式
插值法-第二次程序题.
插值法A题目1 :对Runge函数R(x) - 2在区间［-1,1］作下列插值逼近，并和1 25xR(x)的图像进行比较，并对结果进行分析。
(1)用等距节点X i -1 ih , h 0. 1,0 i 20,绘出它的20次Newton插值多项式的图像。
⑵用节点X i cos( 插值多项式的图像。
2i421 ),(i 0,1,2,,0)，绘出它的20次Lagrange⑶用等距节点X i 的图像。
-1 ih , h 0. 1,0 i 20,绘出它的分段线性插值函数⑷用等距节点X i函数的图像。
-1 ih , h 0. 1,0 i 20,绘出它的三次自然样条插值程序及分析：(1)用等距节点X i -1 ih , h 0. 1,0 i 20,绘出它的20次Newton插值多项式的图像。
Matlab程序如下：%计算均差x=[-1:0.1:1];n=len gth(x);syms zfor i=1: ny(i)=1/(1+25*x(i)*x(i));endN=zeros( n,n);N(:,1)=y';for j=2: nfor k=j:n N(k,j)=(N(k,j-1)-N(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1)); endendfor t=1: nc(t)=N(t,t)end%构造插值多项式f=N(1,1)；for k=2: na=1;for r=1:(k-1)a=a*(z_x(r));endf=f+N(k,k)*a;end%(乍图a=[-1:0.001:1];n=len gth(a);for i=1: nb(i)=1/(1+25*a(i)*a(i));endfx=subs(f,z,a);subplot(2,1,1);plot(a,b, 'k' ,a,fx, 'r');c=[-0.6:0.001:0.6];n=len gth(c);for i=1: nd(i)=1/(1+25*c(i)*c(i));endfx=subs(f,z,c);subplot(2,1,2);plot(c,d, 'k' ,c,fx, 'r');结果与分析:由下图可以看出，在区间卜0.6,0.6] 上，插值多项式可以很好的逼近被插值函数。
计算方法课件 第五章 插值法
1 Ak ( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
( x x0 )( x x1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) lk ( x ) (k 0,1,, n) ( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
n n
上式是不超过n次的多项式，且满足所有的插值 条件，因而就是我们所需构造的插值多项式，称之 为Lagrange插值多项式。 当n＝1时，有 当n＝2时，有
n1 ( x) Ln ( x) f ( xi )li ( x) f ( xi ) ' ( x x ) i 0 i 0 i n 1 ( xi )
2 n , 即 P span 1 , x , x , , x 特别的取 = n
Pn ( x ) ( x ) a0 a1 x a 2 x 2 a n x n , ai R , 0 i n
五、插值多项式的存在唯一性
分析 对于多项式插值问题，插值条件（1）等价于 确定多项式的系数，使得满足如下的线性方程组
x x0 x x1 L1 ( x) y0 y1 x0 x1 x1 x0
( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x x1 )( x x2 ) L2 ( x) y0 y1 y2 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
(n 1)
n 1
M n 1 R n (x ) n 1 (x ) (n 1) !
(完整word版)第二章插值法习题及解答
一、填空题：1． 满足()a a f x x =，()b b f x x =，()c c f x x =的拉格朗日插值余项为 。
答：()()()()()3!a b c f R x x x x x x x ξ'''=--- 2．已知函数()f x 的函数值()()()()()0,2,3,5,6f f f f f ，以及均差如下 ()()()()()00,0,24,0,2,35,0,2,3,51,0,2,3,5,60f f f f f ===== 那么由这些数据构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数是 答： 1二、选择题1. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ．()00l x ＝0，()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()110l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x = 答：D2．. 已知等距节点的插值型求积公式()()352k k k f x dx A f x =≈∑⎰，那么3k k A ==∑（ ）A ．1 B. 2 C. 3 D. 4 答：C3．过点(x 0,y 0), (x 1,y 1)，…，(x 5,y 5)的插值多项式P(x)是( )次的多项式。
(A). 6 (B).5(C).4(D).3．答：B三、证明题1. 设 f (x) = (x-1) (x-2) .证明对任意的x 有：f [1, 2, x)]= 1证明:f [1, 2] = [f (1) – f (2)]/ (1 – 2) = [0 – 0]/ (-1)= 0,对任意的x有F[2, x] = [f (2) – f (x)]/ (2 – x)= [0 – (x-1) (x-2)]/ (2 – x)= (x-1),所以f [1, 2, x] = [f (1, 2) - f (2, x)]/ (1 – x)= [0 - (x-1)]/ (1 – x)= 12.设在上具有二阶连续导数，且，求证：解：由，则在的线性插值多项式为：，于是由，可得：3．试利用差分性质证明：证明：记：可以证明：，又：故：.四、计算题：1.．已知数值表试用二次插值计算()0.57681f 的近似值，计算过程保留五位小数。
计算方法课后习题答案之习题五
≈-2.203125
7.已知 的观测数据如表5-7所示，试求其牛顿均差插值多项式，并分别用牛顿型线性插值和二次插值求 的近似值。
X
0
1
0
3
10
12
10
解
分析题目可知共提供了六个基点，插值多项式的最高次数n等于5，可列均差表：
一阶
二阶
三阶
四阶
五阶
0
1
1
0
-1
2
3
R(x)= (x-x0)2(x-x1)2
=(x-x0)2(x-x1)2
f(1.5)=H3(1.5)=R(1.5)=0.0625
所以在1.5处的截断误差为0.0625
3
2
3
10
7
2
0
5
12
1
-2
-1
6
10
-2
-1
因此牛顿插值为：
线性插值求 ,选取区间 做线性插值
所以
二次插值求 ,选取区间 做二次插值
所以
8.设y n=2n,试求△3yn.
解：△y n=△（2n）=2n+1-2n=2n·2-2n=2n
△2y n=△（△y n）=△（2n）=2n
△3y n=△（△2y n）=△（2n）=2n
ｘ
100 121 144
ｙ
10 11 12
解：由题意知：
又因为：
把三个点代入得
（2）利用 ，分别求 ， 的值。
解
（3）指出（2）是外插还是内插，分别给出截断误差估计，并作比较。
解
差值区间是 ，113属于 ，所以 是内插。
不属于 ，所以 是外插。
插值法习题及解答
一、填空题：1． 满足()a a f x x =，()b b f x x =，()c c f x x =的拉格朗日插值余项为 。
答：()()()()()3!a b c f R x x x x x x x ξ'''=---2．已知函数()f x 的函数值()()()()()0,2,3,5,6f f f f f ，以及均差如下 ()()()()()00,0,24,0,2,35,0,2,3,51,0,2,3,5,60f f f f f ===== 那么由这些数据构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数是 答： 1二、选择题1. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ．()00l x ＝0，()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()110l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x = 答：D2．. 已知等距节点的插值型求积公式()()352kkk f x dx A f x =≈∑⎰，那么3kk A==∑（ ）A ．1 B. 2 C. 3 D. 4 答：C3．过点(x 0,y 0), (x 1,y 1)，…，(x 5,y 5)的插值多项式P(x)是( )次的多项式。
(A). 6 (B).5 (C).4 (D).3． 答：B 三、证明题1. 设 f (x) = (x-1) (x-2) .证明对任意的x 有： f [1, 2, x)]= 1证明:f [1, 2] = [f (1) – f (2)]/ (1 – 2) = [0 – 0]/ (-1) = 0, 对任意的x 有F[2, x] = [f (2) – f (x)]/ (2 – x) = [0 – (x-1) (x-2)]/ (2 – x) = (x-1),所以 f [1, 2, x] = [f (1, 2) - f (2, x)]/ (1 – x) = [0 - (x-1)]/ (1 – x) = 12.设在上具有二阶连续导数，且，求证：解：由，则在的线性插值多项式为：，于是由，可得：3． 试利用差分性质证明：证明：记：可以证明：， 又： 故：. 四、计算题： 1.．已知数值表试用二次插值计算()0.57681f 的近似值，计算过程保留五位小数。
2、插值法部分练习题
1、已知 f （x ）=ln x 的数值表如下，分别用线性及二次 Lagrange 插值法计算f (0.54) 的近似值，并估计误差。
解：（1）线性插值法：因为()ln f x x = 时递增函数，所以取0.5和0.6为插值节点。
则线性插值多项式为：0011()()()()f x F x f l x f l x ==+0.540.60.540.5(0.54)(0.54)(0.5)(0.6)0.50.60.60.50.6930.6(0.510)0.40.6198f F f f --≈=+-- =-⨯+-⨯=-截断误差：101011()''()()(),(,)2R x f x x x x x x ξξ=--∈ 121(0.54)0.0012R ξ=11(0.5,0.6)110.0012(0.54)0.00120.360.25,0.0032(0.54)0.0048R R ξ∈∴⨯<<⨯<<即 （2）二次lagrange 插值法：A ：若取0.4，0.5和0.6为插值点，0120.916,0.693,0.510f f f =-=-=-012(0.540.5)(0.540.6)0.12(0.40.5)(0.40.6)(0.540.4)(0.540.6)0.84(0.50.4)(0.50.6)(0.540.4)(0.540.5)0.28(0.60.4)(0.60.5)l l l --==-----==----==--001122(0.54)(0.54)(0.54)(0.54)(0.54)0.615f F f l f l f l ≈=++=-截断误差：20121()'''()()()()3!R x f x x x x x x ξ=---则231(0.54)0.000112R ξ=333233[0.4,0.6],()111,0.60.4110.000112(0.54)0.0001120.40.6f x R ξξ∈∴<<-⨯<<-⨯递增；即20.00175(0.54)0.000519R -<<-B ：若取0.5，0.6和0.7为插值点，0120.693,0.510,0.357f f f =-=-=-012(0.540.6)(0.540.7)0.48(0.50.6)(0.50.7)(0.540.5)(0.540.7)0.64(0.60.5)(0.60.7)(0.540.5)(0.540.6)0.12(0.70.5)(0.70.6)l l l --==----==----==---001122(0.54)(0.54)(0.54)(0.54)(0.54)0.6162f F f l f l f l ≈=++=-截断误差：20121()'''()()()()3!R x f x x x x x x ξ=--- 则231(0.54)0.000128R ξ=333233[0.5,0.7],()111,0.70.5110.000128(0.54)0.0001280.70.5f x R ξξ∈∴<<⨯<<⨯递增；即20.000373(0.54)0.001024R <<2、已知f(x)=e -x 的一组数据见下表，用抛物插值法计算e -2.1的近似值。
计算方法简明教程插值法习题解析
第二章 插值法1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。
解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+--则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2．给出()ln f x x =的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。
解：由表格知，01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=-若采用线性插值法计算ln0.54即(0.54)f ， 则0.50.540.6<<2112122111122()10(0.6)()10(0.5)()()()()()x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -==----==---=+6.93147(0.6) 5.10826(0.5)x x =---1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈-若采用二次插值法计算ln0.54时，1200102021101201220212001122()()()50(0.5)(0.6)()()()()()100(0.4)(0.6)()()()()()50(0.4)(0.5)()()()()()()()()()x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x L x f x l x f x l x f x l x --==------==-------==----=++500.916291(0.5)(0.6)69.3147(0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5)x x x x x x =-⨯--+---⨯--2(0.54)0.615319840.615320L ∴=-≈-3．给全cos ,090x x ≤≤的函数表，步长1(1/60),h '==若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。
插值方法部分习题
* b0 = 0.8
所以一次式为 h1 ( x) = 0.8 + 3.1x ．
例 5 求下列矛盾方程组的最小二乘解．
⎧ x1 + x2 = 4 ⎪ ⎨ x1 + 2 x2 = 7 ⎪ x −x =2 ⎩ 1 2
解令
⎧ u1 = x1 + x2 − 4 ⎪ ⎨u2 = x1 + 2 x2 − 7 ⎪u = x −x −2 1 2 ⎩ 3
由
得法方程组
⎧3x1 + 2 x2 = 13 ⎨ ⎩2 x1 + 6 x2 = 16
23 7 x2 = 11 7
解得
x1 =
所以最小二乘解为 x1 =
23 11 ， x2 = ． 7 7
例6 已知插值基函数为 l k ( x), k = 0,1, " , n ，证明 ：当 m < n 时， 证明：令
三、例题分析
例 1 已知 f ( 4) = 2, f (9) = 3, 用线性插值计算 f (6) ，并估计误差． 解 取插值节点x0= 4,x1= 9，两个插值基函数分别为
l0 ( x) =
1 x − x1 = − ( x − 9) ， 5 x0 − x1
l1 ( x) =
x − x0 1 = ( x − 4) ， x1 − x0 5
* −1
于是得 f ( x ) 在[0，2]内零点 x = f
(0) ≈ L2 (0) ≈ 0.445 ．
值得注意的是，只有所给函数（或函数表）在 [ a , b] 上严格单调情况下，才能使用反插值 方法，否则可能得出错误结果． 例 4 已知数表：
x y
1 3.8
2 7.2
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第二章 插值法1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。
解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+--则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2．给出()ln f x x =的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。
解：由表格知，01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=-若采用线性插值法计算ln0.54即(0.54)f ， 则0.50.540.6<<2112122111122()10(0.6)()10(0.5)()()()()()x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -==----==---=+6.93147(0.6) 5.10826(0.5)x x =---1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈-若采用二次插值法计算ln0.54时，1200102021101201220212001122()()()50(0.5)(0.6)()()()()()100(0.4)(0.6)()()()()()50(0.4)(0.5)()()()()()()()()()x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x L x f x l x f x l x f x l x --==------==-------==----=++500.916291(0.5)(0.6)69.3147(0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5)x x x x x x =-⨯--+---⨯--2(0.54)0.615319840.615320L ∴=-≈-3．给全cos ,090x x ≤≤的函数表，步长1(1/60),h '==若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。
解：求解cos x 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x 是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cos x 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。
因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。
当090x ≤≤时， 令()cos f x x = 取0110,()606018010800x h ππ===⨯= 令0,0,1,...,5400i x x ih i =+= 则5400902x π==当[]1,k k x x x -∈时，线性插值多项式为11111()()()k kk k k k k kx x x x L x f x f x x x x x ++++--=+--插值余项为111()cos ()()()()2k k R x x L x f x x x x ξ+''=-=-- 又在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且[]cos 0,1x ∈，故计算中有误差传播过程。
*5**112111*1111*1*1(())102()(())(())(())()1(())()(())k k k k k k k k k k k k k k k kk k k k f x x x x x R x f x f x x x x x x x x x f x x x x x f x x x x x hf x εεεεεε-++++++++++∴=⨯--=+----≤+--=-+-=∴总误差界为12*1*12*855()()1(cos )()()(())21()()(())211()(())2211.06101020.5010610k k k k k k k R R x R x x x x x f x x x x x f x h f x ξεεε++---=+=---+≤⨯--+≤⨯+=⨯+⨯=⨯ 4．设为互异节点，求证： （1）0()nk kj j j x l x x=≡∑ (0,1,,);k n =（2）0()()0nk jj j xx l x =-≡∑ (0,1,,);k n =证明（1） 令()kf x x =若插值节点为,0,1,,j x j n =，则函数()f x 的n 次插值多项式为0()()nk n j j j L x x l x ==∑。
插值余项为(1)1()()()()()(1)!n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+ 又,k n ≤(1)()0()0n n f R x ξ+∴=∴=()nk kj jj x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =000(2)()()(())()()(())nk j j j n nj i k i k j j j i nnik ii kj j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑0i n ≤≤又 由上题结论可知()nk ij jj x l x x ==∑()()0ni k i ik i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式∴得证。
5设[]2(),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证：21max ()()max ().8a xb a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为10101010()()()x x x x L x f x f x x x x x --=+--=()()x b x af a f b a b x a--=+--1()()0()0f a f b L x ==∴=又插值余项为1011()()()()()()2R x f x L x f x x x x x ''=-=-- 011()()()()2f x f x x x x x ''∴=-- []012012102()()1()()21()41()4x x x x x x x x x x b a --⎧⎫≤-+-⎨⎬⎩⎭=-=-又∴21max ()()max ().8a xb a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 6．在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表，若用二次插值求xe 的近似值，要使截断误差不超过610-，问使用函数表的步长h 应取多少？解：若插值节点为1,i i x x -和1i x +，则分段二次插值多项式的插值余项为2111()()()()()3!i i i R x f x x x x x x ξ-+'''=--- 211441()()()()max ()6i i i x R x x x x x x x f x-+-≤≤'''∴≤---设步长为h ，即11,i i i i x x h x x h -+=-=+434321().627R x e h ∴≤=若截断误差不超过610-，则62436()10100.0065.R x h h --≤≤∴≤ 7．若442,.n n n n y y y δ=∆求及，解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。
2n n y =44(1)n n y E y ∆=-44044044044(1)4(1)4(1)2(21)2j j nj j n jj j jnj nn nE y j y j y j y y -=+-=-=⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭=-==∑∑∑ 114422()n n y E E y δ-=-14422422()(1)2nnn n E E y E y y ----=-=∆==8．如果()f x 是m 次多项式，记()()()f x f x h f x ∆=+-，证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式，并且1()0m f x +∆=（l 为正整数）。
解：函数()f x 的Taylor 展式为2()(1)1111()()()()()()2!(1)!m m m m f x h f x f x h f x h f x h f h m m ξ++'''+=++++++ 其中(,)x x h ξ∈+ 又()f x 是次数为m 的多项式(1)()0()()()m f f x f x h f x ξ+∴=∴∆=+-2()11()()()2!m m f x h f x h f x h m '''=+++()f x ∴∆为1m -阶多项式 2()(())f x f x ∆=∆∆ 2()f x ∴∆为2m -阶多项式依此过程递推，得()kf x ∆是m k -次多项式()m f x ∴∆是常数 ∴当l 为正整数时，1()0m f x +∆=9．证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆ 证明11()k k k k k k f g f g f g ++∆=-111111111()()k k k k k k k kk k k k k k k k k k k k k kf g f g f g f g g f f f g g g f f g f g g f +++++++++=-+-=-+-=∆+∆=∆+∆∴得证10．证明110010n n k kn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑证明：由上题结论可知1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆-∆101101110(())()n k kk n k k k k k n n k k k kk k f g f g g f f g g f -=-+=--+==∴∆=∆-∆=∆-∆∑∑∑∑1110110022111100()()()()()k k k k k k n k k k n n n n n n f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g ++-=--∆=-∴∆=-+-++-=-∑110010n n k k n n k k k k f g f g f g g f --+==∴∆=--∆∑∑得证。