计算方法简明教程插值法习题解析

第二章 插值法

1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解：

0120121200102021101201220211,1,2,

()0,()3,()4;()()1

()(1)(2)()()2()()1

()(1)(2)

()()6

()()1

()(1)(1)

()()3

x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------=

=-+--

则二次拉格朗日插值多项式为

2

20

()()k k k L x y l x ==∑

0223()4()

14

(1)(2)(1)(1)23

537623

l x l x x x x x x x =-+=---+

-+=

+- 2．给出()ln f x x =的数值表

用线性插值及二次插值计算的近似值。

解：由表格知，

01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144

x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=-

若采用线性插值法计算ln0.54即(0.54)f ， 则0.50.540.6<<

2

112

1

221

11122()10(0.6)()10(0.5)()()()()()

x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -==----=

=---=+

6.93147(0.6) 5.10826(0.5)x x =---

1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈-

若采用二次插值法计算ln0.54时，

1200102021101201220212001122()()

()50(0.5)(0.6)

()()

()()

()100(0.4)(0.6)

()()()()

()50(0.4)(0.5)

()()

()()()()()()()

x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x L x f x l x f x l x f x l x --==------==-------=

=----=++

500.916291(0.5)(0.6)69.3147(0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5)

x x x x x x =-⨯--+---⨯--2(0.54)0.615319840.615320L ∴=-≈-

3．给全cos ,090x x ≤≤的函数表，步长1(1/60),h '==若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。

解：求解cos x 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x 是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cos x 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。 当090x ≤≤时， 令()cos f x x = 取0110,(

)606018010800

x h ππ===⨯= 令0,0,1,...,5400i x x ih i =+= 则5400902

x π

=

=

当[]1,k k x x x -∈时，线性插值多项式为

11111()()

()k k

k k k k k k

x x x x L x f x f x x x x x ++++--=+--

插值余项为

111

()cos ()()()()2

k k R x x L x f x x x x ξ+''=-=

-- 又

在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且[]cos 0,1x ∈，故计算中有误差传播

过程。

*5

**11

2111*11

11*1*1

(())102

()(())(())

(())(

)

1

(())()

(())

k k k k k k k k k k k k k k k k

k k k k f x x x x x R x f x f x x x x x x x x x f x x x x x f x x x x x h

f x εεεεεε-++++++++++∴=⨯--=+----≤+--=-+-=

∴总误差界为

12*1*12*85

5()()

1

(cos )()()(())21

()()(())211

()(())22

1

1.0610102

0.5010610k k k k k k k R R x R x x x x x f x x x x x f x h f x ξεεε++---=+=

---+≤⨯--+≤⨯+=⨯+⨯=⨯ 4．设为互异节点，求证： （1）

0()n

k k

j j j x l x x

=≡∑ (0,1,,);k n =

（2）0

()()0n

k j

j j x

x l x =-≡∑ (0,1,

,);k n =

证明

（1） 令()k

f x x =