2016-2017学年高中数学人教b版高一必修4学业分层测评26_两角和与差的正切_word版含解析

学业分层测评(二十六)

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1.已知1＋tan A 1－tan A ＝55，则cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝( )

A.－5

B. 5

C.5

5

D.－5

5

【解析】 ∵1＋tan A 1－tan A ＝5

5，

∴cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝

1

tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4＋A ＝1－tan A 1＋tan A ＝ 5. 【答案】 B

2.已知α＋β＝3π

4，则(1－tan α)(1－tan β)＝( ) A.1 B.2 C.3

D.4

【解析】 tan(α＋β)＝

tan α＋tan β1－tan αtan β

＝tan 3π

4＝－1，所以tan α＋tan β＝－1＋tan αtan β，

从而(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝1－(－1＋tan αtan β)＋tan αtan β＝2.

【答案】 B

3.(2016·沈阳高一检测)已知β∈⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，π2，满足tan(α＋β)＝324，sin β＝13，则tan α＝( )

【导学号：72010083】

A.2

3 B.4211 C.32

11

D.324

【解析】 因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin β＝13，所以cos β＝223，所以tan β＝122＝24

，又因为

tan(α＋β)＝32

4，所以tan α＝tan[(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)tan β

＝324－2

41＋324×24＝4211，故选B.

【答案】 B

4.在△ABC 中， tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 等于( ) A.π3 B.π4 C.π6

D.2π3

【解析】 由已知得tan A ＋tan B ＝－3(1－tan A tan B )，∴tan A ＋tan B

1－tan A tan B ＝－3，

∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝3， ∴C ＝π3. 【答案】 A

5.(2016·沈阳高一检测)若α，β∈⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，π2，tan α＝43，tan β＝17，则α－β等于( )

A.π

3 B.π

4 C.π6

D.π8

【解析】 由题意，0<β<α<π

2， 因为tan(α－β)＝

43－17

1＋43×17＝1， 所以α－β＝π

4. 【答案】 B 二、填空题

6.设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ()α＋2β的值是________.

【解析】 ∵tan ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫β－π4＝14，

∴

tan β－tan π

4

1＋tan βtan π4＝

tan β－11＋tan β＝1

4

，

∴tan β＝5

3，

tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β] ＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)tan β

＝25＋531－25×53＝

31

5. 【答案】 31

5

7.已知tan(α＋β)＝7，tan α＝3

4，且β∈(0，π)，则β的值为________. 【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝ tan (α＋β)－tan α

1＋tan (α＋β)tan α＝

7－3

4

1＋7×34

＝1，又β∈(0，π)，所以β＝π

4.

【答案】 π

4

8.(2016·新洲高一检测)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A ·tan C ，则B ＝________.

【解析】 tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝－33－tan B 1－tan 2

B ，所以tan 3B ＝33，所以tan B ＝3，又因为B 为三角形的内角，所以B ＝π

3.

【答案】 π

3 三、解答题

9.已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝2，tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫β－π3＝22，

(1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4的值； (2)求tan(α＋β)的值. 【解】 (1)tan ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫α＋β－π4

＝tan ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＋⎝ ⎛

⎭⎪⎫β－π3

＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＋tan ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫β－π31－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α·tan ⎝ ⎛

⎭⎪

⎫β－π3＝

2＋221－2×22＝－ 2. (2)tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛

⎭⎪⎫α＋β－π4＋π4 ＝tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫α＋β－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫α＋β－π4·tan π4

＝－2＋11－(－2)×1

＝22－3.

10.已知tan α，tan β是方程x 2

＋33x ＋4＝0的两个根，且α，β∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－π2，π2，求α＋β的值.

【解】 由题意，有⎩⎨⎧

tan α＋tan β＝－33，

tan αtan β＝4，

tan α＜0且tan β＜0.又因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫

－π2，π2，

所以α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫

－π2，0，α＋β∈(－π，0).

又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－33

1－4＝ 3.

在(－π，0)内，正切值为3的角只有－2π

3， 所以α＋β＝－2π

3.

[能力提升]

1.(2016·宜昌高一期末)已知sin α＝1

2，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为( )

A.－ 3

B. 3

C.－33

D.33

【解析】 ∵α为第二象限角， ∴cos α<0，cos α＝－3

2，